Mnnbj

3. Elaborado por: J.C.Alcerro

5. Edad de Oro de la matemática griega
 Se denomina Edad de Oro de la matemática griega al primer siglo
del período helenista (inicia en el 323 a.C. con la muerte de
Alejandro Magno).
 Es en ésta época que sobresalen tres de los más grandes
matemáticos griegos:
 La Edad de Oro de la cultura (Arte y Literatura) griega se señala
a mediados del sigloV a.C.
Euclides de Alejandría
Arquímedes de Siracusa
Apolonio de P
(325-265)
(287-212)
(262-190)
erga






6. Apolonio de Perga (262-190 a.C.)
 Nació alrededor del 262 a. C. en Perga, en Pamfilia, ahoraTurquía.
 Fue matemático y astrónomo, y probablemente estudió en Alejandría y
en esta ciudad se dedicó a la enseñanza.
 Estudió las secciones cónicas utilizando como herramienta las
proporciones, relacionando las magnitudes de cada elemento que
conforman cada una de las secciones cónicas.
 Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de
El Gran Geómetra.
 Sólo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros días: Secciones en
una razón dada (no se conserva el original sino una traducción al árabe) y
Las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto
es una traducción al árabe).

7. Apolonio de Perga (262-190 a.C.)
 Los títulos de las obras perdidas son: Reparto rápido, Secciones en
un área dada, Secciones determinadas,Tangencias, Inclinaciones y
Lugares planos.
 Quizás Apolonio y Arquímedes fueron rivales intelectuales, debido
a que ambos se enfocaron en problemas similares.
 Apolonio desarrolló un esquema llamado de las tetradas para
expresar números grandes, utilizando como base la miriada:
 Este sistema numérico era probablemente el mismo que se
expone de forma parcial en el libro II de la Colección matemática
de Pappus (290-350 d.C.).
4
1 miriada = 10,000 unidades = 10

8. Las tetradas
 En ésta obra podemos ver el número escrito en la
forma:
donde
y que es equivalente a
cuya forma de lograr esta conversión es la siguiente:
2
3
= primera potencia de una miriada = 10,000
= segunda potencia de una miriada = 10,000
= tercera potencia de una miriada = 10,000






6
1
5,462 360,064 10

, , ,
  
     
3 2 1
5462 10,000 3600 10,000 6,400 10,000
    

9. Las tetradas
 Averiguamos cuantas potencias de 10,0003
caben en 5,462,360,064,000,000:
1 2 1
6
5,462 3
5,462 360, 60,06
06 4 000 0
4 0
10 ,0
 
 
3 3
2 1 2 1
5,462 360,064 000,000 10,000
5,462 5,462 360,064 000,000 5,462 10,000
     
 Tenemos que:
3
10,000 360,064,
5, 000,000
462
  
 Averiguamos cuantas potencias de 10,0002
caben en 360,064,000,000:
     
3 2 2
2 1 5,462 360
5,462 360,064 000,000 10,000 10,000 360,064,000,000 3600
0 10,000
       
2 1
3
5,462 360,064 000,000
10,000
5,462

2
360,064,000,000
10, 00
0
0
3,60

   
3 2
5,462 3600
10,000 10,000 64,000,000
    

10. Las tetradas
, , ,
  
     
 Averiguamos cuantas potencias de 10,0001
caben en 64,000,000 :
     
3 2 1
2 1
5,462 360,064 000,000 10,000 10,0
5,462 00 10,000
3600 6,400
      
1
64,000,000
10
6
,0 0
0
0
,40

escrito en jónico es igual a

11. Obra: Reparto rápido
 Apolonio escribió una obra llamada Reparto rápido, en el que se
mostraban métodos para calcular rápidamente.
 Se cree que esta obra daba una aproximación para π, mejor que la
de Arquímedes, quizás 3.1416, pero no se sabe como.
 En el libroVII de la Colección Matemática de Pappus, llamado el
Tesoro del Análisis se basó en gran parte a las obras de Apolonio
con contenidos que hoy calificaríamos como Geometría Analítica.
 Por tal razón se le denominó como El Gran Geómetra.

12. Reconstrucción de las obras perdidas
 Entonces, es a través de las obras de Pappus que podemos
conocer la obra de Apolonio.
 Reconstruidas en su mayoría en el siglo XVII.
 De la obra de los Lugares Planos, se deduce, que se trataba, entre
otros de los lugares:
a) El lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia entre
los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos es constante,
es una recta perpendicular a la que determinan entre estos dos
puntos

13. Reconstrucción de las obras perdidas
b) El lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a dos
puntos fijos es constante, es una circunferencia.
Punto
Medio
2
k
c
2 2
, k b a
 
A B
P
b a
c

14. Reconstrucción de las obras perdidas
 En el caso que r=1, el lugar geométrico descrito por el punto P es
la recta mediatriz del segmento determinado por A y B.
 Se conoce con el nombre del círculo de Apolonio, pero
Aristóteles ya la conocía intentando modelar matemáticamente el
Arco Iris.
A B
P
1
d
2
d
2
1
, 1
r
d
d
r
 
r
O 2
r OA OB
 

15. Reconstrucción de las obras perdidas
 El libro sobre Secciones en una razón dada, trataba al parecer de
los diversos casos de un problema general:
Dados dos rectas y un punto sobre cada una de ellas, trazar por un
tercer punto dado una recta que corte a las anteriores en segmentos
que estén en una razón dada.
 Problema equivalente a resolver 𝑎𝑥 − 𝑥2 = 𝑏𝑐.
 El libro sobre Secciones determinadas trataba de lo que se podría
denominar Geometría analítica de una dimensión. Por ejemplo:
Dado cuatro puntos,A, B, C y D, sobre una recta, determinar un quinto
punto P sobre ella, tal que el rectángulo construido sobre 𝐴𝑃 y 𝐶𝑃 esté
en una razón dada con el rectángulo construido sobre 𝐵𝑃 y 𝐷𝑃.

16. Reconstrucción de las obras perdidas
 Problema que se reduce también a la solución de una ecuación
cuadrática.
 Apolonio trató estos problemas de una manera exhaustiva,
incluyendo los límites de las posibilidades y el número de
soluciones.

17. El problema de Apolonio
 El libro sobre Tangencias trataba sobre lo que hoy denominamos
el Problema de Apolonio:
Dados tres elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto,
una recta o una circunferencia, trácese una circunferencia que sea
tangente a cada uno de los tres elementos dados.
 Existen diez casos posibles: tres puntos, tres rectas, dos rectas y
una circunferencia, …, tres circunferencias.
 No se tiene certeza del procedimiento que utilizó Apolonio para
dar solución a estos casos, incluso algunos dudan que haya
solucionado el caso de las tres circunferencias.

18. El problema de Apolonio
Caso 1: Circunferencia que pasa por tres puntos:
 Se trazan las mediatrices
de los segmentos 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶
A
B
C
D
 Se traza la circunferencia
con centro en D.
 Se trazan los segmentos
𝐴𝐵 y 𝐵𝐶

19. O
El problema de Apolonio
Caso 1I: Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta:
 Trazamos una circunferencia
con centro en un punto O de la
mediatriz y que pase por A y B.
A
B
P
 Prolongamos 𝐴𝐵 hasta
interceptar la recta dada en P.
 Se traza el segmento 𝐴𝐵
 Se traza la mediatriz de 𝐴𝐵
T
2
T
1
T
2
O
1
O
 Trazamos la recta tangente 𝑃𝑇.
 Trazamos las rectas tangentes
𝑇2𝑂2 y 𝑇1𝑂1.
 Trazamos un arco que pase por
T e intercepte a la recta dada.
 Trazamos las circunferencias con
centro en 𝑂1 y 𝑂2 y que pasen por A
y B.

20. Obra sobre Inclinaciones
 El libro sobre Inclinaciones trataba sobre construcciones con regla y
compás llamadas neusis, que es el hecho de insertar una longitud
dada, antes de la construcción (Ejemplo AB=CD).
 Según Pappus, uno de los problemas era:
Trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada pasando
por un punto dado.
 En otra obra: Comparación del dodecaedro y del icosaedro, da una
demostración del teorema (quizás lo conocía Aristarco):
Las caras pentagonales de un dodecaedro distan lo mismo del centro
de la esfera circunscrita que las caras triangulares del icosaedro
inscrito en la misma esfera.

21. Obra sobre Inclinaciones
Otra relación interesante entre estos dos sólidos es que el icosaedro es el
poliedro dual o conjugado del dodecaedro y viceversa (es decir, los vértices del
icosaedro se corresponden con el centro de las caras del dodecaedro).
1
d
2
d
1 2
d d


22. Ciclos y epiciclos
 A Apolonio se le atribuye el artificio preferido antiguamente, para
modelar el movimiento de los planetas.
 Propuso dos sistemas alternativos, el de las órbitas excéntricas y el de
movimientos epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente
de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.
Planeta con
movimiento
circular
uniform
)
e
(Epiciclo

Centro del
movimiento
planetario
con movimiento
circular uniforme

Centro del
movimiento
circular de C

Centro del
movimiento
de
(
l
é )
planeta
Exc nt
P
rico

 Este sistema junto con el de Eudoxo fueron rivales durante 1800 años.

23. Las Cónicas
 De la famosa obra Las Cónicas, solo se conserva en el original
griego la mitad, los cuatro primeros de sus ochos libros.
 De los últimos cuatro sabemos de tres, gracias a la traducción al
árabe de los originales por Thabit ibn Qurra.
 En 1710 Edmund Halley publicó las 7 obras en latín.
 Las secciones cónicas ya tenían siglo y medio aproximadamente de
conocerse cuando Apolonio escribió esta obra.
 Aristeo y Euclides ya habían escrito sobre las mismas en éste
lapso de tiempo, pero la obra de Apolonio los opacó.

24. Las Cónicas
 Apolonio inicialmente escribió un borrador apresurado de 8 libros
sobre las cónicas a solicitud del geómetra Naucrates.
 Luego los pulió hasta la obra que conocemos.
 Los cuatro primeros libros constituyen una introducción
elemental de lo cual ya se había publicado.
 Sin embargo, en el libro III algunos teoremas contenidos eran
propios de Apolonio, según el mismo lo afirma.
 Los cuatro últimos eran extensiones más avanzados y
especializados.

25. Las Cónicas
 Antes de Apolonio, la elipse, la parábola y la hipérbola se obtenían como
secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos
distintos, según como fuera el ángulo en el vértice del cono: agudo, recto
u obtuso.
 Apolonio demostró que se podían obtener con un cono único, sin más
que variar la inclinación del plano que corta al cono.
 Además demostró que el cono no necesita ser un cono recto.

26. Las Cónicas
 Demostró que las propiedades de estas curvas son las mismas ya sea que
se obtengan con conos rectos u oblicuos (Según Eutocio).
 Su estudio lo elevó a un punto de vista moderno, al usar un cono de dos
hojas.
 Y dio la definición de cono que se utiliza actualmente.
 Convirtiendo a la hipérbola en la curva de dos ramas que hoy conocemos.

27. Las Cónicas
 Construcción de Apolonio de las secciones cónicas mediante un cono
único, variando la inclinación del plano que corta al cono.
Elipse: el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz.
Circunferencia: el plano de corte es perpendicular al eje de simetría.
Parábola: el plano de corte es paralelo a una sola generatriz.
Hipérbola: el plano de corte es paralelo a dos de sus generatrices.

28. Los nombres de las secciones cónicas
 Antes de Apolonio, las secciones cónicas no tenía nombres específicos.
 Solo se hacían descripciones de la manera que habían sido
descubiertas.
 Se les llamaba: secciones de un cono agudo, rectángulo u obtuso.
 Probablemente a sugerencia de Arquímedes, introdujo los nombres de
elipse e hipérbola para las secciones cónicas.
 No eran palabras nuevas, ya las habían utilizado los pitagóricos al
resolver ecuaciones cuadráticas utilizando áreas.
 Elipse significa una deficiencia, hipérbola un exceso, parábola que no
había exceso ni deficiencia.
2 2 2
é á
latus re tum
; c
4
Elipse Hip rbola Par bola
y lx y lx y lx l p
    

29. El cono de dos hojas
 A pesar de las contribuciones geométricas de Apolonio, éste no consiguió
generalizar en la medida de lo posible.
 Obtuvo todas las secciones utilizando un cono oblicuo de dos hojas, lo
cual pudo haber deducido que se podía con un cono elíptico o un cono
cuadrático.
 Sin embargo, Apolonio en el libro I, proposición 5 de Las Cónicas,
demuestra:
Todo cono circular oblicuo tiene no solo un sistema infinito de secciones
circulares dadas paralelas a la base, sino también otro conjunto de
secciones circulares dadas por todas las que el llamó secciones
subcontrarias o antiparalelas a las primeras.

30. Cono circular oblicuo
A
B C
Círculos paralelos
a la base
 Círculos
antiparalelos o subcontrarios


31. Demostración
A
B C
HMD EMK
  
D
H
E
K
P
M
 Se trata de demostrar que la sección HPK es una
circunferencia (la ecuación de una circunferencia
es de la forma 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
).
 Sea HPK una sección transversal tal que
AHK ACB
  orientados de manera opuesta.
 Apolonio llama a la sección HPK subcontraria de
BFC.
 Sea P un punto cualquiera de la sección circular
DPE paralela a BFC.
F
 Sea BFC la base del cono circular oblicuo.
 De la figura tenemos que:
EKM ABC
   , ABC HDM
   HMD EKM
  

por el Teorema AA
HMD EMK
 


32. Demostración
 Luego
 Sean HM=x, HK=a y PM=y, entonces
A
B C
D
H
E
K
P
M
F
Por tanto, la sección
es una circunferencia.
HPK
HM DM
ME MK

HM MK DM ME
  
 DM, ME y PM son radios iguales, entonces
HM MK PM PM
  
2
HM MK PM
 
2
x MK y
 
  2
x HK HM y
  
  2
x a x y
 
2 2
xa x y
 
2 2
x y xa
 
Ecuación de la sección HPK 

33. Las propiedades fundamentales
 Los geómetras griegos clasificaban las curvas en:
Lugares planos: Líneas rectas y circunferencias
Lugares sólidos: Las secciones cónicas (Por ser secciones de una figura
tridimensional)
Lugares lineales: Curvas restantes
 Apolonio al igual que sus predecesores utilizó un cono para obtener las
secciones cónicas, pero rápidamente prescindió del cono.
 A partir del cono obtuvo una propiedad plana fundamental de la
sección, condición necesaria para que un punto esté situada en la curva.
 Es así que abandona el cono y procede a estudiar las secciones cónicas
por métodos planimétricos.

34. Propiedad plana fundamental de la elipse
 Sea ABC una sección triangular de un cono circular oblicuo y sea P un
punto cualquiera de una sección plana HPK que corta a todas las
generatrices del cono:
D E
H
K
P
A
B
C G
M
1) HDM HBG
 
3)
DM BG HM BG
DM
HM HG HG


 
2)
DM HM
BG HG

4) MEK GCK
 
5)
ME MK
CG KG

6)
ME CG MK CG
ME
MK KG KG


 

35. Propiedad plana fundamental de la elipse
En la demostración anterior se demostró que
en una circunferencia:
D E
H
K
P
A
B
C G
M
2
7) PM DM ME
 
Sustituyendo los pasos 3 y 6 en 7 tenemos
que:
2
8)
HM BG MK CG
PM
HG KG
 
 
Si PM=y, HM=x y HK=2a, entonces el paso 8
se transforma en:
2 x BG MK CG
y
HG KG
 
 
2 BG CG
y x MK
HG KG
   
2
(2 )
BG CG
y x a x
HG KG
   
2
(2 )
y kx a x
 
2 2
1
2 2
x y
ax kax
 
Ecuación de
la elipse HPK


36. Presentación: José Cristóbal Alcerro
Dependencia: Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán
Narración: José Cristóbal Alcerro
Centro de producción polimedia: UPNFM
Lugar y fecha:Tegucigalpa, M.D.C., noviembre del 2016