El análisis numérico es la disciplina que estudia algoritmos numéricos para aproximar soluciones a problemas matemáticos. Incluye temas como números de máquina, cálculo de errores, y métodos para resolver ecuaciones. Los errores numéricos surgen de la aproximación requerida para que las computadoras resuelvan problemas y de redondeos en los cálculos. Minimizar los errores es importante para obtener resultados precisos.

2. El análisis numérico es una rama de la Matemática cuyo limite no es
del todo preciso. Se puede definir como la disciplina ocupada de
describir, analizar y crear algoritmos Numéricos que nos permiten
resolver problemas matemáticos. La computadora es muy útil para
calcular problemas matemáticos extremadamente complejos. Su
principal Importancia es tratar de diseñar métodos para “Aproximar”
de una manera eficiente las solución de un problema expresado
matemáticamente. Los mismos pueden ser aplicados para resolver
procedimientos matemáticos que se ocupan de aéreas como : Ing.
Eléctrica, Civil, Mecánica ,Industrial, entre otros…
Dentro del análisis numérico se encuentra los números de Maquinas
Decimales el cual podemos decir que es un sistema numérico que
consta de dos dígitos “ (0) y (1)” de base 2 ( Representación binaria),
este tipo de representación requiere de menos dígitos Diseñado para
las computadoras ya que ellas usan componentes de Apagado /
Encendido, o para una conexión eléctrica Abierta / Cerrada. Esto se
puede comprender de mejor manera con ejemplos.

3. Por ejemplo, si el exponente (n) es 2, entonces n = c – b,
2 = c – 127, c = 129.
En lugar de almacenar el exponente n = 2 = (00000010)2 se
almacena
c = 129 = (10000001)2.
Si el exponente fuera n = -5, entonces
n = c – b, - 5 = c – 127, c = 122
En lugar de almacenar n = - 5 = (- 00000101)2, se almacena
c = 122 = (01111010)2.

4. También Podemos encontrar los cálculos de Errores, los cuales
podemos Distinguir dos tipos que se utilizan en los Cálculos
Numéricos .
Esta El Error Absoluto que podemos conseguir gracias a la diferencia
entre valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser
negativo o positivo, según sea la medida superior o inferior al valor
real. El error relativo es la División entre el error Absoluto y el Valor
Exacto, y si se multiplica por 100 también podemos obtener el
porcentaje de error, este también puede ser positivo o negativo porque
puede ser por exceso o por defecto. Para estos cálculos tenemos que
tener en cuenta ciertas reglas, las cuales son:
1. Una medida debe repetirse tres o cuatro veces para poder
neutralizar el error accidental.
2. Se tomara el valor real la media aritmética simple de los
resultados.
3. El error absoluto relativo de cada medida será la diferencia entre
cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto.
4. El error relativo de cada medida sera el error absoluto de la misma
dividido por el valor tomado como exacto.

5. Ejemplo:
Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:
a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente
3,59 m.
b) 60 m como la distancia entre dos postes que están
situados a 59,91 m.
a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m
E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %
b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m
E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %

6. Haciendo un poco mas de énfasis dentro de lo que son los errores,
encontramos su fuente, esto nos dice que existen dos causas
principales esta el error de Redondeo que se asocia con el numero
limitado de dígitos con que se representa los números en una PC y el
error de Trucamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en
formulas matemáticas siendo la serie de Tylor el medio mas fiabley
mas explicito, los errores de truncamiento aparecen al aproximar un
proceso infinito por uno finito. En cualquier caso,la relacion entre el
resultado exacto y el aproximado esta dada por:
Valor verdadero – Valor estimado + Error, Donde observamos que el
Error esta dado por : Ev= Valor verdadero – Valor aproximado.
Teniendo en cuanta que el método por redondeo tiene un menor
margen de error , en comparación con el truncamiento. Volviendo al
tema del método por Redondeo se puede decir que cada numero ya
sea esta Real, se remplaza , por el numero de maquina mas cercano, el
Procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) y despues truncar para
que de un numero de la siguiente forma : fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

7. El error de truncamiento a diferencia de el error por redondeo no
depende directamente del sistema de numero que se emplee.
También tenemos los errores de Suma y Resta. Decimes que estos
errores en la computadora. Como cada suma introduce un error,
proporcional al épsilon de la máquina, queremos ver como
estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que
presentamos generaliza al problema del cálculo de productos
interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones
aritméticas en registros especiales que más bits que los
números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman
bits de protección y permiten que los números existan temporalmente
con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la
exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales
o la división de un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos
y absolutos poco relevantes.

8. Y por ultimo están los cálculos Estables e Inestables y los
condicionamientos Diciendo que es un proceso numérico es inestable
cuando los pequeños errores que se producen en algunas de sus
etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la
exactitud del calculo en su conjunto, digamos que del 0.01%, produce
un cambio relativamente grande en la salida, como del 1% o mas. Una
formula puede ser inestable sin importar con que precisión se realicen
los cálculos , con respecto al condicionamiento quiere decir cuando
ocurren pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes
cambios en la respuesta .