Este documento presenta tres modelos matemáticos expresados como ecuaciones diferenciales: 1) la propagación de una enfermedad, 2) la mezcla de soluciones salinas de diferentes concentraciones, y 3) un circuito eléctrico en serie con un inductor, resistor y capacitor. Se explica brevemente cada modelo y se proporciona un ejercicio de aplicación para cada uno.

1. BENEMÉRITA UNIVERSIDAD
AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES
TAREA:
“ECUACIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS”
PERIODO: PRIMAVERA 2017
Nombre de los integrantes:
No. De
Matricula:
Licenciatura en:
Castellanos Moreno Herandy Yael 201536980 Ingeniería Química
Melchor Alberto Alicia 201559766 Ingeniería Química
Miranda Valdovinos Rosa Nayeli 201512759 Ingeniería Química
Valerdi Gamboa Juan Pablo 201504303 Ingeniería Química

2. Instrucciones: Elegir tres modelos matemáticos, añadir la explicación de cómo se
obtiene el modelo y resolver un ejercicio correspondiente al modelo.
Introducción:
Muchos de los fenómenos que ocurren en el entorno pueden ser interpretados de manera
matemática a partir de modelos que nos permita entender y predecir su comportamiento.
Por ejemplo, en la dinámica poblacional, la preparación de mezclas y reacciones
químicas, y varios fenómenos físicos. De esta manera se conjuntan los conocimientos de
varias áreas de las matemáticas como el cálculo tanto diferencial como integral, el
álgebra, las ecuaciones diferenciales, etc. Se entiende entonces que los modelos
matemáticos son descripciones en lenguaje matemático de diversos fenómenos y
situaciones de la vida cotidiana, por lo que su formulación es de gran importancia en la
actualidad.
Para la formulación de un modelo matemático se deben tener en cuenta 3 pasos:
1) La transformación del fenómeno al lenguaje matemático mediante la identificación
de las variables que tienen algún efecto sobre el fenómeno.
2) El análisis del modelo creando hipótesis y suposiciones que incluyan leyes que se
apliquen al objeto de estudio.
3) La interpretación del modelo aplicándolo en el fenómeno u objeto de estudio.
Existen diferentes tipos de modelos matemáticos, discretos, continuos, dinámicos,
estáticos, etc. De acuerdo al tipo de variables que se utilicen, el tipo de fenómeno que se
estudie y el tipo de ecuación o función resultante.
Comúnmente al momento de analizar se toman en cuenta las razones de cambio, lo que
da como resultado derivas y diferenciales que al ser estructuradas forman una ecuación
diferencial o un conjunto de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, como se mencionó
antes es posible utilizar distintos métodos, los cuales arrojaran distintos resultados que
son igualmente validos si así lo dicta el objeto de estudio.
Estos modelos se prueban al tratar de resolverlos, si es posible hacerlo y encontrar una
respuesta concordante con los datos recopilados previamente de manera práctica, se

3. dice que tiene un buen nivel de resolución y es razonable. Si no es así, es necesario
reconsiderarlo y modificarlo repitiendo los 3 pasos anteriores.
Modelo matemático: Propagación de una enfermedad
“Una enfermedad contagiosa, por ejemplo, un virus de gripe, se propaga a través de una
comunidad por personas que han estado en contacto con otras personas enfermas. Sea
que x(t) denote el número de personas que han contraído la enfermedad y sea que y(t)
denote el número de personas que aún no han sido expuestas al contagio. Es lógico
suponer que la razón 𝑑𝑥/𝑑𝑡 con la que se propaga la enfermedad es proporcional al
número de encuentros, o interacciones, entre estos dos grupos de personas. Si
suponemos que el número de interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t),
esto es, proporcional al producto xy, entonces
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥𝑦,(1)
Donde k es la constante de proporcionalidad. Suponga que una pequeña comunidad
tiene una población fija de n personas. Si se introduce una persona infectada dentro de
esta comunidad, entonces se podría argumentar que x(t) y y(t) están relacionadas por
𝑥 + 𝑦 = 𝑛 + 1. Utilizando esta última ecuación para eliminar y en la ecuación (1) se
obtiene el modelo
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥( 𝑛 + 1 − 𝑥) (2)
Una condición inicial obvia que acompaña a la ecuación (2) es 𝑥(0) = 1.” (Zill, 2009)
Ejercicio 7:
Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa al apartado campus
de su universidad de 1000 estudiantes. Determine una ecuación diferencial para el
número de personas x(t) que contraerán la gripe si la razón con la que la enfermedad se
propaga es proporcional al número de interacciones entre el número de estudiantes que
tiene gripe y el número de estudiantes que aún no se han expuesto a ella.
Solución:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥𝑦
x(t) denota el número de personas que han contraído la enfermedad y y(t) denota el
número de personas que aún no han sido expuestas al contagio. Por lo que y es igual a
la resta de los 1000 estudiantes que aún no han sido contagiados menos x, donde x
representa a los estudiantes con gripe, es decir, 𝑦 = 1000− 𝑥.
Por lo que

4. 𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥(1000− 𝑥)
Modelo matemático: Mezclas
“Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones surge una ecuación
diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal contenida en la mezcla.
Supongamos que un tanque mezclador grande
inicialmente contiene 300 galones de salmuera (es
decir, agua en la que se ha disuelto una cantidad de
sal). Otra solución de salmuera entra al tanque con
una razón de 3 galones por minuto; la concentración
de sal que entra es 2 libras/galón. Cuando la solución
en el tanque está bien mezclada, sale con la misma
rapidez con que entra. Véase la figura 1.3.1. Si A(t)
denota la cantidad de sal (medida en libras) en el
tanque al tiempo t, entonces la razón con la que A(t)
cambia es una razón neta:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= ( 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙)− ( 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙) = 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑅 𝑠𝑎𝑙𝑒 (3)
La razón de entrada Rentra con la que entra la sal en el tanque es el producto de la
concentración de entrada de sal por la razón de entrada del fluido. Observe que Rentra
esta medida en libras por minuto:
𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = (2
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙
) ∙ (3
𝑔𝑎𝑙
min
) = (6
𝑙𝑏
min
)
Ahora, puesto que la solución sale del tanque con la misma razón con la que entra, el
número de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una constante de 300
galones. Por lo que la concentración en la sal en el tanque, así como en el flujo de salida
es c(t)= A(t)/300 lb/gal, por lo que la razón de salida Rsale de sal es
Concentración
de sal en el
fluido
Razón de
entrada
de la sal
Razón
de
entrada
de la
salmuera

5. 𝑅 𝑠𝑎𝑙𝑒 = (
𝐴( 𝑡)
300
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙
) ∙ (3
𝑔𝑎𝑙
min
) =
𝐴( 𝑡)
100
𝑙𝑏
𝑚𝑖𝑛
La razón neta, ecuación (3) entonces será
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 6 −
𝐴
100
o
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+
1
100
𝐴 = 6 (4)
Si rentra y rsale denotan las razones generales de entrada y salida de las soluciones de
salmuera, entonces existen tres posibilidades 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒, 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 > 𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒, y 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 < 𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒.
En el análisis que conduce a la ecuación (4) suponemos que 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒. En los dos
últimos casos el número de galones de salmuera esta ya sea aumentando (𝑟𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 > 𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒)
o disminuyendo (𝑟𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 < 𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒) a la razón neta 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒.” (Zill, 2009)
Ejercicio 10:
Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua,
en los que se han disuelto 50 libras de sal. Otra salmuera introducida al tanque a una
razón de 3 gal/min y cuando la solución está bien mezclada sale a una razón lenta de 2
gal/min. Si la concentración de la solución que entra es 2 lb/gal, determine una ecuación
diferencial que exprese la cantidad de sal A(t) que hay en el tanque al tiempo t.
Solución:
Partiendo de:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= ( 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙)− ( 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙) = 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑅 𝑠𝑎𝑙𝑒
La razón de entrada Rentra con la que entra la sal en el tanque es el producto de la
concentración de entrada de sal por la razón de entrada del fluido y se mide en libras por
minuto.
𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = (3
𝑔𝑎𝑙
𝑚𝑖𝑛
)(2
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙
) = 6
𝑙𝑏
𝑚𝑖𝑛
La razón de salida Rsale es el producto de la concentración de sal en el flujo de salida por
la razón de salida de la salmuera. Además, es necesario considerar que la solución sale
a una razón menor de lo que entró por lo que se debe restar la razón de entrada menos
la razón de salida.
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 = (3 − 2)
𝑔𝑎𝑙
𝑚𝑖𝑛
= 1
𝑔𝑎𝑙
𝑚𝑖𝑛
Concentración
de sal en el
flujo de salida
Razón de
salida de la
salmuera
Razón de
salida de
la sal

6. Lo que expresa que después de t minutos habrá 300 + 𝑡 galones de salmuera en el
tanque, por lo tanto:
𝑅 𝑠𝑎𝑙𝑒 = (
𝐴( 𝑡)
300 + 𝑡
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙
)(2
𝑔𝑎𝑙
𝑚𝑖𝑛
) =
2𝐴( 𝑡)
300 + 𝑡
𝑙𝑏
𝑚𝑖𝑛
Por lo tanto, la ecuación diferencial es:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 6 −
2𝐴( 𝑡)
300 + 𝑡
O
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+
2𝐴( 𝑡)
300 + 𝑡
= 6
Modelo matemático: Circuitos en serie
“Considere el circuito en serie simple que tiene un inductor,
un resistor y un capacitor que se muestra en la fi gura 1.3.3a.
En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se
denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se denota
por q(t). Las letras L, R y C son conocidas como inductancia,
resistencia y capacitancia, respectivamente y en general son
constantes. Ahora de acuerdo con la segunda ley de
Kirchhoff, el voltaje aplicado E(t) a un circuito cerrado debe
ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito. La
figura 1.3.3b muestra los símbolos y fórmulas de las caídas
respectivas de voltaje a través de un inductor, un capacitor y
un resistor. Como la corriente i(t) está relacionada con la
carga q(t) en el capacitor mediante 𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡, sumamos los
tres voltajes
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝐿
𝑑2 𝑞
𝑑𝑡2
, 𝑖𝑅 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
y
1
𝐶
𝑞
e igualando la suma de los voltajes con el voltaje aplicado se
obtiene la ecuación diferencial de segundo orden
𝐿
𝑑2 𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸( 𝑡) (5).” (Zill, 2009)
Inductor Resistor Capacitor

7. Ejercicio 15:
Un circuito en serie tiene un resistor
y un inductor como se muestra en la
figura 1.3.13. Determine una
ecuación diferencial para la corriente
i(t) si la resistencia es R, la
inductancia es L y el voltaje aplicado
es E(t).
Solución:
Para el circuito en serie LR el voltaje aplicado E(t) está dado por la suma de la caída de
voltaje del inductor más el resistor:
𝐸( 𝑡) = 𝐿
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
Además, se sabe que: 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
Por lo que dejando todo en términos de la corriente i(t)
𝐸( 𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖
Por lo que:
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
[ 𝐸( 𝑡) − 𝑅𝑖]
𝐿
Además, si sustituimos 𝐸( 𝑡) = 𝐿
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2 + 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
y a 𝑅𝑖 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
tenemos que:
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
[( 𝐿
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2 + 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
) − 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
]
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝐿
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
Referencias y bibliografía:
Villalobos, J. (2011). Modelos matemáticos. Recuperado de:
http://es.slideshare.net/villalobossantiago/modelos-matemticos-8998821

8. De León, A. (2009). Tipos de modelos matemáticos. Recuperado de:
http://es.slideshare.net/quintomerca/tipos-de-modelos-matematicos
Navas, J. (2017). Modelos matemáticos. Recuperado de:
http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/introduccion.pdf
Díaz, J. (2017). Modelos matemáticos. Recuperado de:
http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/modelos-fasciculo17.pdf
Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (9ª. ed.). México, D. F.:
Cengage Learning.