Fiel traducción y resumen del libro de John Lee y Robert Wattenbarger de ingenieria de yacimientos de gas (Gas reservoir engineering).

1. Curvas de declinación
para pozos de gas
Argenis González Gómez

2. Las curvas de declinación...
Asumiendo que la producción futura sigue con la tendencia pasada, se pueden usar modelos para estimar el gas original en sitio y
para predecir las reservas de gas en un futuro, lo cuál tiene ventaja sobre los métodos volumétricos de cálculos de reservas, pues solo
toma en cuenta el gas que se encuentra comunicado mediante presión.
Se puede estimar la vida productiva remanente de un pozo o de todo un campo.
También se pueden identificar propiedades de pozos individuales, como la permeabilidad o el factor de daño, con análisis de
curvas tipo.
Se basan en el ajustar la historia de producción o su tendencia con un “modelo”
¿Cuando se ocupan análisis de curvas de declinación?

3. Técnicas de análisis convencional.
La mayoría de los análisis de curvas de declinación, se basan en la ecuación de declinación
empírica de Arps,
b
i
i
t)bD(
q
q(t) 1
1

Donde:



)(
)(
tq
dt
tdq
Di
Tasa de declinación inicial, dias-1
q(t)= gasto inicial de gas a t=0, Mscf, ó Lt3/t.
b= Constante de curvas de declinación de Arps
t= tiempo, días
Dependiendo del valor del exponente de declinación b, la ecuación presenta tres diferentes formas. Estas tres
formas de declinación – exponencial, armónica e hiperbólica – tienen una diferente geometría en gráficas
lineales o semilogarítmicas de gasto de gas contra tiempo, y gasto de gas contra producción acumulada.
Se puede determinar que tipo de declinación tiene cada pozo y si la tendencia es lineal, se puede
extrapolar grafica o matemáticamente a un cierto punto.

4. Ejemplos de la forma de las curvas de declinación en sus tres tipos, en dos diferentes tipos de gráficas.

5. La ecuación de Arps se basa en cuatro importantes pero ampliamente violadas
premisas:
1. La ecuación asume que el pozo analizado produce a presión de fondo constante. Si
ésta cambia, el índole de la declinación del pozo cambia.
2. La ecuación asume que el pozo analizado produce desde un área de drene sin
cambios, con fronteras sin flujo. Si el tamaño del área de drene cambia, la curva de
declinación cambia.
3. La ecuación asume que el pozo analizado tiene permeabilidad y factor de daño
constante.
4. La ecuación asume que está siendo aplicada solamente con datos de flujo dominados
por fronteras (flujo estacionario). Solamente hasta que todas las fronteras del área de
drene (o yacimiento) hayan influenciado en la declinación del pozo, las predicciones son
incorrectas.

6. Tipos de declinación

7. Declinación exponencial. A veces llamada declinación de porcentaje constante, se caracteriza por
un decremento constante en el gasto de producción por unidad de tiempo, que es proporcional al gasto de
producción.
La ecuación para la declinación exponencial puede ser derivada de la ecuación anteriormente revisada.
Cuando b=0, la ecuación de Arps toma ésta forma especial (la cuál debe ser derivada con un proceso limitante
cuando b tienda a cero)
)2.9..(..................................................tD
itD
i i
i
eq
e
q
q(t) 

Usando logaritmo natural (In) en ambos lados de la ecuación, tenemos
)3.9.......(....................).........()()]([ tD
i
i
eInqIntqIn 

El cuál, después de hacer aritmética, tenemos
)4.9.....(........................................)()]([ tDqIntqIn ii 

8. Debido a que el logaritmo natural se relaciona con el logaritmo base 10 mediante In=2.303 log(x), podemos
reescribir la ecuacion 9.4 en términos de función logarítmica, así
)5.9........(..............................
303.2
)log()](log[
tD
qtq i
i 
La forma de ésta ultima ecuación sugiere que una gráfica del logaritmo del gasto de gas, q(t), contra t será
una línea recta con pendiente –Di/2.303 y un intercepto log(qi).
Si los datos de producción exhiben un comportamiento lineal
en el gráfico semilog, podemos usar la ecuacion 9.5 para
calcular Di de la recta y qi de intercepto. Posteriormente,
podemos usar la ecuacion 9.2 para extrapolar la tendencia de
producción en el futuro hacia un límite económico. Con esto,
podemos estimar la reserva de gas en el momento donde se
alcance el límite económico.

9. La curva de gasto contra producción acumulada (q vs Gp) para una declinación exponencial será lineal en un
gráfico cartesiano, como la siguiente derivación indica. Si integramos la ecuación 9.2 desde el tiempo inicial al
tiempo t, obtenemos
 


t t tD
i
tD
itD
i
dteqdttqtQeq
e
q
q(t) ii
i 0 0
)6.9.......(..........)()(
La producción acumulada de gas será
)7.9.(..................................................)()(
0
t
tD
i
i
p
i
e
D
q
tG 

Reacomodando, tenemos
)8.9.........(..............................)(
1
)(
i
itD
i
i
p
D
q
eq
D
tG i
 
Combinando las ecuaciones 9.8 y 9.2, podemos escribir la producción acumulada en términos de gasto
)9.9.(..................................................)(
1
)(
i
i
i
p
D
q
tq
D
tG 

10. Reacomodando y solucionando para la tasa de producción, q(t), obtenemos
)10.9........(........................................)()( ipi qtGDtq 
La ecuación 9.10 sugiere que una gráfica de q(t) vs Gp(t) dejara ver una pendiente recta –Di , y un
intercepto qi , como en la siguiente figura.

11. Declinación armónica. Cuando b = 1, la declinación será armónica, y la ecuación
general de declinación dada por la formula 9.1, se reduce a
)11.9.....(..................................................
)1(
)(
tD
q
tq
i
i


Usando logaritmos base 10 en ambos lados de la ecuación nos resulta
)12.9......(....................).........1log()log()(log tDqtq ii 
La forma de la ecuación 9.12 sugiere que q(t) es una función lineal de (1+Dit) en un gráfico log-log y exhibirá
una línea recta con una pendiente -1 y un intercepto de log(qi).
Para predecir el comportamiento futuro a pozos que muestren un comportamiento armónico, debemos
asumir valores de Di, hasta que la curva en una gráfica log[q(t)] contra log(1+Dit) sea una línea recta con
pendiente -1.

12. Para usar una gráfica para declinación armónica del gasto/producción acumulada, debemos integrar la
ecuación 9.11 con respecto al tiempo para obtener una relación para la producción acumulada (Gp)
)13.9.(..............................
1
)()(
0 0  

t t
i
i
p dt
tD
q
dttqtG
)14.9..(..........).........1log(303.2)1ln()( tD
D
q
tD
D
q
tG i
i
i
i
i
i
p 
O:
Sustituyendo el gasto de la ecuacion 9.12 en la ecuación 9.14, obtenemos la relación de gasto/producción
acumulada para la declinación armónica
)15.9....(....................)],.......(log[log303.2)( tqq
D
q
tG i
i
i
p 
)16.9...(....................),........()
303.2
(log)(log tG
q
D
qtq p
i
i
i 
O, en términos de gasto

13. La forma de la ecuación 9.16 sugiere que una gráfica del log q(t) contra Gp(t) será lineal con una pendiente
igual a –(Di/2.303qi) y con un intercepto de log(qi). Éste es un método mas simple para calcular la tasa de
declinación para la declinación armónica que el de la gráfica gasto/tiempo porque podemos hacer un gráfico
directo sin conocer previamente Di

14. Declinación hiperbólica. Cuando 0 < b < 1 , la declinación es hiperbólica, y el
comportamiento de gasto se expresa con la ecuación 9.1, vista en las primeras diapositivas.
Si aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuación 9.1 y reacomodamos, obtenemos esto
)17.9(....................).........1log(
1
)log()](log[ tbD
b
qtq ii 
La forma de la ecuación 9.17 sugiere que, si los datos de gasto/tiempo pueden ser modelados con la
ecuación hiperbólica, entonces un gráfico log-log de q(t) contra (1+bDit) exhibirá una línea recta con una
pendiente de 1/b y un intercepto log(qi). Para analizar los datos de declinación hiperbólica,, sin embargo,
se requieren estimaciones previas de b o Di , o que utilicemos un proceso iterativo para estimarlos para
que resulten en una línea recta.
)1.9.....(........................................
1
1
b
i
i
t)bD(
q
q(t)



15. )18.9.(..............................,
1
)(
0 10  

t
b
i
i
t
p dt
t)bD(
q
dttq(t)G
La relación de la producción acumulada/tiempo se obtiene integrando la ecuación 9.1
O, reacomodando después de haber integrado
)19.9....(..........].........1)1[(
)1(
)/()1(


  bb
i
i
i
p tbD
bD
q
(t)G
Si sustituimos en la ecuación 9.19 y reacomodamos, escribimos
b
i
b
ii qqq 
 1
)20.9...(}.........])1({[
)1(
11/1 b
i
bb
ii
i
b
i
p qtbDq
bD
q
(t)G 



Sustituimos la ecuación 9.1 en la 9.20 y tenemos una expresión para la producción acumulada de gas en
términos de gasto durante la declinación hiperbólica
)21.9........(..........].........)([
)1(
11 b
i
b
i
b
i
p qtq
bD
q
(t)G





16. Como las figuras 9.1 a la 9.4 muestra, la declinación hiperbólica nunca tiene una relación lineal para las
gráficas gasto/tiempo o gasto/producción acumulada en los sistema de coordenadas. Por consecuencia, la
manera mas conveniente para obtener una línea recta es usar gráficas especiales desarrolladas para
diferentes valores de b. Arps, uso q/(dq/dt) contra t para estimar los coeficientes b y Di. Aunque ésta
técnica de graficado debería de dar resultados aceptables, los datos de campo generalmente muestran
derivadas muy pobres, lo cuál hace este método difícil de aplicar en los análisis prácticos de información
de producción.

17. Ejemplo
Dados datos de producción de gasto y producción acumulada, predecir el comportamiento de flujo en
dentro de 15 años en el futuro. Asuma que el límite económico es de 30,000 ft3/d, y estime la reserva
recuperable y la vida productiva del pozo usando las técnicas de análisis convencional
1 .- De los datos entregados,
elaboramos gráficas cartesianas
y semilogarítmicas tanto de Q
vs T, como de Q vs Gp:
Notar que solo tres gráficas se comportan
linealmente; la semilog de Q vs T y la cartesiana
de Q vs Gp (lo cuál es un indicador de declinación
exponencial), y también la semilog de Q vs Gp
(indicador de declinación armónica), pero en este
ejemplo, solamente se desarrollara el análisis de
declinación exponencial.

18. Análisis de declinación exponencial
2 .- Utilizando la gráfica semilogarítmica de Q vs T, computamos la ecuación de la recta (por método de
mínimos cuadrados o automáticamente con Excel), y obtenemos:
Donde, escrito mas claramente:
t
etq 0003.0
08.370)( 

Intercepto b, (o
gasto inicial)
Pendiente, m. (O tasa de
declinación, D)
Coordenada Y
Coordenada X
tD
i
i
eqq(t) 
Notar que la ecuación de la recta tiene la misma forma que la ecuación 9.2 para calcular la declinación exponencial:
La ecuación tiene la tasa de declinación en días, pero puede ser expresada en años también, solo
multiplicándola por 365. Tendríamos:
t
etq 107.0
08.370)( 
t
etq 0003.0
08.370)( 

“D” en días “D “en años

19. Para calcular la vida productiva del pozo hasta que se alcance el límite económico (30 Mft3/día)
utilizamos la última ecuación y ponemos el límite económico como el q(t), y despejamos t, para obtener
tiempo en años:
t
e 0003.0
08.37030 
 t
e 0003.0
ln]
08.370
30
ln[ 
 t0003.0]
08.370
30
ln[ 
t
 0003.0
]
08.370
30
ln[
añosdiast 9.228375 
Despejamos y aplicamos In en ambos lados
para eliminar e
Despejamos para t
Esto significa que en casi 23 años aproximadamente llegaremos al límite económico de 30,000 pies
cúbicos por día, y el pozo deja de pagarse. Esto si no se modifica la pendiente de declinación en la
gráfica, como por ejemplo, con cambios de estrangulador, sistemas artificiales, u otras operaciones
adicionales a el pozo.

20. 3 .-Ahora, para calcular la reserva recuperable hasta el límite económico usamos la ecuación exponencial
derivada del Q vs Gp (ecuación 9.10):
ipi qtGDtq  )()(
Sabiendo que qi= 370.08, y que Di= 0.0003, y q(t) es el gasto en el límite económico, entonces:
08.370)(0003.030  tGp
0003.0
08.37030
)(


tGp
1,133,300 Mscf = 1,133 MMscf
Esto es, una recuperación de gas obtenida de 1,133 millones de pies cúbicos hasta que se alcance el límite
económico.

21. Referencia
John Lee & Robert Wattenbarger (1996) “Gas reservoir engineering” Richardson,
TX. SPE