Material CEPRE-UNI

1. 1
Funciones Trigonométricas
Inversas I
11,2
PRE 2022-I

2. 2
Función inyectiva o univalente
Una función f: X ⊂ ℝ ↦ ℝ es inyectiva si para cada par de números distintos,
x1, x2 ∈ X se tiene que f x1 ≠ f(x2).
Ejemplo:
f =
π
4
;
2
2
,
π
2
; 1 ,
π
6
;
1
2
g =
π
2
;
1
2
, (0; 1), 2π; 1
Sí es una función inyectiva
No es una función inyectiva
Una función es inyectiva, si para x1, x2 ∈ ℝ tal que f x1 = f x2 se tiene
que x1 = x2.
Nota:
Nociones previas

3. 3
Sí es función inyectiva No es función inyectiva
Observación:
Gráficamente se reconoce a una función inyectiva f, cuando toda recta
horizontal intercepta a la gráfica de la función f en no más de un punto.
𝐲 = 𝐱 + 𝟐
x
y
x
y
𝐲 = 𝐜𝐨𝐬(𝐱)

4. 4
Función sobreyectiva o suryectiva
Una función f: X ⊂ ℝ ↦ Y es sobreyectiva si para todo y ∈ Y, existe x ∈ X tal
que y = f x .
Función biyectiva
Una función f: X ⊂ ℝ ↦ Y es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a
la vez.
f: −
3
2
; 2 ↦ 0; 4 , f x = x2
Es sobreyectiva
f: −1; 1 ↦ 0; 2 , f x = x2
No es sobreyectiva
x
y
x
y

5. 5
Función Inversa
Sea f una función biyectiva, entonces posee función inversa denotada
por f−1
ó f∗
, donde y = f x ⇔ x = f∗
(y) tal que:
Dom f∗ = Ran f
Ran f∗
= Dom(f)
Observación:
La gráfica de la función inversa
𝐟−𝟏 es simétrica a la gráfica de f,
con respecto a la recta y = x.
𝒈 𝒙 = 𝒇−𝟏
𝒙
𝑥0
(𝑥0; 𝑓 𝑥0 )
𝑓(𝑥0)
𝑓(𝑥0)
𝑓 𝑥0 ; 𝑔 𝑓 𝑥0
𝑓 𝑥0 ; 𝑥0
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
𝑥0
x
y

6. 6
ESTUDIO DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

7. 7
Debido a que las funciones trigonométricas son periódicas, estas no son
inyectivas, por ello para obtener las funciones trigonométricas inversas se
debe restringir el dominio, a uno en que la función sí sea inyectiva, a esto lo
llamamos obtener la rama principal (esto se debe hacer para la obtención de
las 06 funciones inversas).
Rama principal
• El dominio restringido D debe hacer cumplir inyectividad para f y el
conjunto {f x : x ∈ D} sea el rango de f.
• El dominio restringido debe contener los menores valores posibles (en
valor absoluto de dom(f)).
• Debe acercarse al eje de las ordenadas por la derecha.
Introducción

8. 8
En el siguiente cuadro mostramos el Dominio restringido (rama principal)
y el Rango que consideraremos para cada función trigonométrica.
Función Dominio Restringido Rango
y = sen(x) −
𝜋
2
;
𝜋
2
−1; 1
y = cos(x) 0; 𝜋 −1; 1
y = tan(x) −
𝜋
2
;
𝜋
2
ℝ
y = cot(x) 0; 𝜋 ℝ
y = sec(x) 0; 𝜋 −
𝜋
2
ℝ − −1; 1
y = csc(x) −
𝜋
2
;
𝜋
2
− 0 ℝ − −1; 1

9. 9
Función arco seno
Notación: arcsen x , sen−1
x .
F= x; y ∈ ℝ2
∶ y = arcsen x ↔ sen y = x, x ∈ −1; 1 e y ∈ −
π
2
;
π
2
x
y
1
−1
𝜋
2
−
𝜋
2
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)

10. 10
Gráfica de la función seno versus la gráfica de la función arco seno.
x
y
−
𝜋
2
𝜋
2
−1
1 𝑓 x = sen(x)
−1 1
−
𝜋
2
𝜋
2
𝑦 = 𝑥
𝑓−1
x = arcsen(x)

11. 11
• Ran 𝑓 = −
π
2
;
π
2
• Es función creciente
• Dom 𝑓 = −1; 1
Importante: θ = arcsen(x)
−
π
2
≤ θ ≤
π
2
−1 ≤ x ≤ 1
Si x1, x2 ∈ −1; 1 ∕ x1 < x2→ arcsen(x1) < arcsen(x2)
∀x ∈ −1; 1 : arcsen −x = −arcsen(x)
• Es función impar
Análisis de la función arcoseno:
Denotando como 𝑓 a la función arco seno, donde 𝑓(x) = arcsen(x).

12. 12
Para tener en consideración:
𝐟: 𝐲 = 𝐬𝐞𝐧(𝐱) 𝐟−𝟏
: 𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝐱)
−
π
2
; −1 ∈ f, ya que − 1 = sen −
π
2
−1; −
π
2
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 −𝟏 = −
𝛑
𝟐
−
π
6
; −
1
2
∈ f, ya que −
1
2
= sen −
π
6
−
1
2
; −
π
6
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 −
𝟏
𝟐
= −
𝛑
𝟔
π
6
;
1
2
∈ f, ya que
1
2
= sen
π
6
1
2
;
π
6
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧
𝟏
𝟐
=
𝛑
𝟔
π
3
;
3
2
∈ f, ya que
3
2
= sen
π
3
3
2
;
π
3
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧
𝟑
𝟐
=
𝛑
𝟑
π
4
;
2
2
∈ f, ya que
2
2
= sen
π
4
2
2
;
π
4
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧
2
2
=
𝛑
𝟒
π
2
; 1 ∈ f, ya que 1 = sen
π
2
1;
π
2
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 1 =
𝛑
𝟐

13. 13
Luego:
arcsen 1 =
π
2
arcsen
1
2
=
π
6
∧ arcsen −1 = −
π
2
∧ arcsen −
1
2
= −
π
6
arcsen
2
2
=
π
4
∧ arcsen −
2
2
= −
π
4
arcsen
3
2
=
π
3
∧ arcsen −
3
2
= −
π
3
✓
✓
✓
✓
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 −𝟏 = −𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝟏
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 −
𝟏
𝟐
= −𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧
𝟏
𝟐
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 −
𝟐
𝟐
= −𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧
𝟐
𝟐
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 −
𝟑
𝟐
= −𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧
𝟑
𝟐

14. 14
APLICACIÓN 01
Calcule el valor de:
3arcsen −
1
2
+ 2arcsen −
2
2
2arcsen −1 − 3arcsen −
3
2
RESOLUCIÓN:
Sea: 𝑊 =
3𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −
1
2
+ 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −
2
2
4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −1 − 3𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −
3
2
=
3 −
𝜋
6
+ 2 −
𝜋
4
4 −
𝜋
2
− 3 −
𝜋
3
𝐴) −
1
4
𝐵) −
1
2
𝐶)1
𝐷)
3
2
𝐸)2
=
−
𝜋
2
−
𝜋
2
−2𝜋 + 𝜋
=
−𝜋
−𝜋
∴ 𝐖 = 𝟏
CLAVE: C

15. 15
APLICACIÓN 02
Determine el dominio de la
función f, definida por:
f x =
2π
arcsen
2x − 1
5
+ π
A) −1; 1
B) −1; 3
C) −2; 3
D) −3; 2
E) −3; 1
RESOLUCIÓN:
f está definida si.
−1 ≤
2𝑥 − 1
5
≤ 1
⇒ −5 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 5
⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 3
⇒ −4 ≤ 2𝑥 ≤ 6
∴ 𝐃𝐨𝐦 𝐟 = −𝟐; 𝟑
CLAVE: C

16. 16
APLICACIÓN 03
Determine el dominio de la función 𝑓, definida por:
𝑓 x = 3arcsen 2x + 1 − x2 − 1
A) −1; 1 B) −1; 1 C) −1
D) 1 E) −1; 0
RESOLUCIÓN: f está definida si.
⇒ −2 ≤ 2x ≤ 0 ∧ (x + 1)(x − 1) ≥ 0
⇒ −1 ≤ x ≤ 0 ∧ (x ≤ −1 ∨ x ≥ 1) ⇒ 𝐱 = −𝟏
∴ 𝐃𝐨𝐦(𝐟) = −𝟏
CLAVE: C
−1 ≤ 2x + 1 ≤ 1 ∧ x2 − 1 ≥ 0

17. 17
APLICACIÓN 04
Determine el dominio de la
función 𝑓 ,definida por:
f x =
arcsen
3x + 1
4
− π
arcsen
2x − 1
5
+ π
A) −1;
5
3
D) −1; 1
B) 0; 1 E) −
5
3
; 1
C) −
3
2
;
3
2
RESOLUCIÓN: Por definición:
−1 ≤
3x + 1
4
≤ 1 ∧ −1 ≤
2x − 1
5
≤ 1
⇒ −4 ≤ 3x + 1 ≤ 4 ∧ −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5
⇒ −
5
3
≤ x ≤ 1 ∧ −2 ≤ x ≤ 3
⇒ −5 ≤ 3x ≤ 3 ∧ −4 ≤ 2x ≤ 6
∴ Dom(𝑓) = −
𝟓
𝟑
; 𝟏
CLAVE: E

18. 18
APLICACIÓN 05
Determine el rango de la función f, definida por:
f x =
6
π
⋅ arcsen
cos x + 1
2
+ 1
A) −1 B) 1; 4 C) 0; 4 D) −1; 1 E) −1; 2
RESOLUCIÓN: Se conoce: ∀x ∈ ℝ → −1 ≤ cos(x) ≤ 1 ⇒ 0 ≤
cos x + 1
2
≤ 1
Luego: arcsen 0 ≤ arcsen
cos x + 1
2
≤ arcsen 1
∴ 𝐑𝐚𝐧(𝐟) = 𝟏; 𝟒 CLAVE: B
⇒ 0 ≤ arcsen
cos x + 1
2
≤
π
2
⇒
𝟔
𝛑
0 + 𝟏 ≤
𝟔
𝛑
. arcsen
cos x + 1
2
+ 𝟏 ≤
𝟔
𝛑
π
2
+ 𝟏 ⇒ 𝟏 ≤ 𝐟(𝐱) ≤ 𝟒

19. 19
Notación: arccos x , cos−1
x .
Función arco coseno
𝑓 = x; y ∈ ℝ2
∶ y = arccos x ↔ cos y = x, x ∈ −1; 1 e y ∈ 0; π
1
2
x
y
y = arccos(x)
−1 1
0
𝜋
𝜋
2

20. 20
Gráfica de la función coseno versus la gráfica de la función
arco coseno.
x
y
0
𝜋
−1
1
𝑦 = 𝑥
𝑓 x = cos(x)
−1 1
𝜋
𝑓−1
x = arccos(x)
𝜋/2

21. 21
• Ran 𝑓 = 0; 𝜋
• Es función decreciente
• Dom 𝑓 = −1; 1
Importante:
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)
0 ≤ θ ≤ π −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑆𝑖 𝑥1, 𝑥2 ∈ −1; 1 ∕ 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥2) < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥1)
Análisis de la función arcocoseno:
Denotando como f a la función arco coseno, donde 𝑓(x) = arccos(x).
• No es función par ni impar

22. 22
Para tener en consideración:
𝐟: 𝐲 = 𝐜𝐨𝐬(𝐱) 𝐟−𝟏: 𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝐱)
0; 1 ∈ f, ya que 1 = cos 0 1; 0 ∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝟏) = 𝟎
π
6
;
3
2
∈ f, ya que
3
2
= cos
π
6
3
2
;
π
6
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬
𝟑
𝟐
=
𝛑
𝟔
π
3
;
1
2
∈ f, ya que
1
2
= cos
π
3
1
2
;
π
3
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬
𝟏
𝟐
=
𝛑
𝟑
2π
3
; −
1
2
∈ f, ya que −
1
2
= cos
2π
3
−
1
2
;
2π
3
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 −
𝟏
𝟐
=
𝟐𝛑
𝟑
3π
4
; −
2
2
∈ f, ya que −
2
2
= cos
3π
4
−
2
2
;
3π
4
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 −
𝟐
𝟐
=
𝟑𝛑
𝟒
π; −1 ∈ f, ya que − 1 = cos π −1; π ∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 −𝟏 = 𝛑

23. 23
Luego:
arccos 1 = 0
arccos
1
2
=
π
3
∧ arccos −1 = π
∧ arccos −
1
2
=
2π
3
arccos
2
2
=
π
4
∧ arccos −
2
2
=
3π
4
arccos
3
2
=
π
6
∧ arccos −
3
2
=
5π
6
✓
✓
✓
✓
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 −𝟏 = 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝟏
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 −
𝟏
𝟐
= 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬
𝟏
𝟐
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 −
𝟐
𝟐
= 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝟐
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 −
𝟑
𝟐
= 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬
𝟑
𝟐

24. 24
APLICACIÓN 06
Calcule el valor de:
2arccos −
2
2
+ 3arccos −
1
2
2arccos −1 + 3arccos
3
2
RESOLUCIÓN:
Sea: J =
2arccos −
2
2
+ 3arccos −
1
2
2arccos −1 + 3arccos
3
2
=
2
3π
4
+ 3
2π
3
2 π + 3
π
6
A)
14
17
B)
15
17
C)
16
17
D)1 E)
7
5
=
7π
2
5π
2
=
𝟕
𝟓
∴ 𝐉 =
𝟕
𝟓
CLAVE: E

25. 25
APLICACIÓN 07
Determine el dominio de la función f, definida por:
f x = 5arccos
2x + 1
5
+ 2arcsen
3x − 2
7
A) −
5
3
; 2 B) −1;
2
3
C) −2;
5
3
D) −2;
4
3
E) −1; 2
RESOLUCIÓN: Por definición: −1 ≤
2x + 1
5
≤ 1 ∧ −1 ≤
3x − 2
7
≤ 1
⇒ −5 ≤ 2x + 1 ≤ 5 ∧ −7 ≤ 3x − 2 ≤ 7 ⇒ −3 ≤ x ≤ 2 ∧ −
5
3
≤ x ≤ 3
∴ 𝐃𝐨𝐦(𝒇) = −
𝟓
𝟑
; 𝟐
CLAVE: A

26. 26
APLICACIÓN 08
Calcule la suma de los elementos enteros del rango de la función f, definida por:
f x = 3 arccos x − π + π; x ∈ −
1
2
;
2
2
A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18
RESOLUCIÓN: De la condición:
−
1
2
≤ x ≤
2
2
⇒ 𝐄𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨𝐬: 𝟒; 𝟓; 𝟔
∴ 𝐒𝐮𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨𝐬 = 𝟏𝟓 CLAVE: D
⇒ arccos −
1
2
≥ arccos(x) ≥ arccos
2
2
⇒
2π
3
≥ arccos(x) ≥
π
4
⇒ π ≥ 3arccos x − π ≥ −
π
4
⇒ π + π ≥ 3 arccos x − π + π ≥ 0 + π
⇒ 𝟐𝛑 ≥ 𝐟(𝐱) ≥ 𝛑

27. 27
APLICACIÓN 09
Determine el dominio de la
función f, definida por:
f x = 2 arccos sen x − 2 + π
A) πn ; ∀n ∈ ℤ
B) 4n − 1
π
2
; ∀n ∈ ℤ
C) 2n + 1
π
2
; ∀n ∈ ℤ
D) 2n + 1 π ; ∀n ∈ ℤ
E) 4n + 1
π
2
; ∀n ∈ ℤ
RESOLUCIÓN:
⇒ 𝐱 = 𝟒𝐧 + 𝟏
𝛑
𝟐
; ∀𝐧 ∈ ℤ
⇒ 1 ≤ sen x ≤ 3
sen x = 1
∴ 𝐃𝐨𝐦(𝐟) = 𝟒𝐧 + 𝟏
𝝅
𝟐
; ∀𝐧 ∈ ℤ
CLAVE: E
−1 ≤ sen x − 2 ≤ 1
f está definida si:
∧ −1 ≤ sen x ≤ 1
Luego:

28. 28
APLICACIÓN 10
Determine la intersección del dominio y rango de la función f, definida por:
f x =
2π − 3arccos( x)
π
A)
1
2
; 2 B)
1
4
; 2 C)
1
2
; 1 D) 0; 1 E) 0; 2
RESOLUCIÓN: Dominio:
⇒ arccos(1) ≤ arccos x ≤ arccos(0)
⇒ −3
π
2
+ 2π ≤ −3arccos x + 2π ≤ −3 0 + 2π
⇒
1
π
π
2
≤
1
𝜋
2𝜋 − 3arccos( 𝑥) ≤
1
π
2π
∴ 𝐃𝐨𝐦(𝐟) ∩ 𝐑𝐚𝐧(𝐟) =
𝟏
𝟐
; 𝟏 CLAVE: C
⇒
1
2
≤ 𝐟(𝐱) ≤ 2
0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 𝐃𝐨𝐦 𝐟 = 𝟎; 𝟏
Rango: 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ arccos x ≤
π
2
⇒ 𝐑𝐚𝐧 𝐟 =
𝟏
𝟐
; 𝟐

29. 29
𝐍𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢ó𝐧: arctan x , tan−1 x .
Función arco tangente
𝐹 = x; y ∈ ℝ2
: y = arctan x ↔ tan y = x, x ∈ ℝ e y ∈ −
π
2
;
π
2
x
y
−
𝜋
2
𝜋
2 y = arctan(x)
asíntota
asíntota

30. 30
Gráfica de la función tangente versus la gráfica de la función
arco tangente.
x
y
−
𝜋
2
𝜋
2
𝑓 x = tan(x)
𝑦 = 𝑥
−
𝜋
2
𝜋
2 𝑓−1 x = arctan(x)

31. 31
• Es función impar
• Ran 𝑓 = −
𝜋
2
;
𝜋
2
• Es función creciente
• Dom 𝑓 = ℝ
Importante: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
−
𝜋
2
< θ <
𝜋
2
𝑥 ∈ ℝ
𝑆𝑖 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ / 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥1) < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥2)
Análisis de la función arcotangente:
Denotando como 𝑓 a la función arco tangente, donde 𝑓(x) = arctan(x).
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)

32. 32
Para tener en consideración:
𝐟: 𝐲 = 𝐭𝐚𝐧(𝐱) 𝐟−𝟏: 𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝐱)
−
π
12
; −2 + 3 ∈ f, ya que − 2 + 3 = tan −
π
12
−2 + 3; −
π
12
∈ f−1 ⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(−𝟐 + 𝟑) = −
𝛑
𝟏𝟐
−
π
6
; −
3
3
∈ f, ya que −
3
3
= tan −
π
6
−
3
3
; −
π
6
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 −
𝟑
𝟑
= −
𝛑
𝟔
π
3
; 3 ∈ f, ya que 3 = tan
π
3
3;
π
3
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝟑 =
𝛑
𝟑
−
π
4
; −1 ∈ f, ya que − 1 = tan −
π
4
−1; −
π
4
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 −𝟏 = −
𝛑
𝟒
π
4
; 1 ∈ f, ya que 1 = tan
π
4
1;
π
4
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝟏 =
𝛑
𝟒
5π
12
; 2 + 3 ∈ f, ya que 2 + 3 = tan
5π
12
2 + 3;
5π
12
∈ f−1
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝟐 + 𝟑 =
𝟓𝛑
𝟏𝟐

33. 33
Luego:
arctan 1 =
π
4
arctan 3 =
π
3
∧ arctan −1 = −
π
4
∧ arctan − 3 = −
π
3
arctan
3
3
=
π
6
∧ arctan −
3
3
= −
π
6
arctan 2 − 3 =
π
12
∧ arctan 3 − 2 = −
π
12
✓
✓
✓
✓
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 −𝟏 = −𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝟏
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 − 3 = −𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 3
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 −
3
3
= −𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
3
3
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 3 − 2 = −𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 2 − 3

34. 34
APLICACIÓN 11
Calcule el valor de:
2arctan −1 − 3arctan − 3
2arctan 2 − 3 − 3arctan −
3
3
RESOLUCIÓN:
Sea: 𝑀 =
2arctan −1 − 3arctan − 3
2arctan 2 − 3 − 3arctan −
3
3
=
2 −
𝜋
4
− 3 −
𝜋
3
2
𝜋
12 − 3 −
𝜋
6
A) −
1
3
B)
3
4
C) − 1
D) −
4
3
E) −
5
3
=
𝜋
2
2𝜋
3
=
𝟑
𝟒
∴ 𝐌 =
𝟑
𝟒 CLAVE: B

35. 35
APLICACIÓN 12
Determine el dominio de la función f definida por:
f x = 2arcsen
x + 1
3
+ 3arctan 1 − 2x − 3
A) −2; 1 B) 1; 2 C) 0; 1
D) −1; 1 E) −1; 0
RESOLUCIÓN: f está definida si:
−1 ≤
x + 1
3
≤ 1 ∧ 2x − 3 ≤ 1 ⇒ −3 ≤ x + 1 ≤ 3 ∧ −1 ≤ 2x − 3 ≤ 1
⇒ −4 ≤ x ≤ 2 ∧ 2 ≤ 2x ≤ 4 ⇒ −𝟒 ≤ 𝐱 ≤ 𝟐 ∧ 𝟏 ≤ 𝐱 ≤ 𝟐
∴ 𝐃𝐨𝐦(𝐟) = 𝟏; 𝟐
CLAVE: B

36. 36
APLICACIÓN 13
Determine el rango de la función f, definida por:
f x =
4
π
∙ arctan
2𝑥3
1 + 𝑥6
+ 3
A) 2; 5 B) 2; 4 C) 0; 3 D) 1; 3 E) 1; 4
RESOLUCIÓN: ∀x ∈ ℝ
Luego: arctan −1 ≤ arctan
2x3
1 + x6
≤ arctan 1
∴ 𝐑𝐚𝐧(𝐟) = 𝟐; 𝟒
CLAVE: B
⇒ −1 ≤
2𝑥3
1 + 𝑥6 ≤ 1
⇒ −
π
4
≤ arctan
2x3
1 + x6
≤
π
4
⇒
4
π
−
π
4
+ 3 ≤
4
π
∙ arctan
2𝑥3
1 + 𝑥6 + 3 ≤
4
π
π
4
+ 3 ⇒ 2 ≤ 𝐟(𝐱) ≤ 4
⇒ −
1
2
≤
𝑥3
1 + 𝑥6
≤
1
2

37. 37
APLICACIÓN 14
Determine el rango de la función f ,definida por:
f x =
8
π
∙ arctan sen 2x + 1
A) −1; 1 B) −2; 2 C) 0; 1 D) −1; 1 E) −1; 3
RESOLUCIÓN: ∀x ∈ ℝ
Luego: arctan −1 ≤ arctan 𝑠𝑒𝑛 2x ≤ arctan 1
∴ 𝐑𝐚𝐧(𝐟) = −𝟏; 𝟑
CLAVE: E
⇒ −
π
4
≤ arctan 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ≤
π
4
⇒
8
π
−
π
4
+ 1 ≤
8
π
∙ arctan sen 2x + 1 ≤
8
π
π
4
+ 1 ⇒ −1 ≤ 𝐟(𝐱) ≤ 3
⇒ −1 ≤ sen(2x) ≤ 1

38. 38
APLICACIÓN 15
Determine el rango de la función f definida por:
f x =
arcsen x + 2arctan(x)
π
A) −1;
1
2
B) ℝ C) 0;
3
16
D) −1; 1 E) −1; 1
RESOLUCIÓN:
Como las funciones arcoseno y arcotangente son crecientes en −𝟏; 𝟏 , entonces
:
Ran(f) = f(−1); f(1)
∴ 𝐑𝐚𝐧(𝐟) = −𝟏; 𝟏
CLAVE: E
Dom 𝑓 = −1; 1 ∩ ℝ ⇒ 𝐃𝐨𝐦 𝐟 = −𝟏; 𝟏
=
−
π
2
+ 2 −
π
4
π
;
π
2
+ 2
π
4
π
= −𝟏; 𝟏

39. 39
PROBLEMAS RESUELTOS

40. 40
PROBLEMA 01
Calcule la suma de los elementos
enteros del dominio de la función
f, definida por:
f x = arcsen 2x − 1 − 3 − 1
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
RESOLUCIÓN: f está definida si.
−1 ≤ 2x − 1 − 3 − 1 ≤ 1
⇒ 0 ≤ 2x − 1 − 3 ≤ 2
⇒ 1 ≤ 2x − 1 ≤ 5
⇒ −2 ≤ 2x − 1 − 3 ≤ 2
∴ 𝐒𝐮𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨𝐬 = 𝟑
CLAVE: B
⇒ −5 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ −1 ∨ 1 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 5
⇒ −4 ≤ 2𝑥 ≤ 0 ∨ 2 ≤ 2𝑥 ≤ 6
⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
⇒ Elementos enteros: −2; −1; 0; 1; 2; 3

41. 41
PROBLEMA 02
Sea la función f, definida por:
f x =
6
𝜋
arcsen
3
𝑥2 + 4
+ 1
Determine la suma de los
elementos enteros de la
intersección del dominio y
rango de f.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN: 0 ≤ x2 < +∞
Luego:
⇒ 0 <
3
𝑥2 + 4
≤
3
4
∴ 𝐒𝐮𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨𝐬 = 𝟓
CLAVE: B
𝐃𝐨𝐦 𝐟 = ℝ
0 < arcsen
3
x2 + 4
≤
π
3
⇒
6
π
0 + 1 < f x ≤
6
π
π
3
+ 1
⇒ Elementos enteros: 2; 3
∀x ∈ ℝ:
⇒ 0 <
3
𝑥2 + 4
≤
3
2
Además:
⇒ 𝐑𝐚𝐧 𝐟 = ‫ۦ‬𝟏; ሿ
𝟑
⇒ 𝐃𝐨𝐦 𝐟 ∩ 𝐑𝐚𝐧 𝐟 = ‫ۦ‬𝟏; ሿ
𝟑

42. 42
PROBLEMA 03
Al intersecar el dominio y el rango de la función f, definida por:
f x =
3
π
arccos
x2
− 4
3
− 1
se obtiene el intervalo a; b ∪ c , calcule el valor de 2a + 3b + c.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN:
Dominio: −1 ≤
x2
− 4
3
≤ 1
⇒ 0 ≤ arccos
x2
− 4
3
≤ π
⇒ 𝐃𝐨𝐦 𝐟 = − 𝟕; −𝟏 ∪ 𝟏; 𝟕
∴ 𝟐𝐚 + 𝟑𝐛 + 𝐜 = 𝟕
CLAVE: D
⇒ 1 ≤ x2 ≤ 7
Rango: −1 ≤
x2 − 4
3
≤ 1
Partimos de:
⇒
3
π
0 − 1 ≤ f x ≤
3
π
π − 1 ⇒ 𝐑𝐚𝐧 𝐟 = −𝟏; 𝟐
Luego: 𝐃𝐨𝐦(𝐟) ∩ 𝐑𝐚𝐧 𝐟 = 𝟏; 𝟐 ∪ −𝟏
⇒ 𝐚 = 𝟏, 𝐛 = 𝟐, 𝐜 = −𝟏

43. 43
PROBLEMA 04
El dominio de la función f,
definida por:
f x =
arcsen
x
4 −
π
6
arccos(x − 3)
está dado por ሾa; ۧ
b , calcule
2a + 3b.
A) 15 D) 18
B) 16 E) 19
C) 17
RESOLUCIÓN:
Analizamos la existencia de 𝑓.
π
6
≤ arcsen
x
4
≤
π
2
Es decir: 𝐚 = 𝟐; 𝐛 = 𝟒
⇒ 𝐃𝐨𝐦 𝐟 = ሾ𝟐; ۧ
𝟒
⇒
1
2
≤
x
4
≤ 1 ∧ 2 ≤ x < 4
⇒ 2 ≤ x ≤ 4 ∧ 2 ≤ x < 4
∧ −1 ≤ x − 3 < 1
∴ 𝟐𝐚 + 𝟑𝐛 = 𝟏𝟔
CLAVE: B

44. 44
PROBLEMA 05
Al determinar el rango de la
función f, definida por:
f x = arccos 2x − 6arcsen x
Se obtiene el intervalo a; b ,
calcule el valor de:
2a + 3b
π
A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
RESOLUCIÓN: Determinamos el dominio de 𝑓.
−1 ≤ 2x ≤ 1 ∧ −1 ≤ x ≤ 1
𝐚 = −𝛑 y 𝐛 = 𝟐𝛑
Evaluando:
𝑓
1
2
= arccos 1 − 6arcsen
1
2
= −𝛑
⇒ Dom(f) = −
1
2
;
1
2
Se observa que f es una función decreciente,
entonces:
Ran f = f
1
2
; f −
1
2
Luego:
𝑓 −
1
2
= arccos −1 − 6arcsen −
1
2
= 𝟐𝛑
∴
𝟐𝐚 + 𝟑𝐛
𝛑
= 𝟒 CLAVE: C

45. 45
PROBLEMA 06
Determine el dominio de la
función f, definida por:
f x =
3arcsen
2cos x − 5
3
+ π
2arccos
1
x2 + 2
A) 2πn ; ∀n ∈ ℤ
B) 4n − 1
π
2
; ∀n ∈ ℤ
C) 2n + 1
π
2
; ∀n ∈ ℤ
D) 2n + 1 π ; ∀n ∈ ℤ
E) nπ ; ∀n ∈ ℤ
RESOLUCIÓN:
0 <
1
x2 + 2
≤
1
2
⇒ 𝐱 = 𝟐𝛑𝐧; ∀n ∈ ℤ
⇒ 1 ≤ cos x ≤ 4
cos x = 1
∴ 𝐃𝐨𝐦(𝐟) = 𝟐𝐧𝛑 ; ∀𝐧 ∈ ℤ
CLAVE: A
−1 ≤
2cos x − 5
3
≤ 1
⇒
π
2
> arccos
1
x2 + 2
≥
π
3
⇒ 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬
𝟏
𝐱𝟐 + 𝟐
≠ 𝟎
Se debe cumplir:
∀x ∈ ℝ:
∧ −1 ≤ cos x ≤ 1
Luego:

46. 46
∴ 𝟓𝐛 − 𝟐𝐚 = 𝟏𝟖
PROBLEMA 07
Si el rango de la función f
definida por:
f x =
6
π
. arccos
2sen2
(x)
cos2 x + 2
+ 1
Está dado por a; b , calcule el
valor de 5b − 2a.
A) 8
B) 10
C) 11
D) 15
E) 18
Reescribiendo:
2sen2(x)
cos2 x + 2
+ 2 − 2
⇒
6
π
0 + 1 ≤ f x ≤
6
π
π
2
+ 1
∀x ∈ ℝ; 0 ≤ cos2
x ≤ 1
⇒ 𝟎 ≤
𝟔
𝐜𝐨𝐬𝟐 𝐱 + 𝟐
− 𝟐 ≤ 𝟏
0 ≤ arccos
6
cos2 x + 2
− 2 ≤
π
2
𝐚 = 𝟏 y 𝐛 = 𝟒
Es decir:
=
𝟔
𝐜𝐨𝐬𝟐 𝐱 + 𝟐
− 𝟐
⇒ 2 ≤ cos2 x + 2 ≤ 3
CLAVE: E
RESOLUCIÓN:
Luego:
⇒ 𝟏 ≤ 𝐟 𝐱 ≤ 𝟒

47. 47
PROBLEMA 08
Al determinar el rango de la función f, definida por:
f x =
3arcsen x + 2π
arccos 2x + π
se obtiene el intervalo a; b , calcule el valor de 2a + b.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ 2x ≤ 1
h x =
1
arccos 2x + π
⇒ 𝐃𝐨𝐦 𝐟 = −
𝟏
𝟐
;
𝟏
𝟐
∴ 𝟐𝐚 + 𝐛 = 𝟒
CLAVE: D
g x = 3arcsen x + 2π y
Sea:
Ran f = f −
1
2
; f
1
2
En el dominio determinado g y h son funciones crecientes, además adoptan
solo valores positivos, entonces podemos afirmar que f es creciente, luego:
⇒ 𝐚 = 𝟑/𝟒, 𝐛 = 𝟓/𝟐
=
𝟑
𝟒
;
𝟓
𝟐

48. 48
PROBLEMA 09
Determine el rango de la función f definida por:
f x =
16
π2
arcsen x . arctan x
A) 0; 1 B) 0; 2 C) −1; 1 D) −2; 2 E) 0; 4
RESOLUCIÓN:
Se observa que es una función par, ya que f −x = f(x), entonces para determina
r el rango solo basta con considerar el intervalo 0; 1 , del dominio.
Ran f = f 0 ; f(1) =
16
π2
𝟎 . 𝟎 ;
16
π2
𝛑
𝟐
.
𝛑
𝟒
∴ 𝐑𝐚𝐧(𝐟) = 𝟎; 𝟐 CLAVE: B
Dom f = −1; 1
En el intervalo 0; 1 las funciones g x = arcsen(x) y h x = arctan(x) son crecientes
y adoptan solo valores positivos, entonces f es creciente, luego:
= ሾ
ሿ
𝟎;
𝟐

49. 49
PROBLEMA 10
Sea la función f, definida por:
f x =
arctan 2x2 − 3x − 2 + π
2 arcsen
2x − 1
5
− π
Determine la suma de los
elementos enteros del dominio
de f.
A)0
B)1
C)2
D)3
E)4
RESOLUCIÓN:
⇒ Dom f = ‫ۦ‬−2; ൨
−
1
2
∪ ሾ2; ۧ
3
⇒ Elementos enteros = −1; 2
∴ 𝐒𝐮𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨𝐬 = 𝟏
CLAVE: B
2x2 − 3x − 2 ≥ 0 ∧ −1 <
2x − 1
5
< 1
⇒ 2x + 1 x − 2 ≥ 0 ∧ −5 < 2x − 1 < 5
f está definida si:
⇒ (x ≤ −
1
2
∨ x ≥ 2) ∧ −2 < x < 3

50. 50
PROBLEMA 11
RESOLUCIÓN:
∴ 𝟐𝐚 + 𝟑𝐛 + 𝟒𝐜 = 𝟕
CLAVE: B
Si el dominio de la función f
definida por:
f x =
arccos
x + 1
5
arctan 2x − 3 − 1 − π
Está dado por a; b ∪ b + 1; c ,
calcule el valor de 2a + 3b + 4c.
A) 4 D) 12
B) 7 E) 14
C) 10
Para que f esté definida:
−1 ≤
x + 1
5
≤ 1 ∧ 2x − 3 − 1 ≥ 0
𝐃𝐨𝐦 𝐟 = −𝟔; 𝟏 ∪ 𝟐; 𝟒
Luego:
⇒ −5 ≤ x + 1 ≤ 5 ∧ 2x − 3 ≥ 1
⇒ −6 ≤ x ≤ 4 ∧ ( 2x − 3 ≤ −1 ∨ 2x − 3 ≥ 1 )
⇒ −6 ≤ x ≤ 4 ∧ ( x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 )
⇒ 𝐚 = −𝟔; 𝐛 = 𝟏; 𝐜 = 𝟒

51. 51
PROBLEMAS ADICIONALES

52. 52
PROBLEMA 12
Determine el dominio de la función f definida por:
f x = 2arccos 2sen x − 1 −
π
2
; ∀n ∈ ℤ
A) 2nπ; (2n + 1)π B) 2nπ; 4n + 1 π/2 C) 4n − 1 π/2; 2nπ
D) nπ; 2n + 1 π/2 E) 4n + 1 π/2; (2n + 1)π
RESOLUCIÓN:
Por definición: −1 ≤ 2sen x − 1 ≤ 1
⇒ 0 ≤ 2sen x ≤ 2
Analizando en la CT:
Finalmente:
0 + 2nπ ≤ x ≤ π + 2nπ
X
Y
𝛑 𝟎
⇒ 0 ≤ sen x ≤ 1 ∴ Dom f = 2nπ; 2n + 1 π
CLAVE: A

53. 53
Determine el dominio de la función 𝑓 definida por:
A) kπ B)
kπ
2
C) 2kπ D)
(2k+1)π
2
E)
(4k+1)π
2
En la función: f x =
6
π
arccos 1 + vers(x) vers2
x + sen2
(x)
A
Por definición: −1 ≤ A ≤ 1 … (1)
Pero: A = 1 + (1 − cos(x)) 1 − cos(x) 2
+ sen2
(x)
0; 4
⇒ A = 1 + 2 1 − cos(x) 2
⇒ 1 ≤ A ≤ 9 … (2)
De (1) y (2):
A = 1 ⟺ 1 − cos x = 0 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 2kπ, k ∈ ℤ
2 − 2cos(x)
𝑓 x =
6
π
arccos 1 + vers(x) vers2
x + sen2
(x) ; ∀k ∈ ℤ
PROBLEMA 13
RESOLUCIÓN:
∴ Dom(𝑓) = 2kπ, k ∈ ℤ CLAVE: C

54. 54
Determine el rango de la función f definida por: f x =
12
π
arcsen
3sen x + 7Cos(x)
8
+ 4
A) 2; 4 B) 2; 6 C) 3; 6 D) 1; 6 E) 2; 5
En la función: f x =
12
π
arcsen
3sen x + 7Cos(x)
8
+ 4
Sabemos que:
−4 ≤ 3sen x + 7cos(x) ≤ 4
⇒ −
1
2
≤
3sen x + 7cos(x)
8
≤
1
2
Por monotonía:
arcsen −
1
2
≤ arcsen
3sen(x) + 7cos(x)
8
≤ arcsen
1
2
−
π
6
π
6
−
π
6
≤ arcsen
3sen(x) + 7cos(x)
8
≤
π
6
⇒ −
π
6
12
π
+ 4 ≤ f(x) ≤
π
6
12
π
+ 4
PROBLEMA 14
RESOLUCIÓN:
∴ Ran(𝑓) = 𝟐; 𝟔 CLAVE: B

55. 55
A)
π
6
;
π
4
B)
π
6
;
π
3
C)
π
4
;
π
3
D)
π
12
;
5π
12
E) −
π
4
;
π
3
Determine el rango de la función 𝑓, definida por
𝑓 x = arctan 6 + 3 − 2 − 1 sen x + cos x − 6 − 3 + 2 + 2
Recordemos que: Si x ∈ ℝ
⟹ arctan 1 ≤ arctan 6 + 3 − 2 − 1 sen x + cos x − 6 − 3 + 2 + 2 ≤ arctan 3
Dom 𝑓 = ℝ
⟹ 1 ≤ sen x + cos x ≤ 2
La función arctan x es creciente y continua en ℝ
⟹ 6 + 3 − 2 − 1 ≤ 6 + 3 − 2 − 1 sen x + cos x ≤ 2 3 + 6 − 2 − 2
⟹ 1 ≤ 6 + 3 − 2 − 1 sen x + cos x − 6 − 3 + 2 + 2 ≤ 3
⟹
π
4
≤ 𝑓 x ≤
π
3
PROBLEMA 15
RESOLUCIÓN:
∴ Ran 𝑓 =
𝝅
𝟒
;
𝝅
𝟑
CLAVE: C

56. 56
PROBLEMA 16
A partir de la condición dada tenemos:
R −1; −
π
2
, Q 1,5; 0 y P(xo; arcsen(xo))
La grafica mostrada corresponde a
la función 𝑓 x = arcsen(x) ; las
abscisas de los puntos P y Q en el
rectángulo PQRS son xo y 1,5
respectivamente, calcule:
A) 3,86
B) 3,24
C)2
D) 1,41
E) 1,04
sec
3 − 2x0
arcsen x0
Dado que: RQ ⊥ QP ⟹ mRQ ∙ mQP = −1
𝐑 −𝟏; −
𝛑
𝟐
𝐏(𝐱𝐨; 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝐱𝐨))
𝐐 𝟏, 𝟓; 𝟎
0 +
π
2
1,5 + 1
arcsen xo
xo − 1,5
= −1
π
5
arcsen xo
xo − 1,5
= −1
π
5
=
1,5 − x0
arcsen xo
2π
5
=
3 − 2x0
arcsen xo
RESOLUCIÓN:
sec
3 − 2x0
arcsen xo
= sec 72° = 5 + 1
CLAVE: B

57. 57
Determine el dominio de la función 𝑓 definida por:
𝑓 𝑥 =
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
+ 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 𝜋
A) ሾ−1; 1ሿ B) ሾ−1; ۧ
1 C) ሾ1; 2ሿ D) ሾ1; ۧ
2 E) ሾ0; ۧ
2
En la función, analizamos las
restricciones:
1º) En el arco seno: −1 ≤
x
2
≤ 1
−2 ≤ x ≤ 2
2º) En el arco coseno: −1 ≤
x
2
< 1
−2 ≤ x < 2
3º) En el arco tangente: 4 arctan x − π ≥ 0
arctan x ≥
π
4
π
2
> → x ≥ 1
4º) De las tres restricciones: 1 ≤ x < 2
PROBLEMA 17
RESOLUCIÓN:
∴ Dom(𝑓) = ሾ1; ۧ
2 CLAVE: D

58. 58
Determine el rango de la función 𝑓 definida por: 𝑓 x = arcsen
x
4
− arccos
x
2
+ arctan
x 3
2
A) −
π
2
;
3π
2
B) −
π
4
;
π
2
C) −
π
4
;
3π
4
D) −
3π
2
;
3π
4
E) −
3π
2
;
π
2
En la función:
1º) En el arco seno:
−1 ≤
x
4
≤ 1 ⇒ −4 ≤ x ≤ 4
2º) En el arco coseno:
−1 ≤
x
2
≤ 1 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2
Entonces: 𝐃𝐨𝐦 𝒇 = ሾ−𝟐; 𝟐ሿ
3º) Note que: 𝑓 x = arcsen
x
4
+ −arccos
x
2
+ arctan
x 3
2
Es creciente en −2; 2 : ⇒ 𝑓(−2) ≤ 𝑓(x) ≤ 𝑓(2)
* 𝑓 −2 = arcsen
−2
4
− arccos
−2
2
+ arctan
−2 3
2
𝑓 −2 = −
π
6
− π + −
π
3
⇒ 𝑓 −2 = −
3π
2
* 𝑓 2 = arcsen
2
4
− arccos
2
2
+ arctan
2 3
2
𝑓 2 =
π
6
− 0 +
π
3
⇒ 𝑓 2 =
π
2
PROBLEMA 18
RESOLUCIÓN:
∴ Ran 𝑓 = −
𝟑𝝅
𝟐
;
𝝅
𝟐
CLAVE: E

59. 59
Para que 𝑓 este definida en los reales:
Resolveremos (I) a partir de las graficas de: y = arccos x , y = arctan(x)
arccos x ≥ arctan x ∧ −1 ≤ x − 1 ≤ 1 ∧ arcsen x − 1 ≠ 0
A) 5
Dada la función 𝑓 definida por:
𝑓 x =
arccos x − arctan x
arcsen(x − 1)
Cuyo dominio es a; b , calcule a + b4
+ b2
B) 4 C) 3
D) 5 E) 1
(I) (II) (III)
y = arccos n = arctan(n)
𝐭𝐚𝐧 𝐲 = 𝐧 ∧ 𝐜𝐨𝐬 𝐲 = 𝐧
Estas se interceptan cuando x = n, entonces:
PROBLEMA 19
RESOLUCIÓN:

60. 60
𝐧
Reemplazamos en:
𝐬𝐞𝐜𝟐
𝐲 = 𝐭𝐚𝐧𝟐
𝐲 + 𝟏
1
n2
= n2
+ 1 ⟹ n4
+ n2
− 1 = 0
n =
5 − 1
2
Resolviendo:
⟹ 𝐱𝛜 −𝟏;
𝟓 − 𝟏
𝟐
… . (∗)
De (II) y (III):
−1 ≤ x − 1 ≤ 1 ∧ arcsen x − 1 ≠ 0
𝟎 ≤ 𝐱 ≤ 𝟐 ∧ 𝐱 ≠ 𝟏 … … (∗∗)
Interceptamos (∗) y (∗∗):
−𝟏 𝐧
𝟎 𝟐
𝟏
⟹ Dom 𝑓 = ሾ0; nሿ
Identificamos a = 0 y b = n ∴ a + b2
+ b4
= 1 CLAVE: E

61. 61
PROBLEMA 20
Determine el dominio de la función f, definida por:
f x = arcsen(x) − 2arctan(x)
A) 0; 1 B) −1; 1 C) ‫ۦ‬−∞; ሿ
0 D) ‫ۦ‬−1; ሿ
0 E) −1; 0 ∪ 1
RESOLUCIÓN: Para que f esté definida:
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 ≥ 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙) ∧ −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 = 2 𝑎𝑟𝑐tan(𝑥)
1
−1
π
2
−
π
2
De la gráfica se observa:
𝑥 ∈ −1; 0 ∪ 1
⇒ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = −𝟏; 𝟎 ∪ 𝟏
CLAVE: E