Este documento discute el uso de funciones y derivadas en química, física y biología. Explica que las matemáticas han estado relacionadas con la química desde hace tiempo ya que las aplicaciones matemáticas sirven para crear modelos teóricos y expresiones. Además, las derivadas han sido fundamentales para expresar y calcular razones de cambio que luego se pueden demostrar experimentalmente.
En esta presentación se da a conocer las diferencias que existen entre los modelos lineales y no lineales.
Así también como con la ecuación logística nos ayuda cuando en crecimiento poblacional se trate.
En esta presentación se da a conocer las diferencias que existen entre los modelos lineales y no lineales.
Así también como con la ecuación logística nos ayuda cuando en crecimiento poblacional se trate.
2. A lo largo del tiempo, la química y las
matemáticas han estado relacionadas dado
que las aplicaciones matemáticas, sirven
para crear modelos teóricos y expresiones
para la mejor comprensión de la química.
Aún más en la química las derivadas han sido
fundamentales para poder expresar y
calcular mediante ellas razones de cambio,
que después se pueden demostrar mediante
la práctica.
3. A) DEFINICIÓN DE FUNCIÓN:
Una función es una relación entre dos variables
numéricas, X e Y, de forma que a cada valor de X
le corresponde un solo valor de y. La variable X
se llama variable independiente. La variable Y se
llama variable dependiente
B) DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN,
f(x):
Se llama dominio de una función f(x) a todos los
valores de X para los que f(x) existe. El dominio
se denota como Dom(f)
Se llama recorrido o imagen de una función f(x) a
todos los valores que puede tomar f(x). La
imagen se denota como Im(f)
4.
5. A nivel del mar el punto de ebullición del agua es de
100 ºC. Cuando se asciende a una montaña el
punto de ebullición disminuye, en función de la
altura, con arreglo a la siguiente fórmula:
t = 100 – 0,001h,
Donde t es la temperatura del punto de ebullición
en grados centígrados y h la altura alcanzada en
metros.
A) ¿Cuál es el punto de ebullición a 1500 m de
altitud?
B)Realiza una grafica que represente la
disminución del punto de ebullición en función de
la altura.
6. SOLUCION: Este procedimiento se puede realizar mediante
la regla de 3 si observamos que al multiplicar la
temperatura establecida al nivel del mar (que es 100 ºc) en
función de la altura establecida (que es 0,001h,) y lo
dividimos entre los 1500 metros de altura. el resultado será
el punto de ebullición donde evidentemente cumple con lo
establecido y disminuye considerablemente.
RESPUESTA:
6.666666666666667e^-5
7. En las 10 primeras semanas de cultivo de
una planta, que medía 2 cm.
Se ha observado que su crecimiento es
directamente proporcional al tiempo, viendo
que en la primera semana ha pasado a medir
2.5 cm.
Establecer una función a fin que dé la altura de
la planta en función del tiempo y representar
gráficamente.
8. SOLUCIÓN: Con los datos obtenidos solo
realizamos operaciones
Altura inicial = 2cm
Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5
y= 0.5 x + 2
9. La gráfica muestra la variación de temperatura
durante algunas horas de un día de primavera en
Cracovia.
De acuerdo a la siguiente grafica determinar los
incisos A,B,C Y D
EJE X REPRESENTA :TEMPERATURA EN: Cº.
EJE Y REPRESENTA:TIEMPO EN HORAS
10. Responda las siguientes preguntas según la grafica
mostrada:
A)¿Qué día alcanzó la temperatura máxima?
B)¿Cuál fue esta temperatura?
C)¿Entre que 2 días se produce la variación máxima de
temperatura?
D)¿Cuál es esta variación?
SOLUCIÓN:
A)La temperatura máxima se alcanzó el día 5.
B) Esta temperatura fue de 39.5 ºC.
C) La variación máxima de temperatura se produce
entre el día 4 y el día 5.
D) Dicha variación es de 3 ºC, en efecto 39.5 − 36.5 =
3 ºC
11. Se ha comprobado que los isótopos de los
elementos radiactivos presentan distintos
grados de inestabilidad en el tiempo, debido a
que cada isótopo decae o se transforma en
otros siguiendo una serie radioactiva
particular.
Si observamos cierta cantidad inicial de
sustancia o material radioactivo, al paso del
tiempo se nota un cambio en la cantidad de
dicho material; la cantidad M del material es
una función del tiempo esto es M=M(t), al
paso del tiempo ocurre una desintegración o
decaimiento del material.
12. Se ha llegado al conocimiento de que, en
cualquier tiempo t>0, la rapidez de cambio
de la cantidad M(t) de material radioactivo
es directamente proporcional a la cantidad,
y se afirma que:
Entonces la solución general de la ecuación
diferencial es:
13. Se sabe que un material radioactivo se
desintegra con una rapidez proporcional a la
cantidad presente en cualquier instante. Si
inicialmente hay100mg de material y;
después de dos años, se observa que el 5% de
la masa original se desintegró, determinar:
a) Una expresión para la masa en el momento
t
b) El tiempo necesario para que se desintegre
el 10% de la masa original.
14. Sí con y a demás
Expresión para la masa en el momento t->
Tiempo necesario para que se desintegre el 10% de la masa original
15.
16. Cuando se produce una reacción química, las
concentraciones de cada uno de los reactivos y
productos va variando con el tiempo, hasta que
se produce el equilibrio químico, en el cual las
concentraciones de todas las sustancias
permanecen constantes.
La velocidad de una reacción es la derivada de la
concentración de un reactivo o producto con
respecto al tiempo tomada siempre como valor
positivo.
Es decir, es el cociente de la variación de la
concentración de algún reactivo o producto por
unidad de tiempo cuando los intervalos de
tiempo tienden a 0
17. Sea la reacción
Exprese como varia la concentración del
bromo a lo largo del tiempo.
18. Tiempo (s) [Br2] (mol/l) Velocidad media
0 0,0120
3,8 x 10–5
50 0,0101
3,4 x 10–5
100 0,0084
2,6 x 10–5
150 0,0071
2,4 x 10–5
200 0,0059
19. Una de las cantidades de interés en
termodinámica es la compresibilidad. Si una
sustancia dada se mantiene a una temperatura
constante, entonces su volumen V depende de su
presión P. Podemos considerar la razón de
cambio del volumen respecto a la presión: a
saber, la derivada dV/dP. Conforme P crece, V
decrece, de modo que dV/dP<0.
La compresibilidad se define al introducir un
signo menos y dividir esta derivada entre el
volumen V:
compresibilidad isotérmica = β = -
1
푉
푑푉.
푑푃
20. En estos términos, β mide qué tan rápido, por unidad de
volumen, decrece el volumen de una sustancia a medida que
la presión aumenta, a temperatura constante. Por ejemplo, se
encontró que el volumen V (en metros cúbicos) de una
muestra de aire a 25 °C está relacionado con la presión P (en
kilo pascales) mediante la ecuación:
V=
5.3
푃
La razón de cambio de V respecto a P cuando P m 50 kPa,
es
푑푉
푑푃
P=50 = -
5.3
푃"2
P=50
= -
5.3
2500
= - 0.00212푚3/kPa
La comprensibilidad a esa presión es
훽 = -
1
푉
푑푉
푑푃
P=50 =
0.00212
5.3/50
= 0.02(푚3/kPa)/푚3
21. Sabemos que si y m f (x), entonces la derivada dy/dx puede interpretarse como la razón de
cambio de y respecto a x. En esta sección se analizan algunas de las aplicaciones de esta
idea a la fisica, la química, la biología, la economía y otras ciencias.
recuerde la idea básica que se encuentra detrás de las razones
de cambio. Si x varía de x1 a x2, entonces el cambio en x es
mx m x2 m x1
y el cambio correspondiente en y es
my m f (x2) m f (x1)
El cociente de diferencias
y
x
f x2 f x1
x2 x1
es la razón de cambio promedio de y respecto a x en el intervalo mx1, x2m y puede interpretarse
como la pendiente de la recta secante PQ. Su límite, cuando
F(x)x l 0 es la derivada f(x1), la cual puede interpretarse como la razón de cambio instantánea
de y respecto a x, o sea, la pendiente de la recta tangente en P(x1, f (x1)). Si se usa
la notación de Leibniz, escribimos el proceso en la forma
dy
dx
lím
xl0
y
x
Siempre que la función y = f (x) tenga una interpretación específica en una de las ciencias,
su derivada tendrá una interpretación específica como razón de cambio.
22. Si s = (t) es la función posición de una
partícula que se mueve en una línea recta,
entonces
Alfa(s)/alfa(t) representa el promedio de la
velocidad en un periodo alfa(t), y v = ds/dt
representa
la velocidad instantánea (la razón de cambio
del desplazamiento respecto al
tiempo). La razón de cambio instantáneo de
la velocidad respecto al tiempo es la
aceleración:
a(t) = v’=(t) = s’’ =(t).
23. Si un balón es lanzado verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 80 pies/s entonces su altura
después de t segundos es s=80t-16t^2.
A)¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el
balón?
B) ¿Cuál es la velocidad del balón cuando esta a
96 pies por encima del suelo en su camino en
descenso?
Primer paso: Para resolver el problema del inciso
(A) tenemos que saber el segundo en cuando el
balón llega a su altura máxima sabiendo este
dato podemos sustituirlo en la función, ya esta
nos da los pies de altura, con el segundo
predeterminado.
24. Vo= 80 pies/s = 24.384m/s tenemos que convertir este dato a
metros para que salgan con las unidades deseadas ya que no
sale con pies/s
G=9.8m/s^2
Formula para sacar el tiempo en el que llega a su punto máximo.
Vf= vo-gt
Despejando t en esta formula=
0=24.384m/s-9.8m/s^2(t)
9.8m/s^2(t)= 24.384m/s
t= 24.384/9.8m/s^2
t= 2.48816 segundos ya sacamos el tiempo que se tarda el
balón en llegar hasta arriba ahora solo hay que sustituir.
S=80t-16t^2
S= 80(2.488)-16(2.488)^2
S=199.04-99.04
S= 100 pies de altura esta es la respuesta del inciso A ya que
esta es la altura máxima.
25. Para sacar el inciso (B) tenemos que sacar el segundo en el que el balón
esta a 96 pies de altura teniendo este dato le sacamos la derivada a
nuestra función sacándole la derivada solo hay que sustituir en t, el
segundo en el que el balón esta a 96 pies de altura.
B) S= 80t-16t^2
S=80(2)-16(2)^2
S= 160-64
S= 96 pies de altura
Esto significa que cuando el balón recorre el segundo 2, este balón estará
a 96 pies de altura, entonces con “2” es el numero con el que sustituiremos
en la derivada, para sacar la velocidad.
S=80t-16t^2
S’=80-32t
S’=80-32(2)
S’=80-64
S’=16 pies/segundo (cabe aclarar que esta es la velocidad cuando va en
su camino ascendente ya que es positivo el segundo)
S’=80-32(-2)
S’=80+64
S’=144 pies/segundo(esta es su velocidad cuando va en descenso)
26. Como observamos podemos ver que las
matemáticas están presentes en cualquier cosa
que hagas y están involucradas en todo tipo de
áreas nosotros nos enfocamos en la química,
física y biología donde observamos el uso de la
derivada en estas áreas ya sea en encontrar la
velocidad el tiempo la distancia y las
temperaturas.
Estas son algunas de las muchas cosas que se
utilizan en estas áreas y las derivadas se ven Aún
más en la química han sido fundamentales para
poder expresar y calcular mediante ellas razones
de cambio, que después se pueden demostrar
mediante la práctica.
Con esto podemos deducir que las matemáticas
son fundamentales para todas estas áreas y que
sin ella no se podrían explicar tantas cosas.