Solucionario de trigonométrica de gran ville

1. 1
1 RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45.....................................................................................2
2 PROBLEMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pag:112...........................................18
3 ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Pagina:123...............................................................27
4 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Página: 146 ....................................................38
5. LEY DE SENOS Pág: 137………………………………………………………………………………………………………….42
6 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Paguina:276.....................................................................47
7 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Página : 284........................................................................81

2. 2
RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:451
DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IGUALDADES
a) Cos x tan x = Sen x
b) Sen x Sec x = Tan x
c) Sen y cot y = cos y
d) (1+tan ² y) Cos ²y = 0

3. 3
e) Sen ²A+Sen ² A . tan ²A = tan ²A
f) Cot ²A – Cos ²A = Cot ²A Cos ²A
–
g) Tan A + Cot A = Sec A Csc A

4. 4
h) Cos A Csc A= Cot A
Cot A
i) Cos ²A – Sen ² = 1 – 2 Sen ² A
j) Cos ² A – Sen ²A = 2 Cos ² A – 1
k) (1+ Cot ² B) Sen ² B = 1
( )

5. 5
( )
l)
( )
( )
m) Sec² A+ Csc² A = Sec² A Csc²A
n)

6. 6
o)
p)
q)
r)

7. 7
s) Cos B tan B + Sen B Cot B = Sen B +Cos B
t) –
u)
v)

8. 8
Usando las relaciones fundamentales( 13) a (20), Calcular los valores de todas las funciones a
partir de los siguientes datos:
4. Cos A ⁄ ,cuando A está en el segundo cuadrante
( )
( )
⁄
⁄
;
⁄
⁄
;

9. 9
( )
5. ⁄
√
√ √
√
√
√
√

10. 10
√
√
6. Csc A = -3, cuando A está en el cuarto cuadrante
⁄
⁄
√
⁄
( √ ⁄ )
√
√

11. 11
√
√
√
√
√
7.
(√ ⁄ )
4 ⁄
√ ⁄
⁄
√
√⁄
√
√
√ √
√ √
8.

12. 12
9.
⁄
√
⁄
√
√
√
√
√
Calcular Algebraicamente el valor de cada una de las siguientes expresiones a partir de los datos
dados. Considerar en cada caso el ángulo como agudo
Calcular
10.

13. 13
* ( ) +
( )
( )
( )
( )
( )
11. ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
12. ⁄
( )
√ √
√ √
√ √
( )

14. 14
13. ⁄
√( )
√ √
√ √
√ √
√
14. √
Ordenando se tiene

15. 15
15.
( )
2

16. 16
16. Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan mas que senos y cosenos
a)
√
b)
√
c)
17. Transformar las siguientes expresiones en otras equivalentes que contengan solamente tg A
a)
( )
( )
b)

17. 17
c)
Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan mas que senos y cosenos
18.
19.
20.
21.

18. 18
35°
a c
b=5m
A
a
c
b=5mA
35°
B
C
PROBLEMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pag:1122
TRIGONOMETRÍA
b=?
A C
55°
c=10m
B

19. 19
a=2 millas
A
A
15°
b=?
√ √ √ √
navio
b=?
A
C
a=30m
5°
c=10m
observador
smastil
b=?
A
C
?
c=12m
b=?
a=6m
B

20. 20
√ √
√ √
35° 35°
c=? c=?
B
393,18m
35°
c=?
B
b=1965
a=
C
A
B
a=150m
300m
35°
c=?
D
d=150m
a=150m
CA
B

21. 21
√ √
a
b=24cm
?
c
D
d=12m
a=
CA
B
? ?
A
A
48
24
b=50m
a =35,01
b=100m
c
D
a=35,01m
C
A
B
C
35°
45°
12m
12,60
24m
45°
c=
b=6,3m

22. 22
X
r
B
A C
R
b=
l=24cm
D

23. 23

24. 24
( )
𝛽
/2
l=21,78cm

25. 25
r
R
B
b
l=24cm

26. 26
( )

27. 27
B
a=24m
C
Ab=?
60°
60
B
a=120m
C
Ab=?
27°43´
27°43´
c=?
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Pagina:1233
B
a=?
C
A
l=250m
40°
B
a=?
C
Ab=200m
60°
B
a=10m
C
b=8,391
?

28. 28
A
b=350m
C B
a=?
50°12´
B
a=?
C
Ab=300m
21°16´
21°16´
X
r
R
B
√ √ √
√ √ (√ ) √ √
√ √
B
a=1m
C
Ab=40m
l
l
l
l A
b
l=12cm

29. 29
41,36m
48145°37´
41,36m
R
x
b=B
B
R x
b
c=1027m
R x
b=
45
N=10millas/h
N
E

30. 30
√ √
7h 10h
a=10,32millas
Φ
Φ
α
18°13´
7h 7h30´
α
18°13´
a=10,32millas
10h37 12h
a
37
37
α
N
N

31. 31
70°
x
a
B
b
√ √
√ √
√
√
bb
a=10m
a=6
60 30
c=12m
c=12m
α
bb
a1
a2
60 30

32. 32
27°15´ 46°18´
27°15´
46°18´
b2
b1

33. 33
25
35
25
35
A
B
a1
α
a2
45° 45°
a
b
10° 15°
y
1 milla
200 x

34. 34
𝛽
l-x x
𝛽
l
l
l x

35. 35
l=6m
60 45
30 45
c a
√
√
√
√
(√ )
√
√
a
x

36. 36
√ √
̂
̂ ( )
̂ ̂

37. 37
R2
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
R1
d=36dm
Ѳ
α
F
A
B
C
D
E

38. 38
D
50
30
𝑐 ⬚
`
𝐶
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎𝑏
𝑐
𝑐𝑜𝑠𝑐
𝑐 𝑐𝑜𝑠 ( )
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
( )
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
( )
(
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
)̅̅̅̅ ( )
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS4
1
2
3
M
Q
W
B 50
A 50
C 50
F 50
ST
W
P
E
R
M
15050
B
b=7
C
A
C=10
a=4
8

39. 39
B C
A
𝐴̅̅̅̅ 𝑓
𝑎 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐
´𝑐 𝑐𝑜𝑠
𝑐
𝑐 √
𝑐
C
A
B
50°
b=11 a=10
C=?
a=3
C=8 b=9
h
49°
18´θ₁
θ₂
X=5
X=5
49°
18´ θ₁
θ₂=130°42´b
X=5
X=5
a
b
C
B
A
b= 426 m
A
B
C
a=322,4m
68°42´
1
2
1
1
1
0
9

40. 40
B
b=8 m
a=7 m
c=5 m
B
A
C
?
c=?
b=11,5Km a=9,4 Km
B C
59°30´
C
b= 5 m
A
B
C
a=4,60m
C=2m
1
5
1
4
1

41. 41
𝛽 +A
=18°20´+24°3´
´ 𝑁 ´𝐸
𝑎
𝑆𝑒𝑛𝐴
SenA
𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝐶
SenA
´
SenA=0,40766
A=24°3´
𝑐 𝐵
𝑑 𝑣 𝑡
𝑎
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑏
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐
´𝑐 º
𝑐 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑐 √ 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑐 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑛 È
𝑐 ´ ´
𝑐 ´
a=
c=?
b=
18°20´
𝛽
𝛽
62°15´
C
A
B
1
6

42. 42
5. LEY DE SENOS Pág: 137
Datos
AC=283m
∡𝐶𝐴𝐵 38°
∡ACB=66°18´
AB=?
AC=14,55m
BC=25,2m
∡BAC=21°30´
BC=270m
∡BCA=55°
∡CBA=65°
c=?
𝐴 𝐵 𝐶
𝐵 𝐴 𝐶
𝐵 º ´
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑐
𝑏𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝐶
𝑚 𝑠𝑒𝑛 º
𝑠𝑒𝑛 º
´𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 º ´
𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐
𝑠𝑒𝑚 𝐶
𝑐
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐 º ´ 𝐴
𝐴 𝐵 𝐶 º
𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 º º º 𝐴 º
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝐶
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝐶
𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 º
𝑐 𝑚
𝐵 º ´
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 º ´
𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 º ´ º ´ 𝐶 º ´
a=270
m
A
C
B
c = ?
65° 55°
A
C
B
a=25,2m
c = ?
b=14,55m
b=283 m
A
C
B
c = ?
66°18´
38°
1
0
9
8

43. 43
𝐵𝐶 𝑚
∡𝐴𝐵𝐶
∡𝐵𝐶𝐴
AB=?
𝐴 𝐵 𝐶 º
𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 º º º 𝐴 º
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑟
𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 º
𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑏 𝑠𝑒𝑛
𝐵
𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 º
𝐶
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑐 𝑚
𝑙 𝑎 𝑏 𝑐
𝑙 𝑚 𝑚 𝑚
𝑙 𝑚
1
2
1
1
70°
A
CB
c = ?
a=1006 m
44°
b
40°
A
C
B
a=140,5
m
b=170,6
m

44. 44
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑏𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝐵 𝑆𝑒𝑛
𝑏 º ´
𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 º º ´ º ´ º
𝐴 ´
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
𝐶
𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑎
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑎
𝑚 𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 ´
𝑎 𝑚
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑅
𝑎 𝑏 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑅
𝑎 𝑏 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑅
𝑠
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑅
𝑅 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑆
1
4
Aplicando propiedades de las proporciones se tiene:
La razón de cualquiera de los lados de un triángulo al
seno de ángulo opuesto es numéricamente igual al
diámetro del círculo circunscrito.
C
A B
b=74,1m
c=64,2
m
27°18´
1
3

45. 45
Demostración
𝑐 𝑎 𝑏 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐴
∆𝐴𝐶𝐷 𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝑚
𝑏
𝑚 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝐷𝐵𝐶𝐷 𝐵
𝑛
𝑎
𝑛 𝑎 𝐵
𝑚𝑒 𝑚 𝑛
𝑐
𝑏 √𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑐
𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
√ 𝑘
√
𝑏 𝑐
𝑏 𝑐
𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑜𝑠𝐵
𝑚
𝑐
𝑚 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵
∆𝐴𝐷𝐶 𝐶𝑜𝑠𝐶
𝑛
𝑏
𝑛 𝑏 𝐶
𝑎 𝑚 𝑛
𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑦
Demostrar
a) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝐵
Demostración
1
a
A
C
B
D
bc
m n
b
B
CA
D
a
c
m n
c
C
BA
D
a
b
m
𝑏 𝐶 𝑐 𝐵
∆𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑚
𝑅
𝑚 𝑐 𝐴
∆𝑏𝑑𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐶
𝑛
𝑎
𝑎 𝑐
𝑏 𝑚 𝑛
𝑏 𝑐 𝐴 𝑎 𝐶
Demostración
Remplazando 1 y 2 en 3

46. 46
Demostración
√𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑐
𝑏 𝑐
√𝑏𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏𝑐 𝑒𝑛 𝑐
𝑏 𝑐
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑏
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐶
√𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑏 𝑐
√𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑐
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑏
𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑛𝐵
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑏
𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑚𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑚𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑅
𝑎 𝑚𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑚𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐
√
𝑏 𝑐
𝑏 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑏
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶
DEMOSTRACION
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑎
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑚𝑏
𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑐
Remplazando 4 y 5 en 3
C
h
A
B
a
b
c

47. 47
6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Paguina:276
Demostrar las siguientes identidades:
1)
2) –
3)
( )
( )

48. 48
4)
5) √
√( ) ( )
√( ) ( )
√
√
6)

49. 49
7)
( )
( )
8)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
9)
10)
( )

50. 50
11)
12)
13)
14)

51. 51
15)
16)
17)
18)
19)
[ ]
[ ]

52. 52
20)
{ [ ]}
[ ( )]
[ ( )]
[ ]
[ ]
21)
22)
23) ⁄
[ ] ⁄
[ ] ⁄
⁄
⁄ ⁄
24)
[ ]
[ ]

53. 53
25)
( )

54. 54
( )
( )

55. 55

56. 56

57. 57
( )

58. 58

59. 59
√
√
√
√( )

60. 60

61. 61
[ ]
[(
√
) ( ) ]
[ ]
[ ]
[ ]

62. 62
( )
[ ( )]

63. 63
( )
( )
( )
[ ] [ ]
( )
( )
( )

64. 64
( )
[ ]
[ ]

65. 65

66. 66
( )
( )
(√ )
( )

67. 67
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )

68. 68
(√ )
(√ )

69. 69
( )
(√ )
( )

70. 70
( ) ( )
( ) ( )

71. 71
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( )]
( ) ( )

72. 72
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( )]
( ) ( )
( ) ( )

73. 73
º º
(√ )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
y
0 1 1 – Sen 0 = 1 – 0 = 1

74. 74
30
45
60
90
0.5
0.293
0.234
0
1 – Sen 30 = 1 – 0.5 = 0.5
1 – Sen 45 = 1 – 0.707 = 0.293
1 – Sen 60 = 1 – 0.866 = 0.234
1 – Sen 90 = 1 – 1 = 0
( )
y = 2 Csc 2
0
10
20
30
45
60
80
90
∞
5.84
3.11
2.31
2
2.30
5.84
∞

75. 75
∞
( )
( )
( )
( )

76. 76
( )
[ ]
[ ]

77. 77
[ ]
[ ]
[ ]
{ [ ] [ ]}
( ) ( )

78. 78
( )
[– ( )]
( )
[ ( ) ( )]

79. 79
[ ]
[(√ ) ]
(√ )

80. 80
[ ]
[(√ ) ]
(√ )

81. 81
30 30 150
210°
30
330°
30
45 45 135
225
45
315
45
7. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x comprendidos entre0 y 360°
1. ⁄
√ ⁄
⁄
a) ⁄
⁄
,
b) ⁄
( ⁄ )
,
{
2.
√
√
√
a)
√
√
,
b)
√
,
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

82. 82
60
240°
60
60 120
300
60
300
60
60
240°
60
60 120
3.
√ √
√
a) √
√
,
b) √
√
,
Solución total
{
4.
√ √
a)
⁄
,
b) ⁄ ( ⁄ )
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

83. 83
45
225
30 150 210
30
5.
{ }
Solución
{
⁄
⁄
⁄
⁄
6. √
√
√ ⁄
( √ ⁄ )
{
{
y
X
y
X
y
X
y
X

84. 84
60
300
60
60 120
240°
60
7.
√ √
a)
,
,
b)
,
,
{
8.
√ √
a) ⁄
{ {
b) ⁄ ( ⁄ )
{ {
}
y
X
y
X
y
X
y
X

85. 85
30
330
30
315
45
210
30
30
30 150
45
45 135 225
45
9.
√ √
√
a) √ √
, √ √
b) √ ( √ )
, ,
,
10.
√ √
√
a) √
√
, ,
b) √
( √ )
, ,
,
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

86. 86
45 135
315
3045
60 240
60
60 120 240
60
11. (√ )
a)
{
⁄
⁄
b) √
√
√
√
√
√
√ ⁄
{
⁄
⁄
{
⁄
⁄
⁄
⁄
12.
a)
⁄
( ⁄ )
{
⁄
⁄
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

87. 87
30 300
30
30 150 210
30
210
30
330
30
b)
{
⁄
⁄
⁄
13.
a)
√
a1) √
√
{
⁄
⁄
a2)
√
(
√
)
{
⁄
⁄
b)
( ⁄ )
{
⁄
⁄
{
⁄
⁄
⁄
⁄
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

88. 88
210
30
330
30
60 240
60
45 225
45
14.
a)
⁄
b)
( )
{
⁄
⁄
{
⁄
⁄
⁄
15. ( √ ) √
( √ )
a) √
√
√
{
⁄
⁄
b)
{
⁄
⁄
{
⁄
⁄
⁄
⁄
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

89. 89
60 60 120
60 120 240
60
16. ( √ ) √
(
√
)
√
(
√
)
a)
⁄
b)
√
√
,
{
⁄
⁄
{
⁄
⁄
⁄
Resolver las siguientes ecuaciones para valores de ángulos comprendidos entre 0 y 360°
17.
a)
⁄
( )
b)
,
18. ⁄
⁄
⁄
y
X
y
X
y
X
y
X

90. 90
30 300
30
30 150 210
30
60 60 120
√ √
√
a) √ ⁄
√ ⁄
,
b) √ ⁄
√ ⁄
,
19. √
√
√ √
√ √
√
√
(
√
) (
√
)
a)
√
√
b)
√
√
√
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

91. 91
60 300
60
30 210
60
30 150 300
30
20.
a)
⁄
b)
( )
}
21.
√ √
√
a)
√
√ ⁄
,
b) (
√
)
(
√
)
,
}
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

92. 92
60 225
45
45 135 315
45
22.
}
23.
}
24.
a)
,
b)
}
y
X
y
X
y
X
y
X

93. 93
60 120 240
60
25.
a)
b)
( )
}
26.
a)
b)
𝒙 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎
a) 𝑺𝒆𝒄𝒙 𝟐 𝟎
𝟏
𝑪𝒐𝒔𝒙
𝟐
𝑪𝒐𝒔𝒙
𝟏
𝟐
𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟏
(
𝟏
𝟐
)
b) 𝟐𝑺𝒆𝒏𝒙 𝟏 𝟎
𝟐
𝟏
𝑪𝒐𝒔𝑿
𝟏
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝑭𝒂𝒍𝒔𝒐
y
X
y
X

94. 94
30 30 150
45 225
45
315
45
45 135
27.
a)
,
b)
{
28.
√
a)
,
b)
,
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

95. 95
60 300
60
210
30
330
30
29. √
√
√
√
√ √ √
√ √
√
√
(
√
) (
√
)
a)
√
√
b)
√
√
(
√
)
30.
( )
{ {
31.
a)
⁄
⁄
,
1. 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏
𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟏 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏
𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟏 𝟎
a) 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎
𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟎
𝒙 𝟗𝟎 𝟐𝟕𝟎
b) 𝟐𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟎
𝑪𝒐𝒔𝒙
𝟏
𝟐
𝒙 𝑪𝒐𝒔
𝟏
𝟐
𝒙 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎
y
X
y
X
y
X
y
X

96. 96
60 120 240
60
60 120 240
60
b)
32.
a)
b)
33.
a)
,
b)
( ⁄ )
,
34.
a)
,
y
X
y
X
y
X
y
X

97. 97
b)
}
35.
a)
,
b)
,

98. 98
30
240
60
300
60
210
30
330
30
30 210
30
36.
√
( ) * +
√
* +
√
√
( )
√
(
√
)
}
37. √ ⁄
√ ⁄
√
(
√
) √ ⁄
√ √
√ ⁄
(
√
) √ ⁄
⁄
⁄
,
38.
( ) ( )
( ) ( )
( )
√
√
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

99. 99
330
30
30 150
a)
√
(
√
)
,
b)
√
( √ ⁄ )
,
}
39.
√
* √ + [ ]
[ ]
a)
,
b)
{
}
y
X
y
X

100. 100
39. 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛
𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛
𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
*𝑆𝑒𝑛𝑥 √
𝐶𝑜𝑠𝑥
+ [ 𝐶𝑜𝑠𝑥]
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
a) 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑥 𝐶𝑜𝑠
𝑥 ,
b) 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎
𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟏
𝟎
𝒙
{
𝟗𝟎 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝟏 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅
𝟐𝟕𝟎 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝟏 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒙 𝟎 𝟑𝟔𝟎 }

101. 101
41,41°41,41°
318,59°
40.
√
(√ )
a)
,
b)
( )
,
}
41. √
√
(√ )
a)
y
X
y
X

102. 102
6060
300°
6060
300°
60 120
30
240
60
b)
⁄
( ⁄ )
,
42.
( )
a)
√ √
√
a1)
√
√
,
a2)
√
(
√
)
,
b)
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

103. 103
71,56° 71,56° 108,44°
285,44°254,56
74,56 74,56
68,53 111,47 248,53
68,53
√ √
43.
√ √
√
a)
{
b)
{
}
´ ´ }
44.
√
√
√
a)
b)
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X

104. 104
199,47°
19,47°
340,53°
19,47°
}
45.
a)
}
b)
√
}
46.
a)
b)
⁄
( ⁄ )
}
47.
y
X
y
X

105. 105
70,53
70,53 109,47
a)
b)
⁄
( ⁄ )
}
y
X
y
X