1. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
-1-
I. CONCEPTOS BÁSICOS
ÁNGULO: .........................................................
..........................................................................
..........................................................................
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS :
- Denota los siguientes ángulos y sus
respectivas medidas:
I __________ ; ______________ = _____
II. __________ ; ______________ = _____
III. __________ ; ______________ = _____
IV. __________ ; ______________ = _____
II. ¿QUÉ ES UNA BISECTRIZ?
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
Sea el ∢AOB :
 ¿Cómo, biseca?
Osea: ..............................................................
........................................................................
........................................................................
O
A
M
B
º
º
Si :

OM es bisectriz del ∢AOB.
Se cumple :
m∢AOM = m∢MOB = º
¡Recordemos!
“Qué todo ángulo en la geometría
plana es positivo y menor ó igual
a una vuelta”.
0º < ºGEOMETRICO < 360º
Donde:
* “P” : Pertenece a la
región .
* “R” : Pertenece a la
región exterior del
ángulo
¿Y cómo se denota?
 NOTACIÓN :
m∢AOB :
……………………
¿Y su medida?
¿En que unidad se expresa?
∢AOB : ……………………
En la unidad de:
………………………………
……………….
O
A
B
M
N
O
45º
60º
I II
O
P
Q
70º
150º
R S
III IV T
A
B
R
P
º
O
ÁNGULOS I

2. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
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III. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
a) Según sus medidas :
Ángulo Agudo:
Ángulo Obtuso:
Ángulo Recto :
Ángulo Llano :
Ángulo de una vuelta:
* Veamos algunos ejemplos:
1. Angulo. Agudos:
 10º, 30º, 60º, 80º, 89º, etc.
2. Angulo. Obtusos :
 100º, 150º, 118º, 179º, 91º, etc * De los siguientes gráficos indique si el ∢ es agudo, recto, obtuso o llano.
o 20º ↠ ........................................
o 36º ↠ ........................................
o 72º ↠ ........................................
o 100º ↠ ........................................
o 18º ↠ ........................................
o 90º ↠ ........................................
o 170º ↠ ........................................
o 115º ↠ ........................................
o 360º ↠ ........................................
o 180º ↠ ........................................
o 162º ↠ ........................................
o 180º ↠ ........................................
o 162º ↠ ........................................
o 90,5º ↠ ........................................
o 89,5º ↠ ........................................
o 0º ↠ ........................................
º
0º  º  90º
º
90º  º  180º
º

 = 180º
¿Profe y porque algunos ángulos son mayores que otros y algunos tienen lados comunes?
45º
40º
20º
120º
60º
54º
36º
40º
40º
140º
140º

 = 360º
º= 180º

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Práctica dirigida Nº 01
Utilizando el transportador, mide los siguientes ángulos.
o
o
o
o
o
1. De los siguientes gráficos. Indique el tipo de ángulos:
a) ∢ ……………… b) ∢ ………………
c) ∢ ……………… d) ∢ ………………… e) ∢ …………………………..
2. Indique de que tipo de ángulo se trata según su medida.
a) 16º ↠ ........................................
b) 25º ↠ ........................................
c) 145º ↠ ........................................
d) 90º ↠ ........................................
e) 180º ↠ ........................................
Usando el transportador medir los siguientes ángulos.
3.
4.
5.
6.
7.
60º
145º
20º
º
º
º = ……………..
º
º = ……………..

º = ……………..
º
º = ……………..
º
º = ……………..
º
º = ……………..
º
º = ……………..
mº
mº = ……………..
º
º
º = ……………..
º = ……………..
º
º
º- º = …………………… …..

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8. Compruebe, aproximadamente, con su
transportador los siguientes ángulos.
a) º = 25º
b) º = 100º
c) º = 90º
d) º = 160º
e) º = 150º
9. Indicar verdadero o falso :
a) El ∢ agudo mide 90º ( )
b) el ∢ obtuso mide 180º ( )
c) 91º, es un ángulo agudo ( )
d) 180º, es un ángulo llano ( )
e) El ángulo obtuso puede ser 135º ( )
10. Calcular “x”
Si : OM es bisectriz del ángulo AOB
Sol.-
11. Si :

OM es bisectriz :
Calcular “x”:
Sol.-
12. Calcular “x” ; (Si

OB ; es bisectriz ∢
AOC)
Sol.-
O
20º
B
M
A
O
x+12
B
M
A
Rpta : 12º
B
C O
A
x
Rpta : 45º

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Práctica dirigida Nº 02
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS I. Ángulos Complementarios:
II. Ángulos Suplementarios:
III. Ángulos Opuestos por el Vértice
IV. Ángulos de Lados Paralelos
1. Del gráfico, calcular”x”.
2. Del gráfico calcular “”
3. Calcular : CCC(23º)
a) 67º
b) 66
c) 65
d) 57
e) 77
4. Calcular : SSSSS(142º)
a) 142º
b) 38
c) 36
d) 40
e) 48
5. Calcular E = SSSCCCº
Si : º = CCCSSS140º
a) 40º
b) 50
c) 90
d) 140
e) 150
6. Calcular “” ; si : CCC=20º
a) 70º
b) 20
c) 10
d) 35
e) 80
º
º
 º + º = 180º
 Suplemento de xº : S(xº)
 S(xº) = 180º - xº
xº
yº
º
º
 º = º
 xº = yº
2xº
xº
xº
xº
x = …………… ………
x = …………… ………
º
º
º
x = ……………… ……
x = ……………… ……
2 º
3 º
º
º
 º + º = 90º
 Complemento de xº : C(x)
 C(xº) = 90º - xº
yº
xº
º
º
º = º
xº = yº
ÁNGULOS II

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-6-
Tarea Nº 01
7. Calcular “” ; si : SSSSS = 135
a) 35º
b) 45
c) 55
d) 75
e) 135
8. Calcular “x”
a) 2º
b) 4
c) 10
d) 5
e) 15
9. Calcular “x”
a) 15º
b) 30
c) 45
d) 5
e) 60
10. Calcular “x” ; 




 
AB FD y AE CD
a) 10º
b) 15
c) 25
d) 65
e) 115
11. Calcular “x” ; 


AB CD y ED BC
a) 75º
b) 105
c) 135
d) 100
e) 125
12. Calcular “x”
a) 15º
b) 30
c) 45
d) 60
e) 40
13. Calcular “x”
a) 18º
b) 36
c) 30
d) 40
e) 60
14. Calcular “”
a) 9º
b) 41
c) 49
d) 50
e) 45
15. Calcular “”
a) 18º
b) 54
c) 36
d) 72
e) 108
1. Calcular “x”
a) 155º
b) 125º
c) 135º
d) 140º
e) 175º
2. Calcular “x”
a) 68º
b) 78º
c) 58º
d) 48º
e) 34º
3. Calcular :
CCC69º
CCCCC 27º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
30º+x
2x+25º
xº+40
3x-20º
xº
2xº xº
60º
º
49º
36º
º
A
E
B
65º
xº
F
C
D
B
A
C
D
E
xº
75º
130º
xº
º
º
46º
º
º
xº
2x- xº+ º
2xº

7. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
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-7-
4. Calcular :
CCCC20º
SSSS140º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
5. Calcular SSSCCCº
Si : CSS40º = º
a) 120º b) 130º c) 140º
d) 150º e) 160º
6. Calcular : SSSSSCCCCC
Si : SSSCC120º = 
a) 120º b) 130º c) 140º
d) 150º e) 160º
7. Del gráfico, calcular “”. Si: OM es bisectriz
del ∢AOB.
a) 10º
b) 20
c) 30
d) 15
e) 5
8. Calcular “x”; si : OP es bisectriz del ∢AOB.
a) 35º
b) 40
c) 75
d) 105
e) 125
9. Calcular el menor de dos ángulos
complementarios sabiendo que el mayor es el
doble del menor.
a) 30º b) 15º c) 45º
d) 35º e) 60º
10. Del gráfico, calcular “x”
a) 140
b) 120
c) 160
d) 170
e) 100
11. Hallar “x” e “y”.
a. 60º y 20º
b. 30º y 5º
c. 60º y 10º
d. 30º y 20º
e. 30º y 10º
12. Hallar : “” y “”
a) 5º y 30º
b) 20º y 15º
c) 20º y 30º
d) 10º y 15º
e) 5º y 15º
13. Calcular “x” ; m∢AOD = 102º
a) 27º
b) 36º
c) 34º
d) 50º
e) 64º
14. Hallar : “” ; x – y = 10º
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
20º
º
O B
M
A
A
P
B C
xº
40º
35º
o
xº
30º- 2
3y
4y
2y
2º 60º
A
B
O D
x-
x
C
x+
x
y


8. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
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ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS
PARALELAS Y UNA SECANTE
a) Ángulos Alternos :
(dº ; fº) ; (cº ; eº) ; (aº ; gº) ; (bº ; hº)
b) Ángulos Conjugados :
(dº ; eº) ; (cº ; fº) ; (aº ; hº) ; (bº ; gº)
c) Ángulos Correspondientes :
(aº ; eº) ; (bº ; fº) ; (dº ; hº) ; (cº ; gº)
a) Ángulos Alternos
b) Ángulos Conjugados
c) Ángulos Correspondientes
PROPIEDADES
a) Si : 1 2 L L
b) Si : L1 L2
aº
dº cº
bº
eº
hº gº
fº
L1
L2
Si : L1 L2
Internos Externos
Internos Externos
¡Tigrillo! En Áng.
Alternos recuerda la
“z” del zorro”.
º = º
º
º
L1
L2
¡Tigre! En Ángulos
Conjugados recuerda
la “c” de conjugados
º + º = 180º
º
º
L1
L2
¡Calichin!
Y en estos
ángulos recuerda
la “f” de fácil
º = º
º
º
L1
L2
L1
L2
xº
º
yº
zº
º
º
 xº + yº + zº = º + º + º
+
 xº = º + º
º
º
L1
L2
xº
ÁNGULOS III

9. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
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Práctica dirigida Nº 04
1. Calcular “x” ; si : L1 L2
a) 70º
b) 45
c) 30
d) 40
e) 50
2.-Calcular “x” ; si : L1 L2
a) 105º
b) 115
c) 125
d) 75
e) 45
3.-Calcular “x” , si : L1 L2
a) 70º
b) 80
c) 45
d) 55
e) 100
4.-Calcular “x” ; L1 L2
a) 110º
b) 100
c) 70
d) 120
e) 80
5.-Calcular “x” ; L1 L2
a) 15º
b) 30
c) 45
d) 36
e) 60
6.-Calcular“x” , L1 L2
a) 12º
b) 14
c) 15
d) 18
e) 20
7.-Calcular”x” ; L1 L2 L3
a) 110º
b) 100
c) 80
d) 130
e) 120
8.-Calcular “x” L1 L2 L3
a) 120º
b) 100
c) 80
d) 70
e) 110
9.-Calcular “x” ; L1 L2
a) 30º
b) 60
c) 90
d) 120
e) 100
10.-Calcular “x”; L1 L2
a) 30º
b) 60
c) 90
d) 100
e) 120
40º
L1
L2
xº
30º
xº
45º
L1
L2
60º
xº
55º L1
L2
45º
30º
L1
L2
xº
40º
L2
30º
2xº
30º
xº
40º
10º
L1
L1
L2
x
20
2x
40
2x 10
L1
L3
L2
100º
30º xº
L1
L3
L2
70º
10º xº
L1
L3
º
º
xº
º
º
º
xº
º
º
º

10. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria
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-10-
Tarea Nº 04
1. Calcular ”x” ; si : L1 L2
a) 100º
b) 120
c) 70
d) 80
e) 110
2.-Calcular “x” ; si ; L1 L2
a) 70º
b) 60
c) 40
d) 30
e) 110
3.-Calcular “x” ; si : L1 L2 L3
a) 60º
b) 30
c) 90
d) 45
e) 120
4.-Calcular “x” ; si : L1 L2
a) 110º
b) 70
c) 140
d) 150
e) 170
5.-Calcular “x” ; si L1 L2
a) 90º
b) 45
c) 180
d) 75
e) 30
6.-Calcular “x” , Si : L1 L2 L3
a) 108º
b) 72
c) 36
d) 54
e) 144
7.-Calcular “x” ; si : L1 L2 L3
a) 45º
b) 50
c) 90
d) 36
e) 30
8.-Calcular “x”; L1 L2
a) 50º
b) 20
c) 80
d) 30
e) 40
9.-Calcular “x” L1 L2
a) 25º
b) 35
c) 55
d) 45
e) 20
10.-Calcular “x”; L1 L2
a) 50º
b) 45
c) 60
d) 120
e) 100
30 - º
40 +º
L1
L2
xº
L1
L3
L2
º
xº
2º
L1
L2
70º
xº
30º
xº
45º L1
L2
45º
40 - º
60 +º
L1
L2
xº
L1
L3
L2
2
xº
3
L3
º
3º
xº
L2
L1
30º
xº
L1
L2
80º
xº+º
50
º
xº-º
L1 L2
L1
L2
150º
xº
80º