Un modelo matemático representa un sistema o fenómeno del mundo real en términos matemáticos. Los ingenieros y científicos crean modelos matemáticos para predecir el comportamiento de dispositivos y fenómenos, lo cual es esencial para la ingeniería y la ciencia. Las ecuaciones diferenciales se usan comúnmente para describir sistemas que cambian con el tiempo.

1. ¿Qué es Modelo Matemático?
Modelo matemático: una representación en
términos matemáticos del comportamiento de
algún sistema o fenómeno de la vida real.
¿Por qué hacemos Modelamiento
Matemático?
El modelado de dispositivos y fenómenos es
esencial tanto para la ingeniería como para la
ciencia, los ingenieros y los científicos tienen
razones muy prácticas para hacer modelos
matemáticos.

2. Modelamiento Matemático y el Método Científico
Método científico identifica
El mundo real
(El mundo externo)
El mundo conceptual
(El mundo de la mente)
En el que vivimos, cuando
tratamos de entender lo que
está pasando en ese mundo
externo real.
Etapas:
- observación
- modelado
- predicción.
Aquí observamos diversos
fenómenos y conductas,
ya sean de origen natural o
producidos por artefactos.

3. • En la parte de observación del método científico se mide lo que
ocurre en el mundo real. Aquí nos reunimos evidencia empírica y
los “hechos sobre el terreno”. Las observaciones pueden ser
directos, como cuando usamos nuestros sentidos, o indirecta, en
cuyo caso se toman algunas medidas para indicar a través de alguna
otra lectura que un evento ha ocurrido. Por ejemplo, sabemos que
a menudo una reacción química ha tenido lugar sólo midiendo el
producto de esa reacción .
• La parte de modelado se ocupa de analizar las observaciones
anteriores para:
• - describir el comportamiento y resultados observados;
• - explicar porque el comportamiento y los resultados se produjeron
y como lo hicieron;
• - predecir comportamientos o resultados futuros que son inéditas o
no medidas.

4. • En la parte de predicción del método científico
utilizamos nuestros modelos para decir qué va
a pasar en un experimento todavía no
realizado o en un conjunto, que esperar de los
acontecimientos en el mundo real. Estas
predicciones son seguidos de observaciones
que sirven ya sea para validar el modelo o
para sugerir razones por las que el modelo es
insuficiente.

5. Modelamiento Matemático y la Práctica de la
Ingeniería
• Más allá de la observación de cómo funciona el
mundo, los ingenieros están interesados en la
creación de artefactos que aún no han
construido.
• Los ingenieros deben ser capaces de describir y
analizar objetos y dispositivos a fin de predecir su
comportamiento para ver si ese comportamiento
es el que quieren conseguir.
• En las prácticas de la ciencia y de la ingeniería de
diseño, los modelos se aplican a menudo para
predecir lo que sucederá en una situación futura.

6. ECUACIONES DIFERENCIALES Y MODELOS
MATEMATICOS
Las leyes del universo están escritas en el
lenguaje de las matemáticas. El álgebra es
suficiente para resolver muchos problemas
estáticos, pero la mayoría de los fenómenos
naturales más interesantes involucran cambios
descritos por ecuaciones que relacionan
cantidades que cambian.
Debido a que dx/dt=f’(t) se la función f es la
razón a la cual la cantidad x=f(t) está cambiando
respecto a la variable t independiente, es natural
que las ecuaciones que involucran derivadas se
usen frecuentemente para describir el universo
cambiante.

7. ECUACIONES DIFERENCIALES Y MODELOS
MATEMATICOS
• Las ecuaciones diferenciales surgen en una
amplia gama de áreas del conocimiento, no
solo en las ciencias físicas, sino también en
campos de índole diversa, como la
economía, la medicina, la psicología, y la
investigación de operaciones .

8. El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas
principales:
1. Descubrir la ecuación diferencial que describe una
situación física específica.
Mediante la identificación de las variables causantes de
cambio del sistema. Podemos elegir no incorporar todas las
variables en el modelo desde el comienzo. En este paso
especificamos el nivel de resolución del modelo.
Establecemos un conjunto de hipótesis razonables acerca del
sistema que tratamos de describir. Estas hipótesis incluyen
todas las leyes empíricas aplicables al sistema.
2. Encontrar exacta o aproximada solución de esa ecuación.
3. Interpretar la solución encontrada.

9. Proceso de modelado

11. 11
Dinámica de población
La idea del modelo es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la
población de un pais crece en forma proporcional a la población total
P(t), de este pais en cualquier momento.
Este modelo no tiene en cuenta muchos factores ( como migración ) que pueden influir
en las poblaciones humanas. Sin embargo, se sigue usando esta ecuación para modelar
el crecimiento de poblaciones pequeñas en intervalos cortos de tiempo.

12. Concentración En La Mezcla De Fluidos

13. Concentración En La Mezcla De Fluidos
10L/min
3Kg/L
A(t)
400L
A(0)=20kg
10L/min
Supongamos que una solución salina con
3kg de sal por litro se introduce en un
tanque que contenía originalmente 400
litros de agua y 20kg de sal. Si la solución
entra a razón de 10 litros/minuto, la mezcla
se mantiene uniforme revolviéndola, y la
mezcla sale con la misma razón.
Hallar la cantidad de sal en el tanque después
de 5 minutos.
Ejemplo:

14. Ro =10
L
min
A(t)
400
kg
L
Ro =
A(t)
40
kg
min
Ri = 10
L
min
3
kg
L
Ri = 30
kg
min
 
( )
40
30
dA t
dA t
( )
( )
40 min
min
30
( )
A t
dt
kg A t kg
dt
 
CI
A(0)  20
C
( )
40
30
( )
( ) 1200 ( )
( )
40
1200 ( ) 40

 
( )
1200 
( ) 40

   
t
A t
C
t
A t
dt
dA t
dA t
dA t
dA t
A t
dt
A t
A t
dt
A t
dt
   



 
40
ln(1200 ( ))
40
ln(1200 ( ))
40
A t e
 
 
A t e e
40
40
40
1200 ( )
1200 ( )
 
A t Ke
1200 ( )
 
( ) 1200 1180
t
t
C
t
C
t
A t e



 

15. Concentración En La Mezcla De Fluidos
• En un gran tanque con 1000 lt de agua pura se
comienza a verter una solución salina a una
razón constante de 6 lt/min. La solución
dentro del tanque se mantiene resuelta y sale
del tanque a razón 5 lt/min. Si la
concentración de sal en la solución que entra
al tanque es de 0,1 kg/lt, determinar el
momento en que la concentración de sal en el
tanque llegará a 0.05 kg/lt.

16. Modelos no lineales

17. Modelos no lineales
Tanque cilíndrico con fugas. Un tanque cilíndrico al tope de su
capacidad está goteando agua por un orificio circular localizado en su parte
inferior. Cuando se ignoran la fricción y la contracción del agua en el orificio,
la altura h de agua en el tanque está descrita por
donde Aw y Ah son las áreas representativas del agua y
del orificio, respectivamente.
Cuando se toman en cuenta la fricción y la contracción del agua en el orificio, el
modelo se convierte en
donde 0 < c < 1
Resulta interesante observar que las ecuaciones siguen siendo válidas incluso
cuando Aw no es constante. En este caso, debemos expresar el área de la superficie
superior del agua como una función h, es decir, Aw= A(h).

18. Suponga que el tanque tiene 10 pies de altura, radio de 2 pies, y que el agujero circular
tiene radio de ½ pulgada. Si en un inicio el tanque está lleno,
a). ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse? ( Use g = 32 ft/s2, desprecie la fricción )
b). ¿Cuánto tardará en vaciarse el tanque del problema si c = 0.6?

19. Tanque cónico con fuga
Un tanque en forma de cono cilíndrico recto y lleno al tope, con el vértice hacia
abajo, está goteando agua por un orificio circular localizado en la parte inferior.
a) Suponga que el tanque tiene 20 pies de altura y radio de 8 pies, y el orificio
circular tiene radio de 2 pulgadas demostrar que la ecuación diferencial
representativa de la altura h del agua que gotea de un tanque es
En este modelo, la fricción y la contracción del agua en el
orificio se tomaron en cuenta con c = 0.6 y g es igual a 32 ft/s2.
Vea la figura. Si el tanque está lleno al principio, ¿cuánto
tardará en vaciarse?
b) Suponga que el tanque tiene un ángulo de 60° en el vértice, y el orificio
circular tiene radio de 2 pulgadas. Determine la ecuación general que
representa la altura del agua. Use c = 0.6 y g = 32 ft/s2. Si la altura del agua es
inicialmente de 9 pies, ¿cuánto le llevará al tanque vaciarse?

20. La razón de cambio de la temperatura T(t) con respecto a tiempo de un cuerpo
es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T y la temperatura
del medio M
t

0min
t
Ley de enfriamiento de Newton

3min
0 T F
T  35

F
 40

0
• Una cerveza fría 35°F se calienta hasta 40°F en 3 minutos estando en un cuarto con temperatura
de 70°F.Que tan caliente estará la cerveza si se sirve en 20 minutos.

21. Ley de enfriamiento de Newton
•La temperatura ambiente T, en la ecuación podría ser una función del tiempo
t. Suponga que en un medio ambiente controlado, Tm(t) es periódica con un
período de 24 horas, como se muestra en la figura. Diseñe un modelo
matemático para la temperatura T(t) de un cuerpo dentro de este medio
ambiente. f(x)=Posición media en el eje y amplitud Cos Ex
dT
AmplitudSeñal
 
110 80
30
A
A
Periodo

Tiempoen Periodo
2

24
12
1
2
( )





 
E
E
f
P
k T T
dt
m
Tm t  
Cos t
k T Cos t
) ))
12
)
12
( ) 80 30 (
( (80 30 (
dT
dt


  

23. Ejercicio.
Se dispara un cohete directamente hacia arriba.
Durante las etapas iniciales del vuelo, tiene una
aceleración 7t m/s2. El motor se corta en t=10 s.
¿ Hasta que altura llegará el cohete?

24. Caída Libre de Un Cuerpo.
•Supongamos que un cuerpo de masa m se deja caer libremente desde
una altura h, en la Grafica se presenta el diagrama de cuerpo libre, donde
hay dos fuerzas presentes la F que es de rozamiento con el aire y es
proporcional a la velocidad, k es una constante, y W que es el peso de la
partícula, entonces aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos:
Un objeto de masa 3 kg se libera desde el reposo a 500 m sobre el piso y se le
permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza åF = ma
F +W = ma
dv
a =
dt
dv
-kv + mg = m
dt
dv
m
+ kv - mg = 0
gravitacional es
dt
constante, con g=10 m/s2 y que la fuerza debida a la resistencia del aire es
proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad k=3 N s/m.
Determinar el momento en que el objeto golpearía el suelo.