El documento trata sobre el análisis numérico y los métodos numéricos. Explica que el análisis numérico permite resolver problemas matemáticos usando algoritmos y números. Describe los diferentes tipos de errores como el error de truncamiento y redondeo, y cómo calcular el error absoluto y relativo. Además, introduce conceptos como el número de máquina, interpolación y ajuste de curvas.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
Análisis Numéricos
Calculo Numérico y Manejo
de Errores
Autor: Luis Serrano
Docente: Domingo Méndez
Asignatura : Análisis Numérico

2. Análisis Numérico
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son
del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la
disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que
nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén
involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el
andamiaje necesario para llevar a cabo todos los procedimientos
matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación
o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

3. Métodos Numéricos e Importancia
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible
formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse
usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar
métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de
problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis
numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos
utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver
procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales
Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste
de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como:
Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería
Mecánica, Ingeniería eléctrica, entre otros.

4. Número De Máquina Decimales
Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2.
El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la
más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar
de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad
lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o
para una conexión eléctrica abierta/cerrada.
Su representación viene dada de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k

5. Errores Absolutos y Relativos
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor
tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es
superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene
unidades, las mismas que las de la medida.
Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor
exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error.
Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea
el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene
unidades.

6. Ejemplo
Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos:
3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s
Valor que se considera exacto:
Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas Errores Absolutos Errores relativos
3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)
3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)
3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%)
3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)

7. Cota De Errores Absolutos y Relativos
1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real
Ejemplo
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes
aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles de €.
b) 45 miles de asistentes a una manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
a) |Error absoluto| < 500 €
error relativo<500/275000=0,0018
b) |Error absoluto| < 500 personas
error relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| < 50 coches
error relativo<50/400=0,125

8. Fuentes Básica de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error
de truncamiento y error de redondeo.
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema
numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su
longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el
número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en
un intervalo local están representados por un solo número en el sistema
numérico de punto flotante.
Cualquier número real positivo Y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar
para que resulte un número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

9. El Error de Truncamiento: se debe a las aproximaciones utilizadas en la
fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más
importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los
errores de truncamiento.
Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
Y = 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto
flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la
mantisa de y en k cifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la
terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . .
. para obtener.
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

10. Errores de una Suma y una Resta
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales.
Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números
existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar
situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar
cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un
número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias
valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.