Trabajo de word sobre integrales multiples.

1. Universidad Surcolombiana
Ingeniería Agrícola
TALLER
INTEGRALES MULTIPLES
ASIGNATURA:
CALCULO VECTORIAL
HUGO ANDREY LOPEZ RODRIGUEZ (20162150644)
DAYANA MICHELL GUZMÁN T( 20181169821)
CARLOS ALBERTO AVILA BOCANEGRA (20142131568)
DOCENTE:
OSCAR VIDAL
UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA AGRÍCOLA
NEIVA-HUILA
2019-1

2. Universidad Surcolombiana
Ingeniería Agrícola
INTEGRACION MULTIPLE
DEFINICION
La integración múltiple es el proceso de encontrar las primitivas de una función de varias
variables respecto a todas las variables independientes que dicha función posea.
Generalmente la aplicación más directa es la integral definida, utilizada para encontrar
áreas de regiones y volúmenes de superficies en el espacio.
INTEGRAL ITERADA
La integración múltiple es el proceso de encontrar las primitivas de una función de varias
variables respecto a todas las variables independientes que dicha función posea.
Generalmente la aplicación más directa es la integral definida, utilizada para encontrar
áreas de regiones y volúmenes de superficies en el espacio.
Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales
en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple;
es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial
dy o viceversa
Ahora veremos cómo se pueden presentar este tipo e integrales:
Definición: integral doble iterada en dominio simple respecto de x. Sea D (c) [ 𝑎, 𝑏]x[ 𝑐, 𝑑]
un dominio simple respecto de x, y sea 𝑓( 𝑥, 𝑦)continua en D. Se llama integral doble
iterada de f en el nominio D al número:

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DEFINICION: Integral triple iterada en dominio (tridimensional) simple respecto de x, y, o
de y, x.
Sea D C[ 𝑎, 𝑏] 𝑥[ 𝑐, 𝑑] 𝑥[ 𝑒,ℎ] un dominio simple respecto de x, y o de y, x, y sea 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
continua en D. Se llama integral triple iterada de f en el dominio D al número:
EJEMPLOS
1) RESOLVER ∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑥
1
0
Solución
2y∫ 𝑥𝑑𝑥 = 2𝑦
𝑥2
2
= [ 𝑦𝑥2] = [ 𝑦(1)2 − 𝑦(02] = 𝑦
1
0

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Ingeniería Agrícola
DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE: áreas y volúmenes
Definición: Si f está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces
la integral doble de f sobre R estada dada por:
Siempre que el límite exista, en cuyo caso f es integrable sobre R.
Se debe enfatizar que las condiciones de esta definición son suficientes pero no
necesarias para la existencia de la integral doble. El cálculo del valor de una integral
doble directamente de la definición es muy tedioso, por lo que existe un teorema para
integrales dobles.
Teorema fundamental para integrales dobles. Si la integral doble de f en R existe, y si la
región R es de alguno de estos dos tipos: acotada cuya frontera es una curva cerrada
simple y rectificable, y cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al

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eje x interseca a la frontera de R en solo dos puntos (región R tipo T1) o si cada línea
que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje y interseca a la frontera de R
solo en dos puntos (región R tipo T2). O si R es la unión de un número finito de
regiones del tipo T1 o T2, las integrales iteradas se pueden usar para calcular la integral
doble.
EJEMPLO

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INTEGRAL DOBLE
DEFINICION
La doble integral es utilizada en funciones de dos variables independientes, de la forma z =
f ( x , y ). La integral de esta función tiene la forma siguiente:
A la integral anterior se le llama integral iterada, pues el proceso se realiza por pasos. El
orden de integración puede cambiar primero respecto a y y luego respecto a x o viceversa.
El proceso consiste en integrar primero la función respecto a la primera variable y volver
la otra constante para luego integrar ese resultado respecto a la variable restante.
La doble integral definida se usa para encontrar áreas o volúmenes. Para encontrar áreas
no es necesario contar con una función. Por ejemplo, el área de una circunferencia con
centro en el origen de radio 1.
Para encontrar el área del círculo, que en este caso es igual a Pi, se pueden usar ambos
órdenes de integración. Esto depende de lo siguiente. La ecuación de este círculo es:
La ecuación se puede despejar respecto a las dos variables. Lo más importante son los
límites de integración. La región tipo I se obtiene al sumar las áreas de rectángulos

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verticales, como se acostumbra. En este caso, primero se integra respecto a y y luego
respecto a x. Los límites de la primera integral son funciones de la forma y = f(x).
Entonces, la función se despeja respecto a y para encontrar los límites de integración de esa
variable. Los límites de integración de x son siempre constantes y representan el rango en el que x
se mueve; en este caso, el radio de la circunferencia.
Cuando los límites superior e inferior son idénticos a excepción del signo, se dice que existe
simetría. Por ello, el límite inferior puede ser 0 y la integral completa se multiplica por 2. En este
caso, por 4 pues los dos pares de límites son simétricos.

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La integral se resuelve de la forma convencional. Se integra y se evalúa, dos veces:
En caso de la región tipo II, los rectángulos son horizontales y es la variable x la que depende de y.
El despeje es al revés, y los límites de integración de y son iguales que los de x en el primer
ejemplo.
La integral queda resuelta de esta forma:

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Cuando una integral doble no contiene función en el argumento, el cálculo corresponde a un área
limitada por los límites de integración. Cuando la integral doble sí contiene una función en el
argumento, de la forma z = f( x, y ), el cálculo de la integral corresponde al volumen entre la
superficie en el espacio representada por dicha función y una región representada por los límites de
integración. Por ejemplo la función de la esfera con centro en el origen y radio 1:
Se despeja la función respecto a z. En este caso, solo se calculara el volumen de la mitad superior
de la esfera para ocupar la raíz positiva. La integral se multiplicará por 2 para obtener el volumen
total. En ese caso, el orden de integración puede ser el que sea. Por naturalidad, se usará una región
tipo I. La región sobre el plano xy desde la cuál se mide el volumen hasta la superficie es una
circunferencia con centro en el origen con radio 1. Se puede obtener igualando z a 0. Los límites de
x y y quedan como sigue:

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La integral, entonces, se plantea de la siguiente manera:
Como los límites de integración de ambas variables presentan simetría, la integral
puede empezar desde 0 en ambos y se multiplica por 4:

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La resolución de la integral es compleja pues convergen varios métodos de
integración. Pero el resultado, que es constante, equivale al resultado de calcular
el volumen de la esfera por la ecuación:
Bibliografías:
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/integracion-multiple
https://es.slideshare.net/meyeeni/unidad-5-calculo?next_slideshow=1
http://www.dma.uvigo.es/~aurea/Tema3_lino.pdf