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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática III
Método de Lagrange
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Diciembre del 2019
MÉTODO DE LAGRANGE
Joseph Louis Lagrange
El método lagrangian (también conocido
como multiplicadores lagrangian) lo propuso Joseph
Louis Lagrange (1736-1813), un matemático de
nacionalidad italiana. Sus multiplicadores tienen
aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo
la física, la astronomía y la economía. Su interés
despertó al leer una obra del astrónomo E. Halley.
Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en
1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus
alumnos, que fue incorporada a la Academia de
Turín.
En su obra
Miscellanea taurinensia
obtuvo, entre otros
resultados, una ecuación
diferencial general del
movimiento y su adaptación
para el caso particular del
movimiento rectilíneo, y la
solución a muchos
problemas de dinámica
mediante el cálculo de variantes.
Realizó un trabajo sobre el equilibrio lunar
donde razonaba la causa de que la Luna siempre
mostrará la misma cara, lo cual le valió, en 1764, de
un premio por la Academia de Ciencias de París.
En 1795 se le concedió una cátedra en la
École Normale. Dos años más tarde, tras la creación
de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado
profesor, y quienes asistieron a sus clases las
describieron como «perfectas en forma y contenido».
Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial
forman la base de sus obras Teoría de las funciones
analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas
(1798). En 1810 inició una revisión de su teoría, pero
sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su
muerte.
I. ¿Qué es y para qué sirve el método de
los multiplicadores de Lagrange?
El método de los Multiplicadores de
Lagrange, es un procedimiento para encontrar los
máximos y mínimos de funciones de múltiples
variables sujetas a restricciones. Este método reduce
el problema restringido con n variables a uno sin
restricciones de n+k variables, donde k es igual al
número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden
ser resueltas más fácilmente. El método dice que los
puntos donde la función tiene un extremo,
condicionado con k restricciones, están entre los
puntos estacionarios de una nueva función sin
restricciones construida como una combinación
lineal de la función y las funciones implicadas en las
restricciones, cuyos coeficientes son los
multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la
regla de la cadena para funciones de varias variables.
Página 2 de 8
Se trata de extraer una función implícita de las
restricciones, y encontrar las condiciones para que
las derivadas parciales con respecto a las variables
independientes de la función sean iguales a cero.
II. Objetivos del método de Lagrange
1. Visualizar algunas superficies cuádricas y
curvas de nivel para distintos valores de la
variable z.
2. Identificar, a través de los simuladores, los
puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a
la función restricción donde la función
principal tiene extremos.
3. Interpretar gráficamente los resultados
obtenidos empleando el método de
multiplicadores de Lagrange.
4. Aproximar las soluciones del problema a
partir de la observación en el simulador, de
las curvas de nivel de la función principal y
la curva correspondiente a la función
condicionante.
5. Adquirir habilidad en la resolución de
problemas de optimización en un ambiente
computacional.
III. Características
1. El método de eliminación de variables no
resulta operativo cuando el problema tiene
muchas restricciones o las restricciones son
complejas, por lo que resulta muy útil éste
método.
2. Los Multiplicadores de Lagrange es un
método alternativo que además proporciona
más información sobre el problema.
3. Todos los óptimos que verifiquen las
condiciones de regularidad establecidas
tienen asociados los correspondientes
multiplicadores.
4. El teorema de Lagrange establece una
condición necesaria de optimalidad (bajo las
condiciones de regularidad).
IV. Campo de aplicación
Existen en todas las ramas de la ciencia, en la
Física, en la Matemática, en la Química, en la
Astronomía, en Biología, en Economía etc.
Situaciones en las que conociendo un conjunto de
datos experimentales en un cierto intervalo de la
variable independiente, esto es, conociendo una
cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso
encontrar una función que verifique todos esos datos
y permita, por consiguiente, predecir la existencia de
otros valores con la aproximación adecuada. El
método de la interpolación de Lagrange es de gran
importancia en el análisis numérico.
V. Significado económico
Los consumidores y negocios se esfuerzan
por maximizar su utilidad. En el lado del
consumidor, esto significa obtener el nivel más alto
de satisfacción de bienes y servicios.
Para los negocios, la utilidad máxima
significa maximizar el beneficio. Los consumidores
tienen ingresos limitados para comprar los bienes y
servicios que deseen y las empresas tienen sólo la
tierra, trabajo y capital limitado para crear sus
productos. Estos recursos limitados, presentan
restricciones. El reto, entonces, es la forma de lograr
la satisfacción o beneficio máximo en sus
restricciones dadas. Otro reto para las empresas es el
de minimizar los costos de producción.
VI. Función
El método de Lagrange aplica cálculo
diferencial, implicando el cálculo de derivadas
parciales, hasta temas de optimización restringida. El
propietario de un negocio, por ejemplo, puede
utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o
minimizar los costos dados que el negocio tiene sólo
una cierta cantidad de dinero que invertir.
Un consumidor hipotético, que, por ejemplo,
deriva la utilidad de coleccionar libros y CDs, podría
utilizar este método para determinar la forma de
obtener el número óptimo de libros y CDs, dado que
Página 3 de 8
sólo tiene $100 de ingresos disponibles para
gastar.
VII. Identificación
El multiplicador de Lagrange, representado
en la ecuación por la letra minúscula griega lambda
(λ), representa la tasa de cambio en la utilidad
relativa al cambio en la restricción de presupuesto.
En economía, esto se conoce como el valor o utilidad
marginal, el aumento en la utilidad ganada de un
aumento en la restricción de presupuesto.
VIII. Efectos
Basado en los resultados de un análisis de
Lagrange, una persona o empresa tiene una base
empírica para tomar decisiones sobre la
maximización de utilidad continuada en los cambios
de las restricciones externas. Un incremento del
precio en un artículo favorito. Por ejemplo, podría
llevar a que el consumidor compre una cantidad más
baja de ese artículo o trabajar más horas para
conseguir más ingresos y alcanzar el precio más alto.
IX. Ayudas que brinda
Para la Solución de
Problemas de
Optimización Dinámica:
La resolución de un
problema de interpolación
lleva a un problema de
álgebra lineal en el cual se
debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una
base monómica estándar para el polinomio
interpolador, se llega a la matriz de Vandermonde.
Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, se
llega a la forma más simple de matriz identidad = δi
que puede resolverse inmediatamente.
X. Método
1. Sea ( ) una función definida en un conjunto
abierto n-dimensional  .n
x Se definen s
restricciones ( ) 0,kg x  = 1, . . . , , y se
observa (si las restricciones son satisfechas) que:
1
( , )
s
k k
k
h x f g 

  
2. Se procede a buscar un extremo para h:
0
i
h
x



3. Lo que es equivalente a:
s
k
ki i
gf
x x



 

4. Para entender mejor
explicaremos el
procedimiento de la
siguiente manera:
a. Se tiene una función y
una restricción.
b. Se iguala la restricción
a 0.
c. La restricción se multiplica por lambda y se
resta de la función principal.
d. Se obtienen las derivadas parciales de la
función resultante.
e. Se construye un sistema de ecuaciones con
estas derivadas.
f. A continuación se obtienen los valores
críticos desarrollando el sistema de
ecuaciones, en donde siempre el valor debe
eliminarse para que se puedan obtener los
valores críticos de las variables.
g. Se sustituyen los valores necesarios para
sacar los puntos críticos.
El método de multiplicadores de Lagrange
Suponga que ( , , )f x y z y ( , , )g x y z son derivables y
que 0g  cuando ( , , ) 0.g x y z  Para determinar
los valores máximos y mínimos locales de sujeta a
la restricción ( , , ) 0.g x y z  (si ésta existe), se
obtienen los valores de x, y, z y que satisfacen en
forma simultánea las ecuaciones
f g   y ( , , ) 0.g x y z  …. (1)
Para funciones de dos variables independientes, la
condición es similar, pero sin la variable z.
Página 4 de 8
Ejemplo 01.- Una caja rectangular sin tapa se hace
con 12 2
de cartón. Calcule el volumen máximo de
esta caja.
Buscamos maximizar = con restricción
( , , ) = 2 + 2 + = 12.
Ahora aplicamos los multiplicadores de Lagrange:
= , ( , , ) = 12.
Entonces:
=
=
=
2 + 2 + = 12
Las cuales se transforman a la hora de igualar y
aplicar el método en:
= (2 + )
= (2 + )
= (2 + 2 )
2 + 2 + = 12
Una forma conveniente de resolver el sistema
anterior es dejar del lado izquierdo . Por lo tanto,
la primera la multiplicamos por , la segunda por ,
y la tercera por ; quedaría de la siguiente manera:
= (2 + )
= (2 + )
= (2 + 2 )
Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo
tanto:
2 + = 2 +
2 + = 2 + 2
De la segunda ecuación sabemos que: = 2 .
Entonces: = 2 .
Si se hace = = 2 , sustituimos en la ecuación:
2 + 2 + = 12.
Nos quedaría de la siguiente manera: 4 2
+ 4 2
+ 4 2
=12.
Por lo tanto = 1, e = 2 y = 2.
Ejemplo 02. ¿Cuál es el área máxima que puede
tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4
Solución:
Represente un rectángulo con lados x e y, base y
altura respectivamente.
La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma
un triángulo rectángulo.
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.
Área de un rectángulo: = .
Condición a cumplir: 22
4 yx  ,
de una manera más fácil:
22
16 yx 
Al tener identificadas la función y la condición, se
determinan los gradientes.
   xyAyAxA ,, 
   yxgygxg 2,2, 
Así las ecuaciones de Lagrange son:
 xy 2 …. (1)
)2( yx  …. (2)
422
 yx …. (3)
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la
ecuación (2) por y,
 2
2xxy  …. (4)
)2( 2
yyx  …. (5)
Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
   22
22 yx   al simplificar queda:
22
yx  ; queda: xy  .
Luego una variable se expresa en función de la otra
y se sustituye en la ecuación (3).
Si =
 22
16 xx 
2
216 x
8x
Como estamos midiendo distancias, x solo puede
tomar valores no negativos, así que se tiene un único
punto que es para x= 8 , la altura y también vale.
x
Página 5 de 8
Asi pues las dimensiones del rectángulo
corresponden con un cuadrado de lado 8 . Su área
será: A= 8 ∙ 8 =8
Ejemplo 03.- ¿Cuáles son los valores máximos y
mínimos que puede tener una la función
  22
2, yxyxf  , sobre el círculo 122
 yx
Solución:
Se pide calcular los valores extremos de la función
  22
2, yxyxf  sujeta a la restricción
  1, 22
 yxyxg
Calculamos los gradientes:
 yxf 4,2
 yxg 2,2
Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:
xx 22  ……(1)
yy 24  …… (2)
122
 yx ……(3)
Partiendo de la ecuación (1) se tiene:
xx 22 
022  xx 
  012  x
0x y 1 , entonces se verifican estos dos
valores en las otras ecuaciones.
Si x=0 en la ecuación (4) se obtiene: 1y
Luego si 1 , en la ecuación (2) se tiene y=0, y
luego en la ec nº3, 1x
Como consecuencia,  yxf , tal vez tiene valores
extremos en los puntos:
 (0,1)
 (0,-1)
 (1,0)
 (-1,0)
Al evaluar a  yxf , en esos cuatro puntos se
encuentra que:
o
 
 
 
1)0,1(
10,1
21,0
21,0




f
f
f
f
Por consiguiente, hay dos valores máximos en los
puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los
puntos: (1,0) y (-1,0).
Ejemplo 04.- Determine los valores máximos y
mínimos de la función ( , ) 3 4f x y x y  sobre la
circunferencia 2 2
1.x y 
Solución
Modelamos esto como un problema de
multiplicadores de Lagrange con
( , ) 3 4 ,f x y x y  2 2
(x, y) 1g x y  
y buscamos los valores de x, y y que satisfacen las
ecuaciones
: 3 4 2 2f g i j x i y j       
2 2
( , ) 0 : 1 0.g x y x y   
La ecuación gradientes en las ecuaciones (1) implica
que 0  y resulta
3 2
, .
2
x y y
 
 
Estas ecuaciones nos dicen, entre otras cosas, que x
y y tienen el mismo signo. Con estos valores para x
y y, la ecuación ( , ) 0g x y  da.
2 2
3 2
1 0,
2 
   
     
   
de manera que
2 2
9 4
1,
4 
  2
9 16 4 ,  2
25 4 y
5
2
  
Por lo tanto,
3 3 2 4
, ,
2 5 5
x y
 
     
y ( , ) 3 4f x y x y  tiene valores extremos en
3 4
(x, y) , .
5 5
 
  
 
vemos que sus valores máximos y mínimos sobre la
circunferencia 2 2
1x y  son
3 4 25
3 4 5
5 5 5
   
     
   
y
3 4 25
3 4 5
5 5 5
   
         
   
Página 6 de 8
La función ( , ) 3 4f x y x y  asume su valor
máximo sobre la circunferencia unitaria
2 2
(x, y) 1 0g x y    en el punto
3 4
, ,
5 5
 
 
 
y su
valor mínimo en el punto
3 4
, .
5 5
 
  
 
En cada uno de estos puntos, f es un múltiplo
escalar de .g La figura muestra los gradientes en el
primer punto, pero no en el segundo.
XI. Multiplicadores de Lagrange con dos
restricciones
Muchos problemas nos exigen encontrar los valores
extremos de una función derivable ( , , )f x y z cuyas
variables están sujetas a dos restricciones. Si las
restricciones son
1 2( , , ) 0 ( , , ) 0g x y z y g x y z  y 1g y 2g son
derivables, y 1g no es paralelo a 2g , obtenemos
los mínimos y máximos locales con una restricción
de introduciendo dos multiplicadores de Lagrange
 y  . Es decir, localizamos los puntos (x, y,z)P
donde asume sus valores extremos con una
restricción, obteniendo los valores de x, y, z, y
que satisfacen simultáneamente las ecuaciones
1 2 ,f g g      1 (x, y,z) 0,g  2 (x, y,z) 0.g 
… (2)
Los vectores 1g y 2g están en un plano
perpendicular a la curva C porque 1g es normal a la
superficie 1 0,g  y 2g es normal a la superficie
2 0.g 
Las ecuaciones (2) tienen una agradable
interpretación geométrica. La superficies 1 0g  y
2 0g  (por lo general) se cortan en una curva suave,
digamos C figura. Buscamos a lo largo de esta curva
los puntos donde tiene valores máximos y mínimos
locales en relación con sus otros valores sobre la
curva. Éstos son los puntos donde el f es normal a
C. Pero 1g y 2g son normales a C en estos puntos
porque C se encuentra en las superficies 1 0g  y
2 0.g  Por lo tanto f está en el plano determinado
por 1g y 2g , lo cual significa que
1 2f g g      para algunas y . Como los
puntos que buscamos también están en ambas
superficies, sus coordenadas deben satisfacer las
ecuaciones 1 (x, y,z) 0,g  2 (x, y,z) 0,g  las cuales
son los requisitos restantes de las ecuaciones (2).
Ejemplo 05.- El plano 1x y z   corta al cilindro
corta al cilindro 2 2
1x y  en una elipse (ver
figura). Encuentre los puntos sobre la elipse que se
encuentran más cercanos y más lejanos del origen.
Solución
Obtenemos los valores extremos de
2 2 2
( , , )f x y z x y z  
[El cuadrado de la distancia de (x, y, z) al origen]
sujeta a las restricciones
2 2
1
2
( , , ) 1 0........(3)
( , , ) 1 0......(4)
g x y z x y
g x y z x y z
    

    
Página 7 de 8
En la elipse donde el plano y el cilindro se
encuentran, encontramos los puntos más cercanos y
más lejanos al origen
La ecuación de gradientes de las ecuaciones (2) nos
da entonces
1 2f g g     
2 2 2 (2 2 ) ( )xi yj zk xi yj i j k       
2 2 2 (2 ) (2 )xi yj zk x i y j k          
o bien,
2 2
2 2 .......(5)
2
x x
y y
z
 
 

 

 
 
Las ecuaciones escalares de la ecuación (5) generan
2 2 2 (1 ) x z,
......(6)
2 y 2 y 2z (1 ) y z.
x x z 
 
    

    
Las ecuaciones (6) se satisfacen simultáneamente si
1  y 0,z  o 1  y .
1
z
x y

 

Si 0,z  al resolver las ecuaciones (3) y (4) en forma
simultánea para obtener los puntos correspondientes
sobre la elipse, obtenemos los dos puntos (1, 0, 0) y
(0, 1, 0). Esto tiene sentido cuando observamos la
figura.
Si = , entonces las ecuaciones (3) y (4) nos dan
2 2
1 0x x  
2
2 1x 
2
2
x  
1 0x x z   
1 2z x 
1 2.z  
Los puntos correspondientes sobre la elipse son
1
2 2
, ,1 2
2 2
P
 
   
 
y
2
2 2
, , 1 2 .
2 2
P
 
     
 
Sin embargo, debemos tener cuidado. Si bien 1P y 2P
dan máximos locales de sobre la elipse, 2P está más
alejado del origen que 1.P
Los puntos sobre la elipse más cercanos al origen son
(1, 0, 0) y (0, 1, 0). El punto sobre la elipse más lejano
del origen es 2 .P
Ejemplo 6.- Hallar el punto del paraboloide
2 2
( 2) 0,25( 3) 5z x y     más próximo al plano
+ + = 0.
SOLUCIÓN
En un problema de extremos con restricciones hay
que individualizar tres cosas:
La función a maximizar o minimizar;
Las incógnitas; y
Las restricciones.
En este problema, sabemos que hay un punto sobre
el paraboloide y uno sobre el plano tales que la
distancia entre ellos es menor que entre cualquier
otro par de puntos sobre esas superficies.
Determinando cuáles son esos puntos, podremos
hallar la distancia mínima. Por tanto tenemos:
Función a minimizar: distancia entre dos puntos.
Incógnitas: las coordenadas de ambos puntos.
Restricciones: los puntos deben pertenecer a las
superficies dadas.
Traduciendo esto a lenguaje matemático podemos
escribir lo siguiente:
Página 8 de 8
Llamaremos (x; y; z) al punto que está sobre el
paraboloide y (s; t; u) al perteneciente al plano. La
función a minimizar es la función distancia entre
ambos, pero esto es equivalente a minimizar la
distancia al cuadrado, dado que la raíz cuadrada es
una función creciente. La distancia al cuadrado entre
ambos puntos es:
f(x; y; z; s; t; u) = (x - s)2
+ (y - t)2
+ (z - u)2
Con lo cual tenemos en claro la función y sus seis
incógnitas.
Las condiciones de restricción serán la pertenencia al
paraboloide y al plano respectivamente. Recordemos
que una condición de restricción siempre se escribe
como una función igualada a una constante. Podemos
escribir, entonces:
g1(x; y; z; s; t; u) = z - (x - 2)2
– 0,25(y - 3)2
= 5
g2(x; y; z; s; t; u) = s + t + u = 0.
Nótese que ambas restricciones tienen las mismas
variables que la función a minimizar, a pesar de que
algunas de ellas no aparecen en las respectivas leyes.
Para hacer una analogía con casos de una variable, la
función f(x) = 5 no deja de ser una función de x, por
más que la variable no aparezca en la ley.
Si ahora aplicamos multiplicadores de Lagrange a
nuestro caso tendremos:
f = 1g1 + 2g2
Derivando variable por variable tendremos:
(6)
(5)
(4)
(3)
)2(
)1(
)(2
)(2
)(2
)(2
)2(5,0)(2
)2(2)(2
2
2
2
1
1
1






















uz
ty
sx
uz
yty
xsx
Usamos este sistema de ecuaciones, juntamente con
las restricciones, para despejar las incógnitas. De esta
manera, combinando (3), (6) y (4) es:
1 = - 2 = 2(x - s)
Introduciendo este valor de 1 en (1), sale que:
1 = -2(x - 2)  x = 1,5
Combinando de manera similar (3), (6), (5) y (2)
podemos despejar:
y = 0
Y, finalmente, introduciendo esto en la ecuación del
paraboloide, tenemos:
z = 7,5
El punto buscado es, pues:
(x; y; z) = (1,5; 0; 7,5)
Estrictamente, ya hemos resuelto el ejercicio: hemos
encontrado el punto del paraboloide dado más
próximo al plano dado. Queda para el lector despejar,
del mismo sistema de ecuaciones, el punto del plano
más cercano al paraboloide, esto es, hallar los valores
de s, t y u, así como la distancia entre ambos puntos.
Bibliografías:
- Brewichs Días H. 10669731 Cálculo Vectorial
(Sec. 07)
Referencias:
http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/ceciliahd/c
vvi/Multiplicadores_de_Lagrange.pdf
https://www.migueltarazonagiraldo.com/
https://www.academia.edu/29471599/E_EJERCICI
OS_RESUELTOS_CRITERIO_DERIVADA_MA
XIMOS_MINIMOS_ABSOLUTOS_EXTREMOS_
RESTRINGIDOS_MULTIPLICADORES_LAGRA
NGE?auto=download

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Multiplicadores de lagrange

  • 1. Página 1 de 8 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Matemática III Método de Lagrange Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com http://migueltarazonagiraldo.com/ Diciembre del 2019 MÉTODO DE LAGRANGE Joseph Louis Lagrange El método lagrangian (también conocido como multiplicadores lagrangian) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un matemático de nacionalidad italiana. Sus multiplicadores tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo la física, la astronomía y la economía. Su interés despertó al leer una obra del astrónomo E. Halley. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín. En su obra Miscellanea taurinensia obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Realizó un trabajo sobre el equilibrio lunar donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrará la misma cara, lo cual le valió, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. En 1795 se le concedió una cátedra en la École Normale. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte. I. ¿Qué es y para qué sirve el método de los multiplicadores de Lagrange? El método de los Multiplicadores de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n+k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo, condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables.
  • 2. Página 2 de 8 Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero. II. Objetivos del método de Lagrange 1. Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z. 2. Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos. 3. Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange. 4. Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante. 5. Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional. III. Características 1. El método de eliminación de variables no resulta operativo cuando el problema tiene muchas restricciones o las restricciones son complejas, por lo que resulta muy útil éste método. 2. Los Multiplicadores de Lagrange es un método alternativo que además proporciona más información sobre el problema. 3. Todos los óptimos que verifiquen las condiciones de regularidad establecidas tienen asociados los correspondientes multiplicadores. 4. El teorema de Lagrange establece una condición necesaria de optimalidad (bajo las condiciones de regularidad). IV. Campo de aplicación Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, en Economía etc. Situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El método de la interpolación de Lagrange es de gran importancia en el análisis numérico. V. Significado económico Los consumidores y negocios se esfuerzan por maximizar su utilidad. En el lado del consumidor, esto significa obtener el nivel más alto de satisfacción de bienes y servicios. Para los negocios, la utilidad máxima significa maximizar el beneficio. Los consumidores tienen ingresos limitados para comprar los bienes y servicios que deseen y las empresas tienen sólo la tierra, trabajo y capital limitado para crear sus productos. Estos recursos limitados, presentan restricciones. El reto, entonces, es la forma de lograr la satisfacción o beneficio máximo en sus restricciones dadas. Otro reto para las empresas es el de minimizar los costos de producción. VI. Función El método de Lagrange aplica cálculo diferencial, implicando el cálculo de derivadas parciales, hasta temas de optimización restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los costos dados que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de dinero que invertir. Un consumidor hipotético, que, por ejemplo, deriva la utilidad de coleccionar libros y CDs, podría utilizar este método para determinar la forma de obtener el número óptimo de libros y CDs, dado que
  • 3. Página 3 de 8 sólo tiene $100 de ingresos disponibles para gastar. VII. Identificación El multiplicador de Lagrange, representado en la ecuación por la letra minúscula griega lambda (λ), representa la tasa de cambio en la utilidad relativa al cambio en la restricción de presupuesto. En economía, esto se conoce como el valor o utilidad marginal, el aumento en la utilidad ganada de un aumento en la restricción de presupuesto. VIII. Efectos Basado en los resultados de un análisis de Lagrange, una persona o empresa tiene una base empírica para tomar decisiones sobre la maximización de utilidad continuada en los cambios de las restricciones externas. Un incremento del precio en un artículo favorito. Por ejemplo, podría llevar a que el consumidor compre una cantidad más baja de ese artículo o trabajar más horas para conseguir más ingresos y alcanzar el precio más alto. IX. Ayudas que brinda Para la Solución de Problemas de Optimización Dinámica: La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para el polinomio interpolador, se llega a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, se llega a la forma más simple de matriz identidad = δi que puede resolverse inmediatamente. X. Método 1. Sea ( ) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional  .n x Se definen s restricciones ( ) 0,kg x  = 1, . . . , , y se observa (si las restricciones son satisfechas) que: 1 ( , ) s k k k h x f g      2. Se procede a buscar un extremo para h: 0 i h x    3. Lo que es equivalente a: s k ki i gf x x       4. Para entender mejor explicaremos el procedimiento de la siguiente manera: a. Se tiene una función y una restricción. b. Se iguala la restricción a 0. c. La restricción se multiplica por lambda y se resta de la función principal. d. Se obtienen las derivadas parciales de la función resultante. e. Se construye un sistema de ecuaciones con estas derivadas. f. A continuación se obtienen los valores críticos desarrollando el sistema de ecuaciones, en donde siempre el valor debe eliminarse para que se puedan obtener los valores críticos de las variables. g. Se sustituyen los valores necesarios para sacar los puntos críticos. El método de multiplicadores de Lagrange Suponga que ( , , )f x y z y ( , , )g x y z son derivables y que 0g  cuando ( , , ) 0.g x y z  Para determinar los valores máximos y mínimos locales de sujeta a la restricción ( , , ) 0.g x y z  (si ésta existe), se obtienen los valores de x, y, z y que satisfacen en forma simultánea las ecuaciones f g   y ( , , ) 0.g x y z  …. (1) Para funciones de dos variables independientes, la condición es similar, pero sin la variable z.
  • 4. Página 4 de 8 Ejemplo 01.- Una caja rectangular sin tapa se hace con 12 2 de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja. Buscamos maximizar = con restricción ( , , ) = 2 + 2 + = 12. Ahora aplicamos los multiplicadores de Lagrange: = , ( , , ) = 12. Entonces: = = = 2 + 2 + = 12 Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en: = (2 + ) = (2 + ) = (2 + 2 ) 2 + 2 + = 12 Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo . Por lo tanto, la primera la multiplicamos por , la segunda por , y la tercera por ; quedaría de la siguiente manera: = (2 + ) = (2 + ) = (2 + 2 ) Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto: 2 + = 2 + 2 + = 2 + 2 De la segunda ecuación sabemos que: = 2 . Entonces: = 2 . Si se hace = = 2 , sustituimos en la ecuación: 2 + 2 + = 12. Nos quedaría de la siguiente manera: 4 2 + 4 2 + 4 2 =12. Por lo tanto = 1, e = 2 y = 2. Ejemplo 02. ¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4 Solución: Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente. La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triángulo rectángulo. Función a optimizar: maximizar en este caso: Área. Área de un rectángulo: = . Condición a cumplir: 22 4 yx  , de una manera más fácil: 22 16 yx  Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.    xyAyAxA ,,     yxgygxg 2,2,  Así las ecuaciones de Lagrange son:  xy 2 …. (1) )2( yx  …. (2) 422  yx …. (3) Al resolver el sistema, una de las formas puede ser: Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,  2 2xxy  …. (4) )2( 2 yyx  …. (5) Se igualan las ecuaciones (4) y (5)    22 22 yx   al simplificar queda: 22 yx  ; queda: xy  . Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3). Si =  22 16 xx  2 216 x 8x Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos, así que se tiene un único punto que es para x= 8 , la altura y también vale. x
  • 5. Página 5 de 8 Asi pues las dimensiones del rectángulo corresponden con un cuadrado de lado 8 . Su área será: A= 8 ∙ 8 =8 Ejemplo 03.- ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función   22 2, yxyxf  , sobre el círculo 122  yx Solución: Se pide calcular los valores extremos de la función   22 2, yxyxf  sujeta a la restricción   1, 22  yxyxg Calculamos los gradientes:  yxf 4,2  yxg 2,2 Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse: xx 22  ……(1) yy 24  …… (2) 122  yx ……(3) Partiendo de la ecuación (1) se tiene: xx 22  022  xx    012  x 0x y 1 , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones. Si x=0 en la ecuación (4) se obtiene: 1y Luego si 1 , en la ecuación (2) se tiene y=0, y luego en la ec nº3, 1x Como consecuencia,  yxf , tal vez tiene valores extremos en los puntos:  (0,1)  (0,-1)  (1,0)  (-1,0) Al evaluar a  yxf , en esos cuatro puntos se encuentra que: o       1)0,1( 10,1 21,0 21,0     f f f f Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0). Ejemplo 04.- Determine los valores máximos y mínimos de la función ( , ) 3 4f x y x y  sobre la circunferencia 2 2 1.x y  Solución Modelamos esto como un problema de multiplicadores de Lagrange con ( , ) 3 4 ,f x y x y  2 2 (x, y) 1g x y   y buscamos los valores de x, y y que satisfacen las ecuaciones : 3 4 2 2f g i j x i y j        2 2 ( , ) 0 : 1 0.g x y x y    La ecuación gradientes en las ecuaciones (1) implica que 0  y resulta 3 2 , . 2 x y y     Estas ecuaciones nos dicen, entre otras cosas, que x y y tienen el mismo signo. Con estos valores para x y y, la ecuación ( , ) 0g x y  da. 2 2 3 2 1 0, 2                de manera que 2 2 9 4 1, 4    2 9 16 4 ,  2 25 4 y 5 2    Por lo tanto, 3 3 2 4 , , 2 5 5 x y         y ( , ) 3 4f x y x y  tiene valores extremos en 3 4 (x, y) , . 5 5        vemos que sus valores máximos y mínimos sobre la circunferencia 2 2 1x y  son 3 4 25 3 4 5 5 5 5               y 3 4 25 3 4 5 5 5 5                  
  • 6. Página 6 de 8 La función ( , ) 3 4f x y x y  asume su valor máximo sobre la circunferencia unitaria 2 2 (x, y) 1 0g x y    en el punto 3 4 , , 5 5       y su valor mínimo en el punto 3 4 , . 5 5        En cada uno de estos puntos, f es un múltiplo escalar de .g La figura muestra los gradientes en el primer punto, pero no en el segundo. XI. Multiplicadores de Lagrange con dos restricciones Muchos problemas nos exigen encontrar los valores extremos de una función derivable ( , , )f x y z cuyas variables están sujetas a dos restricciones. Si las restricciones son 1 2( , , ) 0 ( , , ) 0g x y z y g x y z  y 1g y 2g son derivables, y 1g no es paralelo a 2g , obtenemos los mínimos y máximos locales con una restricción de introduciendo dos multiplicadores de Lagrange  y  . Es decir, localizamos los puntos (x, y,z)P donde asume sus valores extremos con una restricción, obteniendo los valores de x, y, z, y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 1 2 ,f g g      1 (x, y,z) 0,g  2 (x, y,z) 0.g  … (2) Los vectores 1g y 2g están en un plano perpendicular a la curva C porque 1g es normal a la superficie 1 0,g  y 2g es normal a la superficie 2 0.g  Las ecuaciones (2) tienen una agradable interpretación geométrica. La superficies 1 0g  y 2 0g  (por lo general) se cortan en una curva suave, digamos C figura. Buscamos a lo largo de esta curva los puntos donde tiene valores máximos y mínimos locales en relación con sus otros valores sobre la curva. Éstos son los puntos donde el f es normal a C. Pero 1g y 2g son normales a C en estos puntos porque C se encuentra en las superficies 1 0g  y 2 0.g  Por lo tanto f está en el plano determinado por 1g y 2g , lo cual significa que 1 2f g g      para algunas y . Como los puntos que buscamos también están en ambas superficies, sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones 1 (x, y,z) 0,g  2 (x, y,z) 0,g  las cuales son los requisitos restantes de las ecuaciones (2). Ejemplo 05.- El plano 1x y z   corta al cilindro corta al cilindro 2 2 1x y  en una elipse (ver figura). Encuentre los puntos sobre la elipse que se encuentran más cercanos y más lejanos del origen. Solución Obtenemos los valores extremos de 2 2 2 ( , , )f x y z x y z   [El cuadrado de la distancia de (x, y, z) al origen] sujeta a las restricciones 2 2 1 2 ( , , ) 1 0........(3) ( , , ) 1 0......(4) g x y z x y g x y z x y z           
  • 7. Página 7 de 8 En la elipse donde el plano y el cilindro se encuentran, encontramos los puntos más cercanos y más lejanos al origen La ecuación de gradientes de las ecuaciones (2) nos da entonces 1 2f g g      2 2 2 (2 2 ) ( )xi yj zk xi yj i j k        2 2 2 (2 ) (2 )xi yj zk x i y j k           o bien, 2 2 2 2 .......(5) 2 x x y y z             Las ecuaciones escalares de la ecuación (5) generan 2 2 2 (1 ) x z, ......(6) 2 y 2 y 2z (1 ) y z. x x z               Las ecuaciones (6) se satisfacen simultáneamente si 1  y 0,z  o 1  y . 1 z x y     Si 0,z  al resolver las ecuaciones (3) y (4) en forma simultánea para obtener los puntos correspondientes sobre la elipse, obtenemos los dos puntos (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Esto tiene sentido cuando observamos la figura. Si = , entonces las ecuaciones (3) y (4) nos dan 2 2 1 0x x   2 2 1x  2 2 x   1 0x x z    1 2z x  1 2.z   Los puntos correspondientes sobre la elipse son 1 2 2 , ,1 2 2 2 P         y 2 2 2 , , 1 2 . 2 2 P           Sin embargo, debemos tener cuidado. Si bien 1P y 2P dan máximos locales de sobre la elipse, 2P está más alejado del origen que 1.P Los puntos sobre la elipse más cercanos al origen son (1, 0, 0) y (0, 1, 0). El punto sobre la elipse más lejano del origen es 2 .P Ejemplo 6.- Hallar el punto del paraboloide 2 2 ( 2) 0,25( 3) 5z x y     más próximo al plano + + = 0. SOLUCIÓN En un problema de extremos con restricciones hay que individualizar tres cosas: La función a maximizar o minimizar; Las incógnitas; y Las restricciones. En este problema, sabemos que hay un punto sobre el paraboloide y uno sobre el plano tales que la distancia entre ellos es menor que entre cualquier otro par de puntos sobre esas superficies. Determinando cuáles son esos puntos, podremos hallar la distancia mínima. Por tanto tenemos: Función a minimizar: distancia entre dos puntos. Incógnitas: las coordenadas de ambos puntos. Restricciones: los puntos deben pertenecer a las superficies dadas. Traduciendo esto a lenguaje matemático podemos escribir lo siguiente:
  • 8. Página 8 de 8 Llamaremos (x; y; z) al punto que está sobre el paraboloide y (s; t; u) al perteneciente al plano. La función a minimizar es la función distancia entre ambos, pero esto es equivalente a minimizar la distancia al cuadrado, dado que la raíz cuadrada es una función creciente. La distancia al cuadrado entre ambos puntos es: f(x; y; z; s; t; u) = (x - s)2 + (y - t)2 + (z - u)2 Con lo cual tenemos en claro la función y sus seis incógnitas. Las condiciones de restricción serán la pertenencia al paraboloide y al plano respectivamente. Recordemos que una condición de restricción siempre se escribe como una función igualada a una constante. Podemos escribir, entonces: g1(x; y; z; s; t; u) = z - (x - 2)2 – 0,25(y - 3)2 = 5 g2(x; y; z; s; t; u) = s + t + u = 0. Nótese que ambas restricciones tienen las mismas variables que la función a minimizar, a pesar de que algunas de ellas no aparecen en las respectivas leyes. Para hacer una analogía con casos de una variable, la función f(x) = 5 no deja de ser una función de x, por más que la variable no aparezca en la ley. Si ahora aplicamos multiplicadores de Lagrange a nuestro caso tendremos: f = 1g1 + 2g2 Derivando variable por variable tendremos: (6) (5) (4) (3) )2( )1( )(2 )(2 )(2 )(2 )2(5,0)(2 )2(2)(2 2 2 2 1 1 1                       uz ty sx uz yty xsx Usamos este sistema de ecuaciones, juntamente con las restricciones, para despejar las incógnitas. De esta manera, combinando (3), (6) y (4) es: 1 = - 2 = 2(x - s) Introduciendo este valor de 1 en (1), sale que: 1 = -2(x - 2)  x = 1,5 Combinando de manera similar (3), (6), (5) y (2) podemos despejar: y = 0 Y, finalmente, introduciendo esto en la ecuación del paraboloide, tenemos: z = 7,5 El punto buscado es, pues: (x; y; z) = (1,5; 0; 7,5) Estrictamente, ya hemos resuelto el ejercicio: hemos encontrado el punto del paraboloide dado más próximo al plano dado. Queda para el lector despejar, del mismo sistema de ecuaciones, el punto del plano más cercano al paraboloide, esto es, hallar los valores de s, t y u, así como la distancia entre ambos puntos. Bibliografías: - Brewichs Días H. 10669731 Cálculo Vectorial (Sec. 07) Referencias: http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/ceciliahd/c vvi/Multiplicadores_de_Lagrange.pdf https://www.migueltarazonagiraldo.com/ https://www.academia.edu/29471599/E_EJERCICI OS_RESUELTOS_CRITERIO_DERIVADA_MA XIMOS_MINIMOS_ABSOLUTOS_EXTREMOS_ RESTRINGIDOS_MULTIPLICADORES_LAGRA NGE?auto=download