Este documento presenta dos métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas: el método de Gauss y la regla de Cramer. El método de Gauss involucra reducir el sistema a una forma escalonada mediante operaciones de eliminación. La regla de Cramer usa determinantes para expresar las soluciones en términos de otros determinantes. El documento también aplica estos métodos a ejemplos numéricos y propone ejercicios relacionados con sistemas de ecuaciones y circuitos eléctricos.

1. PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
TEMA I
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS
1) MÉTODO DE GAUSS:
Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación
tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :x 1 ó -1, en
caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las
incógnitas.
2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª
ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación.
3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término
en .x
4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el
término en .y
5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6. Encontrar las soluciones.
Ejemplo:








1
2435
123
zyx
zyx
zyx
1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :x 1 ó -1, en
caso de que no fuera posible lo haremos con y o ,z cambiando el orden de las
incógnitas.








2435
123
1
zyx
zyx
zyx
2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª
ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
122 3E-E=E'

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24
3333
123






zy
zyx
zyx
3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en .x
133 5E-E=E'
392
5555
2435






zy
zyx
zyx
Quedándonos:








392
24
1
zy
zy
zyx
4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el
término en .y
233 2E'-E'='E'
1
482
392






z
zy
zy
5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.








1
24
1
z
zy
zyx
6. Encontrar las soluciones.
En la 3ª ecuación tenemos que: 1z

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Sustituyendo este valor en la 2ª ecuación:
6
6
42
24214




y
y
y
=--y= -·- y +
Y ahora, sustituyendo estos valores en la 1ª ecuación:
4
51
15116
x = -
-x
x=-x +



La solución viene dada por: ,1z 6y e .4x
OBSERVACIÓN: Comúnmente el método es llamado Gauss Simple.
2) RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE:
REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal
de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel
Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes
courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en
su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla
de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del
sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su
aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa:
computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en
aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es
necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices
pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Ahora, definamos un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

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O tomemos en cuenta que sea una matriz   .nnijaA 

Si ,1n definimos   .det 11aA 
Si ,2n definimos      .det1det
1
11
1



n
j
jj
j
AaA
Sabemos que un determinante se representa como:
dc
ba
Este se calcula de la siguiente manera: cbda 
Sea el sistema:





222
111
cbxa
cbxa
El valor de x e y están dados por:
22
11
22
11
ba
ba
bc
bc
x  e
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y 
Resolvamos el sistema:





1852
2234
yx
yx
Luego, de acuerdo con lo anterior tenemos que:
4
14
56
620
54110
52
34
518
322
22
11
22
11




ba
ba
bc
bc
x

5. PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA
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INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
2
14
28
620
4472
52
34
182
224
22
11
22
11




ba
ba
ca
ca
y
El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}
Y de manera general de la forma      .det1det
1



n
j
ijij
ji
AaA
Es decir, también podemos resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas usando generalizando la RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE.
La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:








lizhygx
kfzeydx
jczbyax
Luego, zyx ,, pueden ser encontradas como sigue:
,
ihg
fed
cba
ihl
fek
cbj
x 
ihg
fed
cba
ilg
fkd
cja
y  e
ihg
fed
cba
lhg
ked
jba
z 
Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones lineales:








42
22
123
zyx
zx
zyx

6. PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA
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Los valores de yx, e z serían los que nos den al resolver:
,
211
102
123
214
102
121

x
211
102
123
241
122
113


y e
211
102
123
411
202
123


z
Ejercicio: Realizar los cálculos anteriores.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resuelve los siguientes usando los métodos de Gauss Simple y la regla de Cramer :
a)








9432
164
135
zyx
zyx
zyx
b)








1334
423
622
zyx
zyx
zyx
c)








775,05,375,0
65,05,15,3
35,15,05,2
zyx
zyx
zyx
d) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6
kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,
sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón
cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
e) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste
americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30%
del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror
al representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
f) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se
dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de
los radios de las circunferencias.

7. PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA
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APLICACIONES EN FÍSICA: LEYES DE KIRCHOFF
LEY DE LOS NUDOS: La suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo
de una red es igual a 0.
  .021 ni IIII 
Adoptaremos el siguiente criterio de signos:
- Intensidades entrantes al nudo: Signo +
- Intensidades salientes del nudo: Signo –
OBSERVACIÓN: La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la
carga en coulombs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. Por
ejemplo: Dado el siguiente nudo de una red, halla la intensidad que circula por el cable .4I
LEY DE LAS MALLAS: La suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de una
malla es igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices y contraelectromotrices
que en ella se encuentran.
  iii RI .
EJERCICIO: Considere el circuito de la figura:
Verifique que aplicando la ley de Kirchhoff a la malla de la izquierda obtenemos:
2A
3A
1A
I4

8. PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA
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9 i1 – 3i2 = 42
Y para la malla derecha
-3 i1 + 7 i2 = 10
Y concluya que la solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A
EJERCICIO: Encontrar i1 e i2 en el circuito:
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S.
A de C. V. Noriega Editores. México.
 Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y
la programación lineal. Colección de Universitaria. (1).
https://www.createspace.com/5230822
 Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc.
Sexta Edición. México D. F
 Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera
reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.
 Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F
“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”
Siddhartha