Introducción:Los objetivos de Desarrollo Sostenible
Trigo nivel iv
1. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 161
A
o
1. Elementos de un ángulo trigonométrico:
B
A
o
O A
: lado inicial
OB
: lado final
«O» : vértice
: medida angular
2. Sistema Sexagesimal:
Es aquel sistema que tiene como unidad al grado sexagesimal, el
cual se define como la 360ava parte del ángulo de una vuelta.
Es decir:
m 1 vuelta
1
360
En consecuencia : m 1vuelta = 360°
Las subunidades son el minuto sexagesimal (1’) y el segundo
sexagesimal (1’’).
Entonces: 1° = 60’
1’ = 60’’ => 1° = 3600’’
REGLA DE CONVERSIÓN
x60 x60
: 60 : 60
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 3600
x 3600
2. Co
a)
3. Co
a)
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo, que gira
alrededor de un punto (vértice) desde una posición inicial O A
hasta una posición final OB
.
B
A
o
1. Elementos de un ángulo trigonométrico:
B
A
o
O A
: lado inicial
OB
: lado final
«O» : vértice
: medida angular
2. Sistema Sexagesimal:
Es aquel sistema que tiene como unidad al grado sexagesimal, el
cual se define como la 360ava parte del ángulo de una vuelta.
Es decir:
m 1 vuelta
1
360
En consecuencia : m 1vuelta = 360°
Las subunidades son el minuto sexagesimal (1’) y el segundo
sexagesimal (1’’).
Entonces: 1° = 60’
1’ = 60’’ => 1° = 3600’’
REGLA DE CONVERSIÓN
x60 x60
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 3600
1. Convertir a segundos
a) 20’ b) 35’ c) 10’
2. Convertir a minutos
a) 1° 20’ b) 3° 45’ c) 12°10’
3. Convertir a grados:
a) 4800’ b) 720’ c) 900’
01 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
TRIGONOMETRÍA
1. Efectúe:
K= 50º6’+10º55’
Resolución:
Ordenando grado con grado y minuto con minuto se obtiene:
K= 60º61’
Pero:
= + = +
61' 60 ' 1' 1º 1'
Luego sumando 60º+1’ se obtiene:
K= 61º1’
Rpta.: 61º1’
2. Calcular:
5º30'
M=
10'
Resolución:
Se sabe que: 5º30’ <> 5º+30’
Además: 60'
M= 5º 300 '
1º
⋅ =
Luego: +
=
300' 30' 330'
M=
10' 10'
Como numerador y denominador tienen la misma unidad,
entonces se cancelan las unidades:
33 0'
M=
10'
= =
33
33
1
Rpta.: 33
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo, que gira
alrededor de un punto (vértice) desde una posición inicial O A
hasta una posición final OB
.
B
A
o
1. Elementos de un ángulo trigonométrico:
B
A
o
O A
: lado inicial
OB
: lado final
«O» : vértice
: medida angular
2. Sistema Sexagesimal:
Es aquel sistema que tiene como unidad al grado sexagesimal, el
cual se define como la 360ava parte del ángulo de una vuelta.
Es decir:
En consecuencia :
Las subunidades son el minuto sexagesimal (1’) y el segundo
sexagesimal (1’’).
Entonces: 1° = 60’
1’ = 60’’ => 1° = 3600’’
REGLA DE CONVERSIÓN
x60 x60
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 3600
1. Convertir a segundos
a) 20’ b) 35’ c) 10’
2. Convertir a minutos
a) 1° 20’ b) 3° 45’ c) 12°10’
3. Convertir a grados:
a) 4800’ b) 720’ c) 900’
01 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
TRIGONOMETRÍA
m 1 vuelta
1
360
m 1vuelta = 360°
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
01
ESCANEAME
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
01
2. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
162
4. Calcular el valor del ángulo «x».
5. Simplificar:
5 20'
E
16'
9. Calcular el valor del ángulo
b
a
a = 55º 24’
b = 62º 36’
a) 120° b) 119° c) 118°
d) 111° e) 108°
10. Simplificar:
6 40'
T
25'
a) 20 b) 18 c) 16
d) 25 e) 22
5. Simplificar:
5 20'
E
16'
1. Convertir a minutos: 5°
a) 300’ b) 250’ c) 240’
d) 350’ e) 200’
2. Convertir a grados: 1800’
a) 24° b) 30° c) 35°
d) 28° e) 36°
3. Convertir a minutos: 5° 24’
a) 330’ b) 334’ c) 324’
d) 254’ e) 290’
4. Calcular: 72° 32’ + 25° 28’
a) 99° b) 98° c) 78°
d) 94° e) 96°
5. Calcular: 90° - 25° 32’
a) 64° 34’ b) 64° 30’ c) 64° 28’
d) 64° 24’ e) 64° 43’
6. Calcular: 137° 32’ - 96° 25’
a) 41° 17’ b) 41° 27’ c) 41° 37’
d) 41° 07’ e) 40° 39’
7. Si a + b = 32 Calcular a° b’ + b° a’
a) 33° 32’ b) 32° 30’ c) 32°32’
d) 33° 31’ e) 33° 47’
8. En el triángulo. Calcular «x»
x
a) 57° 30’ b) 47° 30’ c) 67°30’
d) 27° 30’ e) 45° 30’
a)
d)
10. Si
a)
d)
1. Si
a)
d)
2. C
a)
d)
3. C
a)
d)
4. C
a)
d)
5. C
a)
d)
5. Simplificar:
5 20'
E
16'
1. Convertir a minutos: 5°
a) 300’ b) 250’ c) 240’
d) 350’ e) 200’
2. Convertir a grados: 1800’
a) 24° b) 30° c) 35°
d) 28° e) 36°
3. Convertir a minutos: 5° 24’
a) 330’ b) 334’ c) 324’
d) 254’ e) 290’
4. Calcular: 72° 32’ + 25° 28’
a) 99° b) 98° c) 78°
d) 94° e) 96°
5. Calcular: 90° - 25° 32’
a) 64° 34’ b) 64° 30’ c) 64° 28’
d) 64° 24’ e) 64° 43’
6. Calcular: 137° 32’ - 96° 25’
a) 41° 17’ b) 41° 27’ c) 41° 37’
d) 41° 07’ e) 40° 39’
7. Si a + b = 32 Calcular a° b’ + b° a’
a) 33° 32’ b) 32° 30’ c) 32°32’
d) 33° 31’ e) 33° 47’
8. En el triángulo. Calcular «x»
x
a) 57° 30’ b) 47° 30’ c) 67°30’
d) 27° 30’ e) 45° 30’
a)
d)
10. Si
a)
d)
1. Si
a)
d)
2. C
a)
d)
3. C
a)
d)
4. C
a)
d)
5. C
a)
d)
4. Calcular el valor del ángulo «x».
5. Simplificar:
5 20'
E
16'
9. Calcular el valor del ángulo
b
a
a = 55º 24’
b = 62º 36’
a) 120° b) 119° c) 118°
d) 111° e) 108°
10. Simplificar:
6 40'
T
25'
a) 20 b) 18 c) 16
d) 25 e) 22
4. Calcular el valor del ángulo «x».
5. Simplificar:
5 20'
E
16'
1. Convertir a minutos: 5°
a) 300’ b) 250’ c) 240’
9. Calcular el valor del ángulo
b
a
a = 55º 24’
b = 62º 36’
a) 120° b) 119° c) 118°
d) 111° e) 108°
10. Simplificar:
6 40'
T
25'
a) 20 b) 18 c) 16
d) 25 e) 22
1. Simplificar:
2 30'
P
15'
a) 8 b) 10 c) 9
d) 12 e) 15
2. Calcular: x° y’ + y°x’ Si: x+y= 63
a) 65° b) 64°30’ c) 64°03’
que gira
al O A
esimal, el
vuelta.
segundo
1. Convertir a segundos
a) 20’ b) 35’ c) 10’
2. Convertir a minutos
a) 1° 20’ b) 3° 45’ c) 12°10’
3. Convertir a grados:
a) 4800’ b) 720’ c) 900’
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
que gira
l O A
simal, el
uelta.
egundo
1. Convertir a segundos
a) 20’ b) 35’ c) 10’
2. Convertir a minutos
a) 1° 20’ b) 3° 45’ c) 12°10’
3. Convertir a grados:
a) 4800’ b) 720’ c) 900’
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
3. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 163
1. Convertir a minutos: 5°
a) 300’ b) 250’ c) 240’
d) 350’ e) 200’
2. Convertir a grados: 1800’
a) 24° b) 30° c) 35°
d) 28° e) 36°
3. Convertir a minutos: 5° 24’
a) 330’ b) 334’ c) 324’
d) 254’ e) 290’
4. Calcular: 72° 32’ + 25° 28’
a) 99° b) 98° c) 78°
d) 94° e) 96°
5. Calcular: 90° - 25° 32’
a) 64° 34’ b) 64° 30’ c) 64° 28’
d) 64° 24’ e) 64° 43’
6. Calcular: 137° 32’ - 96° 25’
a) 41° 17’ b) 41° 27’ c) 41° 37’
d) 41° 07’ e) 40° 39’
7. Si a + b = 32 Calcular a° b’ + b° a’
a) 33° 32’ b) 32° 30’ c) 32°32’
d) 33° 31’ e) 33° 47’
8. En el triángulo. Calcular «x»
x
a) 57° 30’ b) 47° 30’ c) 67°30’
d) 27° 30’ e) 45° 30’
2. Calcular: x° y’ + y°x’ Si: x+y= 63
a) 65° b) 64°30’ c) 64°03’
d) 65°03’ e) 66° 04’
3. Calcular: 42° 27’ 42’’ + 25° 37’ 25’’ + 50° 16’ 20’’
a) 92° 21’ b)108° 31’26’’ c)118°21’27’’
d) 109° 21’ e)120°23’
4. Calcular «x». Si: = 29° 42’
x
a) 60° 18’ b) 52° 24’ c) 61° 36’
d) 55° 30’ e) 56° 40’
5. Calcular:
= 120° - 84° 32’
a) 26° 28’ b) 34° 28’ c) 40° 28’
d) 35° 28’ e) 45° 30’
a
a = 55º 24’
b = 62º 36’
a) 120° b) 119° c) 118°
d) 111° e) 108°
10. Simplificar:
6 40'
T
25'
a) 20 b) 18 c) 16
d) 25 e) 22
1. Simplificar:
2 30'
P
15'
a) 8 b) 10 c) 9
d) 12 e) 15
2. Calcular: x° y’ + y°x’ Si: x+y= 63
a) 65° b) 64°30’ c) 64°03’
d) 65°03’ e) 66° 04’
3. Calcular: 42° 27’ 42’’ + 25° 37’ 25’’ + 50° 16’ 20’’
a) 92° 21’ b)108° 31’26’’ c)118°21’27’’
d) 109° 21’ e)120°23’
4. Calcular «x». Si: = 29° 42’
x
a) 60° 18’ b) 52° 24’ c) 61° 36’
d) 55° 30’ e) 56° 40’
5. Calcular:
= 120° - 84° 32’
a) 26° 28’ b) 34° 28’ c) 40° 28’
d) 35° 28’ e) 45° 30’
4. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
164
B
r
r
o r
También podemos definir al radián como:
m 1 vuelta
1rad
2
m 1 vuelta = 2 rad
Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Conversión entre sistemas
Sabemos que:
m 1 vuelta < > 360° < > 2 rad
Entonces podemos establecer:
S R
360 2
S R
180
1. Convertir a radianes
a) 120° b) 240°
2. Convertir a sexagesimales
a)
rad
3
b)
r ad
18
3. Simplificar:
30
rad
3
4. Ca
5. Es
1. Co
72
a)
d)
2. Co
3
4
a)
d)
3. Co
a)
d)
4. Co
a)
d)
Sistema Radial o Circular:
Es aquel sistema cuya unidad es el RADIAN, el cual se define como:
«El ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco cuya
longitud es igual al radio».
A
B
r
r
o r
l AB = r
También podemos definir al radián como:
m 1 vuelta
1rad
2
m 1 vuelta = 2 rad
Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Conversión entre sistemas
Sabemos que:
m 1 vuelta < > 360° < > 2 rad
Entonces podemos establecer:
S R
360 2
S R
180
1. Convertir a radianes
a) 120° b) 240°
2. Convertir a sexagesimales
a)
rad
3
b)
r ad
18
3. Simplificar:
30
rad
3
4. Calcular «a» Si: rad a5º
4
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5
b)
2
7
c)
2
5
d)
8
e)
5
9
2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4
a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2
b)
5
6
c)
d)
7
5
e)
5
4. Convertir a grados sexagesimales:
rad rad
4 5
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
02 RELACIÓN ENTRE SISTEMAS -
CONVERSIÓN DE UNIDADES
1. Calcule:
rad + 9º
5
E=
rad
12
π
π
Resolución:
Se pasa todo a un solo sistema:
180º
rad = 36º
5 rad
π
⋅
π
180º
rad = 15º
12 rad
π
⋅
π
Reemplazando:
36º+ 9º 45º 45
E= 3
15º 15
15º
= = =
Rpta.: 3
2. Calcule m/n si:
•
rad
2
m n
π
+ =
• – 30º
m n =
Resolución:
Convertimos: 180º
rad 90º
2 rad
π
⋅ =
π
Ahora:
90º
m n
+ =
30º
m n =
2 120º 60º y 30º
m m n =
= ⇒ =
Nos piden:
60º
2
30º
m
n
⇒ =
Rpta.: 2
Sistema Radial o Circular:
Es aquel sistema cuya unidad es el RADIAN, el cual se define como:
«El ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco cuya
longitud es igual al radio».
A
B
r
r
o r
l AB = r
También podemos definir al radián como:
m 1 vuelta
1rad
2
m 1 vuelta = 2 rad
Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Conversión entre sistemas
Sabemos que:
4. Calcular «a» Si: rad a5º
4
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
02 RELACIÓN ENTRE SISTEMAS -
CONVERSIÓN DE UNIDADES
161
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
Sistema Radial o Circular:
Es aquel sistema cuya unidad es el RADIAN, el cual se define como:
«El ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco cuya
longitud es igual al radio».
A
B
r
r
o r
l AB = r
También podemos definir al radián como:
Observaciones:
1. 1 rad < > 57° 17’ 44’’
2. 1 rad > 1°
Conversión entre sistemas
Sabemos que:
m 1 vuelta < > 360° < > 2 rad
Entonces podemos establecer:
S R
360 2
S R
180
1. Convertir a radianes
a) 120° b) 240°
2. Convertir a sexagesimales
a)
rad
3
b)
r ad
18
3. Simplificar:
30
rad
3
4. Calcular «a» Si: rad a5º
4
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5
b)
2
7
c)
2
5
d)
8
e)
5
9
2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4
a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2
b)
5
6
c)
d)
7
5
e)
5
4. Convertir a grados sexagesimales:
rad rad
4 5
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
02 RELACIÓN ENTRE SISTEMAS -
CONVERSIÓN DE UNIDADES
m 1 vuelta
1rad
2
m 1 vuelta = 2 rad
RELACIÓN ENTRE SISTEMAS - CONVERSIÓN DE
UNIDADES
02
ESCANEAME
RELACIÓN ENTRE SISTEMAS -
CONVERSIÓN DE UNIDADES
02
B
5. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 165
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5
b)
2
7
c)
2
5
d)
8
e)
5
9
2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4
a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2
b)
5
6
c)
d)
7
5
e)
5
4. Convertir a grados sexagesimales:
rad rad
4 5
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5
b)
2
7
c)
2
5
d)
8
e)
5
9
2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4
a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2
b)
5
6
c)
d)
7
5
e)
5
4. Convertir a grados sexagesimales:
rad rad
4 5
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5
b)
2
7
c)
2
5
d)
8
e)
5
9
2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4
a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2
b)
5
6
c)
d)
7
5
e)
5
4. Convertir a grados sexagesimales:
rad rad
4 5
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5
b)
2
7
c)
2
5
d)
8
e)
5
9
2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4
a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2
b)
5
6
c)
d)
7
5
e)
5
4. Convertir a grados sexagesimales:
rad rad
4 5
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5
b)
2
7
c)
2
5
d)
8
e)
5
9
2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4
a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2
b)
5
6
c)
d)
7
5
e)
5
4. Convertir a grados sexagesimales:
rad rad
4 5
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Escribir
r ad
15
en el sistema sexagesimal
1. Convertir
72° a radianes
a)
5
b)
2
7
c)
2
5
d)
8
e)
5
9
2. Convertir a grados sexagesimales:
3 rad
4
a) 150° b) 140° c) 135°
d) 160° e) 123°
3. Convertir a radianes:
= 27° + 63°
a)
2
b)
5
6
c)
d)
7
5
e)
5
4. Convertir a grados sexagesimales:
rad rad
4 5
a) 80° b) 71° c) 81°
d) 90° e) 72°
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
Calcular : a° b’ + b° a’
a) 66° 04’ b) 65° 04’ c) 65° 24’
d) 65° 14’ e) 66° 14’
a)
d)
4. Co
a)
d)
5. Co
a)
d)
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
Calcular : a° b’ + b° a’
a) 66° 04’ b) 65° 04’ c) 65° 24’
d) 65° 14’ e) 66° 14’
a)
d)
4. Co
a)
d)
5. Co
a)
d)
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
Calcular : a° b’ + b° a’
a) 66° 04’ b) 65° 04’ c) 65° 24’
d) 65° 14’ e) 66° 14’
a)
d)
4. Co
a)
d)
5. Co
a)
d)
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
Calcular : a° b’ + b° a’
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
a)
10
b)
7
10
c)
3
10
d) 9
10
e) 5
8
5. Convertir a sexagesimales: rad rad
20 9
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
Calcular : a° b’ + b° a’
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
a)
10
b)
7
10
c)
3
10
d) 9
10
e) 5
8
5. Convertir a sexagesimales: rad rad
20 9
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
a)
10
b)
7
10
c)
3
10
d) 9
10
e) 5
8
5. Convertir a sexagesimales: rad rad
20 9
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
a)
10
b)
7
10
c)
3
10
d) 9
10
e) 5
8
5. Convertir a sexagesimales: rad rad
20 9
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
a)
10
b)
7
10
c)
3
10
d) 9
10
e) 5
8
5. Convertir a sexagesimales: rad rad
20 9
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
9. Si: rad > aa b0'
8
Calcular
b
P a ab
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 13
10. Si a + b = 64
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
a)
10
b)
7
10
c)
3
10
d) 9
10
e) 5
8
5. Convertir a sexagesimales: rad rad
20 9
a) 30° b) 29° c) 31°
d) 40° e) 42°
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
r ad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
5. Convertir en radianes:
= 125° 25’ + 114° 35’
a)
5
3
b)
3
2
c)
4
3
d) 2
4
13
6. Reducir:
40
P
rad
9
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
7. En el triángulo calcular en radianes:
82º
38º
a)
6
b)
4
c)
8
d)
3
e)
5
9
8. Calcular «» en sexagesimales
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 70° e) 55°
1. Convertir a radianes: 140°
a)
6
7
b)
7
9
c)
3
7
d) 9
11
e) 8
13
2. Simplificar:
180
E
rad
18
a) 18 b) 16 c) 20
d) 25 e) 21
3. Calcular «x» en radianes
30º
x
a)
11
15
b)
13
15
c)
13
17
d) 11
16
e) 17
21
4. Convertir en radianes: 19° 23’ + 34° 37’
a)
10
b)
7
10
c)
3
10
d) 9
10
e) 5
8
6. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
166
Teorema de Pitágoras
Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo.
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
Entonces el Teorema se define como:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos».
2 2 2
c =a +b
Ejemplos:
1. Calcular la hipotenusa del triángulo
2
4
x
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras
2 2 2
x =4 +2
2
x =16 + 4
2
x =20
x= 20
NOTA
Al simplificar 20 se obtiene 2 5
2. Calcular el cateto del triángulo
x
16
20
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras; tenemos:
2 2 2
x =20 -16
2
x =400 - 256
2
x =144
x = 12
1. Calcular «x» en:
B
8
6
x
A
C
2. Calcular «x» en:
B
A
C
x
15
17
3. Calcular «x» si:
B
A
D
17
15 x
5
C
E
4. Calcular «x» si:
A 16
12
x
15
B
C
D
03
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE PITÁGORAS
1. Calcular M= 3ctgα.
α
3
7
Resolución:
Tenemos:
α
x
3
7
Calculemos x por el teorema de Pitágoras.
7
( )
2
2
3
x
= + ( )
2
7 = x2
+3
4 = x2
2 = x
Luego: 3
CA
ctg
CO 2
α
= =
Reemplazando en M:
3 3
M= 3
2 2
⋅ =
Rpta.: 3/2
2. Calcular 2 2
A= csc – ctg
θ θ .
θ
4
2
Resolución:
Se tiene:
x
θ
4
2
Calculamos x por el teorema de Pitágoras.
x2
= 42
+ 22
x2
= 16 + 4
20
x =
Luego:
2
2 20 20
csc 5
2 4
θ
= = = y
2
2 4
c tg 4
2
θ
= =
Reemplazando en M:
M= 5 – 4 = 1
Rpta.: 1
165
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
Teorema de Pitágoras
Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo.
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
Entonces el Teorema se define como:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos».
2 2 2
c =a +b
Ejemplos:
1. Calcular la hipotenusa del triángulo
2
4
x
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras
2 2 2
x =4 +2
2
x =16 + 4
2
x =20
x= 20
NOTA
Al simplificar 20 se obtiene 2 5
2. Calcular el cateto del triángulo
x
16
20
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras; tenemos:
2 2 2
x =20 -16
2. Calcular «x» en:
B
A
C
x
15
17
3. Calcular «x» si:
B
A
D
17
15 x
5
C
E
4. Calcular «x» si:
15
B
03
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE PITÁGORAS
Teorema de Pitágoras
Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo.
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
Entonces el Teorema se define como:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos».
2 2 2
c =a +b
Ejemplos:
1. Calcular la hipotenusa del triángulo
2
4
x
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras
2 2 2
x =4 +2
2
x =16 + 4
2
x =20
x= 20
NOTA
Al simplificar 20 se obtiene 2 5
2. Calcular el cateto del triángulo
x
16
20
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras; tenemos:
2 2 2
x =20 -16
2
x =400 - 256
2
x =144
x = 12
1. Calcular «x» en:
A
2. Calcular «x» en:
B
A
C
x
15
17
3. Calcular «x» si:
B
A
D
17
15 x
5
C
E
4. Calcular «x» si:
A 16
12
x
15
B
C
D
03
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE PITÁGORAS
Teorema de Pitágoras
Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo.
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
Entonces el Teorema se define como:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos».
2 2 2
c =a +b
Ejemplos:
1. Calcular la hipotenusa del triángulo
2
4
x
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras
2 2 2
x =4 +2
2
x =16 + 4
2
x =20
x= 20
NOTA
Al simplificar 20 se obtiene 2 5
2. Calcular el cateto del triángulo
x
16
20
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras; tenemos:
2 2 2
x =20 -16
2
x =400 - 256
2
x =144
x = 12
1. Calcular «x» en:
B
8
6
x
A
C
2. Calcular «x» en:
B
A
C
x
15
17
3. Calcular «x» si:
B
A
D
17
15 x
5
C
E
4. Calcular «x» si:
A 16
12
x
15
B
C
D
03
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE PITÁGORAS
Teorema de Pitágoras
Inicialmente se mencionará los lados del triángulo rectángulo.
a
b
c
a y b : cateto
c : hipotenusa
Entonces el Teorema se define como:
«El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos».
2 2 2
c =a +b
Ejemplos:
1. Calcular la hipotenusa del triángulo
2
4
x
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras
2 2 2
x =4 +2
2
x =16 + 4
2
x =20
x= 20
NOTA
Al simplificar 20 se obtiene 2 5
2. Calcular el cateto del triángulo
x
16
20
RESOLUCIÓN :
Aplicando el teorema de Pitágoras; tenemos:
2 2 2
x =20 -16
2
x =400 - 256
2
x =144
x = 12
1. Calcular «x» en:
B
8
6
x
A
C
2. Calcular «x» en:
B
A
C
x
15
17
3. Calcular «x» si:
B
A
D
17
15 x
5
C
E
4. Calcular «x» si:
A 16
12
x
15
B
C
D
03
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE PITÁGORAS
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
03
ESCANEAME
APLICACIONES DEL TEOREMA DE
PITÁGORAS
03
7. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 167
2
x =400 - 256
2
x =144
x = 12
1. Calcular «x» en:
B
8
6
x
A
C
A 16
12
x
C
D
lo.
dos de los
2. Calcular «x» en:
B
A
C
x
15
17
3. Calcular «x» si:
B
A
D
17
15 x
5
C
E
4. Calcular «x» si:
A 16
12
x
15
B
C
D
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE PITÁGORAS
Aplicando el teorema de Pitágoras; tenemos:
2 2 2
x =20 -16
2
x =400 - 256
2
x =144
x = 12
1. Calcular «x» en:
B
8
6
x
A
C
A 16
12
x
15
C
D
5. Calcular «y» si:
4
y
5
41
A
B
C
D
1. Calcular «x» si:
9
12
x
A
B C
a) 16 b) 10 c) 15
d) 17 e) 18
2. Calcular «y» si:
y
24
25
A
B C
a) 8 b) 6 c) 9
d) 7 e) 5
3. Calcular «x» si:
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
4. Ca
a)
b)
c)
d)
e)
5. Ca
3
A
B
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
a)
d)
5. Calcular «y» si:
4
y
5
41
A
B
C
D
1. Calcular «x» si:
9
12
x
A
B C
a) 16 b) 10 c) 15
d) 17 e) 18
2. Calcular «y» si:
y
24
25
A
B C
a) 8 b) 6 c) 9
d) 7 e) 5
3. Calcular «x» si:
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
4. Ca
a)
b)
c)
d)
e)
5. Ca
3
A
B
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
a)
d)
5. Calcular «y» si:
4
y
5
41
A
B
C
D
1. Calcular «x» si:
9
12
x
A
B C
a) 16 b) 10 c) 15
d) 17 e) 18
2. Calcular «y» si:
y
24
25
A
B C
a) 8 b) 6 c) 9
d) 7 e) 5
3. Calcular «x» si:
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
4. Ca
a)
b)
c)
d)
e)
5. Ca
3
A
B
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
a)
d)
5. Calcular «y» si:
4
y
5
41
A
B
C
D
1. Calcular «x» si:
9
12
x
A
B C
a) 16 b) 10 c) 15
d) 17 e) 18
2. Calcular «y» si:
y
24
25
A
B C
a) 8 b) 6 c) 9
d) 7 e) 5
3. Calcular «x» si:
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
4. Ca
a)
b)
c)
d)
e)
5. Ca
3
A
B
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
a)
1.
Calcular «x»
si:
9 12
x
A
B
C
a)
16
b)
10
c)
15
d)
17
e)
18
2.
Calcular
«y»
si:
y 24
25
A
B
C
a)
8
b)
6
c)
9
d)
7
e)
5
3.
Calcular «x»
si:
a)
6
b)
7
c)
8
d)
5
e)
10
a)
3
b)
d)
7
e)
8
8.
Calcular«z»si:
8
Z
4
A
C
a)
3
2
b)
4
7
d)
4
6
e)
4
4
1
8. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
168
4. Calcular «y» si:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 14
e) 13
5. Calcular «x» si:
3
x
5
13
5
A
B
C
D
E
a) 14 b) 16 c) 15
d) 10 e) 17
6. Calcular «AB» si:
A
3
4
B
10
8
C
D
E
a) 12 b) 10 c) 11
d) 13 e) 9
7. Calcular «x» si:
a) 3 b) 5 c) 4
d) 7 e) 8
8. Calcular «z» si:
8
Z
4
A B
C D
a) 3 2 b) 4 7 c) 4 5
d) 4 6 e) 4 10
y
9
1
7
8
A
B
C
D
9. Calcular «x» si:
a) 5
b) 4
c) 6
d) 8
e) 3
10. Si los catetos de un triángulo rectángulo son 12 y 6. Calcular la
hipotenusa.
a) 4 5 b) 5 5 c) 6 5
d) 7 5 e) 6
3x
4x
30
A
B C
3. Calcular «x»:
3x
4x
35
A
B C
a) 7 b) 6 c) 5
d) 9 e) 8
4. Calcular «x» si:
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 13
9. Calcular «x» si:
a) 5
b) 4
c) 6
d) 8
e) 3
10. Si los catetos de un triángulo rectángulo son 12 y 6. Calcular la
hipotenusa.
a) 4 5 b) 5 5 c) 6 5
d) 7 5 e) 6
3x
4x
30
A
B C
1. Calcular «x» si:
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 6
2. Calcular «x» si:
3
2
x
1
A
B
C
D
a) 4 b) 13 c) 15
d) 14 e) 17
3. Ca
3x
A
B
a)
d)
4. Ca
a)
d)
5. Ca
A)
B)
C)
D)
E)
9. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 169
1. Calcular «x» si:
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 6
2. Calcular «x» si:
3
2
x
1
A
B
C
D
a) 4 b) 13 c) 15
d) 14 e) 17
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 13
5. Calcular: AB
A) 5
B) 4
C) 2
D) 3
E) 6
alcular la
4x
B C
a) 7 b) 6 c) 5
d) 9 e) 8
4. Calcular «x» si:
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 13
5. Calcular: AB
A) 5
B) 4
C) 2
D) 3
E) 6
10. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
170
En trigonometría nos interesa la forma como vincular los ángulos
con los lados de un triángulo, para lograrlo los matemáticos inventaron
las razones trigonométricas.
La razón trigonométrica de un ángulo se define como el cociente
entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo
agudo, también podemos afirmar que una razón trigonométrica es la
comparación de dos lados del triángulo rectángulo.
Elementos del triángulo rectángulo para la determinación de las
razones trigonométricas:
A
B C
c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
En esta primera parte del capítulo definiremos únicamente las razones
seno y coseno: para mejor el aprendizaje del alumno.
Entonces:
De la figura 1: tenemos:
senode =
cateto opuesto
sen
hipotenusa
coseno de =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
1. Calcular sen:
13
12
A
B C
3. Ca
4. Ca
5. Ca
04 RAZONES TRIGONO
1. Calcule sen2
θ.
θ
4
1
Resolución:
Tenemos:
θ
4
x
1
Además sabemos que:
2
2 4
sen
x
θ = ............. (I)
Calculemos x aplicando el teorema de Pitágoras:
x2
= 42
+ 12
x2
= 16 + 1
17
x =
Reemplazando 17
x = en (I):
2
2 4 16
sen sen
17
17
θ
= ⇒ θ
=
Rpta.: 16/17
2. Hallar E= 7 cosα .
α
7
3
Resolución:
Tenemos:
α
7
x
3
Sabemos que: 7
E= 7
x
⋅ ...........(*)
Calculemos x aplicando el teorema de Pitágoras:
2 2
3 7
x= + ( )
2
2
9 7
16
4
x
x
x
= +
=
=
Reemplazando x= 4 en (*):
7
E= 7
4
7
E=
4
⋅
Rpta.: 7/4
En trigonometría nos interesa la forma como vincular los ángulos
con los lados de un triángulo, para lograrlo los matemáticos inventaron
las razones trigonométricas.
La razón trigonométrica de un ángulo se define como el cociente
entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo
agudo, también podemos afirmar que una razón trigonométrica es la
comparación de dos lados del triángulo rectángulo.
Elementos del triángulo rectángulo para la determinación de las
razones trigonométricas:
A
B C
c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
En esta primera parte del capítulo definiremos únicamente las razones
seno y coseno: para mejor el aprendizaje del alumno.
Entonces:
De la figura 1: tenemos:
senode =
cateto opuesto
sen
hipotenusa
coseno de =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
1. Calcular sen:
13
12
A
B C
2. Calcular cos si:
17
8
A
B C
3. Calcular
sen
K
cos
25
7
A
B C
4. Calcular P = 3sen
5. Calcular K=sen•sen
12
4
A
B C
D
E
04 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
seno deα
171
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
En trigonometría nos interesa la forma como vincular los ángulos
con los lados de un triángulo, para lograrlo los matemáticos inventaron
las razones trigonométricas.
La razón trigonométrica de un ángulo se define como el cociente
entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo
agudo, también podemos afirmar que una razón trigonométrica es la
comparación de dos lados del triángulo rectángulo.
Elementos del triángulo rectángulo para la determinación de las
razones trigonométricas:
A
B C
c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
En esta primera parte del capítulo definiremos únicamente las razones
seno y coseno: para mejor el aprendizaje del alumno.
Entonces:
De la figura 1: tenemos:
cateto opuesto
sen
hipotenusa
coseno de α =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
1. Calcular sen:
13
12
A
B C
3. Calcular
sen
K
cos
25
7
A
B C
4. Calcular P = 3sen
β•senα
12
4
A
D
E
04 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
seno de α =
5. Calcular K = sen
12
B C
2. Calcular cos si:
17
8
A
B C
5. C
En trigonometría nos interesa la forma como vincular los ángulos
con los lados de un triángulo, para lograrlo los matemáticos inventaron
las razones trigonométricas.
La razón trigonométrica de un ángulo se define como el cociente
entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo
agudo, también podemos afirmar que una razón trigonométrica es la
comparación de dos lados del triángulo rectángulo.
Elementos del triángulo rectángulo para la determinación de las
razones trigonométricas:
A
B C
c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
En esta primera parte del capítulo definiremos únicamente las razones
seno y coseno: para mejor el aprendizaje del alumno.
Entonces:
De la figura 1: tenemos:
cateto opuesto
sen
hipotenusa
coseno de α =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
1. Calcular sen:
13
12
A
B C
2. Calcular cos si:
17
8
A
B C
3. Calcular
sen
K
cos
25
7
A
B C
4. Calcular P = 3sen
β•senα
12
4
A
B C
D
E
04 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
seno de α =
5. Calcular K = sen
En trigonometría nos interesa la forma como vincular los ángulos
con los lados de un triángulo, para lograrlo los matemáticos inventaron
las razones trigonométricas.
La razón trigonométrica de un ángulo se define como el cociente
entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo
agudo, también podemos afirmar que una razón trigonométrica es la
comparación de dos lados del triángulo rectángulo.
Elementos del triángulo rectángulo para la determinación de las
razones trigonométricas:
A
B C
c:
cateto opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
En esta primera parte del capítulo definiremos únicamente las razones
seno y coseno: para mejor el aprendizaje del alumno.
Entonces:
De la figura 1: tenemos:
cateto opuesto
sen
hipotenusa
coseno de α =
cateto adyacente
cos
hipotenusa
1. Calcular sen:
13
12
A
B C
2. Calcular cos si:
17
8
A
B C
3. Calcular
sen
K
cos
25
7
A
B C
4. Calcular P = 3sen
β•senα
12
4
A
B C
D
E
04 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
seno de α =
5. Calcular K = sen
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
04
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I
04
11. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 171
ángulos
ventaron
cociente
n ángulo
rica es la
n de las
s razones
3. Calcular
sen
K
cos
25
7
A
B C
4. Calcular P = 3sen
5. Calcular K=sen•sen
12
4
A
B C
D
E
NES TRIGONOMÉTRICAS I
13
12
B C
2. Calcular cos si:
17
8
A
B C
5. Calcular K=sen•sen
12
4
A
B C
D
E
1. Calcular sen:
12
16
20
A
B C
a)
4
5
b)
5
4
c)
3
5
d)
5
3
e)
7
5
2. Calcular cos
5
12
13
A
B C
a)
5
13
b)
5
12
c)
12
13
d)
13
5
e)
15
4
3. Calcular : sen
A
12
15
B C
a)
6
5
b)
5
3
c)
4
5
d)
3
5
e)
5
5
4. Calcular 2
cos
A
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
a)
d)
8. Ca
13
12
B C
2. Calcular cos si:
17
8
A
B C
5. Calcular K=sen•sen
12
4
A
B C
D
E
5. Calcular K= senβ ⋅ senα
12. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
172
d)
3
5
e)
5
5
4. Calcular 2
cos
A
1
5
B C
a)
4
5
b)
3
5
c)
1
5
d)
2
5
e)
7
5
5. Calcular E = sen + cos
6
C
D
a)
3
5
b)
4
5
c)
2
5
d)
1
5
e)
2
8
9. Calcular : sen Si:
K
4
3 K
2
A
B C
a)
2
3
b)
1
6
c)
1
5
d)
1
8
e)
2
5
3
1
A
B C
a)
4
10
b)
4
10
c)
3
10
d)
2
10
e)
10
5
6. Calcular P = sencos
4
2
A
B C
a)
8
13
b)
1
5
c)
8
11
d)
2
5
e)
5
5
7. Calcular: sen• sen
12
3
A
B
C
D
a)
1
5
b) 4 c)
1
3
d)
1
4
e)
2
5
8. Calcular cos Si:
6
8
A B
C
D
a)
3
5
b)
4
5
c)
2
5
d)
1
5
e)
2
8
12
B C
a)
6
5
b)
5
3
c)
4
5
d)
3
5
e)
5
5
4. Calcular 2
cos
A
1
5
B C
a)
4
5
b)
3
5
c)
1
5
d)
2
5
e)
7
5
5. Calcular E = sen + cos
d)
4
e)
5
8. Calcular cos Si:
6
8
A B
C
D
a)
3
5
b)
4
5
c)
2
5
d)
1
5
e)
2
8
9. Calcular : sen Si:
K
4
3 K
2
A
B C
a)
2
3
b)
1
6
c)
1
5
d)
1
8
e)
2
5
10. Calcular cos:
A
B C
9
18
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
2
3
e)
2
5
1. Hallar sen:
A
B C
40
41
9
a)
9
40
b)
40
41
c)
9
41
d)
24
41
e)
30
45
2. Hallar cos
A
B C
25
7
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
7
d)
24
25
e)
25
28
3. Ha
a)
d)
4. De
a)
d)
5. Ca
a)
d)
10. Calcular cos:
A
B C
9
18
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
2
3
e)
2
5
1. Hallar sen:
A
B C
40
41
9
a)
9
40
b)
40
41
c)
9
41
d)
24
41
e)
30
45
2. Hallar cos
A
B C
25
7
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
7
d)
24
25
e)
25
28
3. Ha
a)
d)
4. De
a)
d)
5. Ca
a)
d)
10. Calcular cos:
A
B C
9
18
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
2
3
e)
2
5
1. Hallar sen:
A
B C
40
41
9
a)
9
40
b)
40
41
c)
9
41
d)
24
41
e)
30
45
2. Hallar cos
A
B C
25
7
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
7
d)
24
25
e)
25
28
3. Ha
a)
d)
4. De
a)
d)
5. Ca
a)
d)
13. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 173
1. Hallar sen:
A
B C
40
41
9
a)
9
40
b)
40
41
c)
9
41
d)
24
41
e)
30
45
2. Hallar cos
A
B C
25
7
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
7
d)
24
25
e)
25
28
9
A D
a)
4
3
b)
5
4
c)
6
5
d)
3
4
e)
8
5
5. Calcular sen si:
10
2
7
A
B C
a)
5
10
b)
3
10
c)
10
19
d)
2
10
e)
10
25
3. Hallar P=sen•cos
A
B C
3
4
a)
12
25
b)
13
25
c)
1
8
d)
3
5
e)
5
5
4. De la figura, hallar : Q =cos•sen
12
9
A
B
C
D
a)
4
3
b)
5
4
c)
6
5
d)
3
4
e)
8
5
5. Calcular sen si:
10
2
7
A
B C
a)
5
10
b)
3
10
c)
10
19
d)
2
10
e)
10
25
14. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
174
Tenemos que:
A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
* Cotangente de :
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
1. Calcular tg si:
12
4
A
B C
2. Calcular ctg si:
A
B C
8
4
3. Ca
4. Ca
5. Ca
05 RAZONES TRIGONO
Tenemos que:
A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
* Cotangente de :
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
1. Calcular tg si:
12
4
A
B C
2. Calcular ctg si:
A
B C
8
4
3. Calcular ctg
K (tg )
A
B C
10
5
4. Calcular N = tg + ctg
5. Calcular tg si el perimetro del cuadrado ABCD es 16u.
B
A
M
D C
05 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
A
B C
10
6
1. Calcular tga si:
α
6
2
Resolución:
Tenemos que:
C .O .
6
α
2
C .A .
Sabemos que:
C.O.
tg
C.A.
α =
⇒
2
tg
6
α =
Simplificando:
1
tg
3
α =
R pta.: 1/3
2. Calcular ctgq si:
θ
8
4
Resolución:
Tenemos que:
C .O .
8
θ
4
C .A .
Sabemos que:
C.A.
ctg
C.O.
θ =
⇒
C.A.
ctg
C.O.
θ =
Simplificando
ctgq = 2
Rpta.: 2
177
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
Tenemos que:
A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
* Cotangente de :
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
1. Calcular tg si:
12
4
A
B C
2. Calcular ctg si:
A
B C
8
4
3. Calcular ctg
K (tg )
A
B C
10
5
4. Calcular N = tg + ctg
5. Calcular tg si el perimetro del cuadrado ABCD es 16u.
B
A
M
D C
05 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
A
B C
10
6
Tenemos que:
A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
* Cotangente de :
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
1. Calcular tg si:
12
4
A
B C
2. Calcular ctg si:
A
B C
8
4
3. Calcular ctg
K (tg )
A
B C
10
5
4. Calcular N = tg + ctg
5. Calcular tg si el perimetro del cuadrado ABCD es 16u.
B
A
M
D C
05 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
A
B C
10
6
Tenemos que:
A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
* Cotangente de :
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
1. Calcular tg si:
12
4
A
B C
2. Calcular ctg si:
A
B C
8
4
3. Calcular ctg
K (tg )
A
B C
10
5
4. Calcular N = tg + ctg
5. Calcular tg si el perimetro del cuadrado ABCD es 16u.
B
A
M
D C
05 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
A
B C
10
6
Tenemos que:
A
B C
c:
Cateto Opuesto
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
Entonces:
* Tangente de :
cateto opuesto
tg
cateto adyacente
* Cotangente de :
cateto adyacente
ctg
cateto opuesto
1. Calcular tg si:
12
4
A
B C
2. Calcular ctg si:
A
B C
8
4
3. Calcular ctg
K (tg )
A
B C
10
5
4. Calcular N = tg + ctg
5. Calcular tg si el perimetro del cuadrado ABCD es 16u.
B
A
M
D C
05 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
A
B C
10
6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
05
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II
05
15. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 175
B C
8
4
M
D C
3. Calcular ctg
K (tg )
A
B C
10
5
4. Calcular N = tg + ctg
5. Calcular tg si el perimetro del cuadrado ABCD es 16u.
B
A
M
D C
ONES TRIGONOMÉTRICAS II
A
B C
10
6
2. Calcular ctg si:
A
B C
8
4
5. Calcular tg si el perimetro del cuadrado ABCD es 16u.
B
A
M
D C
1. Calcular tg Si:
A
B C
16
4
a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4
d) 3/5 e) 6/16
2. Calcular ctg
A
B C
12
6
a) 1 b) 3 c)
1
2
d) 2 e) 10
3. Calcular : P =3tg
A
B C
18
3
a) 2 b) 3 c)
1
2
d)
1
3
e)
5
8
4. Calcular: tg + ctg. Si:
A
B C
5
3
4
a)
12
25
b)
25
12
c)
24
15
d)
15
24
e)
15
20
5. Ca
en
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
1m
pen
a)
d)
8. Ca
a)
d)
9. Ca
a)
d)
1. Calcular tg Si:
A
B C
16
4
a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4
d) 3/5 e) 6/16
2. Calcular ctg
A
B C
12
6
a) 1 b) 3 c)
1
2
d) 2 e) 10
3. Calcular : P =3tg
A
B C
18
3
a) 2 b) 3 c)
1
2
d)
1
3
e)
5
8
4. Calcular: tg + ctg. Si:
A
B C
5
3
4
a)
12
25
b)
25
12
c)
24
15
d)
15
24
e)
15
20
5. Ca
en
a)
d)
6. Ca
a)
d)
7. Ca
1m
pen
a)
d)
8. Ca
a)
d)
9. Ca
a)
16. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
176
5. Calcular tg si ABCD
en un cuadrado cuyo perimetro es 40u.
A B
C
D
M
a)
1
3
b) 2 c)
1
2
d)
2
5
e)
10
3
6. Calcular tg si:
K+1
4K+4
A
B C
a)
1
2
b) 1 c) 2
d) 4 e) 10
7. Caminando por una rampa un burro se da cuenta, que por cada
1m. que sube, avanza horizontalmente 2m. Calcular la
pendiente de la rampa.
a)
1
3
b) 3 c)
1
2
d) 2 e)
2
5
8. Calcular tg Si:
A
B C
K
a) 3 b) 1 c) 2
d) 1/2 e) 7
9. Calcular : ctg
a) 2 b)
1
2
c) 1
d) 3 e) 10
10. Calcular
tg
ctg
Si:
a) 4 b)
1
2
c) 2
d)
1
4
e)
2
5
1. Hallar tg si:
A
d) 5 e)
5
12
3. Calcular E = tg + ctg
A
B C
5
1
2
a)
50
7
b) 8 c)
7
50
d)
1
8
e) 11
4. Calcular R = tg • tg
A
5
10. Calcular
tg
ctg
Si:
a) 4 b)
1
2
c) 2
d)
1
4
e)
2
5
1. Hallar tg si:
A
B C
13
12
a)
12
5
b)
13
12
c)
5
12
d)
5
13
e)
7
12
2. Calcular ctg:
A
B C
4K
8K
a)
1
2
b) 3 c) 2
d)
3. Ca
a)
d)
4. Ca
a)
d)
5. Ha
a)
d)
17. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 177
B C
12
a)
12
5
b)
13
12
c)
5
12
d)
5
13
e)
7
12
2. Calcular ctg:
A
B C
4K
8K
a)
1
2
b) 3 c) 2
B C
a)
1
2
b) 1 c)
1
4
d) 4 e) 11
5. Hallar
tg
M
ctg
Si:
A
B C
17
1
a)
1
8
b)
1
16
c) 8
d) 12 e) 16
B C
a)
50
7
b) 8 c)
7
50
d)
1
8
e) 11
4. Calcular R = tg • tg
A
B C
5
1
a)
1
2
b) 1 c)
1
4
d) 4 e) 11
5. Hallar
tg
M
ctg
Si:
A
B C
17
1
a)
1
8
b)
1
16
c) 8
d) 12 e) 16
18. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
178
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tenemos que:
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
1. Calcular sec si:
10
3
1
2. Calcular csc. Si:
5
2
1
3. Calcular P= csc
2
+ 1
2
6
4. C
5. C
1. C
a)
d)
2. C
06 RAZONES TRIGO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tenemos que:
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
1. Calcular sec si:
10
3
1
2. Calcular csc. Si:
5
2
1
3. Calcular P= csc
2
+ 1
2
6
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
3
2
06 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
1. Calcular secf si:
φ
12
8
Resolución:
Se tiene:
φ
8
C.A.
12 (H)
Sabemos que:
H
sen
C.A.
φ =
12
sec
8
⇒ φ =
3
sec
2
φ =
∴
Rpta.: 3/2
2. Calcular P = 3cscf si:
φ
3
5
Resolución:
Tenemos:
φ
3
5
H
Calculemos H. aplicando el T. de Pitágoras:
2 2 2
H 3 5
⇒ = +
2
H 9 25
⇒ = + H 34
∴ =
Reemplazando en P:
34
P 3
3
⇒ =
P= 34
∴
Rpta.: 34
183
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tenemos que:
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
1. Calcular sec si:
10
1
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
06 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
1. Calcular sec si:
10
3
1
2. Calcular csc. Si:
5
2
1
3. Calcular P= csc
2
+ 1
2
6
1. Ca
a)
d)
2. Ca
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tenemos que:
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
1. Calcular sec si:
10
3
1
2. Calcular csc. Si:
5
2
1
3. Calcular P= csc
2
+ 1
2
6
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
06 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tenemos que:
b: hipotenusa
a: cateto adyacente
cateto opuesto
c:
Entonces:
* Secante de :
hipotenusa
sec
cateto adyacente
* Cosecante de :
hipotenusa
csc
cateto opuesto
1. Calcular sec si:
10
3
1
2. Calcular csc. Si:
5
2
1
3. Calcular P= csc
2
+ 1
2
6
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
3
2
06 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
06
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS III
06
19. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 179
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
3
2
ZONES TRIGONOMÉTRICAS III
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
3
2
ZONES TRIGONOMÉTRICAS III
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
3
2
ZONES TRIGONOMÉTRICAS III
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
3
2
ZONES TRIGONOMÉTRICAS III
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
3
2
ZONES TRIGONOMÉTRICAS III
4. Calcular
2
2
csc
sen
18
6
A
B
C
D
5. Calcular :
2 2
sec csc
4
4
8
A
B C
D
M
E
1. Calcular sec Si:
1
5
2
a) 5 b)
5
2
c)
2
5
d)
1
2
e)
7
5
2. Calcular cscSi:
3
2
ZONES TRIGONOMÉTRICAS III
a)
13
2
b)
13
3
c)
2
13
d)
3
13
e)
13
5
3. Calcular : sensi:
3
5
a)
4
3
b)
3
4
c)
5
3
d)
5
4
e)
3
5
4. Calcular
2
csc
1
3
a) 12 b) 10 c) 11
d) 14 e) 16
5. Calcular csc
2
+ 2
14
2
a) 8 b) 10 c) 9
d) 7 e) 12
6. Calcular
csc
E
sec
2
4
a) 2 b)
1
4
c)
1
2
d) 3 e) 8
7. Calcular: P=csc• sec
1
3
a)
d)
8. Ca
a)
d)
9. Ca
a)
d)
10. Si
a)
d)
a)
13
2
b)
13
3
c)
2
13
d)
3
13
e)
13
5
3. Calcular : sensi:
a)
3
10
b)
10
3
c)
10
3
d) 3 e)
2
5
8. Calcular K 2 sec 1
a)
13
2
b)
13
3
c)
2
13
d)
3
13
e)
13
5
3. Calcular : sensi:
5
a)
3
10
b)
10
3
c)
10
3
d) 3 e)
2
5
8. Calcular K 2 sec 1
5
20. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
180
a)
3
10
b)
10
3
c)
10
3
d) 3 e)
2
5
8. Calcular K 2 sec 1
3
5
a) 3 b) 4 c) 2
d) 5 e) 11
9. Calcular: K=csc•secSi:
A
B
C
D
1
2
2
a) 8 b) 9 c) 10
d) 6 e) 10
10. Si ABCD es un cuadrado. Calcular 2
csc
P
A B
D C
a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) 10
1. Hallar sec:
15
12
9
a)
5
4
b)
12
5
c)
2
5
d)
3
5
e)
7
12
2. Calcular csc si:
25
24
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
25
d)
25
7
e)
25
12
3. Calcular: csc•sec
B
C
15
4. Calcular P= sec • csc
1
3
a)
15
4
b)
10
3
c)
7
5
d)
13
10
e)
15
11
5. Calcular:
2
sec
5
2
a) 2 b) 1/4 c) 5/4
d) 2/5 e) 12/5
a)
5
4
b)
12
5
c)
2
5
d)
3
5
e)
7
12
2. Calcular csc si:
25
24
a)
7
25
b)
25
24
c)
24
25
d)
25
7
e)
25
12
3. Calcular: csc•sec
A
B
C
D
15
5
a) 3 b)
1
3
c) 20
d) 5 e) 11
5. Ca
a)
d)
1. Hallar sec:
15
12
9
a)
5
4
b)
12
5
c)
2
5
d)
3
5
e)
7
12
2. Calcular csc si:
25
4. Calcular P= sec • csc
1
3
a)
15
4
b)
10
3
c)
7
5
d)
13
10
e)
15
11
5. Calcular:
2
sec
5
2
21. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 181
Enun triángulorectángulo ABCrecto enC(C=90º), para lo cual
definiremos las seis razones trigonométricas.
A
B C
a
b c
Con respecto al ángulo tenemos:
Sen =
Cos =
Tg =
b
c
a
c
b
a
Ctg =
a
b
Sec =
c
a
Csc =
c
b
Notamos que hay
3 valores que son
inversos de los otros
así:
Sen =
b
c
Cos =
a
c
Cos =
c
b
Sec =
c
a
Tg =
b
a Cg =
a
b
Si multiplicamos dos a dos estas razones trigonométricas,
entonces tenemos:
b c
sen csc x 1 sen csc =1
c b
a c
cos sec x 1 cos sec =1
c a
b a
tg c tg x 1 tg ctg =1
a b
01
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS
1. Si:
sen(4x+25º)· csc45º = 1
calcule x.
Resolución:
Por ser razones trigonométricas recíprocas, los ángulos
deben ser iguales, es decir:
4x+25º=45º
4x=20º
∴ x=5º
Rpta.: 5º
2. Calcule:
M 15sen csc – 6tg ctg
= α ⋅ α α ⋅ α
Resolución:
• Por ser razones trigonométricas recíprocas se cumple
que:
senα . cscα=1 ∧ tgα . ctgα=1
• Luego reemplazando:
Rpta.: 3
4
3
2. Calcular E = sen+ctg
si: csc = 2 tg
sec
3. Calcular: R
cos
Si: sec=2/5 csc= 3/5
4. Calcular «a» si: tg(a+40º) ctg(2a+20º)=1
1. Calcular sec si:
2
cos
3
a) 3
1. Ca
d) 7
a) 1
2. Ca
d) 4
a) 5
3. Ca
Si:
d) 1
a) 2
4. Ca
Si:
d) 4
a) 2
5. Ca
d) 4
a) 4
d) 5
6. Ca
Enun triángulorectángulo ABCrecto enC(C=90º), para lo cual
definiremos las seis razones trigonométricas.
A
B C
a
b c
Con respecto al ángulo tenemos:
Sen =
Cos =
Tg =
b
c
a
c
b
a
Ctg =
a
b
Sec =
c
a
Csc =
c
b
Notamos que hay
3 valores que son
inversos de los otros
así:
Sen =
b
c
Cos =
a
c
Cos =
c
b
Sec =
c
a
Tg =
b
a Cg =
a
b
Si multiplicamos dos a dos estas razones trigonométricas,
entonces tenemos:
b c
sen csc x 1 sen csc =1
c b
a c
cos sec x 1 cos sec =1
c a
b a
tg c tg x 1 tg ctg =1
a b
01
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS
Enun triángulorectángulo ABCrecto enC(C=90º), para lo cual
definiremos las seis razones trigonométricas.
A
B C
a
b c
Con respecto al ángulo tenemos:
Sen =
Cos =
Tg =
b
c
a
c
b
a
Ctg =
a
b
Sec =
c
a
Csc =
c
b
Notamos que hay
3 valores que son
inversos de los otros
así:
Sen =
b
c
Cos =
a
c
Cos =
c
b
Sec =
c
a
Tg =
b
a Cg =
a
b
Si multiplicamos dos a dos estas razones trigonométricas,
entonces tenemos:
b c
sen csc x 1 sen csc =1
c b
a c
cos sec x 1 cos sec =1
c a
b a
tg c tg x 1 tg ctg =1
a b
01
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS
189
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
Enun triángulorectángulo ABCrecto enC(C=90º), para lo cual
definiremos las seis razones trigonométricas.
A
B C
a
b c
Con respecto al ángulo tenemos:
Sen =
Cos =
Tg =
b
c
a
c
b
a
Ctg =
a
b
Sec =
c
a
Csc =
c
b
Notamos que hay
3 valores que son
inversos de los otros
así:
Sen =
b
c
Cos =
a
c
Cos =
c
b
Sec =
c
a
Tg =
b
a Cg =
a
b
Si multiplicamos dos a dos estas razones trigonométricas,
entonces tenemos:
b c
sen csc x 1 sen csc =1
c b
a c
cos sec x 1 cos sec =1
c a
b a
tg c tg x 1 tg ctg =1
a b
1. Calcular sec si:
2
cos
3
2. Calcular E = sen+ctg
si: csc = 2
4
tg
3
3. Calcular:
sec
R
cos
Si: sec=2/5 csc= 3/5
4. Calcular «a» si: tg(a+40º) ctg(2a+20º)=1
5. Calcular E=5tg - 3ctg
Si:
5
ctg
8
2
ctg
3
07
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
07
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS
07
22. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
182
9. Calcular :
2 2
sen cos
R
3
Si:
8 4
sec csc =
6 3
a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5
d) 4/3 e) N.A.
10. Calcular R =sen tgsec
Si:
m n 1
csc ;ctg cos =
n p m
a) 1 b) 0 c) p
d) n e) m
1. Calcular:
sec a
; si cos
tg b
y
b
ctg
c
2. Calcular «a+5°». Si: tg (2a-10°)ctg80º=1
a) 45º b) 50º c) 55º
d) 60º e) 65°
3. Calcular : E=sen + cos - tg
Si: csc=3;
3
sec
2
y
9
ctg
4
a) 4/9 b) 1/3 c) 5/9
d) 7/9 e) N.A.
4. Calcular : «a-b» Si: sec(a-b+5°) cos30º=1
a) 45º b) 35º c) 20º
d) 25º e) 50°
5. Calcular : E=sencsc - tg ctg
a) -1 b) 2 c) 0
d) 1 e) N.A.
9. Calcular :
2 2
sen cos
R
3
Si:
8 4
sec csc =
6 3
a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5
d) 4/3 e) N.A.
10. Calcular R =sen tgsec
Si:
m n 1
csc ;ctg cos =
n p m
a) 1 b) 0 c) p
d) n e) m
1. Calcular:
sec a
; si cos
tg b
y
b
ctg
c
a)
2
b
ac
b)
2
b
a
c)
b
a
d)
b
ac
e) N.A.
2. Ca
a) 4
d) 6
3. Ca
Si:
a) 4
d) 7
4. Ca
a) 4
d) 2
5. Ca
a) -
d) 1
9. Calcular :
2 2
sen cos
R
3
Si:
8 4
sec csc =
6 3
a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5
d) 4/3 e) N.A.
10. Calcular R =sen tgsec
Si:
m n 1
csc ;ctg cos =
n p m
a) 1 b) 0 c) p
d) n e) m
1. Calcular:
sec a
; si cos
tg b
y
b
ctg
c
a)
2
b
ac
b)
2
b
a
c)
b
a
d)
b
ac
e) N.A.
2. Ca
a) 4
d) 6
3. Ca
Si:
a) 4
d) 7
4. Ca
a) 4
d) 2
5. Ca
a) -
d) 1
9. Calcular :
2 2
sen cos
R
3
Si:
8 4
sec csc =
6 3
a) 3/8 b) 8/3 c) 6/5
d) 4/3 e) N.A.
10. Calcular R =sen tgsec
Si:
m n 1
csc ;ctg cos =
n p m
a) 1 b) 0 c) p
d) n e) m
1. Calcular:
sec a
; si cos
tg b
y
b
ctg
c
a)
2
b
ac
b)
2
b
a
c)
b
a
d)
b
ac
e) N.A.
2. Ca
a) 4
d) 6
3. Ca
Si:
a) 4
d) 7
4. Ca
a) 4
d) 2
5. Ca
a) -
d) 1
4. Calcular «a» si: tg(a+40º) ctg(2a+20º)=1
5. Calcular E=5tg - 3ctg
5
Si: ctg ctg
8
2
3
a) 20º
5. Calcular «x» en: cos(2x)sec60º=1
b) 30º c) 60º
d) 40º e) 10°
a) 40º b) 80º c) 30º
d) 50º
6. Calcular «x» en: tg(2x-30º) ctg50º=1
e) 20°
7. Calcular «a+10º» en: cos(a+10º) sec(3a-40º) = 1
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 20°
8. Calcular
"a"
2
si: sen(3a-20º) csc(a+60º)=1
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
4. Calcular «a» si: tg(a+40º) ctg(2a+20º)=1
5. Calcular E=5tg - 3ctg
5
Si: ctg ctg
8
2
3
a) 40º b) 80º c) 30º
d) 50º
6. Calcular «x» en: tg(2x-30º) ctg50º=1
e) 20°
7. Calcular «a+10º» en: cos(a+10º) sec(3a-40º) = 1
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 20°
8. Calcular
"a"
2
si: sen(3a-20º) csc(a+60º)=1
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
4. Calcular «a» si: tg(a+40º) ctg(2a+20º)=1
5. Calcular E=5tg - 3ctg
5
Si: ctg ctg
8
2
3
a) 40º b) 80º c) 30º
d) 50º
6. Calcular «x» en: tg(2x-30º) ctg50º=1
e) 20°
7. Calcular «a+10º» en: cos(a+10º) sec(3a-40º) = 1
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 20°
8. Calcular
"a"
2
si: sen(3a-20º) csc(a+60º)=1
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
3
sen
7
a) 3/7
1. Calcular : csc; si:
b) 7/3 c) 4/7
d) 7/4 e) N.A.
a) 1
2. Calcular tg; si: ctg = 3/4
b) 1/2 c) 3/4
d) 4/3 e) 3
a) 5/3
3. Calcular : E= sen + sec
Si: csc=3 cos=3/4
b) 3/5 c) 4/3
d) 1 e) 4
a) 2/3
4. Calcular E =5sen - 3cos
Si: csc = 3/2 sec = 3
b) 3/7 c)
10
9
d) 4 e) 3
a) 20º
5. Calcular «x» en: cos(2x)sec60º=1
b) 30º c) 60º
d) 40º e) 10°
a) 40º b) 80º c) 30º
d) 50º
6. Calcular «x» en: tg(2x-30º) ctg50º=1
e) 20°
7. Calcular «a+10º» en: cos(a+10º) sec(3a-40º) = 1
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 20°
7/3
23. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 183
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B (B=90º), para lo
cual definiremos lasseis razonestrigonométricas lasseis razones
trigonométricas del ángulo A y ángulo C.
b
B
C
A c
a
En el gráfico *el ángulo A =
* el ángulo C =
a
sen cos
b
c
cos sen
b
a
tg tg
c
c
c tg tg
a
b
sec csc
c
b
csc sec
a
sen = cos
tg= ctg
sec= csc
1. Si:
sen30º = cos2x
Calcular : «x»
2. Si:
12
tg
5
. Calcular ctg(90º-)
3. Si: + = 90º
4
tg
3
. Calcular ctg
4. Calcular :
sen35º
M
cos55º
02
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B (B=90º), para lo
cual definiremos lasseis razonestrigonométricas lasseis razones
trigonométricas del ángulo A y ángulo C.
b
B
C
A c
a
En el gráfico *el ángulo A =
* el ángulo C =
a
sen cos
b
c
cos sen
b
a
tg tg
c
c
c tg tg
a
b
sec csc
c
b
csc sec
a
sen = cos
tg= ctg
sec= csc
1. Si:
sen30º = cos2x
Calcular : «x»
2. Si:
12
tg
5
. Calcular ctg(90º-)
3. Si: + = 90º
4
tg
3
. Calcular ctg
4. Calcular :
sen35º
M
cos55º
02
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
1. Calcule el valor de x si:
tg(8x+2º)=ctg (9x+13º)
Resolución:
Por ser co-razones, los ángulos deben sumar 90º, así:
8x+2º+9x+3º=90º
17x+5º=90º
17x=85º
∴ x=5º
Rpta.: 5º
3. Reduzca la expresión:
tg20º sen10º
A 6 3
ctg70º cos80º
= +
Resolución:
Por ser co-razones de ángulos complementarios, así:
tg20º= ctg70º
sen10º= cos80º
Reemplazando en:
tg20º sen10º
A 6 3
tg20º sen10º
= +
A=9
Rpta.: 9
193
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B (B=90º), para lo
cual definiremos lasseis razonestrigonométricas lasseis razones
trigonométricas del ángulo A y ángulo C.
b
B
C
A c
a
En el gráfico *el ángulo A =
* el ángulo C =
a
sen cos
b
c
cos sen
b
a
tg tg
c
c
c tg tg
a
b
sec csc
c
b
csc sec
a
sen = cos
tg= ctg
sec= csc
1. Si:
sen30º = cos2x
Calcular : «x»
2. Si:
12
tg
5
. Calcular ctg(90º-)
3. Si: + = 90º
4
tg
3
. Calcular ctg
4. Calcular :
sen35º
M
cos55º
5. Calcular:
sen(90º ) tg
N
cos ctg(90º )
1. Si: cos3x = sen60º. Calcular «x»
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
2. Si: tg5x = ctgx Calcular x - 5º
a) 20º b) 10º c) 15º
d) 25º e) 30º
3. Si: sec(2x-30º) = csc(3x+30º) Calcular : x+2º
a) 20º b) 10º c) 18º
d) 16º e) 14º
4. Si: cos3x - sen45º=0
Calcular :
x 5º
2
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
08
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS
08
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
08
24. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
184
5. Si:
4
tg
5
. Calcular ctg(90º -)
a)
3
5
b)
4
5
c) 1
d)
3
4
e)
4
3
6. Si: + = 90º
2
sen
5
Calcular : cos.
a)
2
3
b)
2
5
c)
2
4
d)
5
2
e)
2
2
7. Si :«+=90º + = 90º. Calcular cos • tg
Sabiendo
3
sen
5
5
ctg
7
a)
3
5
b)
4
7
c)
3
8
d)
3
7
e)
7
3
8. Calcular:
sen71º
M
cos19º
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) 1/2
9. Reducir:
sen15º tg62ºcos21º
R
sen69ºcos75ºctg28º
a) 2 b) 3 c) -1
d) 0 e) 1
10. Calcular x+y Si:
* sen(2x-5º) = cos(x+5º)
* sec(y+20º) • cos(2y-45º) - 1=0
a) 85º b) 95º c) 105º
d) 90º e) 100º
1. Si: cos4x = sen(5x-45º) Calcular : «x-5º»
a) 5º b) 0º c) 10º
d) 15º e) 20º
2. Si: tg(2x+5º) - ctg(2x-15º) =0 Calcular «x»
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
3. Reducir:
sen(90º ) cos
R
cos sen(90º- )
a) 1 b) 2 c) sena
d) cosa e) 0
4. Reducir:
• •
sen23º cos 22º tg25º
M 1
cos67º sen68º ctg65º
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
5. Si: sen2x = cos50º
cos3y sec60º= 1
Calcular :
x y 1"
"
2 2
a) 22º b) 22,5º c) 23º
d) 23,5º e) 20,5º
5. Calcular:
sen(90º ) tg
N
cos ctg(90º )
a) 10º
1. Si: cos3x = sen60º. Calcular «x»
b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
a) 20º
2. Si: tg5x = ctgx Calcular x - 5º
b) 10º c) 15º
d) 25º e) 30º
3. Si: sec(2x-30º) = csc(3x+30º) Calcular : x+2º
a) 20º b) 10º c) 18º
d) 16º e) 14º
4. Si: cos3x - sen45º=0
Calcular :
x 5º
2
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 30º
25. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 185
4K
Entonces:
C.O. 3K 3
sen37º sen37º= sen37º=
H 5K 5
De la misma forma podemos calcular las demás razones
trigonométricas. Formemos el siguiente cuadro:
R.T. 37º 53º R.T.
sen
cos
tg.
3
5
4
5
3
4
4
5
3
5
4
3
csc
sec
ctg
NOTA:
El símbolo indica que los valores numéricos de las R.T. que lo
tienen, deben ser invertidos.
Ejemplos:
3 5
sen37º csc37º=
5 3
3 5
cos53º sec53º=
5 3
3 4
tg37º ctg37º=
4 3
1. Calcular las expresiones:
1
E 10 sen 37º
2
E 15 cos 53º
3. Ca
E
P
4. Ca
B
5. Ca
P =
1. Ca
a)
d)
2. Ca
a)
d)
Para definir las razones trigonométricas de 37º y 53º
utilizaremos el triángulo rectángulo cuyo lados son
proporcionales a 3, 4 y 5.
5K
53º
3K
37º
4K
Entonces:
C.O. 3K 3
sen37º sen37º= sen37º=
H 5K 5
De la misma forma podemos calcular las demás razones
trigonométricas. Formemos el siguiente cuadro:
R.T. 37º 53º R.T.
sen
cos
tg.
3
5
4
5
3
4
4
5
3
5
4
3
csc
sec
ctg
2. Calcular «x» en las ecuaciones
i) x+ 5cos53º=10•sen53º
ii)2x - tg37º = sec37º
3. Calcular E P
si:
E = 5 sen 37º
P = 10•cos53º
4. Calcular:
B= cos
2
37º+cos
2
53º
03
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS 37° - 53°
Para definir las razones trigonométricas de 37º y 53º
utilizaremos el triángulo rectángulo cuyo lados son
proporcionales a 3, 4 y 5.
5K
53º
3K
37º
4K
Entonces:
C.O. 3K 3
sen37º sen37º= sen37º=
H 5K 5
De la misma forma podemos calcular las demás razones
trigonométricas. Formemos el siguiente cuadro:
R.T. 37º 53º R.T.
sen
cos
tg.
3
5
4
5
3
4
4
5
3
5
4
3
csc
sec
ctg
NOTA:
El símbolo indica que los valores numéricos de las R.T. que lo
tienen, deben ser invertidos.
Ejemplos:
3 5
sen37º csc37º=
5 3
3 5
cos53º sec53º=
5 3
3 4
tg37º ctg37º=
4 3
1. Calcular las expresiones:
1
E 10 sen 37º
2
E 15 cos 53º
2. Calcular «x» en las ecuaciones
i) x+ 5cos53º=10•sen53º
ii)2x - tg37º = sec37º
3. Calcular E P
si:
E = 5 sen 37º
P = 10•cos53º
4. Calcular:
B= cos
2
37º+cos
2
53º
5. Calcular : P si:
P = 3•sec53º+3ctg37º
1. Calcular : E= 35 cos53º
a) 24 b) 22 c) 20
d) 21 e) 25
2. Calcular el valor de: Q =5sen37º + 4tg37º
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
03
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS 37° - 53°
1. Calcule la expresión:
R sec 37º 1
= +
Resolución:
Sabemos que:
5
sec 37º
4
=
Reemplazamos:
5
R 1
4
= +
9
R
4
=
9
R
4
=
3
R
2
∴ =
2. Calcule el valor de n.
5
csc 53º
2
n
n
+
=
+
Resolución:
Sabemos que:
5
csc 53º
4
=
Reemplazamos y calculamos:
5 5
4 2
n
n
+
=
+
En este caso, multiplicamos en aspa:
5n + 10 = 4n + 20
∴ n = 10
197
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
Para definir las razones trigonométricas de 37º y 53º
utilizaremos el triángulo rectángulo cuyo lados son
proporcionales a 3, 4 y 5.
5K
53º
3K
37º
4K
Entonces:
C.O. 3K 3
sen37º sen37º= sen37º=
H 5K 5
De la misma forma podemos calcular las demás razones
trigonométricas. Formemos el siguiente cuadro:
R.T. 37º 53º R.T.
sen
cos
tg.
3
5
4
5
3
4
4
5
3
5
4
3
csc
sec
ctg
NOTA:
El símbolo indica que los valores numéricos de las R.T. que lo
tienen, deben ser invertidos.
Ejemplos:
3 5
sen37º csc37º=
5 3
3 5
cos53º sec53º=
5 3
3 4
tg37º ctg37º=
4 3
1. Calcular las expresiones:
1
E 10 sen 37º
2
E 15 cos 53º
2. Calcular «x» en las ecuaciones
i) x + 5cos53º=10•sen53º
ii)2x - tg37º = sec37º
3. Calcular E P
si:
E = 5 sen 37º
P = 10•cos53º
4. Calcular:
B = cos
2
37º+cos
2
53º
5. Calcular : P si:
P = 3•sec53º+3ctg37º
1. Calcular : E= 35 cos53º
a) 24 b) 22 c) 20
d) 21 e) 25
2. Calcular el valor de: Q =5sen37º + 4tg37º
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
09
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS 37° - 53°
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DE 37° - 53°
09
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS 37° - 53°
09
26. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
186
2
razones
T. que lo
4. Calcular:
B= cos
2
37º+cos
2
53º
5. Calcular : P si:
P = 3•sec53º+3ctg37º
1. Calcular : E= 35 cos53º
a) 24 b) 22 c) 20
d) 21 e) 25
2. Calcular el valor de: Q =5sen37º + 4tg37º
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
5. Hallar el valor de R + S si:
S = 10 • cos37º
R = 3 • csc37º
a) 13 b) 12 c) 10
d) 14 e) 15
6. Hallar el valor de y si:
y•tg37º=3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 10
7. Hallar:
A = cos53º•sec53º+sen37º•sec53
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
8. Calcular P/Q si:
P = ctg53º+sec37º
Q = 5cos37º-5cos53º
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 6
9. Calcular el área de la región:
15 sen37º
10
cos53º
a) 54u2 b) 60u2 c) 32u2
d) 72u2 e) 65u2
1. Ca
E =
a) 5
d) 8
2. Ca
x +
a) 1
d) 3
3. Ca
T
a)
d)
4. Ca
M
N
a) 0
d) 1
5. Ca
E
a) 1
d) 4
3. Hallar el valor de:
2
R ctg 53º 1
a) 5 b)
5
4
c)
1
4
d) 4 e)
3
4
4. Calcular el valor de Q
Si Q=ctg37º+sec53º
a) 2 b) 5 c) 3
d) 12 e) 10
5. Hallar el valor de R + S si:
S = 10 • cos37º
R = 3 • csc37º
a) 13 b) 12 c) 10
d) 14 e) 15
6. Hallar el valor de y si:
y•tg37º=3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 10
7. Hallar:
10. Hallar el valor de:
sen53º
Q
sec 37º
a)
4
5
b)
5
4
c) 4
d) 5 e)
2
5
1. Calcular:
E = 4•tg37º + 5cos53º
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
2. Calcular «x» si:
x + tg53º = sec53º
a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3
d) 3/4 e) 2/3
3. Calcular :
tg37º
T
3. Hallar el valor de:
2
R ctg 53º 1
a) 5 b)
5
4
c)
1
4
d) 4 e)
3
4
4. Calcular el valor de Q
Si Q=ctg37º+sec53º
a) 2 b) 5 c) 3
d) 12 e) 10
5. Hallar el valor de R + S si:
S = 10 • cos37º
R = 3 • csc37º
a) 13 b) 12 c) 10
d) 14 e) 15
6. Hallar el valor de y si:
y•tg37º=3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 10
7. Hallar:
A = cos53º•sec53º+sen37º•sec53
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
10. Hallar el valor de:
sen53º
Q
sec 37º
a)
4
5
b)
5
4
c) 4
d) 5 e)
2
5
1. Calcular:
E = 4•tg37º + 5cos53º
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
2. Calcular «x» si:
x + tg53º = sec53º
a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3
d) 3/4 e) 2/3
3. Calcular :
tg37º
T
3
1 1 1
27. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 187
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 6
9. Calcular el área de la región:
15 sen37º
10
cos53º
a) 54u2 b) 60u2 c) 32u2
d) 72u2 e) 65u2
4. Calcular : M + N. Si:
M = 5 sen37º - 4ctg53º
N = sec37º • cos37º
a) 0 b) 2 c) 3
d) 1 e) -1
5. Calcular:
2
E tg 53 1
a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5
d) 4/3 e) 3/4
d) 8 e) 9
2. Calcular «x» si:
x + tg53º = sec53º
a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3
d) 3/4 e) 2/3
3. Calcular :
tg37º
T
3
a)
1
3
b)
1
4
c)
1
2
d)
3
2
e)
2
5
4. Calcular : M + N. Si:
M = 5 sen37º - 4ctg53º
N = sec37º • cos37º
a) 0 b) 2 c) 3
d) 1 e) -1
5. Calcular:
2
E tg 53 1
a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5
d) 4/3 e) 3/4
28. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
188
PRINCIPIOS TEÓRICOS:
Resolución de Triángulo Rectángulo:
Tenemos el siguiente triángulo
x
C.O. a(H) Donde :
a : valor conocido
: 37º ó 53º
del triángulo:
x
sen x=asen
a
pero como =37º ó 53º (tomemos 37º)
x = a•sen37º es decir
3
x a
5
3 a
x •
5
* Nótese que la razón trignométrica se forma con «x»
(incógnita) y «a» (valor conocido).
1. Calcular «x»:
20
37º
x
2. Calcular el perímetro del triángulo
20
37º
a
b
04
APLICACIONES EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO CON ÁNGULOS 37° - 53°
PRINCIPIOS TEÓRICOS:
Resolución de Triángulo Rectángulo:
Tenemos el siguiente triángulo
x
C.O. a(H) Donde :
a : valor conocido
: 37º ó 53º
del triángulo:
x
sen x=asen
a
pero como =37º ó 53º (tomemos 37º)
x = a•sen37º es decir
3
x a
5
3 a
x •
5
* Nótese que la razón trignométrica se forma con «x»
(incógnita) y «a» (valor conocido).
1. Calcular «x»:
20
37º
x
2. Calcular el perímetro del triángulo
20
37º
a
b
04
APLICACIONES EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO CON ÁNGULOS 37° - 53°
1. Del gráfico, calcule el valor de m.
53º
20
m
Resolución:
Completamos el ángulo y el lado que falta según corres-
ponda.
53º
5 =20
k
m= k
3
4k
Calculamos el valor de k y reemplazamos en m.
5k = 20 k = 4
3 3(4)
m k m
⇒
= =
12
m
∴ =
2. De la figura, calcule el valor de n.
37º
53º
3 – 7
n
2 + 1
n
Resolución:
Calculamos la tg en:
Del dato: Del gráfico:
Sabemos que: Sabemos que:
3
tg 37º
4
=
2 1
tg 37º
3 7
n
n
+
=
−
Comparamos y calculamos n.
3 2 1
4 3 7
n
n
+
=
−
9n – 21 = 8n + 4
25
n
∴ =
201
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
PRINCIPIOS TEÓRICOS:
Resolución de Triángulo Rectángulo:
Tenemos el siguiente triángulo
x
C.O. a(H) Donde :
a : valor conocido
: 37º ó 53º
del triángulo:
x
sen x=asen
a
pero como =37º ó 53º (tomemos 37º)
x = a•sen37º es decir
3
x a
5
3 a
x •
5
* Nótese que la razón trignométrica se forma con «x»
(incógnita) y «a» (valor conocido).
1. Calcular «x»:
20
37º
x
3. Del gráfico. calcular «d»:
53º
20m
d
4. Del gráfico. Calcular la distancia H si d=30m.
37º
H
d
5. Calcular H si:
H
37º
10
APLICACIONES EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO CON ÁNGULOS 37° - 53°
37º
x
2. Calcular el perímetro del triángulo
20
37º
a
b
5. Ca
PRINCIPIOS TEÓRICOS:
Resolución de Triángulo Rectángulo:
Tenemos el siguiente triángulo
x
C.O. a(H) Donde :
a : valor conocido
: 37º ó 53º
del triángulo:
x
sen x=asen
a
pero como =37º ó 53º (tomemos 37º)
x = a•sen37º es decir
3
x a
5
3 a
x •
5
* Nótese que la razón trignométrica se forma con «x»
(incógnita) y «a» (valor conocido).
1. Calcular «x»:
20
37º
x
2. Calcular el perímetro del triángulo
20
37º
a
b
3. Del gráfico. calcular «d»:
53º
20m
d
4. Del gráfico. Calcular la distancia H si d=30m.
37º
H
d
5. Calcular H si:
H
37º
20m
10
APLICACIONES EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO CON ÁNGULOS 37° - 53°
APLICACIONES EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO CON ÁNGULOS 37° - 53°
10
ESCANEAME
APLICACIONES EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO ÁNGULOS 37° - 53°
10
29. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 189
1. Calcular «x» si:
10
37º
x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 10 e) 8
2. Calcular G = x −3 si:
35
37º
x
a) 4 b) 6 c) 5
d) 7 e) 9
3. Calcular el área del triángulo
8
53º
a
a) 32u2
b) 14u2 c) 64u2
d) 24u2 e) 40u2
4. Calcular «x»
x
53º
12
a) 14 b) 10 c) 16
d) 18 e) 20
5. Calcular
"x"
2
30
37º
x
a) 9 b) 12 c) 10
d) 14 e) 16
6. Calcular la altura del edificio si:
53º
18m
5. Calcular H si:
H
37º
20m
3. Del gráfico. calcular «d»:
53º
20m
d
4. Del gráfico. Calcular la distancia H si d=30m.
37º
H
d
30. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
190
9. Calcular el valor de h:
37º
48m
12m
h
a) 40m b) 36m c) 48m
d) 50m e) 52m
10. Hallar el valor de «x» si:
53º
12m
escalera
x
a) 8m b) 9,2m c) 9,6m
d) 10m e) 9,8m
1. Calcular la altura del muro si:
53º
H
12m
a) 20m b) 18m c) 17m
d) 16m e) 10m
2. Hallar la longitud de la escalera apoyada:
53º
escalera
1,2m
a) 1,5m b) 1m c) 2m
d) 1,8m e) 3m
3. Calcular «y» si:
30
37º
y
a) 18 b) 15 c) 24
d) 20 e) 21
4. Calcular x + y si:
15
53º
y
x
a) 10 b) 14 c) 13
d) 12 e) 21
5. Determine los ángulos αy β si:
20
β
12
16
α
a) a = 30º
b = 60º
b) a = 24º
b = 66º
c) a = 54º
b = 36º
d) a = 37º
b = 53º
e) a = 53º
b = 37º
a) 70m b) 80m c) 100m
d) 50m e) 90m
8. Calcular el valor de «x»
37º
40m
x
a) 30m b) 32m c) 40m
d) 28m e) 24m
a) 24m b) 20m c) 28m
d) 30m e) 26m
7. Del gráfico, hallar «x»
37º
60m
x
31. TRIGONOMETRÍA
NIVEL IV 191
Para definir las razones trigonométricas de 45º utilizaremos el
triángulo:
K 2
45º
K
45º
K
NOTA: El símbolo indica que los valores de las R.T. que lo
tienen, deben ser invertidos.
1. Calcular : P + Q si: P 2•cos 45º
;
3
Q tg 45º
4. Si N: representa el número de artículos a comprar.
M: el costo de cada artículo en soles
Hallar el costo total, sabiendo que:
4 2
N 5 sec 45º M=2sen 45º
5. Calcular el perímetro de:
8 sec245º m
10
sen
45º
m
2
Formemos el siguiente cuadro:
sen
cos
tg
1
2
1
2
1
csc
sec
ctg
45º
05
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULO 45°
K 2
45º
K
45º
K
NOTA: El símbolo indica que los valores de las R.T. que lo
tienen, deben ser invertidos.
1. Calcular : P + Q si: P 2•cos 45º
;
3
Q tg 45º
2. Calcular la expresión:
2 2 2
2
sen 45º cos 45º csc 45º
A
ctg45º sec 45º
3. Calcular el valor de: 4 6
M csc 45º sec 45º
5. Ca
1. Ca
a)
d)
2. Ha
a) 2
d) 8
3. Ca
a) 1
d) 0
sen
cos
tg
1
2
1
2
1
csc
sec
ctg
45º
Para definir las razones trigonométricas de 45º utilizaremos el
triángulo:
K 2
45º
K
45º
K
NOTA: El símbolo indica que los valores de las R.T. que lo
tienen, deben ser invertidos.
1. Calcular : P + Q si: P 2•cos 45º
;
3
Q tg 45º
2. Calcular la expresión:
2 2 2
2
sen 45º cos 45º csc 45º
A
ctg45º sec 45º
3. Calcular el valor de: 4 6
M csc 45º sec 45º
4. Si N: representa el número de artículos a comprar.
M: el costo de cada artículo en soles
Hallar el costo total, sabiendo que:
4 2
N 5 sec 45º M=2sen 45º
5. Calcular el perímetro de:
8 sec245º m
10
sen
45º
m
2
1. Calcular: P 2 cos45º
a) 2 b) 2 c) 1
d)
1
2
e)
1
3
2. Hallar: 2 2
T sec 45º csc 45º
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
3. Calcular P - Q P = tg45º+ ctg45º
Q 2 sen45º
a) 1 b) 2 c) 2
d) 0 e) 3
Formemos el siguiente cuadro:
sen
cos
tg
1
2
1
2
1
csc
sec
ctg
45º
05
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULO 45°
1. Calcule el valor de la expresión:
Resolución:
Reemplazando las razones trigonométricas de 45º:
2. Calcule el valor de x en:
Resolución:
Reemplazando y operando:
4x – 14 = 2x + 16
x = 15
207
SEXTO GRADO DE PRIMARIA
TRIGONOMETRÍA
Para definir las razones trigonométricas de 45º utilizaremos el
triángulo:
K 2
45º
K
45º
K
NOTA: El símbolo indica que los valores de las R.T. que lo
tienen, deben ser invertidos.
1. Calcular : P + Q si: P 2•cos 45º
;
3
Q tg 45º
2. Calcular la expresión:
2 2 2
2
sen 45º cos 45º csc 45º
A
ctg45º sec 45º
3. Calcular el valor de: 4 6
M csc 45º sec 45º
4. Si N: representa el número de artículos a comprar.
M: el costo de cada artículo en soles
Hallar el costo total, sabiendo que:
4 2
N 5 sec 45º M=2sen 45º
5. Calcular el perímetro de:
8 sec245º m
10
sen
45º
m
2
1. Calcular: P 2 cos45º
a) 2 b) 2 c) 1
d)
1
2
e)
1
3
2. Hallar: 2 2
T sec 45º csc 45º
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
3. Calcular P - Q P = tg45º+ ctg45º
Q 2 sen45º
a) 1 b) 2 c) 2
d) 0 e) 3
Formemos el siguiente cuadro:
sen
cos
tg
1
2
1
2
1
csc
sec
ctg
45º
11
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULO 45°
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULO 45°
11
ESCANEAME
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULO 45°
11
32. I.E.P. UNIÓN INTERNACIONAL
NIVEL IV
192
4. Hallar «x» si: 2
x•ctg45º csc 45º
a) 1 b) 0 c) 2
d) 2 e) 3
5. Calcular: 4 2
A sec 45º csc 45º
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 4
6. Determinar el valor de: 2 2ctg45º
R (sec 45º)
a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
7. Calcular M•N si: M 2tg45 2 sen45
N =sen45º•sec45º
a) 2 b) 1 c) 3
d) 0 e) 4
8. Si A: representa el número de artículos a comprar
B: representa el costo de cada artículo en soles
Hallar el costo total si:
A = 10csc
2
45º y B=4cos
2
45º
a) S/.20 b) S/. 60 c) S/.40
d) S/.10 e) S/.120
9. Calcular el área de la región:
12 ctg45º
sec
4
45º
a) 2
48u b) 2
60u c) 2
50u
d) 2
42u e) 2
72u
10. Calcular:
2 2
2
cos 45º csc 45º
Q
sen 45º
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
1. Calcular :
sec 45º•csc 45º•tg45º
P
ctg45º
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1 e) 3
2. Calcular «x» si: 2 2
•
x sec 45º csc 45º 2tg45º
a) 9 b) 18 c) 2
d) 12 e) 20
3. A : Representa el valor de un lapicero en nuevos soles.
B : La cantidad de lapiceros.
Calcular el costo total :
Donde: A = sen
2
45º
B = 25csc
2
45º
a) S/. 30 b) S/. 40 c) S/.25
d) S/. 42 e) S/. 20
4. Calcular M + N Si: M = 4cos
2
45º
N = 8csc
2
45º
a) 16 b) 18 c) 20
d) 17 e) 19
5. Determinar:
2
2 sec 45º
P (6cos 45º)
a) 9 b) 12 c) 3
d) 10 e) 8
Hallar el costo total si:
A = 10csc
2
45º y B=4cos
2
45º
a) S/.20 b) S/. 60 c) S/.40
d) S/.10 e) S/.120
9. Calcular el área de la región:
12 ctg45º
sec
4
45º
a) 2
48u b) 2
60u c) 2
50u
d) 2
42u e) 2
72u
a)
d)
4. Ca
a)
d)
5. De
a)
d)
5º
8 sec245º m
10
sen
45º
2
1. Calcular: P 2 cos45º
a) 2 b) 2 c) 1
d)
1
2
e)
1
3
2. Hallar: 2 2
T sec 45º csc 45º
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
3. Calcular P - Q P = tg45º+ ctg45º
Q 2 sen45º
a) 1 b) 2 c) 2
d) 0 e) 3
4. Hallar «x» si: 2
x•ctg45º csc 45º
a) 1 b) 0 c) 2
d) 2 e) 3
5. Calcular: 4 2
A sec 45º csc 45º
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 4
6. Determinar el valor de: 2 2ctg45º
R (sec 45º)
a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
7. Calcular M•N si: M 2tg45 2 sen45
N =sen45º•sec45º
a) 2 b) 1 c) 3
d) 0 e) 4
8. Si A: representa el número de artículos a comprar
B: representa el costo de cada artículo en soles
Hallar el costo total si:
A = 10csc
2
45º y B=4cos
2
45º
a) S/.20 b) S/. 60 c) S/.40
d) S/.10 e) S/.120
9. Calcular el área de la región:
sec
4
10. Calcular:
2 2
2
cos 45º csc 45º
Q
sen 45º
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
1. Calcular :
sec 45º•csc 45º•tg45º
P
ctg45º
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1 e) 3
2. Calcular «x» si: 2 2
•
x sec 45º csc 45º 2tg45º
a) 9 b) 18 c) 2
d) 12 e) 20
3. A : Representa el valor de un lapicero en nuevos soles.
B : La cantidad de lapiceros.
Calcular el costo total :
Donde: A = sen
2
45º
B = 25csc
2
45º
a) S/. 30 b) S/. 40 c) S/.25
d) S/. 42 e) S/. 20
4. Calcular M + N Si: M = 4cos
2
45º
N = 8csc
2
45º
a) 16 b) 18 c) 20
d) 17 e) 19
A = 10 csc2