El Análisis numérico se ocupa de describir, analizar y crear algoritmos para resolver problemas matemáticos que involucran cantidades numéricas. Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones en los cálculos y pueden dividirse en errores de truncamiento debido a aproximaciones en procedimientos matemáticos y errores de redondeo por la representación finita de los números. La estabilidad numérica depende de si pequeños cambios en los datos de entrada pueden causar grandes cambios en los resultados.

2. El Análisis numérico se puede definir como la disciplina
que puede describir, analizar y crear algoritmos
numéricos que nos permitan resolver problemas
matemáticos, en donde estén cantidades numéricas.
Cálculo numérico, un algoritmo es el procedimiento que
nos puede llevar a una solución aproximada de un
problema mediante un número de pasos finitos que
pueden ejecutarse de manera lógica.

3. Definición de Número Máquina "Es un sistema numérico que
consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término
"representación binaria" significa que es de base 2, la más
pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos
dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más. Esto
se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las
computadoras digitales usa componentes de apagado/prendido, o
para una conexión eléctrica abierta/cerrada.

4. "Son aquellos números cuya representación viene dada de
la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk
£9
Para cada i=2, 3, 4,..., k";

5. Tales situaciones de error se denominan errores numéricos y esta
se encarga un poco de su estudio y sus efectos en los cálculos
numéricos En otras palabras, no hemos tenido en cuenta que al
realizar estos procedimientos de forma numérica en una
computadora se generan situaciones de error.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden
caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se
refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado
con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo
suficientemente exactos para que cumplan los requisitos de un
problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso
de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades
matemáticas.

6. El error absoluto es la diferencia entre el valor exacto y
su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto
menos el valor calculado; debido a que la ecuación se dio en
términos del valor absoluto

7. Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el
error absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación
de p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos errores.
Cuanto más pequeñas sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una
función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación
f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, " x Î
[a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces:
Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la
solución exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de
la derivada. Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz
aproximada Pn se estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es
decir si el número |f(Pn)| es pequeño, se considera entonces Pn una
buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no
se considera como una buena aproximación de la solución exacta P.

8. Existen dos causas principales de errores en los cálculos
numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El
Error de Redondeo se asocia con el número limitado de
dígitos con que se representan los números en una PC. El
Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones
utilizadas en la fórmula matemática del modelo. Otro caso
donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar
un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando
los términos de una serie).

9. Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de
los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en
dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que
resultan de representar aproximadamente un procedimiento
matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de
representar aproximadamente números exactos. En cualquier
caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está
dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde
se observa que el error numérico está dado por:Ev = valor
verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto
del error.

10. El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del
sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez
se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se
reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa
que todos los números en un intervalo local están representados
por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
Y= 0,d1 d2 d3..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y Y después
truncar para que resulte un número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este
método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl ; esto
es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos
después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

11. Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto
flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la
mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a
cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos
dk+1, dk+2, . . . para obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número
infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos.
Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o
truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error de
truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende
directamente del sistema numérico que se emplee.

12. Aquí estudiamos el problema de sumar y restar muchos
números en la computadora, en la práctica muchas
computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de
máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de
protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar
situaciones en las que la exactitud se puede ver
comprometida al restar cantidades casi iguales o la división
de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo
cual trae como consecuencias valores de errores relativos
y absolutos poco relevantes.

13. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada aumentan
considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico
es inestable cuando los pequeños errores que se producen en
alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y
degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería
decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la
inestabilidad o mal condicionamiento, lo cual significa que un
cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%,
produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del
1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué
precisión se realicen los cálculos.

14. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de
condición: "Un número condicionado puede definirse como la
razón de los errores relativos". Un problema está mal
condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a
grandes cambios en las respuestas.
Si el número de condición es grande significa que se tiene un
problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para
cada caso se establece un número de condición, es decir para la
evaluación de una función se asocia un número condicionado, para
la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro
tipo de número de condición; el número condicionado proporciona
una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.