Entre Dos Curvas

1. CALCULO DE AREAS ENTRE DOS CURVAS
En este apartado estudiaremos algunas aplicaciones de la integral definida. La usaremos para
calcular entre otras cosas el área bajo una curva y áreas entre curvas
Área bajo la curva
Sea f(x) una función continua en el intervalo [ a, b ], como se muestra en la gráfica
El área a calcular de la función f(x), delimitada en el eje de las x por el intervalo [a, b] se obtiene cpn
a fórmula:
A=∫ ( ) ( )
Hemos empleado la integral definida para calcular el área bajo una curva, extendamos un poco más
el tema ahora veremos una noción más compleja, supongamos que se tienen dos funciones
continuas ya no una como en el tema anterior
Dadas dos funciones f (x) y g(x), encontrar el área contenida entre sus graficas en el intervalo [a,b].
Dónde: f(x) y g(x) son las gráficas a y b es el intervalo que limita el área a calcular. Por tanto, se
necesita la siguiente formula
A=∫ ( ) ( )
Ejemplo:
Calcular el área delimitada por las funciones y=x3
y y=3x3
+3 entre los puntos x=-1 y x=1
Paso:1 obtener la gráfica para poder saber a quién se le asignara f(x) y g(x)

2. Como podemos observar la función y=3x3
+3 pasa por arriba por lo cual es f(x) y la función y=x3
es
g(x) porque pasa por abajo así que obtenemos los siguientes datos
Datos
f(x)= 3x3
+3
g(x)=x3
a=-1
b=1

3. Paso 2: sustituir los datos en la formula teniendo en cuenta que f(x) sea la función que se encuentre
por arriba de las dos funciones y g(x) sea la función que pasa por abajo
A=∫ ( ) ( )
A=∫ (( ) ) ( )
Paso 3: realizar la reducción de términos semejantes puede ser sumar o restar términos semejantes
antes de integrar
3x3
+3-x3
=2x3
+3
A=∫
Paso 4: comenzar a integrar
Le sumamos 1 al exponente y a la variable la dividimos entre el resultado de la suma del exponente
no debemos olvidar que el termino independiente solo se le agrega la variable x
A=
= por lo tanto
A= + 3x
Paso 5 sustituimos a x con b-a primero abrimos corchete y colocamos b entre paréntesis y lo
elevamos a la potencia que indica la x, luego colocamos el signo menos y entre paréntesis ponemos
a entre paréntesis y elevamos a la potencia indicada
A= [( ) ( ) ] + [( ) ( )]
Paso 6: realizar las operaciones que indica
-1
1
1
g(x)f(x)
a
1
-1
1
b a b a

4. A= [( ) ( ) ] + [( ) ( )]
A= [ ] [ ]
A= [ ] [ ]
A= 6u2
Por lo tanto el área que se encuentra entre las dos curvas será de 6 unidades cuadradas

5. Veamos más ejemplos
Encontrar el área de
Y=3x+2
Y=x
Entre los puntos x=0 y x=2

6. ∫ ( ) ( )
∫ [( ) ( )]

7. 3
0
3
0
∫ ( )
[( ) ( ) ] [( ) ( )]
[ ] [ ]
[ ] [ ]

9. Encontrar el área de
Y=x2
+5
y=x2
+3
Entre los puntos x=-2 y x=2
∫ ( ) ( )
∫

10. 2
-2
∫
( ) ( )
=

11. Encontrar el área de:
Entre los puntos x=-2 y x=1
∫ [ ] [ ]
∫ dx
∫
= [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] [( ) ( )]
= [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )]
= [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )]
1
-2

12. = [ ] [ ] [ ]
=-3.75-1.5+9
=3.75u2

13. ÁREA ENTRE DOS CURVAS CON CORTE
Ahora debemos saber el área entre dos graficas que se cortan es necesario primero conocer las
intersecciones de las funciones f(x) y g(x)
F(x) y g(x) son las graficas
a y b son los puntos donde se cortan las graficas
Se necesita la siguiente formula:
A=∫ ( ) ( )
Ejemplo
Determinar el área por las funciones y=2x2
-12x+5 y y=2x-7
Paso:1 obtener la gráfica para poder observar los datos

14. Como podemos observar la función y=2x-7 pasa por arriba por lo cual es f(x) y la función y=2x2
-
12x+5 es g(x) y los puntos a y b es donde se intersectan a= 1 y b=6 se ordenan a es el número
menor y b es el número mayor
O bien podemos conocer sus intersecciones mediante la igualación de f(x) y g(x) y obtenemos lo
siguiente
2x2
-12x+5=2x-7
2x2
-12x+5-2x+7=0
2x2
-14x+12=0

15. Una vez obteniendo la igualación factorizar
2x2
-14x+12=0
(2x-2)(x-6)=0
2x-2=0 x-6=0
2x=2 x=6
x=2/2 x=6
x=1 x=6
Obtenemos los siguientes datos
Datos
f(x)=2x-7
g(x)= 2x2
-12x+5
a=1
b=6
Paso 2: sustituir los datos en la formula
A=∫ ( ) ( )
A=∫ ( ) ( ) ( )
Paso 3: realizar la resta antes de integrar
2x2
-12x+5-2x+7 =-2x2
+14x-12
A=∫
Paso 4: comenzar a integrar
g(x)f(x)
a

16. Le sumamos 1 al exponente y a la variable la dividimos entre el resultado de la suma del exponente
no debemos olvidar que el término independiente solo se le agrega la variable x
A=
A=
Paso 5 sustituimos a x con b-a primero abrimos corchete y colocamos b entre paréntesis y lo
elevamos a la potencia que indica la x, luego colocamos el signo menos y entre paréntesis ponemos
a entre paréntesis y elevamos a la potencia indicada
A= [( ) ( ) ] + [( ) ( ) ] [( ) ( )]
Paso 6: realizar las operaciones que indica
A= [( ) ( )] + [( ) ( )] [ ]
A= [ ] + [ ] [ ]
A=-143.33+245-60
A=41.66u2
Podemos concluir que el área delimitada por esas dos funciones es de 41.66u2
-1
1
1
1
-1
1
b a b
a
a a
b
a

17. Veamos más ejemplos

18. 3
0
Ejercicio 1
Calcular el área de las siguientes funciones
∫ [( ) ( )]
∫ ( )
∫ ( )
[
( ) ( )
] [
( ) ( )
]
[ ]

19. Ejercicio 2

20. 2
-2
√
X1= 2 x2= - 2
∫ [( ) ( )]
∫ ( )
∫ ( )

21. [
( )
( )] [
( )
( )]
[ ] [ ]
( ) ( )

22. Ejercicio 3
( )( )

23. ∫ [( ) ( )]
∫ ( )
∫ ( )
[
( ) ( )
( )] [
( ) ( )
( )]
[ ] [ ]
4
1

24. Calcular el área entre dos graficas recuerda que unas se intersectan en las cuales tienes que
encontrar los valores de a y b antes de empezar a factorizar
1.
Y= 5x2
-2x2
+x
Y= 2x3
+x2
+3x+4
Entre los puntos x= -1 y x=1
2.
Y= x3
-5x2
+x-2
Y= x2
-2

25. 3.
5x3
-2x2
+x-2
x=-1 y x=1
Y= x2
-5x+2
4.
4x3
-5x2
+2
x=-2 y x=2
X3
-x2
+x+2
5.
-3x2
+6x-2
entre los puntos x=-1 y x=2
x3
-x2
+x+2
6.
7x2
+3
x3
-x2
-10
7.
6x3
+x2
-12
entre los puntos x=0 y x=2
2x2
-10x+3
8.
x3
-5x2
-3
5x2
+4
9.
7x3
+10x2
+x
x=-1 y x=1
3 x3
-4x2
+3

26. 10.
x3
-x2
+3x
x=0 y x=2
2x3
-x2
+x-10
11.
8x3
-2x2
+2x
x=-1 y x=1
-2x3
+x2
+3x
12.
6x2
-7x+5
x=-1 y x=2
-2x3
+x2
+5
13.
2x3
-4x+3
x=-2 y x=2
5x+2x+3
14.
8x2
-3x+2
x3
-x2
-5
15.
x3
-2x-3
7x2
+x
16.
x3
-x2
-5

27. 6x2
+2
17.
x3
-3x-5
4x2
+4
18.
x3
-2x2
-4
2x2
+x
19.
x3
-3x2
-2
2x2
+x
20.
x3
-2x2
-3
3x2
+2

28. Bibliografía
Calculo integral, Lorenzo Escalante Pérez, editorial Book Mart
Matemáticas 6 calculo integral, Arturo Ortiz Cedano y Guillermo Fox Rivera, editorial nueva imagen
http://personales.unican.es/gonzaleof/#
http://personales.unican.es/gonzaleof/sociales_2/areas2.pdf