TRABAJO DE ESTRUCTURA DISCRETA

1. Bachiller: Georgy Sanchez CI:26.256.610

2.  Suponga que una lista A contiene los 30 estudiantes de un curso de matemáticas, y otra
lista B contiene los 35 estudiantes de un curso de inglés, y que en ambas listas hay 20
nombres.
Encuentre el número de estudiantes
a) sólo en la lista A (es decir sólo toman clase de matemáticas),
b) sólo en la lista B (es decir, sólo toman clase de inglés),
c) en la lista A o en la lista B (o en ambas),
d) exactamente en una lista (es decir, sólo estudian matemáticas o sólo estudian inglés).
a) La lista A contiene 30 nombres, 20 de ellos están en la lista B
así, 30 − 20 = 10 nombres están sólo en la lista A.
b) De manera semejante, 35 − 20 = 15 nombres están sólo en la lista B.
c) Se busca n(A ∪ B). Por el principio de inclusión-exclusión, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
= 30 + 35 − 20 = 45.
En otras palabras, se combinan las dos listas y luego se eliminan los 20 nombres que
aparecen dos veces.
d) Por los incisos a) y b), 10 + 15 = 25 nombres están sólo en una lista; es decir, n(A ⊕ B) =
25.

3.  a) Sea p cierta, q falsa y r una proposición
que puede ser cierta o falsa, ¿que se puede
decir de las siguientes proposiciones?
p.p' ; p + r ; (p.q + r)(p + r)b)
Escribir en castellano razonable la negación
de la proposición p + q , siendo :
p : "el número 15 es par"
q : "hay un número que, cuando se añade a
6, da una suma de 13"

4.  Para la primera proposición tenemos que es siempre falsa, puesto que la conjunción de dos
proposiciones es cierta sólo cuando sean ciertas ambas, y no puede ocurrir que p y p' sean ciertas al
mismo tiempo.
La segunda proposición es cierta en todo caso, puesto que para ser cierta la disyunción de dos
proposiciones sólo es necesario que sea cierta una de ellas y en esta ocasión p lo es.
La tercera proposición la resolvemos calculando su tabla de verdad :
p q r p.q p+r p.q + r (p.q+r)(p+r)
1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 1 1
Puesto que p y q son respectivamente una tautología y una contradicción, la proposición estudiada es
equivalente a la proposición r.
Para la segunda parte, teniendo en cuenta las leyes de Morgan podemos escribir:
____
p+q=pˉ⋅qˉ
y, por lo tanto :
____
p+q=pˉ⋅qˉ = "El número 15 NO es par y no hay un número que cuando se añade a 6 da una suma de 13"

5.  Demostrar que para todos los elementos a,
b, c se verifica el siguiente teorema:
Asociatividad : a + (b + c) = (a + b) + c; a
. (b . c) = (a . b) . C
Para este teorema demostraremos antes
que se cumple
a[(a + b) + c] = [(a + b) + c]a = a
Esto es : (por el postulado 3b) :
a[(a+b) + c] = a(a+b) + a.c= a + a.c = a =[(a+b) + c]a
Donde hemos aplicado reiteradamente el
teorema de absorción y finalmente el axioma
de conmutatividad.
Con el anterior resultado supongamos que se
tiene
x = [(a+b) + c] . [a + (b + c)]
aplicando los axiomas de distributivita nos
queda:
[(a+b)+c]a+[(a+b)+c].(b+c)=a+[(a+b)+c].(b.c)
donde hemos aplicado el resultado anterior.
Aplicando de nuevo la distributiva,e1resultado
anterior y el teorema de absorción :
a+[(a+b)+c].b+[(a+b)+c].c=•
=a+b+[(a+b)+c].c=a+(b+c)
Por otro lado, aplicando los axiomas de distributividad, el
resultado anterior y el teorema de absorción,
tenemos también :
x=[(a+b)+c].[a+(b+c)]=
=(a+b)[a+(b+c)]+c[a+(b+c)]=
=(a+b)[a+(b+c)]+c=
=a[a+(b+c)]+b[a+(b+c)]+c=(a+b)+c
Por todo ello, teniendo en cuenta la propiedad transitiva
de la igualdad:
a + (b + c) = (a + b) + c
Demostrado.

6.  Demostrar que para todos los elementos a, b,
c se verifica el siguiente teorema:
Idempotencia: a + a = a; a . a = a
Por los axiomas 4b y 2a tenemos :
a + 0 = a + (a . a' ) = ay aplicando el axioma 3
a :
a + (a . a' ) = (a + a) . (a + a') = a Finalmente,
por los axiomas 4 a y 2 b :
(a + a) . (a + a') = (a + a) . 1 = a + a =a
Demostrado