1. SEP
SNEST
DGEST
INSTITUTO TECNOLÓGICO
delIstmo
APUNTES CONTROL I
ING. EFRAIN DE LA CRUZ SANCHEZ
PERIODO:
AGOSTO 2013 – ENERO 2014
HEROÍCA CD. DE JUCHITÁN DE ZARAGOZA, OAXACA

2. UNIDAD III
3. Acciones básicas de control y controles automáticos industriales
3.1 Acciones de control.
3.1.1 Acción de dos posiciones (si, no).
3.1.2 Acción de control proporcional.
3.1.3 Acción de control integral.
3.1.4 Acción de control proporcional integral.
3.1.5 Acción de control proporcional derivativo
3.1.6 Acción de control proporcional derivativo e integral.
3.2 Controles proporcionales
3.2.1 Sistemas neumáticos.
3.2.2 Control proporcional de primer orden.

3. UNIDAD III
3 ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL Y CONTROLES AUTOMÁTICOS
INDUSTRIALES
1.1
ACCIONES DE CONTROL.
Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada
de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control
que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el
controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control.
En este capítulo analizaremos primero las acciones de control básicas que se usan en los
sistemas de control industriales. Después revisaremos los efectos de las acciones de
control integral y derivativa en la respuesta del sistema. A continuación consideraremos la
respuesta de sistemas de orden superior. Cualquier sistema físico se volverá inestable si
alguno de los polos en lazo cerrado se encuentra en el semiplano derecho del plano S.
Para verificar la existencia o inexistencia de tales polos en el semiplano derecho del plano,
es útil el criterio de estabilidad de Routh. Muchos controladores automáticos industriales
son electrónicos, hidráulicos, neumáticos o alguna combinación de éstos. En este capítulo
presentamos los principios de los controladores neumáticos, hidráulicos y electrónicos.
En esta sección analizaremos los detalles de las acciones básicas de control que utilizan los
controladores analógicos industriales. Empezaremos con una clasificación de los
controladores analógicos industriales.
Clasificación de los controladores industriales. Los controladores industriales se
clasifican, de acuerdo con sus acciones de control, como:
1. De dos posiciones o de encendido y apagado (on/ofB
2. Proporcionales
3. Integrales
4. Proporcionales-integrales
5. Proporcionales-derivativos
6. Proporcionales-integrales-derivativos
Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o
un fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Los controladores también pueden
clasificarse, de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operaciión, como
neumáticos, hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use debe decidirse
con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo
consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso
y tamaño.
Controlador automático, actuador y sensor (elemento de medición). La figura

4. 3-1 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste en un
controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición).
Fig. 3-1. Diagrama de bloques de un sistema de control industrial, formado por un
controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición).
El controlador detecta la señal de error, que por lo general, está en un nivel de potencia
muy bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida de un controlador
automático se alimenta a un actuador, tal como un motor o una válvula neumáticos, un
motor hidráulico, o un motor eléctrico. (El actuador es un dispositivo de potencia que
produce la entrada para la planta de acuerdo con la señal de control, a fin de que la señal
de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia.)
Elsensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida en
otra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presión, o un voltaje, que
pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento
está en la trayectoria de realimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del
controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que
la señal de realimentación del sensor o del elemento de medición.
Controladores autooperados. En la mayor parte de los controladores automáticos
industriales, se usan unidades separadas para el elemento de medición y el actuador. Sin
embargo, en algunos muy sencillos, como los controladores autooperados, estos
elementos se integran en una unidad. Los controladores autooperados utilizan la potencia
desarrollada por el elemento de medición, son muy sencillos y poco costosos. Un ejemplo
de un controlador autooperado aparece en la figura 3.2. El punto de ajuste lo determina la
modificación de la fuerza del resorte.

5. Fig. 3-2 Controlador autooperado.
El diafragma mide la presión controlada. La señal de error es la fuerza neta que actúa
sobre el diafragma. Su posición determina la apertura de la válvula.
La operación del controlador autooperado es la siguiente: suponga que la presión de
salida es más baja que la presión de referencia, determinada por el punto de ajuste. Por
tanto, la fuerza de tensión hacia abajo es mayor que la fuerza de presión hacia arriba, lo
cual produce un movimiento hacia abajo del diafragma. Esto aumenta la velocidad de flujo
y eleva la presión de salida. Cuando la fuerza de presión hacia arriba es igual a la fuerza de
tensión hacia abajo, el vástago de la válvula permanece estacionario y el de flujo es
constante.
Por el contrario, si la presión de salida es más alta que la presión de referencia, la apertura
de la válvula se hace más pequeña y reduce el flujo que pasa a través de ella. Los
controladores autooperados se usan mucho en el control de la presión del agua y el gas.
1.1.1 ACCIÓN DE DOS POSICIONES (SI, NO).
En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación solo tiene dos
posiciones fijas que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control
de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por
la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.
Supongamos que la señal de salida del controlador es u (t) y que la señal de error es e (t).
En el control de dos posiciones, la señal u (t) permanece en un valor ya sea máximo o
mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De este modo, en
donde y
son constantes. Por lo general, el valor mínimo de
es cero o - . Es
común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso
se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides.

6. Los controladores neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como
controladores de dos posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos
de dos posiciones. Las figuras 3-3(a) y (b) muestran los diagramas de bloques para dos
controladores de dos posiciones. El rango en el que debe moverse la señal de error antes
de que ocurra la conmutación se denomina brecha diferencial.
Fig. 3-3 (a) Diagrama de bloques de un controlador de encendido y apagado; (b) diagrama
de bloques de un controlador de encendido y apagado con una brecha diferencial.
En la figura 3-3(b) se señala una brecha diferencial. Tal brecha provoca que la salida del
controlador u (t) conserve su valor presente hasta que la señal de error se haya
desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el
resultado de una fricción no intencionada y de un movimiento perdido; sin embargo, con
frecuencia se provoca de manera intencional para evitar una operación demasiado
frecuente del mecanismo de encendido y apagado.
Considere el sistema de control del nivel de líquido de la figura 3-4(a), en donde se usa la
válvula electromagnética de la figura 3-4(b) para controlar el flujo de entrada.
Fig. 3-4 (a) Sistema del control del nivel de líquido; (b) válvula electromagnética.
Esta válvula está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada
del agua es una constante positiva o cero. Como se aprecia en la figura 3-5, la señal de
salida se mueve continuamente entre los dos límites requeridos y provoca que el
elemento de actuación se mueva de una posición fija a la otra.
Observe que la curva de salida sigue una de las dos curvas exponenciales, una de las
cuales corresponde a la curva de llenado y la otra a la curva de vaciado. Tal oscilación de

7. salida entre dos límites es una respuesta común característica de un sistema bajo un
control de dos posiciones.
Fig. 3-5 Nivel h (t) contra t para el sistema de la figura 3-4(a).
En la figura 3-5 observamos que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida, debe
disminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha diferencial
aumenta la cantidad de conmutaciones de encendido y apagado por minuto y reduce la
vida útil del componente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir
de consideraciones tales como la precisión requerida y la vida del componente.
1.1.2 ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL.
Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del
controlador u (t) y la señal de error e (t) es:
O bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace, en donde Kpse considera
la ganancia proporcional
Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el
controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. En la
figura 3-6 se presenta un diagrama de bloques de tal controlador.
Fig. Diagrama de bloque de un controlador proporcional.
1.1.3 ACCIÓN DE CONTROL INTEGRAL.

8. En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador u (t)
se cambia a una razón proporcional a la señal de error e (t). Es decir,
O bien
En donde Ki es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador
integral es
Si se duplica el valor de e (t), el valor de u (t) varía dos veces más rápido. Para un error de
cero, el valor de u (t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control integral
se denomina control de reajuste (reset). La figura 3-7 muestra un diagrama de bloques de
tal controlador.
Fig. 3-7 Diagrama de bloques de un controlador integral.
1.1.4 ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONALINTEGRAL.
La acción de control de un controlador proporcional-integral (PI) se define mediante
o la función de transferencia del controlador es
En donde K, es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Tanto KP como
Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un
cambio en el valor de KP afecta las partes integral y proporcional de la acción de control.
El inverso del tiempo integral Ti se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de
reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la
acción de control. La velocidad de reajuste se mide en términos de las repeticiones por
minuto. La figura 3-8(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional
más integral. Si la señal de error e (t) es una función escalón unitario, como se aprecia en
la figura 3-8(b), la salida del controlador u (t) se convierte en lo que se muestra en la figura
3-4 c).

9. 3.1.5 ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVO.
La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante
y la función de transferencia es
Fig. 3-7 Diagrama de bloques de un controlador integral
(a)
(b)
(c)
Figura 3-8 (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-integra1; (b) y (c)
diagramas que muestran una entrada escalón unitario y la salida del controlador.
En donde Kp es la ganancia proporcional y Tdes una constante denominada tiempo
derivativo. Tanto KP como Tdson ajustables. La acción de control derivativa, en ocasiones
denominadacontrol de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador
esproporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el
intervalode tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la
acciónde control proporcional. La figura 3-9(a) muestra un diagrama de bloques de
uncontrolador proporcional-derivativo. Si la señal de error e(t) es una función rampa
unitariacomo se aprecia en la figura 3-9(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la
que semuestra en la figura 3-9(c). La acción de control derivativa tiene un carácter de
previsión.Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una
acción que nunca ha ocurrido.

10. Aunque la acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las
desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de
saturación en el actuador.
Observe que la acción de control derivativa no se usa nunca sola, debido a que solo es
eficaz durante periodos transitorios.
3.1.6 ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVA E INTEGRAL.
La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y
una acción de control derivativa se denomina acción de control proporcional-integralderivativa (PID). Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones
de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se
obtiene mediante
(a)
(b)
(c)
Figura 3-9 (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-derivativo; (b) y (c) d’
tag ramas que muestran una entrada rampa unitaria y la salida del controlador.
O la función de transferencia es
en donde Kpes la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Tdes el tiempo
derivativo. El diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo
aparece en la figura 3-10(a). Si e (t) es una función rampa unitaria, como la que se observa
en la figura 3-10(b), la salida del controlador u (t) se convierte en la de la figura 3-10(c).
Efectos del sensor (elemento de medición) sobre el desempeño del sistema.
Dado que las características dinámica y estática del sensor o del elemento de medición
afecta la indicación del valor real de la variable de salida, el sensor cumple una función
importante para determinar el desempeño general del sistema de control. Por lo general,
el sensor determina la función de transferencia en la trayectoria de realimentación.
Si las constantes de tiempo de un sensor son insignificantes en comparación con otras
constantes de tiempo del sistema de control, la función de transferencia del sensor
simplemente se convierte en una constante. Las figuras 3-11(a), (b) y (c) muestran
diagramas de bloques de controladores automáticos con un sensor de primer orden, un
sensor de segundo orden sobreamortiguado y un sensor de segundo orden

11. subamortiguado, respectivamente. Con frecuencia la respuesta de un sensor térmico es
del tipo de segundo orden sobreamortiguado.
(a)
(b)
(c)
Figura 3-10 (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional integral-derivativo;
(b) y (c) diagramas que muestran una entrada rampa unitaria y la salida del controlador.
(a)
(b)
(c)
Figura 3-11 Diagramas de bloques de controladores automáticos con: (a) un sensor de
primer orden; (b) un sensor de segundo orden sobreamortiguado; (c) un sensor de
segundo orden subamortiguado.
3.2 CONTROLES PROPORCIONALES
3.2.1 SISTEMAS NEUMÁTICOS.
Debido a que son el medio más versátil para transmitir señales y potencia,los fluidos, ya
sean líquidos o gases, tienen un amplio uso en la industria. Los líquidos y los gases se

12. diferencian entre sí básicamente por su falta de compresibilidad relativa y por el hecho de
que un líquido puede tener una superficie libre, en tanto que un gas se expande para
llenar su recipiente. En 61 campo de la ingeniería, el término neumática describe los
sistemas de fluidos que usan aire o gases e hidráulica describe los sistemas que usan
aceite. Los sistemas neumáticos se usan mucho en la automatización de la maquinaria de
producción y en el campo de los controladores automáticos. Por ejemplo, tienen un
amplio uso los circuitos neumáticos que convierten la energía del aire comprimido en
energía mecánica, y se encuentran diversos tipos de controladores neumáticos en la
industria.
Dado que es frecuente equiparar los sistemas neumáticos y los sistemas hidráulicos, a
continuación ofrecemos una breve comparación de estos dos tipos de sistemas.
Comparación entre sistemas neumáticos y sistemas hidráulicos. El fluido que suele
encontrarse en los sistemas neumáticos es el aire;en los sistemas hidráulicos es el aceite.
Y son principalmente las propiedades distintas de los fluidos incorporados las que
caracterizan las diferencias entre estos dos sistemas. A continuación se listan estas
diferencias:
1. El aire y los gases son comprimibles, en tanto que el aceite no lo es.
2. El aire carece de la propiedad lubricante y siempre contiene vapor de agua. El aceite
funciona como un fluido hidráulico al igual que como lubricante.
3. La presión de operación normal de los sistemas neumáticos es mucho más baja que la
de los sistemas hidráulicos.
4. Las potencias de salida de los sistemas neumáticos son considerablemente menores
que las de los sistemas hidráulicos.
5. La precisión de los actuadores neumáticos es deficiente a bajas velocidades, en tanto
que la precisión de los actuadores hidráulicos es satisfactoria en todas las velocidades.
6. En los sistemas neumáticos, se permite un cierto grado de escurrimiento externo, pero
debe evitarse el escurrimiento interno debido a que la diferencia de presión efectiva es
muy pequeña. En los sistemas hidráulicos se permite un cierto grado de escurrimiento
interno, pero debe evitarse el escurrimiento externo.
7. Los sistemas neumáticos no se requiere de tubos de recuperación cuando se usa aire,
en tanto que siempre se necesitan en los sistemas hidráulicos.
8. La temperatura de operación normal de los sistemas neumáticos es de 5 a 60°C (41 a
140°F). Sin embargo, el sistema neumático opera en el rango de 0 a 200°C (32 a 392°F).
Los sistemas neumáticos son insensibles a los cambios de temperatura, a diferencia de los
sistemas hidráulicos, en los cuales la fricción de los fluidos provocada por la viscosidad
depende en gran parte de la temperatura.
La temperatura de operación normal de los sistemas hidráulicos es de 20 a 70°C (68 a
158°F).
9. Los sistemas neumáticos no corren el riesgo de incendiarse o explotar, al contrario de
los sistemas hidráulicos.

13. A continuación empezaremos un modelado matemático de los sistemas neumáticos.
Después presentaremos los controladores neumáticos proporcionales. Ilustraremos el
hecho de que los controladores proporcionales utilizan el principio de realimentación
negativa sobre sí mismos. Ofreceremos un análisis detallado del principio mediante el cual
operan los controladores proporcionales. Por último, trataremos los métodos para
obtener acciones de control derivativa e integral. En todos los análisis, enfatizaremos los
principios fundamentales en lugar de los detalles de la operación de los mecanismos
reales.
Sistemas neumáticos. Las últimas décadas han visto un gran desarrollo de los
controladores neumáticos de baja presión para sistemas de control industrial, que en la
actualidad se usan ampliamente en los procesos industriales. Entre las razones para que
estos controladores resulten atractivos están que son a prueba de explosiones, son
sencillos y es fácil darles mantenimiento. Resistencia y capacitancia de los sistemas de
presión. Muchos procesos industriales y controladores neumáticos incluyen el flujo de un
gas, que puede ser aire, en recipientes a presión conectados a través de tuberías.
Considere el sistema a presión de la figura 3-12(a). El flujo del gas a través de la restricción
es una función de la diferencia de presión del gas - Tal sistema de presión se
caracteriza en términos de una resistencia y una capacitancia. La resistencia del flujo de
gas R se define del modo siguiente:
O bien
En donde d(A P) es un cambio pequeño en la diferencia de presión del gas y dq es un
cambio pequeño en el flujo del gas. El cálculo del valor de la resistencia de flujo del gas R
puede tomar mucho tiempo. Sin embargo, experimentalmente se determina con facilidad
a partir de una gráfica de la diferencia de presión contra flujo, calculando la pendiente de
la curva en una condición de operación determinada, como se aprecia en la figura 3-12(b).
La capacitancia del recipiente a presión se define mediante

14. Figura 3-12 (a) Diagrama esquemático de un sistema a presión; (b) curva de la diferencia
de presión contra flujo.
O bien
En donde C = capacitancia, lb/
m = masa del gas en el recipiente, lb
p = presión del gas,
V = volumen del recipiente,
p = densidad, lb/
La capacitancia del sistema de presión depende del tipo de proceso de expansión
implícito. La capacitancia se calcula mediante la ley de los gases ideales. Si el proceso de
expansión del gas es politrópico y el cambio de estado del mismo está entre isotérmico y
adiabático, entonces
En donde n = exponente politrópico.
Para los gases ideales,
En donde p = presión absoluta,
/
Y = volumen ocupado por un mol de un gas,
Ṽ = constante universal de los gases, pie- /lb-mol “R
T = temperatura absoluta, °R
v = volumen específico del gas,

15. M = peso molecular del gas por mol, lb/lb-mol
Por tanto
Después, la capacitancia se obtiene como
La capacitancia de un recipiente determinado es constante si la temperatura permanece
constante. (En muchos casos prácticos, el exponente politrópico n es aproximadamente
1.0 - 1.2 para gases en recipientes metálicos sin aislamiento.)
Sistemas de presión. Considere el sistema de la figura 3-12(a). Si sólo suponemos
desviaciones pequeñas en las variables a partir de sus valores en estado estable
respectivos, este sistema se considera lineal.
Definimos
p
= presión del gas en el recipiente en estado estable (antes de que ocurran cambios en la
presión),
= cambio pequeño en la presión del gas que entra,
p. = cambio pequeño en la presión del gas en el recipiente,
V = volumen del recipiente,
m = masa del gas en el recipiente, Ib
q = flujo del gas, lb/seg
p = densidad del gas, lb/
Para valores pequeños de
y , la resistencia R obtenida mediante la ecuación se
vuelve constante y se escribe como
La capacitancia C se obtiene mediante la ecuación o bien
Dado que el cambio de presión dpomultiplicado por la capacitancia C es igual al gas
añadido al recipiente durante dtsegundos, obtenemos
O bien

16. lo cual se escribe como
Si y se consideran la entrada y la salida, respectivamente, la función de transferencia
del sistema es
En donde RC tiene la dimensión del tiempo y es la constante de tiempo del sistema.
3.2.2 CONTROL PROPORCIONAL DE PRIMER ORDEN.
Considere el sistema de primer orden de la figura 3-l3(a). Físicamente, este sistema
representa un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La figura 3-13(b) presenta un
diagrama
de
bloques
simplificado. La relación entradasalida se obtiene mediante
En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función
escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones
iniciales son cero.
Observe que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán la
misma salida en respuesta a la misma entrada. Para cualquier sistema físico dado, la
respuesta matemática recibe una interpretación física.
Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de
Laplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = l/s en la ecuación descrito
con anterioridad, obtenemos
Expandir C(s) en fracciones parciales produce

17. Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior obtenemos
La ecuación plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria.
Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T,
el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se
aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir,
c(T) = 1 - ee1 = 0.632
Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la
respuesta del sistema. Otra caracterfstica importante de la curva de respuesta
exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es UT, dado que
Figura 3-13 (a) Diagrama de bloques de un sistema de primer orden; (b) diagrama d
bloques simplificado.
La respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta
inicial. Vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma
monotónica de UT en t = 0 a cero en t = m.
En la figura 3-14 en una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de
0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del
valor final.
En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final.

18. Por tanto, para t 2 4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado
estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en
la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo
que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro
constantes de tiempo.
Considere el sistema de la figura 3-15. Para determinar experimentalmente si el sistema
es o no de primer orden, grafique la curva logarítmica Ic- c(w)/, en donde c(t) es la salida
del sistema, como una función de t. Si la curva se convierte en una línea recta, el sistema
es de primer orden. La constante de tiempo T se lee de la gráfica como el tiempo T que
satisface la ecuación siguiente:
Observe que, en lugar de graficar log [c(t) - c(m)1
- 4~M49 - ( II contra t, es conveniente graficar jc(t)c m contra t en papel semilogarítmico,
como se aprecia en la figura 3-16.
Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de
Laplace de la función rampa unitaria es l/s*, obtenemos la salida del sistema de la figura
4-l(a), como
Figura 3-14 Curva de respuesta exponencial.

19. Figura 3-15Un sistema general.
Figura 3-16 Grafica de
contra T en papel semilogarítmico.
Si expandirnos C(s) en fracciones parciales, obtenemos
Tomando la transformada inversa, obtenemos
De este modo, la señal de error e(t) es
Conforme t tiende a infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se
aproxima a T o e(w) = T
La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la ecuación expandida en
fracciones. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t

20. suficientemente grande. Entre más pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es
el error en estado estable después de la entrada rampa.
Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso
unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema de la figura 3-l3(a) pueden obtenerse como:
Figura 3- 17Respuesta rampa unitaria del sistema de la figura 3-13 (a)
O bien, obtenemos la siguiente ecuación:
Una propiedad importante de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo.
En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa unitaria, la salida c(t) es.
Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida
c(t) es.
Por último, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón
unitario, la salida c(t) es

21. Figura 3-18. Respuesta impulso unitario del sistema de la figura 3-13 (a)
Una comparación de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con
claridad que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando
la respuesta del sistema para la señal original. También se observa que la respuesta para
la integral de la señal original se obtiene integrando la respuesta del sistema para la señal
original y determinando las constantes de integración a partir de la condición inicial de
salida cero. Ésta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los
sistemas lineales y variantes con el tiempo y los sistemas no lineales no poseen esta
propiedad.
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RESPECTIVAS RESPUESTAS, LA ENTREGA SE HARA EL DIA 07/11/2013 EN HOJAS
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