Este documento introduce conceptos básicos sobre cálculo numérico y manejo de errores. Explica que los métodos numéricos permiten resolver de forma aproximada ecuaciones complejas mediante operaciones aritméticas. También describe los diferentes tipos de errores como absolutos, relativos y sistemáticos versus aleatorios, así como fuentes comunes de errores como redondeo, truncamiento y condicionamiento.

1. INTRODUCCIÓN
AL CÁLCULO
NUMÉRICO Y
MANEJO DE
ERRORES
José Gómez
C.I. 21.141.494

2. Conceptos en los que se basan los Métodos Numéricos
Son metodologías que utilizan técnicas algebraicas y aritméticas que se
realizan a partir de un problema planteado para resolver de forma
aproximada ecuaciones o sistemas de ecuaciones complejas, que analíticamente
resultan muy difíciles de resolver, las cuales es posible formular problemas con
operaciones aritméticas. En si es una herramienta matemática que ahora gracias a
lo avanzado de la programación (calculadoras), ayudan a resolver problemas de
iteración y matemáticos.
Importancia de los métodos numéricos
El estudio de los métodos numéricos es muy útil y por ende importante para
quien quiera que necesite herramientas para resolver operaciones, las cuales se
saben que pueden resultar complicadas, y por más que se dominen los métodos
tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo esto no
quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí donde los
métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera. Los
métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos
matemáticos en: Cálculos de derivadas, Integrales, entre otros.
Números de Maquinas Decimales
Son aquellos números que la definición viene dada de la siguiente forma:
±0, d₁ d₂ d₃ … dk x 10ⁿ, 1£ d₁£ 9 , 1£ dk £ 9
Para cada i : 2, 3, 4 … ,k
Error Absoluto y Relativo
Error Absoluto
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto.
Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o
inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de
la medida.

3. Formula:
Ea= /Ve - Va/
Ea= Error Absoluto.
Ve= Valor Exacto.
Va= Valor aproximado.
Error Relativo
Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se
multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error
absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque
puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades
Formula:
Er = Error Relativo
Va = Valor Absoluto
Ve= valor Exacto
Cota de Error
Una cota es un valor que delimita una cantidad aproximada, esta es el error
máximo que se puede cometer al realizar una medida o tomar una aproximación,
indican la presión de la media.
Se llama cota de error absoluto ε de un número aproximado a un numero tal
que εa ‹ ε
La cota del error relativo ε ÷ (Valor aproximado – ε)
Fuentes Básicas de los errores
El error de medición se define como la diferencia entre el valor medido y el
valor verdadero. Afectan a cualquier instrumento de medición y pueden deberse a
distintas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar

4. mediante calibraciones y compensaciones, se denominan determinísticos
o sistemáticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. Los que no se
pueden prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se
denominan aleatorios y están relacionados con la precisión del instrumento.
Error aleatorio
No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su excesiva
complejidad o por su pequeña influencia en el resultado final.
Para conocer este tipo de errores primero debemos realizar un muestreo de
medidas. Con los datos de las sucesivas medidas podemos calcular su media y
la desviación típica muestral. Con estos parámetros se puede obtener
la Distribución normal característica, N[μ, s], y la podemos acotar para un nivel de
confianza dado.
Las medidas entran dentro de la campana con unos "no" márgenes
determinados para un nivel de confianza que suele establecerse entre el 95% y el
98%.
Error sistemático
Permanecen constantes en valor absoluto y en el signo al medir, una magnitud
en las mismas condiciones, y se conocen las leyes que lo causan.
Para determinar el error sistemático de la medición se deben de realizar una
serie de medidas sobre una magnitud Xo, se debe de calcular la media aritmética
de estas medidas y después hallar la diferencia entre la media y la magnitud X0.
Error sistemático = | media - X0 |
Redondeo y Truncamiento
Podemos aproximar un número decimal por otro que tenga menor número de
cifras decimales. Esto podemos hacerlo de dos formas distintas:
 Mediante truncamiento. Dejamos el número de decimales deseado,
quitando los demás.

5.  Mediante redondeo. La cifra que redondeamos aumenta en uno si la
primera cifra suprimida es mayor o igual que 5. En otro caso no varía
Errores de una suma y de una resta
Suele ser posible estimar o medir el error aleatorio asociado a una medición
particular, como la longitud de un objeto o la temperatura de una solución. La
incertidumbre puede basarse en una estimación de la capacidad que se tiene para
efectuar lecturas con un instrumento, o en la experiencia adquirida con un método
particular. Cuando es posible, la incertidumbre se expresa habitualmente como la
desviación estándar de una serie de mediciones repetida. La que sigue sólo se
aplica a los errores aleatorios; se supone que cualquier error sistemático fue
detectado escogido antes.
En la mayoría de los experimentos es necesario efectuar operaciones
aritméticas con diversos números, cada uno de los cuales tiene un error aleatorio
asociado. La incertidumbre más probable en el resultado no es simplemente la
suma de los errores individuales, debido a que algunos de ellos son
probablemente positivos, y otros, negativos. Puede esperarse que estos errores se
cancelen en cierto grado.
Cálculos Estables e Inestables
Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la certidumbre de
los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse
con base en los errores relativos es decir investigar la inestabilidad o mal
condicionamiento lo cual es relativamente pequeño en la entrada.
Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para
indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños

6. cambios relativos en los datos de entrada. Ejemplo: un numero condicionado
puede definirse como la razón de los errores relativos