3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
OBJETIVOS
C U R S O D E G E O M E T R Í A
• Relacionar los casos de la congruencia con las líneas notables para
generar nuevos teoremas.
• Identificar a partir de sus características a los diferentes teoremas que
se presentaran en los ejercicios.
• Resolver ejercicios haciendo uso de las aplicaciones de la
congruencia.
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
Teorema de la bisectriz
Aplicación
Sugerencia
𝜃
𝜃
A
P
B
O
Si 𝑂𝑃 es bisectriz del ángulo
AOB y del punto P trazamos
perpendiculares a los lados OA
y OB.
Se cumple:
𝑥 = 𝑦
𝜃
𝜃
A
P
B
Se sugiere trazar la
perpendicular 𝑃𝐵, para
formar el teorema de la
bisectriz.
𝑑
𝑑
𝑥
𝑦
Del gráfico calcule 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝜃
𝜃
A
B
C
P
𝑥
2
7
Q
Resolución
Se sugiere trazar 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐶
Entonces 𝑃𝑄 = 𝑃𝐵 = 2
∴ 𝒔𝒆𝒏𝒙 =
𝟐
𝟕
2
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
Tener en cuenta Aplicación
𝜃
𝜃
A
P
B
O
Por el teorema de la bisectriz
𝐴𝑃 = 𝑃𝐵 = 𝑎
además
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
En el gráfico se muestra un poste de altura ℎ, si la línea que determina el
extremo de la sombra es 4𝑚 mayor que su altura y Lucia se ubica a 3𝑚 de
la base del poste, calcule 𝛽.
ℎ
ℎ
P
4
3
3
𝛽
𝛽
37°
Resolución
Trazamos 𝑀𝑃 ⊥ 𝐴𝑆, entonces por el teorema de la bisectriz 𝑄𝑀 = 𝑀𝑃 = 3
𝑄𝐴 = 𝐴𝑃 = ℎ → 𝑃𝑆 = 4
Luego el triangulo MPS es notable de 37° 𝑦 53°
→ 2𝛽 = 53° ∴ 𝜷 =
𝟓𝟑°
𝟐
Q M
A
S
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Resolución
𝑄𝑀 es porción de mediatriz con
lo cual se sugiere trazar 𝐴𝑄.
Entonces AQ=QC=6
∴ 𝒙 = 𝟔
C U R S O D E G E O M E T R Í A
Teorema de la mediatriz
A
P
B
Si 𝐿 es mediatriz del segmento AB
y del punto P se trazan segmentos
hacia los extremos A y B.
Se cumple:
𝑥 = 𝑦
𝑥 𝑦
M 𝑎
𝑎
𝐿
Sugerencia
A
P
B
𝑏 𝑏
M 𝑎
𝑎
Se sugiere trazar el
segmento PB, para
formar el teorema de la
mediatriz.
Aplicación
A
B
C
Q
M
𝑥
6
𝑏 𝑏
Del gráfico calcule 𝑥
𝛽
2𝛽
𝛽
2𝛽
6
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
Tener en cuenta
A
B
C
La altura BM, es también
mediana y bisectriz.
𝐿 𝐿
M 𝑎
𝑎
𝜃𝜃
Sea ABC un triángulo isósceles
de base AC.
𝐵𝑀: porción de mediatriz
Problema
En el gráfico se muestra parte de la estructura de un puente, formada en las
partes laterales por triángulos isósceles, calcule la altura ℎ, aproximadamente
de dicha estructura.
Resolución
5𝑚
18𝑚
6𝑚 6𝑚
6𝑚
5𝑚
5𝑚
ℎ
6
5
5 ℎ
3
3
En el triángulo isósceles la altura relativa a la base lo
divide en dos partes congruentes (idénticos) y
simétricos.
→ 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 = 3
Por teorema de Pitágoras ℎ2
+ 32
= 52
∴ 𝒉 = 𝟒𝒎
A C
M
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
Teorema de los puntos medios
A
B
C
Ubicamos los puntos medios de 𝐴𝐵y 𝐵𝐶.
Con lo cual se cumple
M N
𝒂
𝒂
𝒃
𝒃
𝑀𝑁 =
𝐴𝐶
2
𝑀𝑁 // 𝐴𝐶
Problema
A
B
C
M N
𝒂
𝒂
𝒃
𝒃
2𝑟
𝑟
𝛽
𝛽
7
𝑥
𝑥
2
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
A
B
C
P
M
N
𝑡
𝑡
𝒂
𝒂
𝒃
𝒃
Del gráfico calcule 𝑥
Resolución
Al prolongar 𝐴𝑀 se verifica que el triángulo ABP es isósceles
→ 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃 = 𝑡 𝑦 𝐴𝑀 = 𝑀𝑃 = 𝑎
Luego en 𝑃𝐶 ubicamos el punto medio N
Con lo cual para el triángulo APC, 𝑴𝑵 sería base media
→ 𝑀𝑁 =
𝑥
2
𝑦 𝑚∡𝑀𝑁𝑃 = 𝑚∡𝐴𝐶𝑃 = 𝛼
→
𝑥
2
= 7 ∴ 𝒙 = 𝟏𝟒
Base media
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
Tener en cuenta
A
B
C
Ubicamos el punto medio de 𝐴𝐵 y por
dicho punto trazamos una paralela.
Con lo cual se cumple
M
𝒂
𝒂
𝑀𝑄 =
𝐴𝐶
2
𝐵𝑄 = 𝑄𝐶 = ℎ
Problema (segunda forma)
A
B
C
M Q
𝒂
𝒂
𝒉
𝒉
2𝑟
𝑟
7
𝑥
𝑥
2
𝛼 𝛼
𝛼
𝛼
A
B
C
P
M
Q
𝑡
𝑡
𝒂
𝒂
Del gráfico calcule 𝑥
Resolución
Al prolongar 𝐴𝑀 se verifica que el triángulo ABP es isósceles
→ 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃 = 𝑡 𝑦 𝐴𝑀 = 𝑀𝑃 = 𝑎
Luego por el punto M, trazamos 𝑀𝑄 paralela a 𝐴𝐶.
→ 𝑚∡𝑀𝑄𝑃 = 𝑚∡𝐴𝐶𝑃 = 𝛼
Con lo cual para el triángulo APC, 𝑴𝑸 sería base media
→ 𝑀𝑄 =
𝑥
2
= 7
∴ 𝒙 = 𝟏𝟒
Trazamos una paralela
al segmento AC
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
Teorema de la mediana relativa
a la hipotenusa
A
B
C
Si trazamos la mediana 𝐵𝑀
M
𝒂 𝒂
𝒂
Se cumple 𝐵𝑀 =
𝐴𝐶
2
→ 𝑩𝑴 = 𝒂
Aplicación
10
5
5
5
B
M
A
B
C
Si la longitud de la hipotenusa y su altura relativa suman 25, calcule la
diferencia de dichas longitudes.
15°
Resolución
Es conveniente colocar 4𝑘 a la hipotenusa, ello evita fracciones.
Luego trazamos la mediana relativa a la hipotenusa BM.
𝐵𝑀 = 2𝑘
Como el triángulo BHM e notable de 30° 𝑦 60° → 𝐵𝐻 = 𝑘
Por dato 4𝑘 + 𝑘 = 25 → 𝑘 = 5
Piden 𝐸 = 𝐴𝐶 − 𝐵𝐻 = 4𝑘 − 𝑘 = 3𝑘
∴ 𝑬 = 𝟏𝟓
4𝑘
2𝑘
2𝑘
15°
2𝑘
30°
𝑘
M
H
