El documento presenta información sobre polígonos regulares. Explica conceptos como polígono regular, polígono equilátero y equiángulo. Incluye fórmulas para calcular la longitud del lado y la apotema de polígonos regulares en función al circunradio. También contiene ejemplos de resolución de problemas tipo examen UNI relacionados a polígonos regulares.

1. Ciclo Anual CESAR VALLEJO
PLANA DE GEOMETRÍA

2. GEOMETRÍA
POLÍGONOS REGULARES I
SEMANA 23
MARCO TEÓRICO

3. OBJETIVOS
 Identificar los elementos asociados de los polígonos regulares.
 Calcular la longitud de los lados y apotemas de los polígonos
regulares en función a su circunradio.
 Resolver problemas tipo admisión UNI utilizando los conceptos y
propiedades de los polígonos regulares.

4. C U R S O D E G E O M E T R Í A
POLÍGONOS REGULARES I
• NOCIONES PREVIAS
• TEOREMAS GENERALES
• TRIÁNGULO REGULAR.
• CUADRILÁTERO REGULAR
• HEXÁGONO REGULAR
• OCTÁGONO REGULAR

5. A
B
C
D
E
G
F
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
Diagonal
Diagonal media
𝛼1
𝛼2
𝛼3
𝛼4
𝛼5
TEOREMAS
m∡𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 180° 𝑛 − 2
𝑁°𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 =
𝑛 𝑛 − 3
2
𝑁°𝑑𝑖𝑎𝑔. 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 =
𝑛 𝑛 − 1
2
𝑛: Número de lados
POLÍGONO

6. A
B
C
D
E
G
F
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
A
B
C
D
E
H
G
F
a
a
a
a
a
a
a
a
POLÍGONO REGULAR
A
B
C
D
E
G
F
a
a
a a
a
a
a
𝛽
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
O
EN POLÍGONOS REGULARES
𝜃 =
180° 𝑛 − 2
𝑛
𝛽 = m1∡𝑒𝑥𝑡 =
360°
𝑛
𝑛: Número de lados (𝑛 ≥ 3)
𝑂: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝛽: 𝑚∢𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
POLÍGONO EQUILÁTERO
POLÍGONO EQUIÁNGULO
Es aquel polígono convexo
equilátero y equiángulo a la
vez.

7. 𝜃𝑛
𝒂𝒑
Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a dos circunferencias concéntricas.
𝑅
𝑟
Polígono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐺𝐹
 𝑂: Centro del Polígono Regular
 𝑅: Circunradio
 𝑟: Inradio
 𝑂𝐻: Apotema (𝑎𝑝 = 𝑟)
 𝜃𝑛: Medida del ángulo central
 𝑙𝑛: Longitud del lado del polígono regular
𝑂
𝒍𝒏
 ∆𝐸𝑂𝐺: Triángulo elemental del polígono regular.
𝑅
𝑅
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
𝛽
Estudiaremos las
relaciones entre el
lado, ángulo central,
apotema y
circunradio de un
polígono regular
𝐻
𝜷 = 𝜽𝒏
 𝛽: Medida del ángulo exterior
Circunferencia
inscrita
Circunferencia
circunscrita

8. 𝑎𝑝
𝑅
CÁLCULO DE LA LONGITUD DEL LADO Y APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR
Veamos:
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝑙𝑛
𝜃𝑛
𝑅
𝑅
 Cálculo de la longitud del lado,
(𝑙𝑛)2= 𝑅2 + 𝑅2 −2(𝑅)(𝑅)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛
→ (𝑙𝑛)2 = 2𝑅2 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛)
𝒍𝒏 = 𝑹 𝟐(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒏)
 Cálculo de la longitud de la apotema, en el⊿𝑂𝑀𝐵: T. Pitágoras
→ 𝑎𝑝 = 𝑅2 −
𝑙𝑛
2
2
Polígono regular
de 𝑛 lados
𝑀
𝑙𝑛
2
𝑙𝑛
2
𝑅
𝒂𝒑 =
𝟏
𝟐
𝟒𝑹𝟐 − (𝒍𝒏)𝟐
Reemplazamos (𝑖) en 𝑖𝑖 :
𝒂𝒑 =
𝑹
𝟐
𝟐(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒏)
… (𝑖)
… (𝑖𝑖)
en el ∆𝐶𝑂𝐷: elemental,
aplicamos el teorema de coseno:
𝑎𝑝
2
= 𝑅2 −
𝑙𝑛
2
2

9. 𝟐𝟎𝟏𝟕 − 𝑰 RESOLUCIÓN
Determine la longitud (en cm) del
lado de un polígono regular inscrito
en una circunferencia 𝒞 de radio
𝑅 𝑐𝑚, si la longitud del lado del
polígono regular de doble número
de lados inscrito en 𝒞 es
𝑅
2
𝑐𝑚.
𝐴)
15
2
𝑅 𝐵)
15
3
𝑅
𝐷)
15
5
𝑅 𝐸)
15
6
𝑅
𝐶)
15
4
𝑅
𝑅
𝐵
𝐴
𝒞
• Sea 𝐴𝐵 uno de los lados del polígono
regular cuya longitud de lado nos
piden calcular.
Piden 𝐴𝐵
𝑥
= 𝑥
Nota:
Para generar al polígono regular de
doble número de lados inscrito en la
misma circunferencia, ubicamos el
punto medio de uno de los arcos que le
corresponde a uno de los lados del
polígono regular inicial.
𝑀
• Sea 𝑚𝐴𝑀 = 𝑚𝑀𝐵
Entonces 𝐵𝑀, 𝑀𝐴, … son los lados del
polígono regular de doble número de
lados.
→ 𝐵𝑀 = 𝑀𝐴 =
𝑅
2
𝑅 2
𝑅 2
𝑥
2
𝑥
2
𝐿
2𝑅 𝑅 15
2
• Trazamos el diámetro
𝑀𝐿 y la cuerda 𝐵𝐿 → 𝐴𝑁 = 𝑁𝐵 =
𝑥
2
𝑁
• En el ⊿𝑀𝐵𝐿, por T. Pitágoras:
𝐵𝐿 =
𝑅 15
2
• En el ⊿𝑀𝐵𝐿, por producto de catetos:
𝑅
2
𝑅 15
2
=
𝑥
2
2𝑅
∴ 𝒙 =
𝟏𝟓
𝟒
𝑹
EXAMEN UNI
Clave 𝑪

10. POLÍGONOS REGULARES NOTABLES

11. 𝜃3
𝑎𝑝3
𝑀
Ángulo central 𝜽𝟑 Cálculo del lado 𝒍𝟑
Cálculo del Apotema 𝒂𝒑𝟑
𝜃3=
360°
3
En el ∆𝐵𝑂𝐶, elemental,
isósceles de 120°
𝒍𝟑 = 𝑹 𝟑
𝒂𝒑𝟑 =
𝑹
𝟐
El ⊿𝑂𝑀𝐶 es de 30° y 60°
TRIÁNGULO REGULAR (𝒍𝟑)
𝑅
NOTA: Al triángulo regular, simplemente
le denominamos, Triángulo equilátero.
𝐴
𝐵 𝐶
𝑂
𝑙3
𝜽𝟑= 𝟏𝟐𝟎°
𝑅
𝑅
120°

12. 𝐴) 2 3 𝐵) 2 5 𝐶) 3 5
𝐷) 3 7 𝐸) 2 7
𝑂
𝑻𝑰𝑷𝑶 𝑼𝑵𝑰
∴ 𝒙 = 𝟐 𝟕
RESOLUCIÓN:
PROBLEMA
Clave 𝑬
En una circunferencia de radio 4 esta
inscrito un triángulo equilátero 𝐴𝐵𝐶;
𝑀 y 𝑁 son puntos medios del 𝐴𝐵 y
𝐴𝐶, respectivamente. Calcule 𝑀𝑁.
𝐴 𝐶
𝐵
𝑁
𝑀 4
60°
60°
4 3
2 3 2 3
60° 60°
120°
4 60°
4
𝑥
Nos piden 𝑥
 Como 𝐴𝐵𝐶 es equilátero
→ 𝑚∢𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∢𝐶𝐴𝐵 = 60°
 Por ángulo inscrito → 𝑚𝐴𝐵 = 120°
 Como 𝑀 es punto medio
→ 𝑚𝐴𝑀 = 𝑚𝑀𝐵 = 60°
 Trazamos 𝐴𝑀
30°
 Por ángulo inscrito → 𝑚∢𝑀𝐴𝐵 = 30°
 Ahora trazamos 𝑂𝑀 𝑦 𝑂𝐴
→ 𝑂𝑀 = 𝑂𝐴 = 4
 Por ángulo central → 𝑚∢𝑀𝑂𝐴 = 60°
 Se observa que el ∆𝐴𝑀𝑂 es
equilátero → 𝑀𝐴 = 4
 Como 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo regular
→ 𝐴𝐶 = 4 3
 Como 𝑁 es punto medio
→ 𝐴𝑁 = 𝑁𝐶 = 2 3
 En el ◿ 𝑀𝐴𝑁 (Pitágoras)
𝑥2
= 4 2
+ 2 3
2
TRIÁNGULO REGULAR

13. 𝜃4
𝑀
𝑎𝑝4
𝐷
𝐴
𝐵 𝐶
Ángulo Central 𝜽𝟒
𝜃4=
360°
4
Cálculo del Lado 𝒍𝟒
En el ⊿𝐵𝑂𝐶,elemental,
isósceles de 45° y 45°
𝒍𝟒 = 𝑹 𝟐
Cálculo del Apotema 𝒂𝒑𝟒
𝒂𝒑𝟒 =
𝑹 𝟐
𝟐
El ⊿𝑂𝑀𝐶 es de 45° y 45°
NOTA: Al cuadrilátero regular,
simplemente le denominamos, cuadrado.
𝑂
𝑅
𝜽𝟒= 𝟗𝟎°
CUADRILÁTERO REGULAR (𝒍𝟒)
𝑙4
𝑅 𝑅
45°
45°
90°

14. 𝑅 2
2
𝑅 2
2
𝑂
𝑻𝑰𝑷𝑶 𝑼𝑵𝑰
∴ 𝒙 =
𝑹 𝟔
𝟔
RESOLUCIÓN:
PROBLEMA
Clave 𝑨
Un cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 se encuentra
inscrito en una circunferencia de
radio 𝑅, se traza una recta secante
que biseca al arco 𝐴𝐵 en 𝑀, a la
cuerda 𝐴𝐷 en 𝑁, e interseca al
arco 𝐴𝐷 en 𝐹. Halle 𝐹𝑁.
𝐴)
𝑅 6
6
𝐵) 𝑅 𝐶)
2𝑅
3
𝐷)
𝑅 2
3
𝐸)
𝑅 6
3
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝑅
𝑀
𝑁
𝐹
𝑥
Nos piden 𝑥
𝑅 2
𝑅 2
𝑅
𝑅 2
2
𝑅 6
2
 Como el radio de la circunferencia
es 𝑅, se puede conocer el lado del
cuadrado
→ 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷 = 𝑅 2
 Como 𝑁 es punto medio
→ 𝐴𝑁 = 𝑁𝐷 =
𝑅 2
2
 Trazamos 𝑂𝑁 ⊥ 𝐴𝐷 → 𝑂𝑁 =
𝑅 2
2
 Trazamos 𝑂𝑀 → 𝑂𝑀 = 𝑅
𝑦 𝑚∢𝑀𝑂𝑁 = 90°
 En el ◿ 𝑀𝑂𝑁 (Pitágoras)
𝑀𝑁 2
= 𝑅2
+
𝑅 2
2
2
→ 𝑀𝑁 =
𝑅 6
2
 Por teorema de las cuerdas
𝑥
𝑅 6
2
=
𝑅 2
2
𝑅 2
2

15. 𝑂
𝑅
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
60°
𝑎𝑝6
𝑀
60°
60°
𝜃6
Ángulo central 𝜽𝟔
𝜃6=
360°
6
Cálculo del lado 𝒍𝟔
En el ∆𝐵𝑂𝐶, elemental,
es equilátero
𝒍𝟔 = 𝑹
Cálculo del apotema 𝒂𝒑𝟔
𝒂𝒑𝟔 =
𝑹 𝟑
𝟐
El ⊿𝑂𝑀𝐶 es de 30° y 60°
𝜽𝟔= 𝟔𝟎°
HEXÁGONO REGULAR (𝒍𝟔)
𝑅
𝑅
𝑙6
= 60°

16. 𝟐𝟎𝟏𝟕 − 𝑰𝑰
∴ 𝒙 =
𝟏
𝟐
RESOLUCIÓN:
EXAMEN UNI
En la figura 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 es un hexágono
regular; 𝑀, 𝑁 𝑦 𝑃 son puntos medios
de 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 𝑦 𝐴𝐹 respectivamente;
calcule el radio (en cm) de la
circunferencia inscrita en el triángulo
𝑄𝑁𝑅, si 𝐴𝐹 = ( 3 + 1) cm
𝐴
𝑀
𝐵 𝐶
𝑁
𝐷
𝐸
𝐹
𝑃
𝑅
𝑄
𝐴)
1
3
𝐵)
1
2
𝐶)
3
5
𝐷)
2
3
𝐸)
3
4
𝐴
𝑀
𝐵 𝐶
𝑁
𝐷
𝐸
𝐹
𝑃
𝑅
𝑄
3 + 1
3 + 1
2
3 + 1
2
3 + 1
3 + 1
2
3 + 1
2
3 + 1
3 + 1
2
30°
120°
𝑥
60°
3 + 3
2
 Como 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 es un hexagono
𝑚∢𝐵𝐶𝑁 = 120°
 Se observa
𝐵𝐶//𝑀𝑁 → 𝑚∢𝑀𝑁𝐶 = 60°
 Completamos ángulos en
el vértice 𝑁
→ 𝑚∢𝑅𝑁𝑄 = 30°
 También se observa 𝐶𝐷//𝐵𝐸
𝑚∢𝐸𝑄𝑁 = 𝑚∢𝑄𝑁𝐷 = 90°
 También observamos que
𝐵𝐶𝑁𝑅 es un paralelogramo
→ 𝐵𝐶 = 𝑅𝑁 = 3 + 1
 Como el ◿ 𝑅𝑄𝑁 es notable
→ 𝑅𝑄 =
3 + 1
2
𝑄𝑁 =
3 + 3
2
 Por teorema de poncelet
2𝑥 + 3 + 1 =
3 + 1
2
+
3 + 3
2
Clave 𝑩
Nos piden 𝑥

17. 𝑂
𝐺
𝐻
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝑅
𝑎𝑝8
𝑀
𝜃8
Ángulo central 𝜽𝟖
𝜃8=
360°
8
Cálculo del lado 𝒍𝟖
𝒍𝟖 = 𝑹 𝟐 − 𝟐
Cálculo del apotema 𝒂𝒑𝟖
𝒂𝒑𝟖 =
𝑹
𝟐
𝟐 + 𝟐
𝒍𝑛 = 𝑅 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛)
Por teorema en el
∆𝐴𝑂𝐵, elemental:
𝒍𝟖 = 𝑅 2(1 − 𝑐𝑜𝑠45°)
𝑎𝑝 =
𝑅
2
2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛)
Por teorema:
𝜽𝟖= 𝟒𝟓°
𝑎𝑝8 =
𝑅
2
2(1 + 𝑐𝑜𝑠45°)
OCTÁGONO REGULAR (𝒍𝟖)
𝑙8
𝑅
𝑅
45°

18. 𝟐𝟎𝟏𝟑 − 𝑰𝑰
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
Se colocan ocho monedas de igual
radio tangentes dos a dos,
tangencialmente alrededor de una
moneda de mayor radio, entonces la
relación entre el radio de la moneda
mayor y el radio de la moneda
menor es:
𝐴)
2
2 − 2
− 2 𝐵)
2
2 − 2
− 1
𝐶)
2
2 − 2
−
1
2
𝐷)
2
2 − 2
−
1
4
𝐷)
2
2 − 2
−
1
8
𝑅
Piden
𝑅
𝑟
• Como las circunferencias son
tangentes exteriores, usamos
la colinealidad entre los
centros y el punto de
tangencia.
2𝑟 • Con ello notamos que, el
polígono formado es un
octágono regular.
→ 2𝑟 = 𝑙8
= 𝑙8
Elemental del
octágono regular
• Sabemos:
Lado del
∆Elemental
2𝑟
𝑙8 =
→ 2𝑟 − 𝑟 2 − 2 = 𝑅 2 − 2
• Operando:
∴
𝑹
𝒓
=
𝟐
𝟐 − 𝟐
− 𝟏
2 − 2
(𝑅 + 𝑟)
RESOLUCIÓN
EXAMEN UNI

19. 𝑎𝑝12
𝜃12
𝐿
𝐴
𝐵
𝐶 𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
𝐻
𝐼
𝐽
𝐾
𝑂
𝑅
Ángulo central 𝜽𝟏𝟐
𝜃12=
360°
12
Cálculo del lado 𝒍𝟏𝟐
𝒍𝟏𝟐 = 𝑹 𝟐 − 𝟑
Cálculo del apotema 𝒂𝒑𝟏𝟐
𝒂𝒑𝟏𝟐 =
𝑹
𝟐
𝟐 + 𝟑
𝒍𝑛 = 𝑅 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛)
Por teorema en el ∆𝐹𝑂𝐺, elemental:
𝜽𝟏𝟐 = 𝟑𝟎°
𝑙12 = 𝑅 2(1 − 𝑐𝑜𝑠30°)
𝑎𝑝 =
𝑅
2
2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛)
Por teorema:
𝑎𝑝12 =
𝑅
2
2(1 + 𝑐𝑜𝑠30°)
DODECÁGONO REGULAR (𝒍𝟏𝟐)
𝑙12
𝑅
𝑅
= 30°

20.  ∆Elemental del
cuadrilátero regular
TRIÁNGULOS ELEMENTALES
 ∆Elemental del hexágono
regular
 ∆Elemental del
dodecágono
regular
 ∆Elemental del octágono
regular
 ∆Elemental del
triángulo regular
𝑙3
𝑙12
𝑙8
𝑙4
𝑙6
= 𝑅 3
= 𝑅 2
= 𝑅
= 𝑅 2 − 2
= 𝑅 2 − 3

21. 𝑅 2 + 2 𝑅 2 + 3
ADICIONALES
Tener presente también a estos
triángulos, ya que tienen cierta
frecuencia en problemas que
involucren a polígonos regulares.

22. Se desea diseñar un mosaico compuesto por tres
mayólicas que deben tener la forma de polígonos
regulares, de tal manera que al menos dos mayólicas sean
congruentes con un vértice común. Los lados de cada
mayólica deben tener una longitud de 1m y la suma de las
medidas de los ángulos interiores de las mayólicas que
tienen el vértice común es 360° . Calcule el mayor
perímetro (en m) que debe tener el mosaico obtenido.
EXAMEN UNI
Ahora inténtalo, te
planteamos el RETO
DEL HOY
𝐴) 20 𝐵) 21 𝐶) 22
𝐷) 23 𝐸) 23

23. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e