APLICACIÓN DE LA DERIVADA A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EMPRESARIALES

2. FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA EMPRESARIAL
LA DERIVADA
APLICACIÓN DE LA DERIVADA A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EMPRESARIALES
AUTOR
Remaycuna Vasquez Alexander
ASESOR
Carrasco Tineo Américo
PIURA - PERÚ
2017

3. 3
INTRODUCCIÓN
Las cónicas de Apolonio de Pérgamo (262-190 A.C), constaban de ocho libros. Esta obra es el
resultado de estudiar las secciones de un cono a las que de denomino cónicas. Apolonio descubrió
que se obtenían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones.
Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serán círculos, elipses, hipérbolas y
parábolas. Aunque estos conceptos no tuvieron posibilidad de ser aplicados a la ciencia de su época,
su importancia a quedado plenamente justifica con el paso del tiempo.
En esta investigación describiremos los conceptos con su respectiva ejemplificación de cada una de
las cónicas, para ello hemos estructurado el tema el dos capítulos. En el primer capítulo
abordaremos los antecedentes de las cónicas y en el segundo nos enfocaremos al detalle teórico y
práctico de la circunferencia, elipse, parábola y la hipérbola.

4. 4
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN...................................................................................................................3
CAPÍTULO I ..........................................................................................................................5
ANTECEDENTES ...................................................................................................................5
CAPÍTULO II .........................................................................................................................6
LAS CÓNICAS .......................................................................................................................6
2.1. CIRCUNFERENCIA ....................................................................................................................6
2.1.1. Definición ........................................................................................................................6
2.1.2. Ecuación cónica de la circunferencia................................................................................6
2.1.3. Ejemplificación.................................................................................................................7
2.2. PARÁBOLA...............................................................................................................................8
2.2.1. Definición ........................................................................................................................8
2.2.2. Ecuación canónica............................................................................................................9
2.2.3. Ejemplificación...............................................................................................................11
2.3. ELIPSE....................................................................................................................................13
2.3.1. Definición ......................................................................................................................13
2.3.2. Ecuación Canónica .........................................................................................................14
2.3.3. Ejemplificación...............................................................................................................16
2.4. HIPÉRBOLA ............................................................................................................................18
2.4 1. Definición ......................................................................................................................18
2.4 2. Ecuación Canónica .........................................................................................................19
2.4 3. Ejemplificación...............................................................................................................21
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS...........................................................................................24

5. 5
CAPÍTULO I
ANTECEDENTES
Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matemáticas no tuvieron
un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos son las muy conocidas cónicas, en
un principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas
ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apolonio de Pérgamo, en el siglo III a.C. el primero que las
introdujo públicamente, escribiendo el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas,
aunque ya en el siglo anterior Menaechmus había escrito el primer tratado sobre cónicas. Lo que
no es tan conocido es que el motivo que originó esta creación no fue precisamente el de explicar
las órbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones sólo con regla
y compás de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles, como son el de la
duplicación del cubo, la trisección del ´ángulo y la cuadratura del círculo.
Durante muchos siglos, las cónicas fueron descartadas en los trabajos de los matemáticos hasta
que volvieron súbitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea está lleno de
secciones cónicas. En la elipse encontró Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario,
descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene
órbitas elípticas y el sol está situado en uno de sus focos (de ahí el nombre dado a estos puntos).
En base a este descubrimiento Newton enunció la famosa ley de la gravitación universal; así el
descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia matemática de dicha ley. También los
satélites y los cometas tienen ´orbitas elípticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es en cierto
modo providencial, pues si se tratara de hipérbolas o parábolas, no volverían a repetir su ciclo. Así
mismo, Galileo demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas.

6. 6
CAPÍTULO II
LAS CÓNICAS
2.1.CIRCUNFERENCIA
2.1.1.Definición
Sea 0 un punto del plano y sea “r” un número real positivo. Se define la circunferencia como el
conjunto de puntos p(x,y) tal que la distancia de P a 0 es igual a “r”. Es decir:
Circunferencia = {P(x,y)d(P,O)=r}
Al punto “0” se le denomina centro de la circunferencia y a “r” se le denominan radio de la
circunferencia.
CIRCUNFERENCIA
2.1.2.Ecuación cónica de la circunferencia
Supongamos que 0 tiene coordenas (h,k)
La distancia entre los puntos P(x,y) de Ia circunferencia y el punto C(h,k), Ia cual denotamos como
"r ", está dada por 𝑟 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2, entonces, tenemos:

7. 7
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
. Ecuacion canónica de una circunferencia. Para r2
> 0.
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
Es decir, una circunferencia con centro 0(0,0), el origen:
Despejando y, obtenemos las ecuaciones de las semicircunferencias superior e inferior.
2.1.3.Ejemplificación
2.1.3.1.Ejemplo N°1
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto 0(4,2) y radio 3
Solución:
Reemplazando en (𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
tenemos:
(𝑥 − 4)2
+ (𝑦 − 2)2
= 32
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 9
La ecuación canónica pedida.
Ahora, en la ecuación canónica del ejemplo anterior (𝑥 − 4)2
+ (𝑦 − 2)2
= 32
, al elevar al
cuadrado y reducir términos semejantes se obtiene:
𝑥2
− 8x + 16 + 𝑦2
− 4y + 4 = 9
𝑥2
+ 𝑦2
− 8x − 4y + 11 = 0
Se puede decir, entonces que la ecuación de una circunferencia tendrá la forma:
𝑥2
+ 𝑦2
+ C′
x + D′
y + F′ = 0
O también:
𝐴𝑥2
+ 𝐴𝑦2
+ Cx + Dy + F = 0

8. 8
Esta última ecuación es llamada Ecuación General de una Circunferencia.
Por tanto si nuestra intensión fuese dibujar la circunferencia o descubrirle sus elementos (centro y
radio) a partir de la ecuación general, deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica
completando trinomios cuadrados perfectos.
2.1.3.2.Ejemplo N°2
Graficar la circunferencia que tiene por ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
− 4x + 6y − 12 = 0
Solución:
La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados
(𝑥2
− 4x + 4) + (𝑦2
+ 6y + 9) = 12 + 4 + 9
(𝑥 − 2)2
+ (𝑦 + 3)2
= 25
Tenemos una circunferencia de radio r = 5 Y centro C (2,-3)
No toda ecuación de la forma 𝐴𝑥2
+ 𝐴𝑦2
+ Cx + Dy + F = 0 representará una circunferencia.
Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene 𝑟2
= 0 , es decir resulta (𝑥 − ℎ)2
+
(𝑦 − 𝑘)2
= 0, el lugar geométrico es el punto 0(h,k).
Si 𝑟2
< O, la ecuación no representa lugar geométrico.
2.2.PARÁBOLA
2.2.1.Definición
Sea L una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de puntos P(x,y) tal que
su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta L . Es decir:
Parábola = {P(x, y) / d(P,F) = d(p,L)}
Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta L se le denomina directriz de la parábola.

9. 9
PARÁBOLA
2.2.2.Ecuación canónica
Supongamos que F tiene coordenadas (0,p) y la recta L tiene ecuación y = -p con p > 0. Observamos
la siguiente gráfica:
Observe que 𝒅(𝑷, 𝑭) = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑃)2 y que d(P,L) =/ Y + P/.
Igualando distancias y resolviendo:
𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝐿)
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑃)2 = 𝑌 + 𝑃
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑃)2 = 𝑌 + 𝑃
(𝑥 − 0)2
+ (𝑦 − 𝑃)2
= (𝑦 + 𝑃)2
𝑋2
+ 𝑌2
− 2𝑃𝑌 + 𝑃2
= 𝑌2
+ 2𝑃𝑌 + 𝑃2
𝑋2
= 4𝑃𝑌
Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas (0,0). A la recta
perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observamos
que para la parábola anterior el eje focal es el eje y.

10. 10
Observamos además que la parábola es cóncava hacia arriba.
Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los
dos puntos de la parábola, se denomina lado recto y tiene una medida de 4p.
Supongamos ahora que el vértice no es el origen, que tenemos V(h,k), entonces su ecuación sería:
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Y su gráfica sería:
Para otros casos, tenemos:
(𝑥 − ℎ)2
= −4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Una parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abajo.
Si la parábola tiene ecuación (𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ). Su eje focal será horizontal y además será
cóncava hacia la derecha:

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Si la parábola tiene ecuación (𝑦 − 𝑘)2
= −4𝑝(𝑥 − ℎ). Su eje focal será horizontal, pero ahora será
cóncava hacia la izquierda:
La ecuación general de esta cónica será de la forma 𝑨𝒙𝟐
+ 𝑩𝒚𝟐
+ 𝐂𝐱 + 𝐃𝐲 + 𝐅 = 𝟎 con A=0 O B=0
pero no ambos. Es decir tendremos ecuaciones de la forma 𝑨𝒙𝟐
+ 𝐂𝐱 + 𝐃𝐲 + 𝐅 = 𝟎 O de la forma
𝑩𝒚𝟐 + 𝐂𝐱 + 𝐃𝐲 + 𝐅 = 𝟎, según sea la dirección del eje focal.
O simplemente de esta forma:
𝒙𝟐
+ 𝐂′𝐱 + 𝐃′𝐲 + 𝐅′ = 𝟎
𝒚𝟐
+ 𝐂′
𝐱 + 𝐃′𝐲 + 𝐅′ = 𝟎
2.2.3.Ejemplificación
2.2.3.1.Ejemplo N°1

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Graficar la parábola que tiene por ecuación 4𝑥2
− 20x − 24y + 97 = 0. Indique coordenadas del
vértice, coordenadas del foco y ecuación de la recta directriz.
Solución:
Despejando la variable cuadrática para completarle cuadrados y agrupando, tenemos:
4𝑥2
− 20x = 24y − 97
4
4
(𝑥2
− 5𝑥 +
25
4
) =
24
4
𝑦 −
97
4
+
25
4
(𝑥 −
5
2
)2
= 6𝑦 − 18
(𝑥 −
5
2
)2
= 6(𝑦 − 3)
Se deduce entonces que:
➢ La parábola tiene vértice 𝑉 = (
5
3
, 3)
➢ EI eje focal es paralelo al eje Y
➢ La parábola es cóncava hacia arriba.
➢ 𝑃 =
3
2
,debido a que 6 = 4p
Realizando su gráfica tenemos:
2.2.3.2.Ejemplo N°2
Hallar la ecuación general de la parábola que tiene como foco el punto de coordenadas (-3,-2) y
directriz la recta con ecuación x = 1
Solución:
En primer lugar representamos el foco y la directriz en el plano cartesiano.

13. 13
Concluimos que:
➢ El vértice debe tener coordenadas (-1,-2)
➢ El eje focal es paralelo al eje x
➢ La parábola es cóncava hacia la izquierda.
➢ P = 2, distancia del vértice al foco o distancia del vértice a la directriz.
➢ La ecuación de trabajo es (𝑦 − 𝑘)2
= −4𝑝(𝑥 − ℎ)
Reemplazando los valores en la ecuación de trabajo, tenemos:
(𝑦 + 2)2
= −4(2)(𝑥 + 1)
𝑦2
+ 4𝑦 + 4 = −8(𝑥 + 1)
𝑦2
+ 4𝑦 + 4 = −8𝑥 − 8
8𝑥 + 𝑦2
+ 4𝑦 + 12 = 0
2.3.ELIPSE
2.3.1.Definición
Sean 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse se define como el
conjunto de puntos P(x,y) tales que la suma de su distancia a 𝑭𝟏 con su distancia a 𝑭𝟐 es igual a 2a.
Es decir:
Elipse= {P(x, y)/ d(P, 𝑭𝟏)+ d(P, 𝑭𝟐) = 2a}
A 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 se les denomina focos de la elipse y "a" representa la medida del semieje mayor de la
elipse.

14. 14
ELIPSE
2.3.2.Ecuación Canónica
Sean 𝑭𝟏(−𝒄, 𝟎) y 𝑭𝟐(𝒄, 𝟎), observamos el siguiente gráfico:
De la definición tenemos:
d(P, 𝑭𝟐)+ d(P, 𝑭𝟏) = 2a
√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎
Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:
Dividiendo entre 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:

15. 15
Dividiendo entre 𝑎2
(𝑎2
− 𝑐2
)
Finamente, llamando 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 tenemos:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1. Ecuación canónica de la elipse con centro 0(0,0) y eje focal horizontal.
"b" representa la longitud del semieje menor, Observe la gráfica anterior.
Aquí el lado recto tiene dimensión
𝟐𝒃𝟐
𝒂
Para los casos generales tenemos:
Supongamos que el vértice es el punto V(h,k) y que el eje focal sea horizontal entonces su ecuación
sería:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
Y su grafica sería:

16. 16
Observación: La dirección del eje focal está indicada por el término que tiene el mayor
denominador, en este caso ese sería el valor de ”𝑎2
“. Observe también que a > b.
Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería:
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
+
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1
Y su gráfica sería:
2.3.3.Ejemplificación
2.3.3.1.Ejemplo N°1
Graficar la elipse que tiene por Ecuacion 25𝑥2
+ 16𝑦2
+ 100x − 96y − 156 = 0
Indicaremos todos sus elementos.
Solución:
La Ecuacion general dada, la transformamos a la ecuación cónica completando cuadrados:
Ahora dividimos entre 400

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La última ecuación nos indica que la elipse tiene:
➢ Centro 0(-2,3)
➢ Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador esta sobre el término que contiene
a “y”. Entonces 𝑎2
= 25, 𝑎 = 5
➢ 𝑏2
= 16, 𝑏 = 4
➢ Lo anterior nos permite calcular el valor de c
Por lo tanto la gráfica sería:
Ejemplo N°2
Hallar la ecuación general de la Elipse cuyo eje mayor mide 20 unidades y los focos son los puntos
de coordenadas (0,5√3) y (0, −5√3)
Solución:
Primero representamos en el plano cartesiano los puntos dados.

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Observamos que la elipse tiene como eje focal, el eje y, que 𝑐 = 5√3
Como nos dicen que el eje mayor mide 20 unidades, entonces a = 10
Estos nos permite calcular b:
Finalmente la ecuación de la elipse sería:
2.4.HIPÉRBOLA
2.4 1.Definición
Sean 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Hipérbola se define como el
conjunto de puntos P( x,y) del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de su distancia a
𝑭𝟏 con su distancia a 𝑭𝟐 es igual a 2a . Es decir:
Hipérbola = {P(x,y) / d (P,𝑭𝟏) − d (P, 𝑭𝟐) = 2a}
A 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 se les denomina focos de la hipérbola.

19. 19
HIPÉRBOLA
2.4 2. Ecuación Canónica
Sean 𝑭𝟏(−𝒄, 𝟎) y 𝑭𝟏(𝒄, 𝟎) , observamos el siguiente gráfico:
De la definición tenemos:
Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:
Dividiendo entre 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:

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Dividiendo entre 𝒂𝟐
(𝒄𝟐
− 𝒂𝟐
)
Finalmente, llamando 𝒃𝟐
= 𝒄𝟐
− 𝒂𝟐
tenemos:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1. Ecuación canónica de la hipérbola con centro 0(0,0) y eje focal horizontal
Aquí “b” representa la longitud del segmento (observemos la gráfica anterior) llamado semieje
conjugado.
Para los casos generales tenemos:
Suponga que el vértice es el punto V (h k), y que el eje focal sea horizontal entonces su ecuación
sería:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1
Y su grafica sería:

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OBSERVACIÓN: La dirección del eje focal está indicada por el término positivo y además sobre
este término estará “a“.
Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería:
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1
Y su grafica sería:
2.4 3.Ejemplificación
2.4.3.1.Ejemplo N°1
Graficar la hipérbola que tiene por ecuación 𝑥2
− 3𝑦2
+ 2x + 6y − 1 = 0. Indique coordenadas de
los vértices, coordenadas de los focos y ecuaciones de las asíntotas.
Solución:
Agrupando y completando cuadrados para darle la forma canónica a la ecuación:
Se concluye que:

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➢ La hipérbola tiene eje focal vertical, debido a que el termino positivo es el que contiene a
“Y”
➢ 𝒂𝟐
=
1
3
, 𝒂 = √
1
3
➢ 𝒃𝟐
= 1, 𝒃 = 1
El valor de c se lo calcula empleando la fórmula 𝐜 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐, es decir:
Por lo tanto su grafica sería:
Las ecuaciones de las asíntotas se determinan igualando a cero la ecuación canónica:
𝒚 = 1 ±
(𝑥 + 1)
√3
2.4.3.2.Ejemplo N°2
Hallar la ecuación general de la cónica que tiene por focos los puntos (1,3) y
(7,3); y por vértices los puntos (2,3) y (6,3)
Solución:

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Representando los focos y vértices en el plano cartesiano, sacamos las conclusiones necesarias para
plantear la ecuación buscada.
Del grafico se observa que:
➢ El eje focal debe ser horizontal.
➢ El centro tiene coordenadas 0(4,3)
➢ a=2 y c=3
El valor de b se calcula empleando la formula 𝒃 = √𝒄𝟐 − 𝒂𝟐, es decir:
Ahora hallando la ecuación de la hipérbola, tenemos:

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Bibliografía
Riddle, D. (1997). Geometría Analítica (6ª ed.). México: International Thompsom. Reinhardt, F.,
Soeder, H., & Falk, G. (1984).
Atlas de Matemáticas. Madrid: Alianza Editorial. Fuller, G., & Tarwater, D. (1995).
Geometría Analítica (7ª ed.). Wilgmington: Adison-Wesley Iberoamericana.
De Guzmán, M. (1974). Matemáticas en el Mundo Moderno. Madrid: Blume.
Lincografía
Quidiello, M. (2010). LAS CÓNICAS. Recuperado de:
https://es.slideshare.net/manueljesusquidielloqp/las-conicas-2813989
Carreras, A. (2009). SECCIONES CÓNICAS. Recuperado de:
https://es.slideshare.net/tito.carrreras/secciones-cnicas-2275430