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ULTRARRESUMEN GEOMETRIA CURSO INTEGRAL
- 1. GEOMETRIA 1
- 2. 𝛼 𝛽 𝜃 𝑥 𝑦 𝑧 𝐶 𝐵 𝐴 𝑥 𝑦 𝑧 𝒙 = 𝜃 + 𝛽 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 360° 𝜃 + 𝛼 + 𝛽 =180° ↔ 𝒃 > 𝒂 Si 𝜃 > 𝛽 < 𝑐 <𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 TEOREMAS ADICIONALES 𝑥 𝜃 𝛼 𝜔 𝒙 =𝜃 + 𝛼 + 𝜔 𝜃 𝛼 𝛽 𝜔 𝜃 + 𝛼 = 𝛽 + 𝜔 𝜃 𝛼 𝛽 𝜔 𝜃 + 𝛼 = 𝛽 + 𝜔 𝜃 𝛼 𝛽 𝜔 𝜃 + 𝛼 = 𝛽 + 𝜔 TEOREMAS FUNDAMENTALES Teorema de correspondencia y existencia Además
- 3. 𝐴𝐶: BASE (Lado de diferente longitud) 𝑎 𝑎 𝐴 𝐵 𝐶 ∆ ES ISÓSCELES 60° 60° 60° 𝑎 𝑎 𝑎 𝐴 𝐵 𝐶 ∆ ES EQUILÁTERO Teorema de Pitágoras: 𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 Además: 𝜃 + 𝛼 = 90° 𝐴 𝐵 𝐶 𝛼 𝜃 𝑏 𝑐 𝑎 ⊿ ES RECTÁNGULO β β α α 𝒙 = 𝟗𝟎° + 𝜽 𝟐 𝑥 θ α β α β 𝑥 𝒙 = 𝜽 𝟐 θ 𝛽 𝛽 𝛼 𝛼 𝒙 = 𝟗𝟎° − 𝜽 𝟐 𝜃 𝑥 MEDIANA 𝑎 𝑎 BISECTRIZ 𝛼 𝛼 ALTURA MEDIATRIZ ℒ 𝑚 𝑚 LÍNEAS NOTABLES ÁNGULOS ENTRE BISECTRICES
- 4. 𝜃 𝜃 𝑄 𝑅 𝑃 𝐵 𝐶 𝐴 ∆𝑨𝑩𝑪 = ∆𝑷𝑸𝑹 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝜃 𝛼 𝐵 𝐶 𝐴 ∆𝑨𝑩𝑪 = ∆𝑷𝑸𝑹 𝜃 𝛼 𝑃 𝑅 𝑎 𝑎 𝐵 𝐶 𝐴 𝑎 ∆𝑨𝑩𝑪 = ∆𝑷𝑸𝑹 𝑃 𝑅 𝑄 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑏 TEOREMA DE LA BISECTRIZ 𝑎 𝐵 𝑎 𝐴 𝛼 𝛼 𝑂 𝑃 TEOREMA DE LA MEDIATRIZ 𝜃 𝜃 𝑎 𝑎 𝐴 𝐵 𝑚 𝑚 𝐿 𝑃 𝑄 𝐵 𝐶 𝐴 𝑁 𝑀 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 2𝑚 𝑚 𝑀𝑁: Base media Se cumple: 𝑴𝑵 𝑨𝑪 Además: 𝑨𝑪 = 𝟐(𝑴𝑵) TEOREMA DE LA BASE MEDIA 𝐵𝑀 es la mediana relativa a la hipotenusa 𝑀 𝐴 𝐶 𝐵 𝑎 𝑎 𝑎 TEOREMA DE LA MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA Lado-Ángulo-Lado (L-A-L) Ángulo-Lado-Ángulo (A-L-A) Lado-Lado-Lado (L-L-L)
- 6. 1. TRAPECIO Presenta solo dos lados paralelos. TRAPECIO ISÓSCELES 𝛼 𝛼 ℓ ℓ a 𝑑 𝑑 b 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 c 𝑛 𝑛 d TRAPECIO RECTÁNGULO a 𝑥 𝑦 c CÁLCULO DE LINEAS QUE UNEN PUNTOS MEDIOS 𝑎 𝑏 Base media a 𝑚 𝑛 Segmentoque une puntos medios de diagonales b 𝑎 𝑏 Para todo trapecio….. Trazar la altura para aprovechar este triángulo b 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑛 = 𝑏 − 𝑎 2 𝑚 = 𝑎 + 𝑏 2
- 7. 2. PARALELOGRAMO Presenta lados paralelos. TEOREMAS 𝜃 𝜃 𝛼 𝛼 a 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 b RECTÁNGULO 𝑎 𝑏 • 𝑎 ≠ 𝑏 • Diagonalesiguales. CUADRADO 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ROMBO 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝛽 • Lados iguales. • 𝛽 ≠ 90° • Diagonalesdiferentes y perpendiculares. 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 • Sus diagonalesson bisectrices 𝑚 𝑚 ℓ ℓ c O : centro 𝑂 • Diagonales igualesy perpendiculares. 45° 45°
- 8. 3.ALGUNAS SUGERENCIAS Y TEOREMAS ADICIONALES PARA TRAPECIOS Como Aprovechar: Dato en un lado lateral a 𝑎 𝑎 𝑎 Formar un paralelogramo Como aprovechar : Diagonales perpendiculares b c Teorema adicional 𝑥 𝑎 𝑏 PARA CUADRADOS Como aprovechar : Los lados del cuadrado para una congruencia b 𝑂 𝑎 ℓ Distancia del centro a un lado a 𝑎 = ℓ 2 Triángulos rectángulos congruentes c Simetría en el cuadrado 𝑏 𝑎 𝜃 𝛽 𝑎 = 𝑏 𝜃 = 𝛽 Formar un Triángulo rectángulo 𝑥 = 𝑏 − 𝑎 2
- 10. 𝑥 = 𝜃 + 𝛼 2 2𝑥 𝑥 𝑇 𝑇: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑂 𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 = 𝜃 − 𝛼 2 𝑥 + 𝑦 = 180° 𝑇 𝑦 𝑃: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥 = 𝛽 − 𝜔 2 𝑇: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥 𝜔 𝛽 𝑇 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑇 𝑥 𝛼 𝜃 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑥 𝑦 𝑃 𝑂 𝑂 𝛼 = 90° 𝜃 = 45° 𝜽 𝛼 180° 𝑃 𝑃 Se cumple: Se cumple: punto cualquiera punto cualquiera 𝑥 𝛼 𝜃 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ÁNGULO CENTRAL: ÁNGULO INSCRITO: ÁNGULO SEMIINSCRITO: ÁNGULO INTERIOR: ÁNGULO EXTERIOR:
- 11. 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑚 = 𝑛 Se cumple: 𝑦 𝑥 𝑚 𝑛 𝑦 𝑥 𝐴 𝐷 𝐶 𝐵 𝛼 = 90° 𝑇: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 SOBRE RECTAS TANGENTES 𝑂 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝛼 𝑇 𝑇 𝑦 𝑃: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑅 𝑇 𝑆 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 OBSERVACIÓN: Al trazar los radios a los puntos de tangencia, se formará un cuadrado. 𝜃 = 𝛼 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎 𝑏 𝜃 𝛼 𝑎 = 𝑏 𝑂 𝑇 𝑇 𝑆 𝑆 𝑇 𝑦 𝑆: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇 𝑦 𝑆: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 SOBRE CUERDAS Además: Si 𝑎 = 𝑏 𝑥 𝑦 𝑏 𝑎 Se cumple: Si 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶 Se cumple:
- 12. 𝑇 𝑀 𝑂, 𝑇 𝑦 𝑂′: 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑥 = 90° 𝐵 𝐶 𝐴 𝑥 A, 𝐵 𝑦 𝐶: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 𝑥 𝑇: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑂′ 𝑂 𝑇 𝑥 = 𝑦 𝑇, 𝑂 𝑦 𝑂′ : 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐴𝐵 ∕∕ 𝐶𝐷 𝑇 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES: 𝑂′ 𝑂 𝑇 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑥 = 𝑦 𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝐶 𝐷 𝐵 𝐴 𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑇: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑄 𝐴 𝐵 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑥 = 𝑦 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑇 𝑄 𝐴 𝐵 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑇 𝑦 𝑄: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇 𝑦 𝑄: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
- 13. 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 2𝑟 𝑟: 𝑖𝑛𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 TEOREMA DE PONCELET: 𝑟 𝑏 𝑐 𝑎 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑛 + 𝑚 = 𝑎 + 𝑏 𝑛 𝑏 𝑎 𝑚 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎. TEOREMA DE PITOT:
- 15. TEOREMA DE THALES 3𝑎 5𝑎 3𝑘 5𝑘 3𝑚 5𝑚 𝑥 𝑦 CASOS PARTICULARES (COROLARIOS) 𝑛 𝑚 𝑎 𝑏 𝑛 𝑚 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 = 𝑚 𝑛 𝑎 𝑏 = 𝑚 𝑛 TEOREMAS RELACIONADOS A LA BISECTRIZ 𝑎 𝑏 𝜃 𝑚 𝑛 𝑎 𝑏 = 𝑚 𝑛 𝛼 𝛼 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 𝑎 𝑏 = 𝑚 𝑛 𝛼 𝛼 𝜃 𝜃 𝑥 𝑘 𝑦 A B C D ℓ (𝑥)(𝑦) = (𝑘)(ℓ) 8 5 = 𝑥+𝑦 𝑦 3 5 = 𝑥 𝑦 Se cumple a b a b c
- 16. CRITERIO PARA RECONOCER A DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES 𝐴 𝐵 𝐶 𝜃 𝛼 𝜃 𝛼 𝑃 𝑄 𝑅 ∼ 𝛽 𝛽 ∼ Caso particular TEOREMAS MAS RECURRENTES 𝜃 𝛼 𝜃 𝛼 𝑎 𝑏 ℓ 𝑚 𝑎 𝑏 = ℓ 𝑚 𝜃 𝛼 𝜃 𝛼 𝑎 𝑎(𝑘) ℓ ℓ(𝑘) 𝑏 𝑎 𝑥 C 𝑥 𝑏 ℎ 𝑥 Caso particular: 𝑎 𝑏 𝑥 𝑥 ALGUNOS RESULTADOS IMPORTANTES ¿CÓMO UTILIZAR SUS LADOS PROPORCIONALES? 1era forma 2da forma Para triángulos rectángulos podemos comparar sus razones trigonométricas. Nota: (𝑎)(𝑏) 𝑥2 = 𝑥 = (𝑎)(𝑏) 𝑎 + 𝑏 𝑥 = 𝑎(𝑛) + 𝑏(𝑚) 𝑛 + 𝑚 𝑥 = (𝑏)(ℎ) 𝑏+ℎ 𝑥 = (𝑎)(𝑏) 𝑎+𝑏 𝑥 𝑎 𝑛 𝑚 𝑏 a b c 𝜃 𝜃 𝑎 𝑥 (𝑇𝑒𝑜. 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎) 𝑏
- 18. TEOREMA DE LAS CUERDAS 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 Se cumple D 𝐴 B 𝐶 𝑎 𝑏 = 𝑥 𝑦 TEOREMA DE LAS SECANTES P Q 𝑥 𝑏 𝑦 𝑎 Se cumple 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑏 B C T B C A 𝑏 𝑎 TEOREMA DE LA TANGENTE 𝑥 Se cumple: (𝑎)(𝑏) 𝑥2 = Se cumple: 𝑥 𝑎 𝑏 P SEMICUERDA TEOREMA ADICIONAL 𝑥2 = (𝑎)(𝑏) TEOREMA DEL PRODUCTO DE CATETOS Se cumple: (𝑎)(𝑏) = 𝑎 𝑏 𝑐 ℎ 𝑐 ℎ TEOREMA DEL CÁLCULO DEL CATETO 𝑏 𝑎 𝑐 𝑚 A B C H Se cumple: 𝑎2 = 𝑏2 = 𝑚 𝑐 𝑛 𝑐 𝑛 TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA ALTURA Se cumple: ℎ2 = 𝑚 𝑛 ℎ 𝑚 𝑛 𝑑 P 𝑥 𝑚 TEOREMA ADICIONAL Se cumple: 𝑥2 = 𝑚 𝑑 𝑅 𝑟 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑥 𝑆𝑖 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 TEOREMA ADICIONAL 𝑥 = 2 𝑅. 𝑟
- 19. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES Se cumple 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑥2 − 𝑦2 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 TEOREMA CÁLCULO DE LA CEVIANA Se cumple 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 𝑐 𝑥 𝑎2 𝑛 +𝑏2 𝑚 = 𝑥2 𝑐 + (𝑚𝑛𝑐) 𝑎 𝑏 𝑐 𝜃 TEOREMA DE COSENOS Se cumple: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −2 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 Se cumple: TEOREMA CÁLCULO DE LA MEDIANA + 𝑐2 2 𝑎2 + 𝑏2 = 2𝑥2 = 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟: TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA BISECTRIZ Se cumple: 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 𝑥 A B C Q 𝜃 𝜃 𝑥2 = 𝑎 𝑏 − 𝑚 𝑛 𝑛 𝑚 𝑏 𝑎 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: ℎ= 2 TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA ALTURA 𝑏 𝑆𝑒𝑎 𝑝 ∶ 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 (𝑝 − 𝑐) 𝑝(𝑝 − 𝑎) (𝑝 − 𝑏) 𝑎 𝑐 ℎ 𝑏 𝑎 𝑐 ℎ 𝑏
- 20. Tema: ÁREA DE REGIONES PLANAS Resumen Teórico 6
- 21. PARA RELACIONAR ÁREAS: UN LADO Y UNA ALTURA DOS LADOS Y EL ÁNGULO FORMADO SUS TRES LADOS SUS LADOS Y EL INRADIO CÁLCULO DEL ÁREA EN FUNCIÓN DE: ALGUNOS CASOS PARTICULARES ℎ ℎ 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝔸𝔸 = 𝑏𝑏 ℎ 2 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝜃𝜃 𝔸𝔸 = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 2 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝒑𝒑 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝔸𝔸 = 𝑝𝑝 (𝑝𝑝 − 𝑐𝑐) (𝑝𝑝 − 𝑎𝑎)(𝑝𝑝 − 𝑏𝑏) 𝑟𝑟 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝒑𝒑 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝔸𝔸 = (𝑝𝑝)(𝑟𝑟) l l l 𝔸𝔸 = ( l ) 2 3 4 𝔸𝔸 = (𝑎𝑎)(𝑏𝑏) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝔸𝔸 𝔹𝔹 𝔸𝔸 𝔹𝔹 = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝐺𝐺 𝐺𝐺: baricentro 𝔸𝔸 = 𝔸𝔸𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 6 𝔸𝔸 𝔸𝔸 𝔸𝔸 𝔸𝔸 𝔸𝔸 𝔸𝔸 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝔸𝔸 𝔸𝔸 a b a b c
- 22. CÁLCULO EN TODO CUADRILÁTERO 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝜃𝜃 USANDO LAS DIAGONALES Y EL ÁNGULO FORMADO 𝔸𝔸 = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 2 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝔹𝔹 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝔹𝔹 = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 2 R E L A C I O N E S 𝔸𝔸 𝔹𝔹 ℂ 𝔻𝔻 𝔹𝔹. 𝔻𝔻 𝔸𝔸. ℂ = EN REGIONES TRAPECIALES Y PARALELOGRÁMICAS ℎ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝔸𝔸 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 ℎ ℎ 𝑏𝑏 𝔸𝔸 = 𝑏𝑏. ℎ EN UN TRAPECIO EN UN PARALELOGRAMO PARA RELACIONAR ÁREAS: 𝔸𝔸 𝔸𝔸 𝔹𝔹 𝔻𝔻 𝔸𝔸2 = 𝔹𝔹. 𝔻𝔻 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝔹𝔹 𝔹𝔹 = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 2 𝔹𝔹 𝑃𝑃: 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 𝔹𝔹 = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 2 𝔹𝔹 𝔸𝔸 𝑃𝑃 𝑃𝑃: 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝔸𝔸 + 𝔹𝔹 = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 2 a b a b
- 23. ÁREA DE UN CÍRCULO 𝑅𝑅 𝔸𝔸 = 𝜋𝜋𝜋𝜋2 CÁLCULO DEL ÁREA PARA SUS PARTES SECTOR CIRCULAR CORONA CIRCULAR SEGMENTO CIRCULAR 𝑅𝑅 𝜃𝜃 𝑅𝑅 𝜋𝜋𝜋𝜋2(𝜃𝜃) 360° 𝔸𝔸 = 𝔸𝔸 = 𝜋𝜋(𝑎𝑎2 ) 𝑇𝑇: 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝔸𝔸 = 𝜋𝜋(𝑅𝑅2 − 𝑟𝑟2 ) 𝔸𝔸 𝔸𝔸 𝔸𝔸 − = SECTORES MÁS FRECUENTES EN LOS PROBLEMAS 𝑅𝑅 𝑅𝑅 4 𝔸𝔸 = 𝜋𝜋𝜋𝜋2 𝑅𝑅 120° 𝑅𝑅 𝜋𝜋𝜋𝜋2 3 𝔸𝔸 = 𝑅𝑅 60° 𝑅𝑅 𝜋𝜋𝜋𝜋2 6 𝔸𝔸 = a b c
- 25. 𝕍 = PRISMA TRIANGULAR REGULAR Área de la superficie lateral Área de la superficie total Volumen (𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝔸𝑆.𝐿. = (2𝑃𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 )(𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎𝑡.) 𝔸𝑆.𝑇. = 𝔸𝑆.𝐿. + 2. 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵𝑎𝑠𝑒𝑠 𝐶𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐴𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐴𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 𝑛 𝑛 𝑛 𝐵𝑎𝑠𝑒𝑠 2𝑃: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒:Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ( ∆ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜) 𝔸𝑆.𝐿. =(# 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠)(𝔸 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 ) • Bases paralelas y congruentes. • Caras laterales son regiones paralelográmicas. • Arista lateral es constante. CARACTERÍSTICAS • Base regular. • Prisma recto. Para todo prisma regular: Algunos polígonos regulares que tendremos como base de los prisma regular más frecuentes son: IMPORTANTE a a a a a a a a a a a a a a a 𝔸 = 𝑎2 𝔸 = 𝑎2 4 3 𝔸 = 6( 𝑎2 4 3) 𝑆𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑛 𝑛 𝑛 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑛 𝑛 𝑛 𝑎𝑙𝑎𝑡.
- 26. 𝑐 𝑏 𝑎 𝑑 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐: 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑒𝑑𝑟𝑜 PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR, RECTOEDRO U ORTOEDRO 𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝕍 = (𝑎)(𝑏)(𝑐) 𝔸𝑆.𝑇. = 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) 𝑑: 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 Sólido limitado por 6 regiones rectangulares Sólido limitado por 6 regiones cuadradas. 𝑑 = 𝔸𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓. = 𝕍 = 𝑎 2 𝑑 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑: 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜 6𝑎2 𝑎3 𝑎 3 HEXAEDRO REGULAR (CUBO)
- 27. 𝑅 ℎ 2𝑟 𝕍 = Área de la superficie lateral Área de la superficie total Volumen (𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝔸𝑆.𝐿. = 𝔸𝑆.𝑇. = 𝔸𝑆.𝐿. + 2. 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 (2𝜋𝑅)(𝑔) 2𝜋𝑅 𝑔 +2𝜋𝑅2 (𝜋𝑅2 )(𝑔) 𝑅 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑅 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑔 𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝔸𝑆.𝑇. = 2𝜋𝑅(𝑔 + 𝑅) 𝔸𝑆.𝑇. = 𝕍 = 𝐸𝑠 𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 = 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑟 𝑔 = 2𝑟 𝑟 g = 2r 2𝜋𝑅 Desarrollo de la superficie lateral h =g 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 • Bases circulares paralelas y congruentes. • Generatrices paralelas y congruentes. • Generatriz perpendicular a las bases. CARACTERÍSTICAS 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑅
- 29. PIRÁMIDE CUADRANGULAR REGULAR PIRÁMIDE REGULAR 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 ℎ 𝑂 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝐴𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑜 𝑐ú𝑠𝑝𝑖𝑑𝑒 Todas las aristas laterales son congruentes. 𝐴𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑂: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 𝕍 = Cálculo de área de la superficie lateral Cálculo del área de la superficie total Cálculo del volumen (𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝔸𝑆.𝐿. = 𝔸𝑆.𝑇. = 𝔸𝑆.𝐿. + 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 3 𝔸𝑆.𝐿. = ( 𝑃𝐵𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑝) 𝑃𝐵𝑎𝑠𝑒 : Semiperímetro de la base 𝑎𝑝 En toda pirámide regular: • 𝛼: Medida del ángulo entre la arista lateral y la base. • 𝜃: Medida del ángulo diedro entre una cara lateral y la base. Está limitada por un polígono regular. Todas las caras laterales son congruentes . Es la distancia del vértice al punto medio de la arista básica. Todas las aristas básicas son congruentes. ( 𝔸 1 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 )(𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠) 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
- 30. CONO DE REVOLUCIÓN • 𝐵𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟. • 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. • 𝐿𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒. 𝑅 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 ℎ 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑔 𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝕍 = Área de la superficie lateral Área de la superficie total Volumen (𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝔸𝑆.𝐿. = (𝑃𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧) 𝔸𝑆.𝑇. = 𝔸𝑆.𝐿. + 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝝅𝑹)(𝒈) (𝝅𝑹)(𝒈) + 𝝅𝑹𝟐 (𝝅𝑹𝟐 )(𝒉) 3 3 𝔸𝑆.𝑇. = 𝝅𝑹(𝒈 + 𝑹) 𝑃𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝔸𝑆.𝐿. = 𝔸𝑆.𝑇. = 𝕍 = 𝑅 𝑔 𝜃 𝑔 𝐷𝐸𝑆𝐴𝑅𝑅𝑂𝐿𝐿𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝐴 𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐹𝐼𝐶𝐼𝐸 𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 ω 𝜃: Medida del ángulo de desarrollo. Se cumple: 𝝎: Medida del ángulo determinado por generatrices diametralmente opuestas. Desarrollo de la superficie 2𝜋𝑅 𝜃 = 360° 𝑅 𝑔 𝑔 𝑔
- 31. ESFERA 𝑆ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑅 𝕍 = 𝔸𝑆.𝐸. = 𝑅 𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑇 𝑇: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑂 𝑅 𝑅 SEMIESFERA 𝕍 = 𝔸𝑆𝑢𝑝. 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝔸𝑆𝑢𝑝. 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3𝜋𝑅2 2𝜋𝑅3 3 2𝜋𝑅2 +𝜋𝑅2 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 Área de la superficie esférica Volumen de la esfera 𝑅 4𝜋𝑅2 4𝜋𝑅3 3 𝑂 𝜃 𝑅 𝑅 ∢𝑑𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢ñ𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎. CUÑA ESFÉRICA 𝕍 𝐶𝑢ñ𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟. = 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 4𝜋𝑅3 3 𝜃 360°
- 32. 𝑅 ℎ ZONA ESFÉRICA 𝔸𝑍.𝐸. = ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 2𝜋𝑅. ℎ 𝑅 ℎ CASQUETE ESFÉRICO 𝔸𝐶.𝐸. = ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 2𝜋𝑅. ℎ
- 34. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO (𝑎; 𝑏) (𝑐; 𝑑) (𝑥; 𝑦) 𝑛 𝑛 Se cumple: 𝑥 = 𝑦 = 𝑎 + 𝑐 2 𝑏 + 𝑑 2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 𝑋 𝑌 𝑑 (𝑥1;𝑦1) (𝑥2; 𝑦2) 𝑑 = + (𝑥2 − 𝑥1)2 (𝑦2 − 𝑦1)2 Se cumple: (𝑐; 𝑑) (𝑎; 𝑏) (𝑒; 𝑓) (𝑔; ℎ) Se cumple: 𝑏 + 𝑓 = 𝑎 + 𝑒 = 𝑑 + ℎ 𝑐 + 𝑔 PARALELOGRAMO DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Se cumple: + 𝑎 𝑛 𝑐(𝑚) 𝑛 + 𝑚 + 𝑏 𝑛 𝑑(𝑚) 𝑛 + 𝑚 𝐵(𝑐; 𝑑) 𝐴(𝑎; 𝑏) 𝑚 𝑛 𝑃(𝑥; 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = COORDENADAS DEL BARICENTRO G: baricentro Se cumple: 𝑥 = 𝑦 = 𝑎 + 𝑚 + 𝑐 3 𝑏 + 𝑛 + 𝑑 3 (𝑎; 𝑏) (𝑚; 𝑛) (𝑐; 𝑑) (𝑥; 𝑦) 𝐺
- 35. Se define como la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Se denotara con la letra "𝒎“. 𝛼 𝛽 L1 L2 𝒎 L 1 = 𝒕𝒂𝒏𝜶 𝒎 L 2 = 𝒕𝒂𝒏𝜷 Se cumple: 𝑌 𝑋 PENDIENTE DE LA RECTA (m) 𝐿1 𝐿2 𝐿1 𝐿2 • Sean 𝐿1 y 𝐿2 paralelas. 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 • Sean 𝐿1 y 𝐿2 perpendiculares. 𝒎𝟏 𝒎𝟐 = −𝟏 Se cumple: Se cumple: RELACIÓN DE PENDIENTES 𝑋 𝑌 (𝑥; 𝑦) (𝑥1; 𝑦1) Punto Genérico (representa a todos los puntos) Punto de paso conocido L ECUACIÓN DE LA RECTA: FORMA PUNTO - PENDIENTE Calculamos su pendiente: Ordenando tendremos: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) L : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) pendiente Punto de paso 𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 𝑚 =
- 36. Si la ecuación general de la recta tiene la forma 𝑳: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Se cumple: 𝒎𝑳 = − ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 𝑨 𝑩 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 𝑋 𝑌 (ℎ ; 𝑘) (𝑥; 𝑦) 𝑅 = + Por distancia entre puntos: Es necesario conocer las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia. (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 𝑅 Luego: C ∶ (𝑥 − ℎ)2 +(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑅2 Radio Coordenadas del centro 𝑅 C ECUACIÓN ORDINARIA
- 37. P directriz Foco 𝐹 8 2 2 𝐴 𝑃 Se cumple: 𝑃𝐹 = 𝑃𝐴 5 5 8 P P (𝑥 − ℎ )2= 4𝑝(𝑦 − 𝑘 ) (𝑥 − ℎ )2= −4𝑝(𝑦 − 𝑘 ) (𝑦 − 𝑘 )2= −4𝑝(𝑥 − ℎ ) (𝑦 − 𝑘 )2= 4𝑝(𝑥 − ℎ ) CÓNCAVA HACIA ARRIBA O ABAJO CÓNCAVA HACIA LA DERECHA O IZQUIERDA 𝑉(ℎ; 𝑘) p F 𝑉(ℎ; 𝑘) p F 𝑉(ℎ; 𝑘) p F 𝑉(ℎ; 𝑘) p F 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 P P
- 38. 𝑚 𝑛 𝑏 𝑎 Se cumple: 𝑎2 𝑏2 = 𝑐 𝑑 𝑚 𝑛 Se cumple: P 𝑉 P 𝑉 𝑛 𝑚 𝑐2 𝑑2 = 𝑛 𝑚 𝐿𝑅 = 𝑝 = 𝑝 2𝑝 2𝑝 Se cumple: Se cumple: b a 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 4𝑝 𝐿𝑑 𝑝 a b 𝑝 F Cuerda focal F: foco P V V: vértice Lado recto P F L R V F: foco V: vértice