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- 3. OBJETIVOS: ❑ Definir al polígono y reconocer sus elementos. ❑ Conocer la clasificación de los polígonos. ❑ Aplicar correctamente los teoremas en los polígonos para la resolución de problemas tipo examen de admisión UNI
- 4. POLÍGONO ▪ DEFINICIÓN. ▪ CLASIFICACIÓN. ▪ TEOREMAS.
- 5. DEFINICIÓN 𝑉1 𝑉2 𝑉4 𝑉3 𝑉6 𝑉5 𝑉 𝑛 𝑉𝑛−1 Es la figura geométrica formada por segmentos de recta coplanares que comparten únicamente sus extremos, donde cada par de segmentos consecutivos no están en línea recta y que limitan solamente una región en el plano al cual pertenecen. Del gráfico: ❑ Vértices: ❑ Lados: 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, … , 𝑉𝑛−1, 𝑉 𝑛 𝑉1𝑉2, 𝑉2𝑉3, 𝑉3𝑉4, … , 𝑉𝑛−1𝑉 𝑛 𝑦 𝑉 𝑛𝑉1 Región interior Región exterior Notación: Polígono 𝑽𝟏𝑽𝟐𝑽𝟑 … 𝑽𝒏 ELEMENTOS DEL POLÍGONO: Polígono Plano ℙ Región poligonal: 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 ∪ 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
- 6. ❑ Nomenclatura de los polígonos más comunes: En los gráficos siguientes indique cuales son polígonos: ✓ Triángulo 3 lados ✓ Cuadrilátero 4 lados ✓ Pentágono 5 lados ✓ Hexágono 6 lados ✓ Heptágono 7 lados ✓ Octágono u Octógono 8 lados ✓ Nonágono o Eneágono 9 lados ✓ Decágono 10 lados ✓ Undecágono o Endecágono 11 lados ✓ Dodecágono 12 lados ✓ Pentadecágono 15 lados ✓ Icoságono 20 lados Sí es polígono No es polígono Sí es polígono No es polígono A los demás polígonos se le nombra según su número de lados, ejemplo, polígono de 50 lados.
- 7. A B C D E H G F Los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos, es decir no son lados, se denominan diagonales. 𝐼 Los segmentos de recta que unen los puntos medios de dos lados, se denominan diagonales medias. 𝐶𝐹, 𝐼𝐺, … Ejemplo: 𝑁 𝑀 Ejemplo: 𝑀𝑁, … 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 En el gráfico se muestra un polígono, en el cual vamos a definir los siguientes elementos asociados: ❑ DIAGONAL ❑ DIAGONAL MEDIA
- 9. POLÍGONO NO CONVEXO POLÍGONO CONVEXO Se denomina así a aquel polígono, cuya región interior es una región convexa Se denomina así a aquel polígono, cuya región interior es una región no convexa ❑ Al trazar una recta secante a dos lados de un POLÍGONO CONVEXO, ésta interseca solo en dos puntos a dicho polígono. ❑ Al trazar una recta secante a dos lados de un POLÍGONO NO CONVEXO, ésta puede intersecar en más de dos puntos a dicho polígono.
- 10. POLÍGONO EQUILÁTERO A B C D E H G F a a a a a a a a Es el polígono que tiene todos sus lados de igual longitud. (LADOS CONGRUENTES) Estos polígonos pueden limitar una región convexa o una región no convexa. 𝑀 𝑁 𝑃 𝑇 𝑆 𝑅 𝑄 ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ❑ 𝑀𝑁𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇 es un heptágono equilátero convexo. ❑ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 es un octágono equilátero no convexo.
- 11. e e e e e e POLÍGONO EQUIÁNGULO e A B C D E G F Es el polígono que tiene todas sus medidas angulares internas iguales. 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 En estos polígonos sus ángulos exteriores también tienen la misma medida. NOTA: En la UNI, se considera que un polígono equiángulo puede ser no convexo. Todo polígono equiángulo es un polígono convexo. Encontramos situaciones cotidianas donde se involucran a los distintos polígonos, que pueden usarse para formar las más inusuales formas como son los origamis.
- 12. 𝑅 𝑟 POLÍGONO REGULAR 𝜃𝑐 Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a dos circunferencias concéntricas. 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺 es un polígono regular. ➢ 𝑂: Centro del polígono regular. 𝜃𝑐: Medida del ángulo central 𝑂 𝑅 𝑅 ൗ 𝛼 2 ൗ 𝛼 2 ൗ 𝛼 2 ൗ 𝛼 2 𝑒 𝒆 = 𝜽𝒄 Es el polígono convexo que es equilátero y equiángulo a la vez. 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ➢ En este polígono el ángulo exterior (𝑒) presenta la misma medida que su ángulo central. Si unimos el centro 𝑂 del polígono con dos vértices consecutivos se determina el ángulo central. Además el centro equidista de los vértices del polígono regular, es decir, los segmentos que unen el centro con los vértices del polígono tienen la misma longitud. Del gráfico: ➢ ∆𝐸𝑂𝐺 se denomina TRIÁNGULO ELEMENTAL del polígono regular. 𝐹 𝐺
- 13. Nota En algunos problemas sobre polígonos regulares, vamos a tener la necesidad de ubicar al centro, ¿cómo hacer ello?, te damos dos sugerencias. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 Se muestra un polígono regular Trazamos las mediatrices de dos lados consecutivos, la intersección de dichas mediatrices será el centro del polígono regular. Trazamos las bisectrices de dos ángulos internos consecutivos, la intersección de dichas bisectrices será el centro del polígono regular. 𝑂 Centro del polígono regular 𝑂 Centro del polígono regular
- 15. Teorema 𝟏 En todo polígono, se cumple que el número de lados, el número de vértices y el número de ángulos internos son iguales. 𝑵°𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 = 𝑵°𝒗é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒔 = 𝑵°∢𝒔 𝒊𝒏𝒕. = 𝒏 Teorema 𝟐 En todo polígono, el número de diagonales trazadas desde un vértice 𝑁. °𝐷1𝑣 es igual al número de lados disminuido en tres. Polígono de "𝑛" lados Se cumple: 𝑵. °𝑫𝟏𝒗 = 𝒏 − 𝟑 Teorema 𝟑 En todo polígono, el número total de diagonales 𝑁. °𝐷 es igual al semiproducto del número de lados con el número de lados disminuido en tres. Polígono de "𝑛" lados Se cumple: 𝑵. °𝑫 = 𝒏(𝒏 − 𝟑) 𝟐 Ten en cuenta que, en un polígono convexo al trazar todas las diagonales desde un vértice, dicho polígono queda divido en triángulos cuya cantidad es igual a 𝒏 − 𝟐, siendo "𝒏" el número de lados del polígono. 𝑉1 𝑉2 𝑉4 𝑉3 𝑉 𝑛 𝑉𝑛−1 𝑉1 𝑉2 𝑉4 𝑉3 𝑉 𝑛 𝑉𝑛−1
- 16. Resolución 𝟏𝟗𝟕𝟎 EXAMEN UNI Cuál es el polígono convexo en el que el número de diagonales es mayor en 133 que el número de lados. A) El de 19 lados. B) El de 23 lados. C) El de 16 lados. D) El de 24 lados. E) El de 25 lados. Nos piden indicar el polígono. ▪ Lo que tenemos que hacer es hallar el número de lados "𝑛". ▪ Del dato: 𝑁. °𝐷 𝑁. ° 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 +133 = SABEMOS POR TEOREMA QUE: Se cumple: 𝑵. °𝑫 = 𝒏(𝒏 − 𝟑) 𝟐 En un polígono de "𝑛" lados. 𝒏(𝒏 − 𝟑) 𝟐 = 𝑛 + 133 x → 𝑛2 − 3𝑛 = 2𝑛 + 266 → 𝑛2 − 5𝑛 − 266 = 0 Aplicamos aspa simple 𝑛 𝑛 −19 14 −19𝑛 14𝑛 + −5𝑛 → (𝑛 − 19)(𝑛 + 14) = 0 𝑛 = 19 ڀ 𝑛 = −14 ▪ De la ecuación se tiene que: ∴ 𝑬𝒍 𝒑𝒐𝒍í𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒑𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝟏𝟗 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔. Clave 𝑨
- 17. Teorema 𝟒 En todo polígono de 𝑛 lados, se cumple que el número diagonales que se pueden trazar desde 𝐾 vértices consecutivos 𝑁. °𝐷𝐾.𝑉𝑐 𝑛 es igual a la siguiente expresión: 𝑵. °𝑫𝑲.𝑽𝒄 𝒏 = 𝒏 ∙ 𝑲 − 𝒌 + 𝟏 (𝒌 + 𝟐) 𝟐 Para todo 𝐾 ≤ 𝑛 Aplicación: En un nonágono, calcule el número de diagonales trazadas desde 4 vértices consecutivos. Resolución: Como se trata de un nonágono, sabemos que: 𝑛 = 9 Además 𝐾 = 4, para calcular lo que nos piden, aplicamos el teorema 4 𝑵. °𝑫𝟒.𝑽𝒄 𝟗 = 𝟗 ∙ 𝟒 − 𝟒 + 𝟏 (𝟒 + 𝟐) 𝟐 𝑵. °𝑫𝟒.𝑽𝒄 𝟗 = 𝟑𝟔 − 𝟏𝟓 ∴ 𝑵. °𝑫𝟒.𝑽𝒄 𝟗 = 𝟐𝟏 Teorema 𝟓 En todo polígono, el número diagonales medias trazadas desde un punto medio 𝑁. °𝐷𝑀1ℓ es igual al número de lados disminuido en uno. Polígono de "𝑛" lados Se cumple: 𝑵. °𝑫𝑴𝟏𝓵 = 𝒏 − 𝟏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 𝑑 𝑑 Teorema 𝟔 En todo polígono, el número total de diagonales medias trazadas 𝑁. °𝐷𝑀 es igual al semiproducto del número de lados con el número de lados disminuido en uno. Se cumple: 𝑵. °𝑫𝑴 = 𝒏(𝒏 − 𝟏) 𝟐 Donde "𝒏" es el número de lados 𝑉1 𝑉2 𝑉4 𝑉3 𝑉 𝑛 𝑉𝑛−1
- 18. Veamos algunos teoremas en polígonos convexos Polígono convexo de "𝑛" lados 𝑖𝑛 𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝐦∡𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍í𝒈𝒐𝒏𝒐 = e4 e3 e2 e1 e𝑛 𝟏𝟖𝟎° 𝒏 − 𝟐 𝒎∡𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍í𝒈𝒐𝒏𝒐 = 𝟑𝟔𝟎° Demostración: Sabemos que en todo polígono de "𝑛" lados, desde un vértice, podemos trazar 𝑛 − 3 diagonales, las cuales forman 𝑛 − 2 triángulos, veamos: Polígono de "𝑛" lados ▪ Notamos que la suma de medidas de los ∢𝑠 internos de los triángulos formados es igual a la suma de medidas de los ∢𝑠 internos del polígono convexo. ▪ Entonces: 180° 180° 180° 𝐦∡𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍í𝒈𝒐𝒏𝒐 = 180° + 180° + 180° + ⋯ +180° (𝑛 − 2) veces 𝟏𝟖𝟎° 𝒏 − 𝟐 𝑺𝒎∢𝒔 𝒊 = 𝑺𝒎∢𝒔 𝒆 = ∴ 𝑺𝒎∢𝒔 𝒊 = 𝑵° ∢𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 <> 𝑺∢𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐𝒔 = OBSERVACIÓN: El número de ∢𝑠 rectos que equivale la 𝑆𝑚∢𝑠 𝑖 es igual a: 𝟐(𝐧 − 𝟐) 𝑉1 𝑉2 𝑉4 𝑉3 𝑉 𝑛 𝑉𝑛−1 𝑉1 𝑉2 𝑉4 𝑉3 𝑉 𝑛 𝑉𝑛−1
- 19. 𝟐𝟎𝟐𝟎 − 𝟏 EXAMEN UNI Si el número de lados de un polígono convexo disminuye en dos, el número de diagonales disminuye en quince. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono inicial en grados sexagesimales. A) 1440 B) 1620 C) 1800 D) 1980 E) 2160 Clave 𝑨 Resolución Nos piden 𝑆𝑚∢𝑠 𝑖 del polígono. Polígono inicial Polígono final Número de lados Número de diagonales (𝑵. °𝑫) ▪ Colocaremos la información en un recuadro, para un polígono convexo de 𝑛 lados: 𝑛 𝑛 − 2 𝑛(𝑛 − 3) 2 ▪ Por dato, tenemos que: El número de diagonales disminuye en quince. → 𝑛(𝑛 − 3) 2 −15 Multiplicamos por 2 → 𝑛2 − 3𝑛 − 30 = 𝑛2 − 7𝑛 + 10 → 4𝑛 = 40 𝑛 = 10 ▪ Ahora aplicamos el teorema de la suma de medidas de ∢𝑠 internos: 𝑺𝒎∢𝒔 𝒊 =𝟏𝟖𝟎° 𝟏𝟎 − 𝟐 ∴ 𝑺𝒎∢𝒔 𝒊 = 𝟏𝟒𝟒𝟎° Para un polígono de "𝑛" lados: 𝑵. °𝑫 = 𝒏(𝒏 − 𝟑) 𝟐 𝟏𝟖𝟎° 𝒏 − 𝟐 𝑺𝒎∢𝒔 𝒊 = Además: RECUERDA ( )( ) 2 𝑛 − 2 𝑛 − 2 − 3 = ( )( ) 2 𝑛 − 2 𝑛 − 2 − 3
- 20. e e e e e 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 En el gráfico se tiene un polígono equiángulo de "𝑛" lados. Vamos aplicar la suma de medidas de los ángulos internos: 𝑖 + 𝑖 + 𝑖 + ⋯ + 𝑖 = 180°(𝑛 − 2) "𝑛" veces → 𝑛 ∙ 𝑖 = 180°(𝑛 − 2) ❑ Entonces encontramos que, para todo polígono equiángulo de 𝒏 lados, la medida de su ángulo interior se calcula con la siguiente expresión: 𝒎∢𝒊𝒏𝒕. = 180° 𝑛 − 2 𝑛 También podemos deducir que: la medida de su ángulo exterior se calcula con la siguiente expresión: 𝒎∢𝒆𝒙𝒕. = 360° 𝑛 𝑒 + 𝑒 + 𝑒 + ⋯ 𝑒 = 360° "𝑛" veces → 𝑛 ∙ 𝑒 = 360° ❑ Entonces encontramos que, para todo polígono equiángulo de 𝒏 lados, Recuerda que un POLÍGONO REGULAR también es equiángulo, eso quiere decir que estos teoremas los podemos aplicar en dichos polígonos, además en un POLÍGONO REGULAR sabemos que el ángulo exterior y central tienen la misma medida, es decir el último teorema sirve para el cálculo de la medida del ∢central en el POLÍGONO REGULAR 𝑉1 𝑉2 𝑉4 𝑉3 𝑉 𝑛 𝑉𝑛−1
- 21. 𝛽 𝒎∢𝒊𝒏𝒕. = 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 Como ya conocemos algunos teoremas para los polígonos regulares, veamos algunos que básicamente debemos conocer para aprovechar sus características. ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 108° 108° ❑ Calculemos la medida de su ángulo interior: 𝜃= 180°( ) 5 − 2 5 → 𝜃 = 108° = 108° = 108° 𝑂 ❑ Sea 𝑂 el centro del pentágono regular Pentágono regular → 𝛽: Medida del ∢central 𝒎∢𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 = 𝛽 = 360° 5 → 𝛽 = 72° = 72° ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 𝐸 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ❑ En el pentágono regular mostrado se tiene: ∆𝐸𝐴𝐵 ≅ ∆𝐵𝐶𝐷 (𝐿. 𝐴. 𝐿) → 𝑬𝑩= 𝑩𝑫 ❑ En todo pentágono regular, se cumple que todas sus diagonales tienen la misma longitud. 𝑑 𝑑
- 22. 60° 60° 60° 60° 60° 60° 60° 60° 60° 60° 60° 60° 𝛽 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 Hexágono regular 𝑂 𝒎∢𝒊𝒏𝒕 = ❑ Calculemos la medida de su ángulo interior: 𝜃= 180°( 6 − 2) 6 → 𝜃 = 120° = 120° = 120° ❑ Sea 𝑂 el centro del hexágono regular → 𝛽: Medida del ∢central 𝑚∢𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 𝛽 = 360° 6 → 𝛽 = 60° = 60° ❑ Todo hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros. 𝑂 → 𝑂 el centro del hexágono regular 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜃
- 23. Resolución 𝟐𝟎𝟐𝟎 − 𝟏 PROBLEMA En el gráfico mostrado 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 y 𝐴𝑂𝐹𝐺 son polígonos regulares, si 𝑂 es centro, calcule 𝑥 𝐺 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝑂 𝐹 𝑥 𝐺 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝑂 𝐹 𝑥 Nos piden 𝑥. Del dato: 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸: Pentágono regular de centro 𝑂 𝐴𝑂𝐹𝐺: Cuadrilátero regular (cuadrado) ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 18° 72° Completamos medidas angulares, a partir del centro 𝑂 del pentágono regular. ▪ En 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 por ángulo central: 𝒎∢𝑨𝑶𝑬 = 𝟕𝟐° ▪ Entonces 𝑚∢𝐸𝑂𝐹 = 18° El centro de un polígono regular equidista de sus vértices 𝑎 ▪ Luego, como 𝑂𝐸 = 𝑂𝐹 = 𝑂𝐶 𝐶 𝐸 𝑂 𝐹 𝑥 ∴ 𝒙 = 𝟗° → 𝑥 = 18° 2 ÷ 2 R E C O R D A R ÷ 2
- 24. Ahora inténtalo, te planteamos el RETO DEL TEMA ❑ En el gráfico mostrado, si 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 y 𝐴𝐹𝐷 son polígonos regulares. Calcule 𝑥 𝐹 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸
- 25. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e