Este documento explica las características de las parábolas y cómo representarlas gráficamente. Introduce las parábolas de la forma y=ax2+bx+c, y explica cómo calcular los puntos de corte, el vértice y representar la parábola. Luego cubre parábolas de otras formas como y=ax2+bx y cómo encontrar el vértice cuando no hay puntos de corte con el eje x. Finalmente, da ejemplos para practicar representando diferentes parábolas.

1. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
GRAFICAS DE LA FORMA y = ax 2 + bx + c LA PARÁBOLA
Representemos la parábola y = x2 (a=1, b=0, c=0)
Vez dándole valores a esta tabla y sustituyendo en la función de arriba “parábola”y representa los puntos en los ejes
coordenados.
Todas las parábolas tienen esta forma al representarlas gráficamente.
Fíjate que es simétrica. La rama de la izquierda es igual que la de la derecha.
El punto mínimo o máximo es llamado vértice
Ejercicio: Representa el los siguientes ejes coordenados las siguientes gráficas
y1=-x2 y2=2x2 y3= -2x2
¿Cuales son las diferencias que aprecias entre las distintas gráficas? Fíjate como se diferencian las gráficas
dependiendo del valor de “a”(coeficiente de la x2)
¿Qué pasa si el valor de “a” es positivo?¿y si es negativo?
¿Qué pasa si el valor de a va siendo mas grande, primero vale 1, luego vale 2, luego 3, ..... ?
Jose A. Ventura
x y
-3
-2
-1
0123
1.5
2.5
-1.5
-2.5
x y1 y2 y3
-3
-2
-1
0123
1.5
2.5
-
1.5
-
2.5
1

2. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
Representa ahora la parábola de ecuación y = x2 – 4 (a=1, b=0, c=-4)
Para representar la parábola mas fácilmente realizaremos los siguientes pasos:
1. Calculamos pu ntos de corte con el eje Y
Estos puntos tienen que tener la coordenada x=0, por lo tanto sustituyendo en la ecuación tendremos:
y= 02-4 =0 El punto será por lo tanto el (0 , -4)
2. Calculamos puntos de corte con el eje X
Estos puntos tienen que tener la coordenada y=0, por lo tanto sustituyendo en la ecuación tendremos:
0= x2 – 4 , despejando x2, tendremos 4=x2, despejando x, tendremos x= ± 4 =±2
Así tendremos dos puntos de corte (-2,0) y (2,0)
3. Calculamos el vértice
El vértice está en la mitad. Por lo tanto estará situado entre los dos puntos de corte (-2,0) y (2,0).
Como el punto medio será de la forma (-2,0) ¬ ( 0, ¿? ) ® (2,0)
Sustituyendo x=0 en la ecuación tendremos que y = 02 –4 = -4 Así ( 0, ¿? ) = (0, -4) = vertice
4. Hacemos una tabla de valores para unos pocos números distintos de los anteriores.
Fijate que debido a que a= 1 es positivo la parábola tiene las ramas hacia arriba
Ejercicio: Representa utilizando los pasos descritos anteriormente las siguientes parábolas:
y1= -x2+4 y2=x2-9 y3= 2x2-32
¿Qué tienen en común los vértices de estas tres parábolas?
Jose A. Ventura
x y
-4
-3
-2 Lo sé
-1
0 Lo sé
12
Lo sé
2.5
34
2

3. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
La parábola de la forma y=ax+by (c=0)
Ejemplo: y = 2x2-7x
1. Puntos de Corte con el eje Y
Para calcular este punto hacemos x=0, sustituyendo en la ecuación tendremos que y=0. por lo tanto el punto
obtenido será el ( 0 , 0 )
Todas las parábolas de este tipo tendrán esta característica
2. Puntos de Corte con el eje X
Para calcular este punto hacemos y=0, sustituyendo en la ecuación tendremos que 0= 2x2-7x , ahora resolviendo
esta ecuación tendremos que:
0= x (2x-7) cuyas soluciones son por un lado x=0 y por otro lado si 2x-7 =0 resulta que despejando x, obtenemos
x=7/2= 3.5.
Por lo tanto los puntos obtenidos serán el ( 0 , 0 ) y el ( 7/2 , 0 )
3. Calculo del Vértice
El vertice estará situado entre el valor x=0 y x=7/2, justo en la mitad que corresponderá al valor
x = ( 0+7/2 ) / 2= 7/4 = 1.75 “forma de obtener el punto medio”
Sobre esta linea estará situado el
vértice V (x, y). La coordenada x
la sabemos ya que es el punto
medio entre el 0 y el 3..5.
Es decir x = 1.75
Si conocemos el valor de x= 7/4 sustituyendo en la ecuación obtendremos el valor de y = 2(1.75)2-7(1.75)=-6.125
El vértice obtenido estará situado en el punto V(1.75 , -6.125)
Jose A. Ventura 3
(0,0) (3.5, 0)
(0,0) (3.5, 0)
V ( 3.5 , -6.125 )
La coordenada “·y” del vértice
V ( 3.5, y ) la calculamos
sustituyendo x= 3.5 en la
ecuación y=2x2-7x. Donde se
obtiene y = -6.125

4. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
4. Tabla de valores
Para terminar y representar la parábola simplemente obtenemos unos cuantos puntos mas mediante una tabla de
valores. Además tendremos en cuenta la simetría.
X Y
-0.5 4
-1 9
1 -5
2 -6
3 -3
4 4
5 15
4.5 9
GRAFICA FINAL DE LA PARÁBOLA y = 2x2 -7x
Todas las parábolas de este tipo ¿qué tendrán el común?
Ejercicio: Representa utilizando los pasos descritos anteriormente las siguientes parábolas:
y1= -x2+4x y2=2x2-9x y3= -2x2+18x
Jose A. Ventura 4
El punto de coordenada x = -0.5
y el de coordenada x = 4 son
simétricos al tener la misma
imagen y = 4. Fíjate como están
situados en la gráfica

5. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
La parábola de la forma y=ax+by+c (con a, b, c distintos de cero)
Ejemplo: y = x2-5x+6
1. Puntos de Corte con el eje Y
Para calcular este punto hacemos x=0, sustituyendo en la ecuación tendremos que y=6. por lo tanto el punto
obtenido será el ( 0 , 6 )
Todas las parábolas de este tipo tendrán esta característica
2. Puntos de Corte con el eje X
Para calcular este punto hacemos y=0, sustituyendo en la ecuación tendremos que 0= x2-5x+6 , ahora resolviendo
esta ecuación tendremos que:
î í ì
= ± = ± = ®
5 ± ( - 5)2 - 4 × 1 ×
6
x
=
×
3
2
5 1
2
2
5 1
2 1
Por lo tanto los puntos obtenidos serán el ( 3 , 0 ) y el ( 2 , 0 )
3. Calculo del Vértice
El vertice estará situado entre el valor x=2 y x=3, justo en la mitad que corresponderá al valor
x = ( 2+3 ) / 2= 5/2 = 2.5 “forma de obtener el punto medio”
Si conocemos el valor de x= 5/2 = 2.5 sustituyendo en la ecuación obtendremos el valor de
y = (2.5)2 -5(2.5) +6 =-0.25
El vértice obtenido estará situado en el punto V( 2.5 , -0.25 )
4. Tabla de Valores y representación gráfica
Ejercicio: Representa utilizando los pasos descritos anteriormente las siguientes parábolas:
y1= x2-4x-5 y2= -2x2-4x-16
Jose A. Ventura 5
Fijate que el vértice está situado
siempre sobre el eje de simetría
de la parábola. En la mitad de los
dos puntos de corte con el eje X
(3,0)
(0,6)
(2,0)
V(2.5,-0.25)
X Y
-1 12
1 2
4 2
5 6

6. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
Ejercicio:
¿De qué tipo de parábolas son las siguientes gráficas?
a)
b)
c)
d)
e)
¿Qué características las diferencian?
¿Qué ecuaciones corresponden a cada gráfica?
1) y = 3x2 2) y=-2x2+2 3) y= 5x2 +3 4) y= x2 +6x+8 5 ) y = -2x2+4x+6
Jose A. Ventura 6
a
e
d
c
b

7. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
Último caso: “parábola que no corta al eje X”
Puede suceder que la parábola no corte al eje X ¿entonces como encontraremos el vértice que siempre se sitúa en el eje
de simetría justo en medio de los dos puntos de corte?
Como hemos hecho anteriormente estos dos puntos de corte los hemos obtenido resolviendo la ecuación de segundo
grado que resulta de hacer y = 0 en la ecuación de la parábola. Sabemos que las soluciones de la ecuación de segundo
grado son de la forma:
ì
x b b a c
= - + - × ×
Þ
×
ï ï
í
ï ï
î
a
x = - b - b - × a ×
c
×
×
x = - b ± b - × a ×
c
a
a
2
4
2
4
2
4
2
2
2
2 1
l
la coordenada “x” del vértice estará en la mitad de estos dos valores
V ( valor situado en la mitad , la coordenada “y” la obtenemos siempre sustituyendo )
Calculamos el valor medio
a b
a
b
b b a c
+ - - - × ×
a
b b a c
- + - × ×
=
a
x x
punto medio
2
× = -
×
- ×
× =
×
+
=
2 2
2
2
2
4
2
4
2
2 2
1 2
ö
æ
f b
ö çè
b
Así tendremos que el vértice será V ÷ ÷ø
ç çè
÷ø
- æ -
a
a
2
,
2
Esta expresión también es valida para todos los ejemplos vistos anteriormente.
Ejemplo:
ö
æ
V ( 7) f V f
, 7
4
ö çè
ö
- -
( 7)
ö çè
- -
y = 2x2-7x tendrá como vértice ÷ ÷ø
ç çè
÷ø
= æ ÷ ÷ø
ç çè æ
÷ø
æ
×
×
4
7
2 2
,
2 2
ö
æ
V ( 5) f V f
, 5
2
ö çè
ö
æ
- -
( 5)
ö çè
- -
y = x2-5x+6 tendrá como vértice ÷ ÷ø
ç çè
÷ø
= æ ÷ ÷ø
ç çè
÷ø
æ
×
×
2
5
2 1
,
2 1
“estos vértices son los mismos que obtuvimos anteriormente”
Jose A. Ventura 7

8. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
æ
ö
- V f V f V
÷ø
÷ çè
(4) (4)
, 4
ö = - - 4
æ
ö çè
y = 2x2+4x+30 tendrá como vértice ( 1 , 1)
4
4
2 2
,
2 2
ö
ç çè
÷ø
= - æ - ÷ ÷ø
ç çè
÷ø
æ
×
-
×
Ejercicio: Representar gráficamente la parábola y = x2-3x+5
1. Puntos de Corte con el eje Y
Para calcular este punto hacemos x=0, sustituyendo en la ecuación tendremos que y=5. por lo tanto el punto
obtenido será el ( 0 , 5 )
2. Puntos de Corte con el eje X
Para calcular este punto hacemos y=0, sustituyendo en la ecuación tendremos que 0= x2-3x+5 , ahora resolviendo
esta ecuación tendremos que: - ( - 3) ± ( - 3) 2 - 4 × 1 ×
5
=
= ± - = ± - = Þ
x no hay
×
3 11
2
3 9 20
2
2 1
solución
Por lo tanto no hay puntos de corte con el eje X
3. Cálculo de Vértice
Como no tenemos puntos de corte con el eje X tendremos que calcular el vértice por el sistema descrito arriba.
Vértice; V ( x , y )
3
- -
=
( 3)
x = -
b
Calculamos la coordenada “x”: 1.5
2
2 1
2
= =
×
×
a
y f b
= - f
ö çè
Calculamos la coordenada “y”: (1.5) (1.5) 3(1.5) 5 2.75
2
2 = + - = = ÷ø
æ
×
a
Así tendremos el vértice V ( 1.5 , 2.75 )
4. Tabla de valores y gráfica
Jose A. Ventura 8

9. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
Jose A. Ventura 9
X Y
-2 15
-1 9
1 3
2 3
3 5
4 9
V ( 1.5 , 2.75 )

10. Matemáticas 4º E.S.O. ampliación: “la
parábola”
Jose A. Ventura 9
X Y
-2 15
-1 9
1 3
2 3
3 5
4 9
V ( 1.5 , 2.75 )