Este documento trata sobre funciones trigonométricas inversas, funciones hiperbólicas y la regla de L'Hôpital para calcular límites indeterminados. Explica cómo se definen y grafican las funciones trigonométricas inversas y las funciones hiperbólicas, así como cómo se usa la regla de L'Hôpital para evaluar límites que conducen a formas indeterminadas como 0/0 o ∞/∞ mediante el cálculo de derivadas.

1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Las funciones trigonométricas inversas surgen cuando queremos calcular ángulos con base
en las medidas de los lados de un triángulo. También proporcionan anti derivadas útiles y
aparecen con frecuencia en las soluciones de las ecuaciones diferenciales. En esta sección
se muestra de qué manera se definen, grafican y evalúan estas funciones, como se calculan
sus derivadas y por qué aparecen como anti derivadas importantes.
DEFINICIÓN DE LAS INVERSAS
Las seis funciones trigonométricas básicas no son inyectivas (sus valores se repiten de
manera periódica).
Restricción de los dominios para que las funciones trigonométricas sean inyectivas
.
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Las funciones hiperbólicas se forman por medio de combinaciones de dos funciones
exponenciales, ex y e–x. Las funciones hiperbólicas simplifican muchas expresiones
matemáticas y son importantes en muchas aplicaciones. Por ejemplo, se utilizan en
problemas tales como la determinación de la tensión de un cable suspendido por sus dos
extremos, como en el caso de los cables de energía eléctrica. También desempeñan un
papel importante en la determinación de soluciones de ecuaciones diferenciales. En esta
sección haremos una breve introducción a las funciones hiperbólicas, sus gráficas y el
cálculo de sus derivadas, además de explicar por qué aparecen como antiderivadas
importantes.

2. PARTES PAR E IMPAR DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Recuerde las definiciones de funciones par e impar que se dieron en la sección 1.4, así
como las simetrías de sus gráficas. Una función par satisface f(–x) = f(x), mientras que una
función impar satisface f(–x) = – f(x). Toda función f definida en un intervalo centrado en
el origen, puede escribirse de manera única como la suma de una función par y una función
impar. La descomposición es
DEFINICIONES E IDENTIDADES
Las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico se definen mediante las primeras dos
ecuaciones de la tabla 7.5. Esta tabla también lista las definiciones de tangente, cotangente,
secante y cosecante hiperbólicos. Como veremos, las funciones hiperbólicas poseen varias
similitudes con las funciones trigonométricas cuyo nombre comparten. (Vea también el
ejercicio 84). Las funciones hiperbólicas satisfacen las identidades de la tabla 7.6. Salvo por
diferencias de signo, son similares a las que conocemos para funciones trigonométricas. La
segunda ecuación se obtiene como sigue:
Razones de crecimiento relativas de crecimiento

3. En matemáticas suele ser importante comparar las razones a las que las funciones de x
crecen a medida que x se incrementa. Nuestra atención se restringirá a las funciones cuyos
valores son eventualmente positivos y permanecen así cuando x —>∞.
Las funciones exponenciales como 2x y ex parecen crecer más rápido que las funciones
polinomiales y racionales, cuando x toma valores grandes. Para ver qué tan rápido crecen
los valores de y = ex a medida que x aumenta, imagine que graficamos
la función en un pizarrón enorme, dividiendo los ejes en centímetros.
En x = 1 cm, la gráfica está e1 ≈ 3 cm por arriba del eje x.
DEFINICIÓN Razones de crecimiento cuando
Sean f(x) y g(x) positivas para x suficientemente grande.
1. f crece más rápido que g cuando x —>∞ si
o, de forma equivalente, si
También decimos que g crece más lento que f cuando x —>∞.
2. f y g crecen a la misma razón cuando x —>∞ si
donde L es finita y positiva.
FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HÔPITAL
John Bernoulli descubrió una regla para calcular límites de fracciones cuyos numeradores y
denominadores tendían a cero o a La regla se conoce hoy en día como la regla de
L’Hôpital, en honor de Guillaume de L’Hôpital, un aristócrata francés que escribió el

4. primer de texto de introducción al cálculo diferencial para principiantes, donde apareció
impresa por primera vez dicha regla.
FORMA INDETERMINADA 0/0
Si las funciones continúas f(x) y g(x) son cero en entonces
no se puede encontrar sustituyendo La sustitución produce , una expresión que no tiene
sentido, que no podemos evaluar. Usamos como una notación para una expresión conocida
como forma indeterminada. Algunas veces, pero no siempre, los límites que conducen a
formas indeterminadas pueden encontrarse mediante eliminación, reorganización de
términos, u otras manipulaciones algebraicas. Esto fue lo que hicimos en el capítulo 2.
Como recordará, en la sección 2.4 nos tomó un trabajo considerable encontrar Pero tuvimos
éxito con el límite.
a partir del cual calculamos derivadas, y que siempre produce el equivalente de cuando
sustituimos . La regla de L’Hôpital nos permite utilizar nuestro conocimiento respecto de
las derivadas para evaluar límites que, de otra manera, nos conducirían a formas
indeterminadas.

5. Algunas veces, después de derivar los nuevos numerador y denominador, ambos son
iguales a cero en como vemos en el ejemplo 2. En esos casos, aplicamos una forma más
“fuerte” de la regla de L’Hôpital.
La demostración de la forma fuerte de la regla de L’Hôpital se basa en el teorema del valor
medio de Cauchy, un teorema del valor medio que involucra dos funciones en lugar de una.
Primero probaremos el teorema de Cauchy y después veremos cómo se relaciona con la
regla de L’Hôpital.
DEMOSTRACIÓN DE LA FORMA FUERTE DE LA REGLA DE L’HÔPITAL
Primero establecemos la ecuación del límite para el caso El método casi no necesita
cambios para aplicarlo a y la combinación de estos dos casos establece el resultado.
Supongamos que x está a la derecha de a. Entonces y aplicamos el teorema del valor medio
de Cauchy al intervalo cerrado de a a x. Este paso produce un número c entre a y x tal que
que establece la regla de L’Hôpital para el caso donde x se aproxima a a por arriba. El caso
donde x se aproxima a a por abajo se obtiene al aplicar el teorema del valor medio de

6. Cauchy al intervalo cerrado [x, a], Casi todas las funciones que se encuentran en el mundo
real y en este libro satisfacen las condiciones de la regla de L’Hôpital. x 6 a.
USO DE LA REGLA DE L’HÔPITAL
Para encontrar
Mediante la regla de L’Hôpital, continúe derivando f y g tantas veces como sea necesario
mientras se siga obteniendo la forma en Pero, en el momento en que una u otra de estas
derivadas sea distinta de cero en , deje de derivar. La regla de L’Hôpital no se aplica
cuando el numerador o el denominador tienen un límite finito distinto de cero.
FORMAS INDETERMINADAS
Algunas veces cuando intentamos evaluar un límite cuando sustituyendo, obtenemos una
expresión ambigua.
Consideremos primero la forma En libros más avanzados se prueba la regla de L’Hôpital
aplicada a la forma indeterminada, así como a. Si y cuando entonces
Enfoquemos ahora nuestra atención en las formas indeterminadas y Algunas veces estas
formas se pueden manipular algebraicamente para convertirlas en una forma o Una vez
más, no queremos sugerir que o son un número. Son sólo notaciones para comportamientos
funcionales cuando consideramos límites. A continuación se dan ejemplos de cómo deben
trabajarse estas formas indeterminadas.