La ecuación diferencial describe la relación entre las variables y sus derivadas en un sistema. El documento explica que una ecuación diferencial puede ser de primer orden, segundo orden, etc. dependiendo del orden de la derivada más alta contenida. También puede ser lineal o no lineal dependiendo de si cumple ciertas propiedades. Finalmente, el documento presenta ejemplos de ecuaciones diferenciales que modelan diversos sistemas físicos como la dinámica de poblaciones, el enfriamiento de cuerpos y circuitos eléctricos.

1. DEMETRIO CCESA RAYME

2.  La ecuación diferencial es aquella ecuación que
contiene las derivadas o diferenciales de una o
más variables dependientes con respecto a una o
más variables independientes.

3.  El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en
derivadas parciales) es la derivada más alta contenida
en ella.
Ejemplo:

4.  El grado de una ecuación diferencial es la potencia
a la que esta elevada la derivada más alta,
siempre y cuando una ecuación diferencial esté
dada forma polinomial.

5. La ecuación diferencial contiene derivadas
Ordinarias de una o más variables dependientes con
respecto a una sola variable independiente.
Tipo
La ecuación diferencial contiene derivadas
Parciales parciales de una o más variables dependientes.
Primer orden F( x, y, y´)= 0
Segundo orden F ( x, y , y´, y´´)=0
Orden Tercer orden F( x, y, y´, y´´, y´´´)=0
… …
Orden n F(x, y´, y´´,…, y(n))=0

6. a) La variable dependiente y y todas
sus derivadas son de 1er. grado.
Lineales b) Cada coeficiente de y y sus derivadas
depende de solamente de la variable
independiente x (puede ser constante).
Grado
No lineales Las que no cumplen las propiedades
anteriores.

7.  La solución en una ecuación diferencial es una
función que no tiene derivadas y que satisface a
dicha función, esto quiere decir que al sustituir las
funciones y sus derivadas en la ecuación
diferencial resulta un identidad.

8. Otra manera de comprender sobre ¿ qué es la
solución en una ecuación diferencial ? es la
siguiente:
 Cuando una función , definida en algún
intervalo I, se sustituye en una ecuación
diferencial y transforma esa ecuación en una
identidad, se dice que es una solución en el
intervalo.

9.  La solución general en una ecuación diferencial es
la función que contiene una o más constantes
arbitrarias (obtenidas de las sucesivas
integraciones).

10. La función x + y2 = c es la solución de la ecuación
diferencial:
Por que derivándola implícitamente tenemos:
1 + 2y ,o expresado en otra forma: 2yy´= -1
Sustituyendo (y) y (y´) obtenemos una identidad
2
donde

11.  La solución particular de una ecuación diferencial
es la función cuyas constantes arbitrarias toman
un valor específico.

12. La función es la solución particular de la
ecuación diferencial , por que derivando la
solución y sustituyéndola en la ecuación dada,
obtenemos:
Por lo tanto 0=0

13. Tipo Orden Grado Lineal
Ordinaria 1 1 sí
Parcial 1 1 sí
X2y´´+xy´+y = 0 Ordinaria 2 1 sí
yy´´+x3y = x Ordinaria 2 1 No
(Porque el coeficiente
de y´´ no depende de
x exclusivamente).
y´+ y = x/y Ordinaria 1 1 No
sen y´+ y=0 Ordinaria 1 ? No
La interpretación de una ecuación diferencial es la
descripción matemática de la misma para ello se mostrara
según su orden, tipo y grado:

14.  Las trayectorias ortogonales son las curvas que se
intersectan formando un ángulo recto.
Para obtener las trayectorias ortogonales de una
ecuación diferencial, se toma: m1= , como
m2= -
m2= de la trayectoria ortogonal a la
primera ecuación.

15. Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos
fundamentales:
¿Existe una solución al problema ?, si la hay ¿es única?
Para un problema de valor inicial , en una ecuación, se pregunta lo
siguiente:
¿La ecuación diferencial tiene
Existencia soluciones ?
¿Alguna curvas solución pasa por el punto (x0, y0 )?
¿Cuándo podemos estar seguros que hay
Unicidad precisamente una curva solución que pasa por el
punto (x0, y0 )?

17. Sistema
Físico
Sistema (Físico)
a modelar
Función forzante
y(t)
u(t)
Respuesta del sistema
-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)
- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)
- Sistema térmico (temperatura en un horno)
-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)
- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Económico ( inflación)
- Sistema de producción (producción entre máquinas)
Relación causal

18. • Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,
rigen la relación causal entre las variables de interés.
• Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria
del sistema ante una función forzante conocida).
• Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan
un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.
• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para
procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.
…

19. •DESCOMPOSICION(DECRECIMIENTO) Y
CRECIMIENTO
I.MODELOS DEMOGRÁFICOS ,
POBLACIÓN DINÁMICA (crecimiento)
El modelo matemático mas fácil para
gobernar la dinámica de la población
de cierta especie es el modelo
exponencial, es decir, el índice del
cambio de la población es proporcional
a la población existente, o en otras
palabras si P(t) mide la población ,
tenemos que:

20. Donde k es constante. Esta ecuación es
una ecuación lineal, la cual tiene como
solución:
…………………….2
De donde P0 es la población inicial, es
decir P (0)=P0 . De esta ecuación
concluimos que si k > 0 , la población
crece y que continua ampliándose al
infinito, es decir :

21. Ejemplo 1:
•Solución:
Sea P0 la cantidad inicial de la población .Si la población se duplica
en un año entonces:
2P0 = P0ek
Luego, k = l n 2
Y la ecuación 2 se convierte en P(t) = P0 e(ln 2)t
Y la población se triplica cuando P(t) = 3 P0
luego 3 = e(ln 2) t
Y despejando t obtendremos la solución.

22. • DECAIMIENTO RADIOACTIVO
(DESCOMPOSICION)
Muchos materiales se desintegran a una razón
proporcional a la cantidad presente. Por
ejemplo, si x es el material radiactivo y Q(t) es la
cantidad presente en el tiempo t, entonces la
rata de cambio Q(t) con respecto al tiempo t es
dada por :
Donde r es una constante positiva (r>0) .
Llamaremos Q(0) = Q0 la cantidad inicial del
material x , tenemos

23. Para determinar Q(t) necesitamos encontrar la
constante r . Esto puede Hacerse usando la
vida media del material x o semivida. La
semivida del material es el tiempo necesario
para desintegrar la mitad del material x. Así,
tenemos
Q(t) = Q0
lo cual da rT = ln 2 . Por lo tanto, si conocemos T,
podemos encontrar r, y viceversa. Muchos textos
de la química contienen el periodo de algunos
materiales radiactivos importantes. Por ejemplo, el
periodo del carbono-14 es 5568 30 años. Por lo
tanto, la constante r asociada al carbono -14 es r
=1,244x10-4 .

24. Ejemplo 1:
•Solución:
Puesto que el periodo se da en días mediremos el
tiempo en días. Sea Q(t) la cantidad presente en
el tiempo t . Sabemos que :
Donde r es una constante. Utilizaremos la
semivida T para determinar r. De hecho, tenemos:
luego
Y asi
g

26. Horno
Flujo de
Combustible:
qi(t)
Temperatura:
T(t)horno
Temperatura
Flujo de gas
Relación causal

30. Obtenemos la relación lineal siguiente.
ln(T-Ta)=-k·t +ln(T0-Ta)
DespejamosT :

31.  En las páginas anteriores, hemos
aplicado la ley del enfriamiento de
Newton a un cuerpo caliente que
pierde calor y como consecuencia
disminuye su temperatura. La
atmósfera que le rodea gana el calor
perdido por el cuerpo, pero no
incrementa su temperatura ya que
consideramos que tiene un tamaño
infinito.

32.  En esta página, vamos a estudiar la
situación en la que un cuerpo caliente
se coloca en un recinto de tamaño finito
aislado térmicamente, tal como se
muestra en la figura.

33. Descripción
 El cuerpo caliente tiene una masa m1 y su
calor específico es c1, por tanto, su
capacidad calorífica es C1=m1·c1. En el
instante t su temperatura es T1
 El recinto tiene una masa m2 y su calor
específico es c2, por tanto, su capacidad
calorífica es C2=m2·c2. En el instante t su
temperatura es T2<T1.
 El cuerpo caliente en el intervalo de
tiempo entre t y t+dt pierde una cantidad
de calor dQ, su temperatura disminuye
 dQ=-C1·dT1

34.  Como el recinto está térmicamente aislado, en el
mismo intervalo de tiempo gana una cantidad de
calor dQ y su temperatura aumenta
 dQ=C2·dT2
 El calor perdido por el cuerpo es igual al ganado por
el recinto, la temperatura del cuerpo disminuye, la
temperatura del recinto aumenta
 -C1·dT1=C2·dT2
 Supondremos que la pérdida de calor del cuerpo
caliente obedece a la ley del enfriamiento de
Newton
Donde a es el coeficiente de intercambio de calor y S es el
área del cuerpo.

35.  La ecuación que nos da la variación de
la temperatura T1 del cuerpo con el
tiempo es
 Para eliminar la variable T2, derivamos
con respecto del tiempo

36.  La solución de la ecuación diferencial es
 Las constantes A1 y B1 se determinan a
partir de las condiciones iniciales, la
temperatura inicial y su derivada. En el
instante t=0, la temperatura del cuerpo
es T01
 A1+B1=T01

37.  Su derivada en el instante t=0 vale
 La solución de la ecuación diferencial es
 La temperatura T2 del recinto en función
del tiempo se calcula del siguiente modo

38.  Las constantes A2 y B2 se determinan a
partir de las condiciones iniciales, la
temperatura inicial y su derivada. En el
instante t=0, la temperatura del cuerpo
es T02
 A2+B2=T02
 Su derivada en el instante t=0 vale
La temperatura del recinto en función del
tiempo es

39.  En la figura, se muestra la evolución de
temperaturas del cuerpo T1 y del recinto T2
en función del tiempo t.
 Cuando t→∞, el cuerpo y el recinto
alcanzan la misma temperatura que es la
media ponderada.

40.  Las temperaturas T1 del cuerpo y T2 del
recinto se expresan en función del tiempo
t.
Cuando la capacidad calorífica del recinto
C2 es muy grande (C1/C2) →0
 Que es la expresión de la ley del
enfriamiento de Newton

41.  Al sacar un biscuit del horno, su
temperatura es de 300 ºF. Tres minutos
después, su temperatura es de 200 ºF.
 ¿Cuánto demorará en enfriarse hasta
una temperatura ambiente de 70 ºF?
 2da. Ley de Newton

42.  Despejamos T
 Datos para conocer K=constante=
 t=3 min
 T=100=dif de temperatura
 Ta=70 ºF=Temp. Ambiente
 T0=300=Temp. en un tiempo t=0

43.  FÓRMULA
 sustituimos k para encontrar t

44.  La segunda ley de Newton dice: la suma de las
fuerzas que actúan en un cuerpo en cada instante
es igual al producto de la masa m por la
aceleración

47. R
Cvi(t): fuente
de voltaje
i(t):
vo(t)
vi(t): fuente de voltaje
vo(t): voltaje de salida
C: Capacitor
R: Resistencia
i
i
o
o
o
o
v (t)
v (t)
v (t)
v (
d
dt
d
dt
v (t
)
t) )
t
v (
R.C

 
 

48.  Se denomina circuito eléctrico a una
serie de elementos o componentes
eléctricos o electrónicos, tales como
resistencias, inductancias,
condensadores, fuentes, y/o dispositivos
electrónicos semiconductores,
conectados eléctricamente entre sí con
el propósito de generar, transportar o
modificar señales electrónicas o
eléctricas.

49.  Para el circuito simple RL que consiste en
una resistencia R, una inductancia L y
una fuerza electromotriz E, la ecuación
diferencial lineal que rige la cantidad de
corriente I está dada por:

50.  Para un circuito simple RC que consiste
en una resistencia R, una capacitancia
C, una fuerza electromotriz E y ninguna
inductancia, la ecuación diferencial
lineal que rige la cantidad de carga
eléctrica q del condensador es:

51.  Aquí se tiene E=12 voltios, L=1/2 henries. R=10ohms. Por lo tanto se
convierte en:
Es una ecuación diferencial lineal en I y el factor integrante es:
 Entonces la solución es
 De donde
Para t = 0, i = 0 , en se tiene:
 Entonces
 Por tanto
entonces C =

53.  En cinética de las reacciones, en lo que se está
interesado es en la evolución de éstas con el
transcurso del tiempo. Como las velocidades son
derivadas con respecto al tiempo, no es de
extrañar que la cinética de las reacciones se
modelen mediante ecuaciones diferenciales. Un
ejemplo de tales reacciones son las reacciones
bimoleculares.Sea la reacción bimolecular
elemental
 en la que dos sustancias (reactantes) se unen para
formar una tercera (producto). Hallar una
expresión para las distintas concentraciones en
cualquier unidad de tiempo.

54.  1. Variables.
 Las incógnitas son las concentraciones
de los reactantes y el producto (son
funciones deltiempo): [A]; [B], [P].
 2. Leyes empíricas que se pueden
aplicar:
 La velocidad de reacción depende de
las concentración de los reactantes y
quizás del producto. La ley de la
velocidad de reacción es la formulación
de esa dependencia:

55.  Para las reacciones elementales existe un principio básico,
la ley de acción de masas: la velocidad de una reacción
elemental es proporcional al producto de las
concentraciones de los reactantes:
velocidad = k[A][B]
 La ley de acción de masas está basada en la suposición de
que reacciones elementales ocurren cuando las moléculas
de los reactantes están en contacto simultáneamente. Por
tanto, a mayor concentración, mayor velocidad.
 El coeficiente k es la constante de la reacción y se toma
siempre positiva.
 Por último la ley de conservación: la suma de las
concentraciones de los productos y de cualquiera de los
reactantes permanece constante a lo largo de la reacción.
 [B] + [P] = B0 + P0
 [A] + [P] = A0 + P0;
 A0; B0; P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de
los componentes.

56.  3. Planteamiento de la ecuación.
 Igualando velocidades:
Por último, aplicando la ley de
conservación, se pueden eliminar
variables para obtener la ecuación de
[A]:

57.  De la misma forma se obtienen las ecuaciones
que proporcionan las demás concentraciones:
* Condiciones adicionales
 En el proceso de modelado, con bastante
frecuencia, aparecen condiciones adicionales
que se deben añadir al problema que se
plantea. En el caso de las reacciones del
ejemplo anterior, las concentraciones iniciales
de los elementos son datos del problema que
se consideran en la formulación de éste.

58.  AHORA VEAMOS UN EJEMPLO:
Supongamos que una solución que
inicialmente contiene 2 moles / litro de Y
y 1 mol / litro de Z se hace reaccionar.
Find an expression for the amount of X at
time t . Hallar una expresión para la
cantidad de X en el tiempo t
 Solución
 Tenemos que resolver el problema de
valor inicial

59.  (Las constantes de 2 y 1 provienen de las
concentraciones iniciales.) Separación
de variables obtenemos
 Usando la técnica descrita
anteriormente, que integramos ambos
lados con respecto a t.

60. (Sin Arce, la integral de la izquierda se
pueden evaluar usando fracciones
parciales.) La integral de la derecha es
fácil y el uso de Arce para la integral de
la izquierda nos
 > int(1/((2-x)*(1-x)),x); > Int (1 / ((2-x) * (1-
x)), x);
 Así, la solución general, en forma
implícita, es

61.  Ahora obtener una solución explícita para el
y el uso de la condición inicial para
determinar c.
> a1 := solve(ln(2-x)-ln(1-x) = k*t+c,x);
> a2 := solve(subs(t=0,a1)=0,c);
> a3 := simplificar (subs (c = a2, a1));
Así que la solución explícita al problema de
valor inicial es

62. • Consideremos un tanque que contiene inicialmente galones
de solución salina
• la cantidad de sal (en libras) en el tanque en un
momento t
• b = volumen contenido en el recipiente que es vertido en el
tanque
)1(......
dt
dh(t)
AAv(t)(t)(t)(t) qqq acum0i

(2).....
Rh
h(t)
(t)q0

o 0i
H(s)
(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.
Rh
   
Caudal de
entrada
Caudal de
salida
Caudal
Acumulado=

63. qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:
área del tanque
p(t): señal que regula
el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidráulica
Tanque
Caudal de
entrada
qi(t)
Nivel: h(t);
Caudal de
Salida, qo(t)
Relación causal

64. qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:
área del tanque
p(t): señal que regula
el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidráulica
dc(t)
+ c(t) = .
dt
τ K u(t)
K: Ganancia en estado estable
: Constante de tiempo
qi(t)
0(t)
dq0(t)
q
dt
d
dt
qi(t)+ q0(t) =
R.A

 q0(t) 

65. Separando variables:
Integrando
De donde
Por tanto: es la solución de la ecuación (1)
Para t = 0, a = Q = 20 (cantidad de sal al inicio y al final) se tiene:
, de modo que la cantidad de sal en el tanque en un momento t esta dado por:

68.  Ejemplo:
 Encontrar las trayectorias con vértice en el origen y foco sobre el eje x
 Solución:
 La ecuación de la familia de parábola es de la forma =4px, p≠0.
 Diferenciando se tiene:
 =0 2x + y =0
 Diferenciando se tiene = y la ecuación diferencial de las trayectorias
ortogonales son = - de donde 2x + y=0 resolviendo esta ecuación
diferencial se obtiene += c, c0 luego las trayectorias ortogonales a la
familia de parábola son las elipses de centro en el origen.