Apuntes de estadistica turismo

Apuntes de Estadística, Profesor: Dr. Humberto Pini Bernal, Grupos 2-2 y 2-3
Escuela de Turismo de Mazatlán, UAS
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2020
Universidad Autónoma de Sinaloa
Escuela de Turismo de Mazatlán
APUNTES DE
ESTADÍSTICA
Profesor:
DR. HUMBERTO PINI BERNAL
Alumno(a):________________________
Grupo: ____
CICLO ESCOLAR: 2019-2020.

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CONTENIDO TEMÁTICO
1. INTRODUCCIÓN AL MUESTREO
1.1. Introducción
1.2. Población o Universo
1.3. Tipos de Población
1.4. Censo
1.5. Muestra
1.6. Ventajas de la elección de una muestra
1.7. Muestreo
1.8. Definiciones y términos
1.9. Unidad de análisis
1.10. Unidad de muestreo
1.11. Marco muestral
1.12. Ejemplos de marcos muestrales
1.13. Parámetro
1.14. Estadístico o Estadígrafo
1.15. Tipos de muestreo
1.15.1. Probabilístico
1.15.2. No probabilístico
1.16. Pasos a seguir en un estudio de muestreo
1.17. Cálculo del tamaño de muestra
1.18. Intervalo de confianza
1.19. Nivel de confianza
1.20. Error máximo permitido

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2. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
2.1. Determinación del tamaño de la muestra cuando no se conoce el tamaño de la
población.
2.2. Problemas
2.3. Determinación del tamaño de la muestra cuando se conoce el tamaño de la población.
2.4. Problemas
2.5. Cálculo del nivel de confianza “Z” mediante la tabla de áreas de curva normal estándar.
2.6. Determinación del intervalo de confianza para la media (Límite inferior de confianza y
límite superior de confianza)
2.7. Intervalos de confianza para la proporción
2.8. Distribución muestral demedias (Cálculo de Z)
2.9. Estimación de proporciones por intervalos
2.10. Distribución normal
3. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
4. PRUEBA DE HIPÓTESIS
5. ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL
5.1. Regresión
5.2. Diagrama de dispersión
5.3. Regresión lineal
5.4. Problemas

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MUESTREO
El Muestreo es un proceso mediante el cual se puede determinar aproximadamente
el comportamiento de la población o universo donde se aplica, a partir de inferir sus
características de los resultados obtenidos del análisis de la muestra extraída del
mismo.
Pasos a seguir en un estudio de muestreo
1. Identificación y/o delimitación del universo o población.
2. Determinación del tamaño adecuado de la muestra o de las muestras.
3. Selección de los elementos que formarán parte de la(s) muestra(s).
4. Análisis estadístico de la(s) muestra(s).
5. Inferencia de resultados hacia el universo o población.
6. Interpretación de resultados.
Cálculo del tamaño de muestra
Cuando se toma una muestra probabilística, uno debe preguntarse: dado que una
población es de tamaño N, ¿Cuál es el menor número de unidades muestrales
(personas, organizaciones, capítulos de telenovelas, etc.) que necesito para
conformar una muestra (n) que me asegure un determinado nivel de
confiabilidad?
La respuesta a esta pregunta es encontrar una muestra que sea representativa
del universo o población con cierta posibilidad de error (se pretende minimizar)
y nivel de confianza (maximizar), así como probabilidad.
Antes de empezar a resolver problemas del tamaño de una muestra, es necesario
entender algunos conceptos necesarios para ello, los cuales son:
Intervalo de confianza:
Es el área bajo la curva normal estándar que se desea estimar o calcular.
Nivel de confianza:
Es la probabilidad de que lo que se quiere estimar o calcular, se encuentre en el
intervalo de confianza. Al nivel de confianza se suele denotar con la letra Z que es
una probabilidad.

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Los niveles de confianza más usuales son: 90%, 95% y 99%.
Error máximo permitido:
Se refiere a un porcentaje de error que admitimos tolerar de que nuestra muestra
no sea representativa de la población (de equivocarnos). Los niveles de error
pueden ir de 20% a 1%. Los más comunes son 5 y 1% (uno implica tolerar muy
poco error, 1 en 100, por así decirlo; mientras que 5%, es aceptar en 100, 5
posibilidades de equivocarnos).
Para ilustrar estos tres conceptos lo haremos con la siguiente gráfica que es la
“Curva normal estándar” comúnmente llamada campana de Gauss.
95%
.95
47.50%
.4750
47.50%
.4750
Intervalo de confianza
Z =Z =
2.5% = .0252.5% =.025
α /2 =.05/2
α /2 =.05/2
α = 5% = .05
αsignifica nivel de significancia y es la diferencia entre 1 y el intervalo de confianza, en
este caso es igual a 1 - .95 = .05, que es el error máximo permitido. El nivel de confianza
es igual a 1 – α, y en este caso es igual a 1 - .05 = .95 o sea 95% que en numéricamente
es igual al intervalo de confianza.
El área total bajo la curva es igual a 1 o a 100%, en la mitad de la curva se encuentra el
promedio µ, y el valor de Z en la mitad vale 0. Los valores de Z van de -3.99 a 0 que es la
mitad izquierda de la curva y de 0 a 3.99 que es la mitad derecha de la curva. Esto lo
veremos cuando hagamos problemas de distribución normal.

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En resumen para explicar los conceptos de nivel de confianza y error máximo
permitido, se dan los dos siguientes ejemplos coloquiales o comunes:
1. Si fuera a apostar en las carreras de caballos y tuviera 95% de probabilidades
de atinarle (nivel de confianza) al ganador, contra solo 5% de perder (máximo
error permitido), apostaría? Obviamente sí, siempre y cuando le aseguraran
ese 95% a favor.
2. O bien, si le dieran 95 boletos de 100 para la rifa de un automóvil, sentiría
confianza en que va a estrenar vehículo? Por supuesto que sí. Aunque no
tendría la certeza total; esta no existe en el universo, al menos para los seres
humanos.
El nivel de confianza y el error máximo permitido para el cálculo del tamaño de una
muestra ya vienen establecidos en base a un gran número de investigaciones
realizadas para lo cual se toman como válidos los de la siguiente tabla:
Certeza 99% 95% 94% 93% 92% 91% 90% 80%
Z 2.57 1.96 1.88 1.81 1.75 1.69 1.64 1.28
Z2 6.60 3.84 3.53 3.28 3.06 2.86 2.68 1.64
E .01 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.20
E2 .0001 0.0025 0.0036 0.0049 0.0064 0.0081 0.01 0.04
En esta tabla Z es el nivel de confianza o certeza y E es el error máximo permitido.
NOTA IMPORTANTE: El error máximo permitido no necesariamente se tiene que
ajustar a los valores de esta tabla, pueden ser diferentes y es correcto, solo que se
tiene como regla que su rango de valores está entre 1% y 20%, o también se pueden
calcular mediante fórmulas.

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MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA CUANDO NO SE CONOCE
EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN
(Z)2
(p)(q)
n = -----------------
(E)2
n = Tamaño de la muestra
Z2 = Factor probabilístico o nivel de confianza
E = Error máximo permitido
p = variabilidad positiva (probabilidad a favor)
q = variabilidad negativa (probabilidad en contra)
Z2 es un factor probabilístico que viene dado por el nivel de confianza que se decida
trabajar.
Según estudios ya realizados el valor de p (probabilidad) está entre el rango .4 y .6,
y por lo regular siempre se toma el valor de .5, es decir; 50%, y q es igual a 1 – p,
por lo tanto cuando p = .5, q = 1 - .5 = .5
Los valores de p y q serán igual a .5 cada uno cuando el tipo de problema que se
esté investigando no haya un estudio previo del mismo.
E es el error máximo permitido

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PROBLEMAS:
1. Se quiere estudiar la preferencia de un nuevo partido político en una
población sobre la cual no se ha hecho ningún estudio anterior. El margen de
error máximo a aceptar es del 2%. Determina el tamaño de la muestra para
un nivel de confianza del 90%.
Datos:
Z =
p =
q = 1 - p =
E =
Fórmula:
(Z)2
(p)(q)
n = -------------- =
E2
n =
Por lo tanto, la muestra para realizar este estudio, con un margen de error
del ____ % y un nivel de confianza del ____ %, debe componerse de
________ personas.

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2. Deseas determinar cuántas personas en el mercado de tu colonia han
comprado sandía, con el fin de corroborar que tu idea de venderlas sería
buena, ya que necesitas dinero extra para pagar deudas. Recorres los
pasillos del mercado y observas que hay demasiadas personas entrando,
saliendo y comprando, entonces decides emplear la estadística y consideras
que es bueno tomar en cuenta un porcentaje de error del 10% y el porcentaje
de confianza del 90%
Paso 1. ¿Cuál es la población de estudio?
a). Sandías b). Personas en el mercado c). Personas que compraron sandia
Paso 2. ¿Cuál es el tamaño de la población de estudio?
a). 500 Sandías b). 110 Personas c). Se desconoce
Paso 3. ¿Cuáles son las variables a analizar?
a). Comprando o no sandias b). Personas en el mercado c). Sandias, otras frutas
Paso 4. ¿Qué formula se utilizará para determinar el tamaño de la muestra?
a). Cuando se conoce la población b). Cuando se desconoce la población
Datos:
Z =
p =
q = 1 - p =
E =
Fórmula:
(Z)2
(p)(q)
n = -------------- =
E2
n =

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DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA CUANDO SE CONOCE EL
TAMAÑO DE LA POBLACIÓN
Z2
(p)(q)(N)
n = ----------------------------
(N)(E2) + Z2
(p)(q)
Donde:
Z2 = Factor probabilístico
E = Error máximo permitido
N = Tamaño de la población
PROBLEMAS:
1. Supongamos que hemos sido contratados por una empresa que
comercializa una determinada marca de jabón de tocador y la empresa
está interesada en conocer qué proporción de hogares consume su
marca de jabón. En el mercado se ha determinado que hay 10,000
hogares que consumen jabón de tocador y que existen varias marcas.
Nos interesa trabajar con un nivel de confianza del 95% y con un margen
de error máximo del 3%. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para llevar
a cabo nuestra investigación?
Datos:
n = ?
Z2 =
E =
N =
p =
q = 1 – p =
n =
n =

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2. Se desea saber las proporciones de artículos defectuosos en una
producción de 25,000. Para el estudio se utilizará un nivel de confianza
del 95% y un error del 20%, y suponiendo que un estudio anterior produjo
18 artículos defectuosos de cada 100. ¿De qué tamaño deberá ser la
muestra?
Datos:
n =?
Z2 =
E =
N =
p =
q =
N =
n =
n =
Por lo tanto, la muestra para realizar este estudio, con un margen de error
del _____% y un nivel de confianza del _____%, en una población de
___________ artículos, debe componerse de _____ artículos.

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3. Se harán elecciones para elegir al director de cierta institución, que consta
de 5 facultades, el total de alumnos es de 10,100. Quieres realizar una
encuesta para saber cuál es la tendencia del voto entre los alumnos. Se
requerirá de un porcentaje de confianza del 95% y un porcentaje de error
del 3%. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? O lo que es lo mismo
¿A cuántos alumnos se deberá encuestar?
a). Alumnos b). Encuestas c). Los votos
a). Facultades b). 10,100 c). Se desconoce
Paso 3. ¿Cuál es la variable a analizar?
a). Alumnos b). Institución c). La tendencia del voto
Datos:
n = ?
Z2 =
E =
N =
p =
q =
n =
n =

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4. Para un municipio se repartirán 100 paquetes electorales, cada paquete
va a constar de 750 boletas, se desea corroborar que en ningún paquete
falte algo, por ello se propuso emplear métodos estadísticos, tomando en
cuenta un porcentaje de confianza del 95% y un porcentaje de error del
10%.
a). Boletas b). Paquetes electorales c). Los votos
a). 75 Boletas b). 100 Paquetes electorales c). Se desconoce
Paso 3. ¿Cuáles son las variables a analizar?
a). Los paquetes b). Si están completos o incompletos los paquetes c). Las boletas
Datos:
n = ?
Z2 =
E =
N =
p =
q =
n =
n =

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5. Por elecciones anteriores se sabe que la cantidad de personas que
prefiere a cierto partido político es del 40%, si se desea actualizar el
estudio sobre su preferencia en la población, determine el tamaño de la
muestra a tomar con un nivel de confianza del 90% para los siguientes
los siguientes errores permitidos: a). 5%, b). 2% y c). 1%
a).
p = .40
q = 1-p = 1-.40 = .60
Z = 90% (1.64)
E = .05
(Z)2
(p)(q)
n = -------------- =
E2
b).
p = .40
q = 1-p = 1-.40 = .60
Z = 90% (1.64)
E = .02
(Z)2
(p)(q)
n = -------------- =
E2
c).
p = .40
q = 1-p = 1-.40 = .60
Z = 90% (1.64)
E = .01
(Z)2
(p)(q)
n = -------------- =
E2

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Tamaño de la muestra para medias
Z2
α2
n = -------------- =
E2
1. Cuál debe ser el tamaño de la muestra si se desea saber el promedio
del gasto diario de los estudiantes en cafés, se espera una desviación
estándar en estudios similares de $1.1, el analista está dispuesto a
aceptar un error máximo de +/- $ 0.5 con un nivel de confianza de 99%
en el estudio.
α = 1.1
E = 0.5
Z = 99% (2.57)
E = 0.5
2. Se desea estimar el contenido medio de un refresco con un nivel de
confianza del 93% y con un error máximo de 5 ml. Una muestra previa
de 5 refrescos indica que la desviación del contenido es 12 ml.
Calcular el tamaño de la muestra.
Z = 93% (1.81)
α = 12
E = 5
Z2
α2
n = -------------- =
E2
Nota: se usa esta fórmula porque el tamaño de la población de refrescos
es infinita.

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CÁLCULO DEL NIVEL DE CONFIANZA “Z” MEDIANTE LA TABLA DE ÁREAS
DE CURVA NORMAL ESTÁNDAR.
1. Calcular el nivel de confianza “Z” para un intervalo de confianza del 99%

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2. Calcular el nivel de confianza “Z” para un intervalo de confianza del 95%

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DETERMINACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
(LÍMITE INFERIOR DE CONFIANZA Y LÍMITE SUPERIOR DE CONFIANZA)
Fórmula:
, X + ZX – Z
Donde:
X = Media muestral
= Desviación estándar poblacional
Z = Nivel de confianza esperado
1. El gerente de un banco desea conocer el tiempo promedio en el cual son
atendidos los clientes de una sucursal. Para ello se observa una muestra de
200 clientes y en ella se registra un tiempo promedio de 15 minutos, con una
desviación estándar de 10 minutos. Estimar el tiempo promedio mediante un
intervalo de confianza de 95%.

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INTERPRETACIÓN: Se estima, con un _____ de probabilidad y un error de
______minutos, que la población de clientes de la sucursal bancaria, tardan en
promedio entre _____ y _____ minutos en ser atendidos.

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2. Se tomaron 35 muestras de una máquina llenadora de sacos de zinc, el
promedio de llenado fue de 75.75 lbs. y la desviación estándar fue de 3 lbs.
Determine el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza
del 99%.

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______libras, que el promedio de llenado de sacos de zinc, se encuentra entre
______ y ______ libras.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN
Fórmula:
P = Proporción muestral
Z = Nivel de confianza esperado
1. En tiempos de elecciones, es común realizar encuestas de opinión para
conocer la preferencia de los electores hacia los candidatos. Supongamos
que en cierta elección se entrevista a 500 electores y 320 están a favor del
candidato A. Estimar con un intervalo de confianza de 95% la proporción
de electores a favor del candidato A.

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______, que la población de lectores que prefieren al candidato A se encuentra
entre un _______ y un ________
2. Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró
que 120 iban al teatro regularmente. Encuentre con un nivel de confianza
del 94% un intervalo para estudiar la proporción de los ciudadanos que
van al teatro regularmente.

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______, que la población de personas que van regularmente al teatro se
encuentra entre el _______ y el ________.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS (CÁLCULO DE Z)
X - µ
Z = --------------
/ √n

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Donde:
Z = Factor probabilístico
X = media muestral
µ = media poblacional
1. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye
normalmente con media de 800 horas y desviación típica o estándar de 40
horas. Encuentre la probabilidad de que en una muestra de 16 focos tenga
una vida promedio de menos de 778 horas.
Desv.Típica o estándar

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INTERPRETACIÓN: La probabilidad de que la vida promedio de la muestra de
_____ focos sea menor a _______ horas es ______%.

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2. Suponga que el promedio de calificación de la materia de Estadística II de
varios grupos de la ETUR es 8 con una desviación típica de 1. Determine la
probabilidad de que en una muestra de 36 alumnos tengan un promedio
menor de 7.7

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INTERPRETACIÓN: La probabilidad de que la muestra de ______ alumnos tenga
un promedio menor de _____ es de ______%.

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3. Se sabe que el saldo promedio para los clientes de una tarjeta de crédito en
cierto banco es de $14,350 con una desviación estándar de $6,500. Del
listado de clientes se obtiene una muestra de 49 clientes.
a). ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra tenga un promedio mayor a
$17,500?
b). ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra tenga un saldo promedio entre
$12,000 y $15,000?

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ESTIMACIÓN DE PROPORCIONES POR INTERVALOS
Fórmulas:
Promedio de la muestra
X = np
Promedio de la población
X = Np
Desviación estándar
= npq
Error estándar
= pq / n
En un grupo poblacional se está estudiando la preferencia sobre un nuevo
partido X, si en promedio el 20% de la población lo prefiere. Si se extrae una
muestra de 100 personas, encuentre:
a). La cantidad de personas en la muestra que se espera tengan preferencia
hacia dicho partido político?

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b). Si la población estudiada es de 2000 personas, determine cuántas de ella
se espera tengan preferencia hacia dicho partido político?
c). La desviación estándar de la muestra
d). El error estándar de la proporción
e). Un intervalo o límite de confianza (LIC y LSC) para la preferencia de ese
partido para un nivel de confianza del 95%.

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DISTRIBUCIÓN NORMAL
Sirve para representar el comportamiento estadístico de una característica
cuantitativa continua en una determinada población. Para que este modelo
sea aplicable, la característica de interés debe distribuirse simétricamente al
rededor de su esperanza y cumplir un conjunto de propiedades las cuales
son:
1. El área total bajo la curva normal es igual a 1 (100%)

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2. La distribución tiene forma de montículo, y es simétrica, se extiende
indefinidamente en ambas direcciones, tendiendo al eje horizontal pero sin
tocarlo.
3. La media divide el área a la mitad .50 a cada lado.
4. En la mitad de la curva normal el factor probabilístico Z es igual a cero.
5. Los valores de Z en la tabla “Áreas de curva normal estándar” van desde Z =
-3.99 hasta Z = 3.99 que corresponden a ambas mitades de la curva, es decir;
.5000 a la izquierda y .5000 a la derecha.
Cálculo de las probabilidades utilizando el valor estandarizado “Z” y la tabla de
valores “Z”.
Fórmula del valor estandarizado “z”
x - µ
z = ----------

Donde;
x = Probabilidad
µ = media de x
 = Desviación estándar de x

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Problemas:
1. Una empresa del ramo turístico lleva a cabo una prueba para
seleccionar nuevos empleados. Por la experiencia de pruebas anteriores, se
sabe que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 80 y
desviación típica 25. ¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá:
a). Más de 90 puntos
b). Menos de 75 puntos
c). Entre 75 y 100 puntos?
a). Más de 90 puntos
b). Menos de 75 puntos
c). Entre 75 y 100 puntos?

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2. El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de
una empresa hotelera se distribuye según una distribución normal, con media
de 5 días y desviación típica 1 día. Calcular el porcentaje de empleados que
realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días.
3. Los salarios mensuales de los trabajadores del aeropuerto de cierta ciudad
turística siguen una distribución normal con media de $20,000 y desviación
típica de $1,000. Calcula la probabilidad de ganar:
a). Más de $21,000 al mes
b). Menos de $18,000 al mes

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4. La media de ventas diarias de una Agencia de Viajes es de 950 dólares y la
desviación típica es de 200 dólares. Suponiendo que la distribución de ventas
es normal ¿Cuál es la probabilidad de vender:
a). Más de 1250 dólares en un día
b). Entre 1,000 dólares y 1,200 dólares al día

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5. El gerente de personal de una compañía naviera requiere que los 30
solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de
500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con una
media de 485 y una desviación estándar de 30. ¿Cuántos solicitantes
obtendrán una calificación:
a). De 450
b). Por debajo de 450
c). De 600
d). Por arriba de 600
e). Entre 550 y 600

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DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
La distribución t de Student se utiliza cuando nos encontramos con la dificultad
de no conocer la desviación típica poblacional y nuestra muestra es menor de 30.
Es similar a la curva normal, pero la distribución t tiene mayor área a los extremos
y menos en el centro.
Esta fue descubierta por un especialista en estadística de una empresa irlandesa,
este señor cuyo nombre era William S. Gosset, hizo inferencias acerca de la media
cuando la desviación poblacional fuese desconocida; y ya que a los empleados de
dicha entidad no les era permitido publicar el trabajo de investigación bajo sus
propios nombres, Gosset adopto el seudónimo de “Student”.
Sus funciones se basan en establecer un intervalo de confianza, utilizando un
nivel de confianza y los grados de libertad, obteniendo valores de una tabla
dada con respecto a estas variables y aplicarla en la formula. De gran utilidad,
reduce tiempo, costo y esfuerzos. Se utiliza para probar hipótesis y también para
saber si dos muestras provienen de la misma población.
Los usos para los cuales es idónea esta distribución son los siguientes:
1). Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar la
media de una población a partir de muestras pequeña (n < 30)
2). Para probar hipótesis cuando una investigación se basa en muestreo pequeño.
3). Para probar si dos muestras provienen de una misma población.
LEY DE STUDENT
Esta ley se aproxima mucho a la distribución normal cuando el tamaño de la muestra
es grande (por tanto, podemos usar indistintamente una u otra). Cuando la muestra
es pequeña t no se distribuye normalmente, y es imperativo utilizarla.
La expresión para calcular el intervalo de confianza es la misma, en lugar de buscar
zα2 se busca t(α2, gl). El elemento ν es un parámetro llamado grados de libertad
y se calcula mediante gl = n – 1.
μ= x +/- t (α2, gl) σn
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

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1. Al igual que la distribución Z, es una distribución continua
2. La distribución t tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se
extiende de - ∞ a + ∞. Cuando los grados de libertad son suficientemente
grandes la varianza de la distribución t tiende a 1.
3. Tiene forma acampanada y simétrica
4. No hay una distribución t, sino una "familia" de distribuciones t. todas con la misma
media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el
tamaño de la muestra n, identificada cada una por sus respectivos grados de
libertad. Existe una distribución t para una muestra de 20, otra para una muestra de
22, y así sucesivamente.
5. La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal
estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las medias de
muestra calculadas a partir de muestras mas pequeñas. Sin embargo, a medida que
aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución
normal estándar.
GRADOS DE LIBERTAD

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En la mayoría de los casos, los parámetros de una población son cantidades
desconocidas y para estimarlos es necesario extraer una muestra de la población
y calcular los estadísticos correspondientes. Existen varias distribuciones t. Cada
una de ellas está asociada con los que se denominan “Grados de libertad”
(generalmente denotado por gl ), este se define como el numero de valores que
podemos elegir libremente, o sea, el número de observaciones menos uno, gl = n –
1. Los grados de libertad: Concepto un tanto difícil de definir pero debe entenderse
como un indicador del grado de acercamiento que cada curva de la distribución “t
” presenta con respecto de la curva normal
A medida que los grados de libertad son más grandes hasta tender al infinito, las
formas de las curvas de t tienden a ser más próximas a la forma de la curva normal.
Ejercicios:
1. Para una distribución T de Student con 15 grados de libertad, calcule el valor
de T1 tal que:
a). El área de la derecha de T1 sea .01
b). El área de la izquierda de T1 sea .95
a). El área de la derecha de T1 sea .01
b). El área de la izquierda de T1 sea .95
2. Para una distribución T de Student con 14 grados de libertad, calcule el valor
de +/- t cuya área a la izquierda y a la derecha sea igual a .025.

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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MUESTRAS PEQUEÑAS ( T de
Student)
Determinación del intervalo de confianza para la estimación de la media
poblacional.
Fórmula:
μ= X +/- t (α2, gl) S n
Donde: μ = media poblacional
X = media muestral
t(α2, gl) = valor obtenido de la tabla de la distribución “t”
S = Desviación típica muestral
α = Nivel de confianza
gl = grados de libertad
Ejemplos:

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1. Se realizo un estudio sobre la utilizacion del agua en una pequena ciudad.
Para ello se considero una muestra de 25 casas. El número de galones de
agua que utilizan por dia (1 galon ≡ 0.0037854 m3) fue el siguiente:
175 185 186 118 158
150 190 178 137 175
180 200 189 200 180
172 145 192 191 181
183 169 172 178 210
Determinar el intervalo de confianza del 90% para estimar el consumo promedio de
galones de agua por día.
Media Aritmética de la muestra
Desviación típica o estándar de la muestra
n =
α=
gl =
t(α2, gl) =
2. A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestra aleatoria
de 16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son los siguientes:

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165, 150, 300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240, 260, 180, 190, 230, 350, 360.
Determinar un intervalo de confianza del 90% para estimar el saldo medio de todas
las cuentas.
n =
α=
gl =
t(α2, gl) =
X =
S =
HIPÓTESIS

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2020
Definición:
Es una afirmación de lo que creemos sobre una población. Por lo general se refiere
a los parámetros de la población acerca de la cual se quiere hacer la afirmación.
PRUEBA DE HIPÓTESIS
Definición:
Prueba, Test o Contraste de hipótesis es una técnica estadística que se sigue para
decidir si rechazamos o no una hipótesis estadística en base a la información de
una muestra.
PASOS PARA LA PRUEBA DE HIPÓTESIS
Paso 1: Se plantean las hipótesis nula (Ho) y alternativa (H1)
La hipótesis nula (Ho) es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos
muestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento
de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor
especificado del parámetro.
La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula.
Es una afirmación que se acepta si los datos muestrales proporcionan evidencia
suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la hipótesis
de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un
signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.
Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia
Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es
verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada como
nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar
la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel esta bajo el control de
la persona que realiza la prueba.
Paso 3: Se identifica el estadístico de prueba

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2020
Valor determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para determinar
si se rechaza la hipótesis nula., existen muchos estadísticos de prueba para nuestro
caso utilizaremos los estadísticos z y t. La elección de uno de estos depende de la
cantidad de muestras que se toman, si las muestras de la prueba son iguales a 30
o más se utiliza el estadístico z, en caso contrario se utiliza el estadístico t.
Tipos de prueba
a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la
igualdad
Ejemplo
Ho: µ = 200
H1: µ ≠ 200
b) Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con ≥ o ≤
Ho: µ ≥ 200 Ho: µ ≤ 200
H1: µ < 200 H1: µ > 200
Paso 4: Se formula la regla de decisión
En las pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se conoce la desviación
estándar (σ) poblacional, o cuandoel valor de la muestra es grande (30 o más),
el valor estadístico de prueba que se utiliza es z y se determina a partir de:
En las pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se desconoce la desviación
estándar (σ) poblacional, o cuandoel valor de la muestra es grande (30 o más),
el valor estadístico de prueba que se utiliza es z y se determina a partir de:
En las pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se desconoce la desviación
estándar (σ) poblacional, o cuando el valor de la muestra es pequeña (menos
de 30), el valor estadístico de prueba que se utiliza es t y se determina a partir de:

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2020
Paso 5: Se toma una muestra y se decide: se acepta H0 o se rechaza H0
Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores)
críticos de la estadística de prueba. Después se acepta o se rechaza la hipótesis
nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá
efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo,
mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias de
mercadotecnia utilizar.
TIPOS DE ERRORES
Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de
aceptación de la Ho o de la Ha, puede incurrirse en error:
Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es
verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se
denomina con la letra alfa α
Un error tipo II, se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula es
aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.
En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión
equivocada.
GRÁFICA DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS CUANDO SE USA EL
ESTADÍSTICO “Z”

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2020
Ejemplos de
Prueba de
Hipótesis

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utilizando el valor estadístico “Z” cuando se conoce la desviación estándar de la
población.
1. Una compañía de Yogurt controla su proceso de producción en tal forma que
sus bolsitas del producto las etiqueta con 20 gramos. El proceso lo detendrá
cuando el promedio no sea de 20 gramos. Para ello tomó una muestra de 16
bolsitas determinándose una media muestral de 19 gramos. A un nivel de
significancia de 5% y con una desviación estándar poblacional de 2 gramos
¿deberá pararse el proceso y ajustarse?
Fórmula:
Donde:
Z = Valor estadístico
X = Media muestral
= Desviación estándar poblacional
α = Nivel de significancia

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2020
2. Una empresa fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de
forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una
desviación estándar poblacional de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que µ ≠
800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración de
promedio de 778 horas. Utilice un nivel de significancia de .04
3. Una fábrica que procesa salsa de tomate indica en la etiqueta que la botella
contiene 16 onzas de la salsa de tomate. La desviación estándar del proceso
es 0.5 onzas. Una muestra de 36 botellas de la producción de la hora anterior
reveló un peso promedio de 16.12 onzas por botella. ¿En un nivel de
significancia del .05 el proceso está fuera de control? ¿Es decir podemos
concluir que la cantidad por botella es diferente a 16 onzas?

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Ejemplos de Prueba de Hipótesis utilizando el valor estadístico “Z” cuando se
desconoce la desviación estándar de la población.
Donde:
Z = Valor estadístico
X = Media muestral
S = Desviación estándar muestral
α = Nivel de significancia
1. Una cadena de tiendas de descuento expide su propia tarjeta de crédito. El
gerente del departamento de tarjetas de crédito desea averiguar si el saldo
insoluto medio mensual es mayor que 400 dólares. El nivel de significancia
se fija en 05. En una revisión aleatoria de 172 saldos insolutos se encontró
que la media muestral es 407 dólares y la desviación estándar muestral es
38 dólares. ¿Debería concluir el funcionamiento de crédito que la media
poblacional es mayor que 400 dólares, o es razonable suponer que la
diferencia de 7 dólares se debe al azar?
X =
µ =
S =
n =
α =

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2. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en
promedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la
hipótesis de que = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, < 5.5 onzas
en el nivel de significancia de 0.05.
Datos:
X =
=
S =
n =
=

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3. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora
que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora
gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12
hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras
gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar
de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que
las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora
anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal.

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Ejemplos de pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se desconoce la
desviación estándar (σ) poblacional, o cuando el valor de la muestra es
pequeña (menos de 30), es decir; utilizando el valor estadístico “t” (t de student)
Ejemplos:
1. Un distribuidor dese probar que el promedio de calificaciones en las escuelas
de ingeniería son menores a 12puntos. Se selecciona una muestra aleatoria
de 25 escuelas y se obtiene una media muestral X = 11.916 y una desviación
estándar S = 1.40. Suponer que la distribución de calificaciones es
aproximadamente normal con un nivel de significancia de .05.
2. Un Ingeniero Químico afirma que el rendimiento medio de cierto proceso en
lotes es 500 gramos por mililitro de materia prima. Para verificar esta

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afirmación el fabricante toma una muestra de 25 lotes cada mes. ¿A que
conclusión se llegará con un nivel de confianza del 90%, si la muestra
extraída tiene una media de 518 gramos por mililitro y una desviación
estándar de 40 gramos? Suponer que la distribución de rendimientos es
aproximadamente normal.
3. Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen en la
población general de adolescentes, una distribución normal de media 11.5.

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En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la
creatividad una muestra de 30 alumnos con una media muestral de 12.47 y
una desviación estándar de la muestra de 5.22. A un nivel de confianza del
95%, ¿puede afirmarse que el programa es efectivo?

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