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FACULTAD DE INGENIERÍA – UNNE
ANALISIS MATEMÁTICO II
CARGO CONCURSADO: PROFESORA ADJUNTA
TEMA A DESARROLLAR:
Que el alumno:
• Utilice como apoyo el concepto de integra definida para
comprender este nuevo tema.
• Vincule temas desarrollado previamente en esta materia,
como el de “dominio de una función de dos variables”, el de
“superficies” y “límite de una función de dos variables” con
este nuevo tema.
• Comprende el tema, de manera que puede utilizar sus
aplicaciones en el ciclo superior de la carrera.
OBJETIVOS GENERALES:
•Definir integral doble.
•Enseñar el cálculo de la integral doble, utilizando integrales
sucesivas.
•Estudiar con los alumnos, los distintos tipos de dominios y el
procedimiento a utilizar en cada tipo de recinto.
•Mostrar las aplicaciones geométricas y físicas de la integral
doble.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
•Apunte de cátedra Análisis Matemático II – Cálculo Integral –
Profesor Antonio Mahave
•Cálculo diferencial e integral – N. Piskunov
•Cálculo infinitesimal de varias variables – J. Rey Pastor –Calleja y
Trejo
•Cálculos de varias variables – Thomas /Finney
•Introducción al análisis matemático – Cálculo 2 – Hebe
Rabuffetti
BIBLIOGRAFÍA:
R
Conceptos previos
Partición de una región del Plano:
Una partición P de se obtiene por un conjunto de curvas
arbitrarias simple que cortan a la superficie y la dividen en n
subregiones, n,.....,kconRk 21
Llamaremos diámetro de cada elemento a la mayor distancia
que exista entre dos puntos pertenecientes a cada
kR
Por ejemplo: si es rectangular, el diámetro será la diagonal del
mismo.
kR
kR
Llamaremos Norma de Partición: Simbólicamente al mayor de los
diámetros existentes en todos Los elementos de una partición.

kR
Sea El área correspondiente a cada sub-región kRkR
Integrales Dobles
Definición:
Sea una función definida, continua y acotada en
una región R del plano.
)y;x(fz 
Consideremos un punto arbitrario interior a cada sub-división
de una partición P y sea el valor de la función en dicho
punto.
kp
)p(f k
Llamaremos con el nombre de suma de productos interiores o
suma de Riemann correspondientes a la función y a
una partición P, a:
)y;x(f
Si efectuáramos nuevas particiones de la región R, cada vez más
refinadas tal que aumentaría el número de partes.0
Si existe el límite de esta suma, cuando lo llamaremos
“Integral Doble” de la función en la región R y lo
representamos por:
0
)y;x(fz 
R se denomina dominio de integración.
Propiedades de la Integral Doble:
1. Descomposición con respecto de la región de integración:
Si la región R se descompone en RRRyRR/RyR  212121
2. Propiedad de Homogeneidad:
Siendo C = constante y integrable en R)y;x(f
3. Descomposición con respecto al integrando:
Siendo son integrables sobre la región R)y;x(gy)y;x(f
4. Propiedad de monotonía:
5. Si son integrables en R y)y;x(gy)y;x(f
Partición de un dominio Rectangular
Sea
Una partición de R se puede hacer dividiendo el intervalo en
“n” partes cuyas amplitudes representaremos por
 b;a
n...,iconxi 21
y el intervalo en “m” partes, de amplitudes d;c m...,jconyj 21
Si por cada uno de estos puntos de división, se traza una
perpendicular, se obtiene una partición de R, en “nxm” sub-
rectángulos, cuyas áreas representamos por:
con i=1,2,…….,n , j=1,2………,m y k=1,……,nxm
jik yxR 
Se puede expresar la suma de todas las áreas de todas las partes
correspondientes a esta partición, así:
  

n
i
m
j
ji
nxm
k
k yxR
1 11
Reducción de la Integral Doble a Integrales Sucesivas
Sea función integrable en una región rectangular R)y;x(f
o
Comparando las expresiones queda demostrado que para recintos
rectangulares, el resultado de la Integral Doble es independiente del
orden de integración.
Cálculo de la Integral Doble para regiones No Rectangulares
Primer caso:
Se trata de una función definida en una región no
rectangular D
)y;x(gy)y;x(f
)y;x(f
)y;x(gy)y;x(f
D: -región cerrada por una curva simple C
-Simplemente conexa
-Cualquier paralela a los ejes coordenados la corta a lo sumo en
dos puntos.
Podemos trazar dos rectas
paralelas al eje ‘y’ tangentes a
la curva en dos puntos, cuyas
abscisas representaremos por
a y b.
Estos puntos de tangencia, descomponen a C en dos curvas,
cuyas ecuaciones son
      Dy;xsiy;xfy;xf *

   xyexy 21
Otras dos rectas tangentes, pero paralelas al eje “x”, determinan con
las anteriores un rectángulo R que contiene a C.
Podemos definir en dicho rectángulo, la función:
  DRy;xsi 0
Por descomposición del intervalo de Integración:
(1)
Para calcular la integral de la función aplicamos la definición
de Integrales Dobles, considerando una partición de R en mxn
rectángulos, descomponiendo de “m” partes de norma y
en “n” partes, de norma y obtenemos:
 y;xf *
      Dy;xsiy;xfy;xf *

 b;a 1
 d;c 2
Hallar la capacidad de un tanque australiano cuya altura es de
2m y su diámetro es de 8m.
1622
 yx)y;x(fz
2
16 xy 
  dydxy;xfV
D






 22
1616
44
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x
D
verificación
Geométricamente:
uahralturabaseSupV 322162
 
ua
x
senarcxxV 32
4
1616
2
1
8
4
0
2














  







4
0
2
16
0
4
0
4
0
16
0
4
4
16
16
16824
242
2
22
2
dxxdxy
dxdydydxV
x
xx
x
Siguiendo con el ejemplo del tanque calculemos el área de la base
del mismo.






 22
1616
44
xyx
x
D
 
 4
0
2
16
0
4
0
1644
2
dxxdxyA
x
ua
x
senarcxxA 16
4
1616
2
1
4
4
0
2













Verificación geométrica
uarA  16422

Calcular el centro de gravedad de la lámina que representa la
base del tanque comprendida en el primer octante del plano “xy”
m
m
y
m
m
x)y;x(G xy


D
dydxmCalculamos previamente la masa: m






 2
160
44
xy
x
D
12258
2
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16
0
2
,dxdym
x
  


Utilizando argumentos de simetría de la figura estudiada
podemos afirmar que el centro de gravedad se encontrará
sobre el eje “y” 0 x
m
m
y x

   



dx
y
dydxym
x
x
x
4
4
16
0
4
4
16
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  
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INTEGRALES DOBLES

  • 1. FACULTAD DE INGENIERÍA – UNNE ANALISIS MATEMÁTICO II CARGO CONCURSADO: PROFESORA ADJUNTA TEMA A DESARROLLAR:
  • 2. Que el alumno: • Utilice como apoyo el concepto de integra definida para comprender este nuevo tema. • Vincule temas desarrollado previamente en esta materia, como el de “dominio de una función de dos variables”, el de “superficies” y “límite de una función de dos variables” con este nuevo tema. • Comprende el tema, de manera que puede utilizar sus aplicaciones en el ciclo superior de la carrera. OBJETIVOS GENERALES:
  • 3. •Definir integral doble. •Enseñar el cálculo de la integral doble, utilizando integrales sucesivas. •Estudiar con los alumnos, los distintos tipos de dominios y el procedimiento a utilizar en cada tipo de recinto. •Mostrar las aplicaciones geométricas y físicas de la integral doble. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
  • 4. •Apunte de cátedra Análisis Matemático II – Cálculo Integral – Profesor Antonio Mahave •Cálculo diferencial e integral – N. Piskunov •Cálculo infinitesimal de varias variables – J. Rey Pastor –Calleja y Trejo •Cálculos de varias variables – Thomas /Finney •Introducción al análisis matemático – Cálculo 2 – Hebe Rabuffetti BIBLIOGRAFÍA:
  • 5. R Conceptos previos Partición de una región del Plano: Una partición P de se obtiene por un conjunto de curvas arbitrarias simple que cortan a la superficie y la dividen en n subregiones, n,.....,kconRk 21 Llamaremos diámetro de cada elemento a la mayor distancia que exista entre dos puntos pertenecientes a cada kR Por ejemplo: si es rectangular, el diámetro será la diagonal del mismo. kR kR Llamaremos Norma de Partición: Simbólicamente al mayor de los diámetros existentes en todos Los elementos de una partición.  kR Sea El área correspondiente a cada sub-región kRkR
  • 7. Definición: Sea una función definida, continua y acotada en una región R del plano. )y;x(fz  Consideremos un punto arbitrario interior a cada sub-división de una partición P y sea el valor de la función en dicho punto. kp )p(f k Llamaremos con el nombre de suma de productos interiores o suma de Riemann correspondientes a la función y a una partición P, a: )y;x(f
  • 8. Si efectuáramos nuevas particiones de la región R, cada vez más refinadas tal que aumentaría el número de partes.0 Si existe el límite de esta suma, cuando lo llamaremos “Integral Doble” de la función en la región R y lo representamos por: 0 )y;x(fz  R se denomina dominio de integración.
  • 9. Propiedades de la Integral Doble: 1. Descomposición con respecto de la región de integración: Si la región R se descompone en RRRyRR/RyR  212121 2. Propiedad de Homogeneidad: Siendo C = constante y integrable en R)y;x(f
  • 10. 3. Descomposición con respecto al integrando: Siendo son integrables sobre la región R)y;x(gy)y;x(f 4. Propiedad de monotonía: 5. Si son integrables en R y)y;x(gy)y;x(f
  • 11. Partición de un dominio Rectangular Sea Una partición de R se puede hacer dividiendo el intervalo en “n” partes cuyas amplitudes representaremos por  b;a n...,iconxi 21 y el intervalo en “m” partes, de amplitudes d;c m...,jconyj 21 Si por cada uno de estos puntos de división, se traza una perpendicular, se obtiene una partición de R, en “nxm” sub- rectángulos, cuyas áreas representamos por: con i=1,2,…….,n , j=1,2………,m y k=1,……,nxm jik yxR  Se puede expresar la suma de todas las áreas de todas las partes correspondientes a esta partición, así:     n i m j ji nxm k k yxR 1 11
  • 12. Reducción de la Integral Doble a Integrales Sucesivas Sea función integrable en una región rectangular R)y;x(f o Comparando las expresiones queda demostrado que para recintos rectangulares, el resultado de la Integral Doble es independiente del orden de integración.
  • 13. Cálculo de la Integral Doble para regiones No Rectangulares Primer caso: Se trata de una función definida en una región no rectangular D )y;x(gy)y;x(f )y;x(f )y;x(gy)y;x(f D: -región cerrada por una curva simple C -Simplemente conexa -Cualquier paralela a los ejes coordenados la corta a lo sumo en dos puntos. Podemos trazar dos rectas paralelas al eje ‘y’ tangentes a la curva en dos puntos, cuyas abscisas representaremos por a y b.
  • 14. Estos puntos de tangencia, descomponen a C en dos curvas, cuyas ecuaciones son       Dy;xsiy;xfy;xf *     xyexy 21 Otras dos rectas tangentes, pero paralelas al eje “x”, determinan con las anteriores un rectángulo R que contiene a C. Podemos definir en dicho rectángulo, la función:   DRy;xsi 0
  • 15. Por descomposición del intervalo de Integración: (1) Para calcular la integral de la función aplicamos la definición de Integrales Dobles, considerando una partición de R en mxn rectángulos, descomponiendo de “m” partes de norma y en “n” partes, de norma y obtenemos:  y;xf *       Dy;xsiy;xfy;xf *   b;a 1  d;c 2
  • 16. Hallar la capacidad de un tanque australiano cuya altura es de 2m y su diámetro es de 8m. 1622  yx)y;x(fz 2 16 xy    dydxy;xfV D        22 1616 44 xyx x D
  • 17. verificación Geométricamente: uahralturabaseSupV 322162   ua x senarcxxV 32 4 1616 2 1 8 4 0 2                         4 0 2 16 0 4 0 4 0 16 0 4 4 16 16 16824 242 2 22 2 dxxdxy dxdydydxV x xx x
  • 18. Siguiendo con el ejemplo del tanque calculemos el área de la base del mismo.        22 1616 44 xyx x D    4 0 2 16 0 4 0 1644 2 dxxdxyA x ua x senarcxxA 16 4 1616 2 1 4 4 0 2              Verificación geométrica uarA  16422 
  • 19. Calcular el centro de gravedad de la lámina que representa la base del tanque comprendida en el primer octante del plano “xy” m m y m m x)y;x(G xy   D dydxmCalculamos previamente la masa: m        2 160 44 xy x D 12258 2 164 4 16 0 2 ,dxdym x     
  • 20. Utilizando argumentos de simetría de la figura estudiada podemos afirmar que el centro de gravedad se encontrará sobre el eje “y” 0 x m m y x         dx y dydxym x x x 4 4 16 0 4 4 16 0 22 2 2     4 4 2 16 2 1 xmx