Este documento presenta un resumen de la historia de la geometría desde los antiguos egipcios y mesopotámicos hasta los griegos. Los egipcios y mesopotámicos desarrollaron fórmulas geométricas para medir áreas y volúmenes, pero sin un marco teórico. Los griegos, especialmente Tales, Euclides y Arquímedes, introdujeron un enfoque deductivo y axiomático que sentó las bases de la geometría moderna. Euclides codificó los principios geométricos en Los

1. GEOMETRÍA
EL LENGUAJE DEL ESPACIO Y LAS FORMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Ms. Ana María Teresa LUCCA

2. GEOMETRÍA ANTES DE LOS GRIEGOS
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas

3. Geometría de la medición
Heródoto (siglo V a.C.)

4. tendedores de cuerdas

5. desarrollaron fórmulas para medir
ciertas áreas simples
y volúmenes sencillos.
Los egipcios…

6. 𝝅 ≈ 𝟑
Fórmula exacta o aproximada?

7. Pirámides
Dada la longitud de un lado de la base y
la altura de una pirámide, podían calcular
el volumen de la pirámide.

8. Pirámides
Dada la longitud de un lado de la base de
una pirámide y su altura sabían cómo
calcular un número que caracterizaba la
inclinación de los lados de la pirámide.

9. Ojo al comparar…
el sistema de
numeración egipcio
era torpe, y sus
métodos para hacer
incluso aritmética
simple y geometría
eran a menudo más
complicados

10. Papiro de Ahmes o Rhind
aprox. 1650 a.C.
texto problema
𝟓, 𝟓𝟎 𝒎
𝟎, 𝟑𝟎 𝒎

11. Problema 51 - Calcular el área de un
triángulo isósceles.
(Área del triángulo) = 1/2 × (ancho de la base) × (altura)

14. Tablillas de…
Astronomía
Registros de construcción
Cantidad de material
Número de horas-hombre

15. álgebra sobre geometría
teorema de Pitágoras

16. geometría de medición
La geometría era un medio para un fin.

17. Por ejemplo…
Podían calcular el volumen de un objeto
que tenía la forma de una pared de la
ciudad pero su énfasis estaba
en la pared de ladrillo de barro,
no en la forma abstracta.

18. Geometría egipcia y mesopotámica
No hubo ideas claves.
No desarrollaron un contexto teórico en el
que colocar las fórmulas que
descubrieron.
La suya era una matemática que trataba
un problema a la vez.

19. INICIOS DE LA GEOMETRÍA GRIEGA
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas

20. Matemática griega
Más abstracta y menos computacional.
Investiga las propiedades de clases de
objetos geométricos.
Preocupada no sólo sobre qué se sabe,
sino en cómo se lo sabe.

21. Tales de Mileto (aprox. 650 – 546 a.C.)

22. Tales de Mileto (aprox. 650 – 546 a.C.)
Un círculo es bisecado por un diámetro.
deducir probar

23. Tales - Nueva forma de pensar
intuición
razonamiento deductivo
Proceso de razonamiento de principios
generales a casos concretos.

24. Tales…
el primer
matemático
verdadero

25. griegos nosotros
 Diámetro
Segmento de recta
 Diámetro
Número
atención
construían sus ideas geométricas

26. atención
 Compás y regla sin marcar muy precarios.
 Dibujos en pozos de arena o en arena rociada sobre una
superficie plana y dura.
 Cilindros, esferas, conos y similares.
 Curvas como intersección de formas tridimensionales con
planos.

27. Matemática sin números
¿Cómo investigaron los griegos las propiedades
geométricas de las figuras sin hacer referencia
a números o ecuaciones algebraicas?

28. medida formación
 Un ángulo de 𝟗𝟎°.  El ángulo formado por dos
líneas que se intersectan
perpendicularmente.
Hecho 1 – ángulo recto
Los griegos describieron un
ángulo llano (180°)
como la suma de
dos ángulos rectos.

29. Hecho 2
 Cuando cortamos dos líneas paralelas con una tercera
línea, transversal, los ángulos interiores sobre los lados
opuestos de la línea transversal son iguales.
𝑨 𝑪𝑩
𝑬𝑫 𝑭

30. Ejemplo
La suma de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a la suma de dos ángulos rectos.
𝑨 𝑪
𝑩𝑬 𝑭
El ángulo 𝑪𝑨𝑩 es igual al ángulo 𝑨𝑩𝑬.
El ángulo 𝑨𝑪𝑩 es igual al ángulo 𝑪𝑩𝑭.
Razonamiento
geométrico puro

31. Pitágoras de Samos (aprox. 582 – 500 a.C.)

32. Máxima pitagórica…
Todo es número.

33. Descubrimiento pitagórico…
Números irracionales
Un número irracional es un número que
no puede ser representado como una
razón de números enteros.

34. Descubrimiento pitagórico…
Sección áurea
La sección áurea es una razón específica,
que los griegos representaron como la
razón entre dos segmentos de recta.

35. sección áurea
rojo
verde
=
verde
azul
=
azul
rosado

36. sección áurea
auto-propagación

37. sección áurea

38. sección áurea

39. rectángulo áureo
Rectángulo con la propiedad de que
la razón de la longitud del lado más largo
a la longitud del lado más corto
es la sección áurea.
Propiedad auto-propagada

40. Sección áurea
Es un número irracional que es
aproximadamente igual a
𝝓 = 𝟏, 𝟔𝟏𝟖

41. Grecia

42. El mundo griego - Siglo VI a. C.

43. Atenas
3 problemas
clásicos

44. Duplicación del cubo
Hallar las dimensiones de
un nuevo cubo cuyo volumen
es el doble que el del original
utilizando sólo una regla y compás.

45. Trisección de un ángulo
Dado un ángulo arbitrario,
dividirlo en tres partes iguales,
utilizando sólo una regla y compás.

46. Cuadratura del círculo
Dado un círculo, y
utilizando sólo una regla y compás,
construir un cuadrado con
la misma área que el círculo dado.

47. Duplicación del cubo
Arquitas de Tarento
(ca. 428 – ca. 347 a.C.)
 Su método implicaba la
manipulación de tres
superficies curvas.

48. Álgebra – Siglo XIX
Los problemas
nunca se resolvieron
geométricamente porque
con sólo una regla y un compás
no pueden ser resueltos.

49. Expansión pitagórica

50. Profunda impresión
Platón
(ca. 428–347 a.C.)
 Escuela de Atenas

51. Estudiante de la Escuela de Atenas
Eudoxo de Cnido
(ca. 408 a.C.–ca. 355 a.C.)
 Fundó su propia escuela
en Cícico

52. Aporte de Eudoxo
Método de exhaución

53. Con el método de exhaución…
La razón de las áreas de dos círculos
es igual a la razón
de los cuadrados de sus diámetros.

54. 𝑨 𝟏 𝑨 𝟐
𝑫 𝟏
𝑫 𝟐
𝑨 𝟏
𝑨 𝟐
=
𝑫 𝟏
𝟐
𝑫 𝟐
𝟐

55. TRABAJOS MATEMÁTICOS IMPORTANTES
DE LA GEOMETRÍA GRIEGA
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas

56. Euclides
300 a.C.
Elementos

57. Elementos
Algunos de los resultados en los
Elementos fueron casi con toda seguridad
descubiertos por Eudoxo.
En cuanto a la mayor parte del contenido
no se sabe a quién dar el crédito de las
diferentes ideas.

58. Los Elementos contiene la

59. Características de los Elementos
Está organizado en 13 "libros" o capítulos.
El primer libro es una introducción a los
fundamentos de la geometría.
Los 12 libros restantes resumen muchas de
las ideas que eran más importantes para
los matemáticos de la época.

60. Características de los Elementos
Hay una extensa descripción del álgebra
geométrica.
Cubre el tema de los números irracionales, que
él llamó problema de los inconmensurables.
Demuestra que hay infinitos números primos.

61. Características de los Elementos
Describe el método de exhaución de Eudoxo.
Demuestra muchos teoremas de geometría
plana.
Demuestra algunos teoremas de la geometría
sólida (geometría de objetos tridimensionales).

62. Para rescatar…
La forma en
que Euclides
acercó la
geometría.

63. Estándar por casi 2000 años
Los Elementos es la obra
más antigua sobreviviente
que demuestra lo que
ahora se llama
el enfoque axiomático de la matemática.

64. En geometría…
descubrimos nuevos resultados
deduciéndolos de otros
previamente conocidos.
Un resultado conduce
lógicamente al siguiente.

65. Pero…
cuando probamos un
nuevo resultado
geométrico,
¿cómo sabemos que las
declaraciones anteriores
son también verdaderas?

66. Los matemáticos griegos
querían una forma lógica de explorar la
geometría
 pero lo que habían descubierto en cambio
era una interminable cadena de
implicaciones lógicas.

67. Libro I - Elementos
Comienza con una larga lista de
definiciones –una especie de glosario
matemático.
Sigue con una breve lista de axiomas
y postulados.

68. Geometría euclidiana
Los axiomas y postulados son asumidos como
verdaderos, no requieren demostración.
No pueden ser demostrados ni como verdaderos
ni como falsos dentro de esta geometría porque…
los axiomas y postulados determinan
lo que la geometría es.

69. Criterios del conjunto de axiomas y postulados
Los axiomas no pueden contradecirse
entre sí.
Los axiomas y postulados deben ser
lógicamente independientes.
Cualquier conjunto de axiomas o
postulados tiene que ser completo.

70. Establecidos axiomas y postulados…
el acto de descubrimiento geométrico
consiste únicamente en deducir
consecuencias lógicas previamente
desconocidas de los axiomas,
los postulados y los resultados
descubiertos con anterioridad.

71. Meta de Euclides
Hacer de la geometría
una ciencia puramente deductiva.

72. Axioma Postulado
Ejemplo
El todo es mayor
que la parte.
Se puede trazar una
línea recta desde
cualquier punto a
cualquier punto.

73. Quinto postulado
 Si una (recta) transversal cae en dos rectas de tal manera que
los ángulos interiores en un lado de la transversal son menores
que dos ángulos rectos, entonces las rectas se encuentran en
ese lado en el que los ángulos son menos que dos ángulos
rectos.
𝒍 𝟏
𝒍 𝟐 𝒍 𝟑

74. Muchos sospechaban que…
se debería ser capaz de deducir
el quinto postulado como consecuencia
de los otros cuatro postulados
y cinco axiomas.

75. Éxito de Euclides
Su postulado de las
paralelas no es una
consecuencia lógica
de los otros axiomas
y postulados.

76. Debilidades de Euclides
Los 10 axiomas y
postulados de
Euclides no son
completos.

77. Gran logro griego
Sólo la geometría alcanzó este
nivel de rigor
hasta tiempos históricos
relativamente recientes.

78. Para comparar…
Diversas disciplinas como el
álgebra, por ejemplo, no
fueron axiomatizadas hasta
finales de los siglos XIX y XX.
La teoría de la probabilidad
no fue axiomatizada hasta
bien entrado el siglo XX.

79. Arquímedes
(ca. 287 a.C. – ca. 212 a.C.)

80. Trabajos casi perdidos
Los originales griegos son conocidos en
gran parte a través de un texto único que
sobrevivió hasta el siglo XVI.
El Método, que ahora es una de sus obras
más famosas, no fue redescubierto hasta
mucho más tarde (1906).

81. Palimpsesto de Arquímedes

82. Sobre la Esfera y el Cilindro
El volumen de una
esfera es dos tercios
del volumen del
cilindro circular más
pequeño que puede
contenerla.

83. Sobre las Espirales
Si una línea recta trazada en un
plano gira a una velocidad uniforme
sobre un extremo que permanece fijo
y vuelve a la posición desde la que empezó y si,
al mismo tiempo que la línea gira, un punto se mueve
a una velocidad uniforme a lo largo de la línea recta
a partir de la extremidad que permanece fija,
el punto describirá una espiral en el plano.

84. Arquímedes
Descripción mecánica de una curva
Sin símbolos
Sin ecuaciones

85. Sobre las espirales
 Después de una revolución
completa el área delimitada
por la espiral y la línea cubre
un tercio del área de un
círculo con un radio igual a
la distancia desde el
"extremo" a la posición del
punto sobre la línea después
de una revolución completa.

86. Otros usos de la espiral
Resolución del
clásico problema
de trisección de un
ángulo arbitrario.
Sólo con regla y compás? NO

87. Cuadratura de la parábola
Método de exhaución
de Eudoxo

88. El Método
Es la propia explicación de Arquímedes
de cómo investigó una idea antes de tratar
de demostrarla matemáticamente.

89. Objetivo de El Método
Considero necesario exponer el método
en parte porque ya he hablado de él y no quiero que se
crea que he pronunciado palabras vanas, pero igualmente
porque estoy convencido de que va a ser algún pequeño
servicio a la matemática; pues yo temo que algunos de
mis contemporáneos o de mis sucesores, por medio del
método una vez sea establecido, podrán descubrir otros
teoremas, además, que aún no se han dado a mí.

90. El Gran Geómetra
Apolonio de Perga
(ca. 262 a.C. – ca. 190 a.C.)

91. Cónicas
 Comienza con un resumen de la obra de sus predecesores,
entre ellos Euclides.
 Describe enfoques creativos a problemas difíciles.
 Su análisis es cuidadoso y exhaustivo.
 A veces proporciona más de una solución al mismo
problema, ya que cada solución ofrece una visión diferente
sobre la naturaleza del problema.
 Gran impacto en la imaginación y la investigación de los
matemáticos durante muchos siglos.

92. ¿Qué es una cónica?
Si desde un punto una línea recta se une a la circunferencia
de un círculo que no está en el mismo plano con el punto, y
la línea se produce en ambas direcciones, y si, con el punto
permaneciendo fijo, la línea recta girando alrededor de la
circunferencia del círculo vuelve al mismo lugar desde el
que se inició, entonces a la superficie generada compuesta de
las dos superficies estando verticalmente opuestas entre sí,
cada una de las cuales aumenta indefinidamente cuando la
línea recta de generación es producida de forma indefinida,
la llamo una superficie cónica.
Apolonio

93. Descripción retórica
Nada de simbolismo!!!

94. Superficie cónica recta

95. Curvas importantes

96. Renacimiento europeo - Kepler

97. Telescopio reflector de Newton

98. Pappus de Alejandría
Siglo III d.C.
Colección
Es el último de los grandes
tratados matemáticos
griegos existentes.

99. Colección
 Constaba de ocho volúmenes.
 Describe muchas de las obras más importantes de la
matemática griega…
 Elementos de Euclides
 Sobre las Espirales de Arquímedes
 Cónicas de Apolonio
 Obras del astrónomo griego Ptolomeo.
 El enfoque es exhaustivo.
 En ocasiones aporta nuevas ideas que son, al parecer, únicas.

100. Gracias a Pappus
Estudio de Arquímedes sobre
sólidos semirregulares.
Los sólidos semirregulares
son formas geométricas tridimensionales,
altamente simétricas.

101. Sólidos arquimedianos

102. Pappus dio soluciones a…
duplicación del cubo
trisección de un ángulo
cuadratura del círculo
Sólo con regla y compás? NO

103. Pappus…
Clasificó los
problemas de la
geometría en
tres grupos
distintos.

104. 1. Problemas planos
Los problemas planos son
problemas que se pueden
resolver utilizando
sólo una regla y compás.

105. 2. Problemas sólidos
Los problemas sólidos
son problemas que se
pueden resolver mediante
el uso de las cónicas.

106. 3. Problemas lineales
Los problemas lineales
son problemas que
no son ni planos
ni sólidos.

107. Pappus afirma…
Los tres problemas
clásicos no resueltos
de la geometría griega
no son
problemas planos!

108. Teorema de Pappus
Cada recta contiene tres puntos.
Cada punto se encuentra en tres rectas.

109. Pappus y el método de exhaución
sólidos de revolución
Un sólido de revolución es obtenido
al girar una curva alrededor de
una línea para obtener
un sólido tridimensional.

110. Toro

111. Pappus descubrió…
El volumen del toro es igual al área 𝐴
encerrada por las circunferencias
por la distancia que el centro de 𝐴
debe viajar alrededor del eje de rotación.

112. Volumen de sólido de revolución
Tarea difícil en la época de Pappus pues…
el concepto no se había explorado antes.
el cálculo no se había inventado todavía.
usar el método de exhaución es
generalmente más difícil que utilizar
técnicas estándar de cálculo.

113. Geometría griega
Se emprendieron investigaciones creativas en un
mundo de ideas matemáticas.
Primer intento serio de desarrollar una ciencia
deductiva.

114. Influencia
Geometría de los griegos
Matemáticos islámicos – álgebra islámica
Álgebra de la Europa Renacentista

115. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

116. 1899 – geometría revisitada
David Hilbert
(1862 – 1943)
21 axiomas
De cualesquiera tres puntos
situados en una línea recta,
siempre hay uno y sólo uno que
se encuentra entre los otros dos.

117. 1984 – Seminario
Paul Erdös
(1913 – 1996)
Enumera una larga
lista de problemas
no resueltos que
surgen de la
geometría
euclidiana.

118. Fin de la tradición matemática griega
Hipatia
(ca. 370 – 415)

119. Gracias