Este documento describe el método de Lagrange y el método de Kuhn-Tucker para la optimización de funciones sujetas a restricciones. Explica cómo los multiplicadores de Lagrange permiten formular ecuaciones para encontrar extremos de funciones con restricciones. Luego, describe cómo el método de Kuhn-Tucker generaliza este enfoque para permitir restricciones de desigualdad mediante la introducción de variables adicionales. Finalmente, define la matriz jacobiana como la matriz de derivadas parciales de primer orden de una función vectorial.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
“EXTENSIÓN PORLAMAR”
ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMA Y DE
FUNCIONES.
Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez
Porlamar, Noviembre2014
Autor:
Carlos E Pérez. !8112733

2. MÉTODO DE LAGRANGE
Método creado por Joseph Louis Lagrange un matemático, físico y
astrónomo Italiano. Lagrange demostró el teorema del valor
medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante
contribución en astronomía.
Los Multiplicadores de Lagrange, son un método para
trabajar con funciones de varias variables que se interesa
maximizar o minimizar, y está sujeta a cierta restricciones.

3. MÉTODO DE LAGRANGE
Así las ecuaciones de Lagrange son:
Ejemplo 1:
¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4?
Solución:
Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.
La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.
Área de un rectángulo: A = x.y
:Condición a cumplir:
De una manera más fácil:
4 y
2 2 4  x  y
2 2 16  x  y
Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.
A  Ax, Ay  y, x
g  gx, gy  2x,2y
Así las ecuaciones de Lagrange son

4. MÉTODO DE LAGRANGE
…(3)
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,
2 2 4 x  y 
 2  xy   2x
(2 ) 2 yx   y
 2   2   2x   2y 2 2 y x x y 
2  2  16  x  x
2 16  2x
x   8
8
8 8 8
…. (4)
….. (5)
Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
Al simplificar queda: ; Queda:
Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3).
•Si y = x
Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos,
así que se tiene un único punto que es para x=
, la altura y también vale. Así se concluye que las dimensiones del rectángulo
corresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A=
*
* =8

5. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Albert William Tucker (1905 – 1955), fue un matemático
Estadounidense nacido en Canadá que realizó importantes
contribuciones a la Topologías, Teorías de juegos y a la
Programación no Lineal.
En programación matemática, las condiciones de
Karush-Kuhn-Tucker
son condiciones necesarias y suficientes para que la
solución de un problema de programación
matemática sea optima.
Es una generalización del método de los
Multiplicadores de Lagrange.

6. • Problema General de Optimización
Consideremos el siguiente problema general:
min f(x)
Sujeto a
Gi(x)≤0, i = 1,…,m
Hj(x)= 0, j= 1,…,l
Donde f(x) es la función objetivo a minimizar, Gi(x) son las
restricciones de desigualdad y Hi(x) son la restricciones de
igualdad, con m y l el numero de restricciones de desigualdad e
igualdad, respectivamente.
MÉTODO DE KUHN TUCKER

7. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Considere el problema de optimización
Sujeto a:

8. MÉTODO DE KUHN TUCKER
El método de solución procede de la siguiente manera.
Cambiemos cada restricción de desigualdad gi ≤0a una
restricción de igualdad
introduciendo una variable si de la siguiente manera:
gi ≤0→gi +s2i = 0
De acuerdo a la técnica de los
multiplicadores de Lagrange se construye la
función:

9. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Los puntos que minimizan a f sujeta a
las restricciones gi ≤0(1≤i≤m) están
dentro de los puntos críticos de F:
• Que hacen cero las parciales con respecto a las variables xj(j= 1, . . .
, n):
• Que hacen cero las parciales con respecto a las variables λi(i= 1, . .
. , m):

10. Es una matriz de todos los derivados
parciales de primer orden de una función
vectorial o con valores escalares con
respectos a otro vector .
Esta matriz lleva su nombre gracias a Carl
Gustav Jacob Jacobi, fue un
matemático alemán, que hizo
contribuciones fundamentales a las
funciones elípticas, dinámica, ecuaciones
diferenciales, y la teoría de números.
Su nombre es a veces escrito como Carolus
Gustavus Iacobus Iacobi en sus libros latinos, y
su nombre se da a veces como Karl.
Jacobi fue el primer matemático judío para ser
nombrado profesor en una universidad
alemana.
MATRIZ JACOBIANA

11. (a)

12. EJEMPLO: Hallar la matriz Jacobiana en el punto a = (1,1) de la función f
siguiente: