VECTOR UNITARIO

1. Mo. Carlos Goñy Ameri
TEMA 03
 VECTORES UNITARIOS
 DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
 COSENOS DIRECTORES

2. 𝒙
𝒚
𝑷
𝑸
Análisis Vectorial
𝑨 = 𝑸 − 𝑷
𝑨
𝑸 = 𝑷+𝑨
𝑨 = 𝑷𝑸
𝑷 𝟏, 𝑷 𝟐
𝑸 𝟏, 𝑸 𝟐

3. VECTOR UNITARIO
En el diagrama se observa un vector 𝑨 ; si en la misma dirección de 𝑨 trazamos
otro vector 𝒖 𝑨 de módulo igual a la unidad diremos que 𝒖 𝑨 es el vector unitario 𝑨.
𝐴
𝒖 𝑨
𝐴
𝒖 𝑨 =
𝑨
𝑨
Vector unitario se define:
𝒙
𝒚
Donde el vertor unitario 𝒖 𝑨 tiene la misma
Dirección del vector 𝑨 y su módulo es 1.
𝒖 𝑨 = 𝟏

4. Ejemplo: En el punto inicial de un vector P(2,2) y el punto final Q(6,5). Hallar
el vector unitario 𝐏𝐐.
𝒖 𝑷𝑸
𝒖 𝑷𝑸 =
𝑷𝑸
𝑷𝑸
𝒙
𝒚
𝟐
𝟐
𝟓
𝟔
P(2,2)
Q(6,5)
Hallando el vector : 𝐏𝐐
𝐏𝐐 = 𝐐 − 𝐏
𝐏𝐐 = 𝟔, 𝟓 − (𝟐, 𝟐)
𝐏𝐐 = (𝟒, 𝟑)
𝑷𝑸 = 𝟒 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟓
=
(𝟒, 𝟑)
𝟓
∴ 𝒖 𝑷𝑸=
4
5
,
3
5

5. DESCOMPOSICION DE VECTORES EN
COORDENADAS CARTESIANAS.

6. En diagrama muestra tres fuerzas coplanares concurrentes, calcule el módulo de la fuerza
resultante y su vector unitario.
𝐮 𝐑 =
𝐑
𝐑
=
(𝟏, 𝟔)
𝟑𝟕
=
𝟏
𝟑𝟕
,
𝟔
𝟑𝟕
𝒙
= 𝟖 − 𝟑 − 𝟒 = 𝟏
𝒚
= 𝟔 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟔
𝐑 = (𝟏, 𝟔)
𝐑 = 𝟏 𝟐 + 𝟔 𝟐
𝐑 = 𝟑𝟕
𝟖
𝟔𝟒
𝟑
𝟒
𝟒

11. 𝒙
𝒚
𝒛
𝜶
𝜸
𝜷
𝑨
𝑨 𝒙
𝑨 𝒛
𝑨 𝒚
COSENOS DIRECTORES

12. 𝑨 𝒙
𝑨
𝜶
𝑨 𝒙
𝑪𝑶𝑺𝜶 =
𝑨 𝑥
𝑨
∴ 𝑨 𝒙= 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶

13. 𝑨 𝒚
𝑨 𝒚
𝑨
𝜷
𝑪𝑶𝑺𝜷 =
𝑨 𝑦
𝑨
∴ 𝑨 𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜷

14. 𝑨 𝒛
𝑨 𝒛
𝑨
𝜸
𝑪𝑶𝑺𝜸 =
𝑨 𝒛
𝑨
∴ 𝑨 𝒛 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜸

15. 𝑨 𝒙 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝑨 𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜷
𝑨 𝒛 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜸
𝑨 = (𝑨 𝒙 , 𝑨 𝒚, 𝑨 𝒛)

16. 𝑪𝑶𝑺𝜶 =
𝑨 𝒙
𝑨
𝑪𝑶𝑺𝜷 =
𝑨 𝒚
𝑨
𝑪𝑶𝑺𝜸 =
𝑨 𝒛
𝑨
𝑪𝑶𝑺2 𝜶 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜷 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜸 =
𝑨 𝒙
𝑨
2
+
𝑨 𝒚
𝑨
2
+
𝑨 𝒛
𝑨
2
𝑪𝑶𝑺2 𝜶 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜷 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜸 =
𝑨 𝒙
2
+ 𝑨 𝒚
2
+ 𝑨 𝒛
2
𝑨
2
𝑪𝑶𝑺2 𝜶 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜷 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜸 =
𝑨
2
𝑨
2 = 1
∴ 𝑪𝑶𝑺 𝟐 𝜶 + 𝑪𝑶𝑺 𝟐 𝜷 + 𝑪𝑶𝑺 𝟐 𝜸 = 𝟏

18. 𝒖 𝑨 =
𝑨
𝑨
𝒖 𝑨 =
𝑨 𝒙 𝒊 + 𝑨 𝒚 𝒋 + 𝑨 𝒛 𝒌
𝑨
𝒖 𝑨 =
𝑨 𝒙
𝑨
𝒊 +
𝑨 𝑦
𝑨
𝑗 +
𝑨 𝑧
𝑨
𝑘
𝒖 𝑨 =
𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝑨
𝒊 +
𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜷
𝑨
𝑗 +
𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜸
𝑨
𝑘
∴ 𝒖 𝑨= 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑗 + 𝒄𝒐𝒔𝜸 𝑘
𝑨 = 𝑨 𝒖 𝑨
𝑨 = 𝑨 (𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑗 + 𝒄𝒐𝒔𝜸 𝑘)
𝑨 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒊 + 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑗 + 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜸 𝑘
∴ 𝑨 = 𝑨 𝒙 𝒊 + 𝑨 𝑦 𝑗 + 𝑨 𝑧 𝑘
PROPIEDAD 01 PROPIEDAD 02
∴ 𝒖 𝑨= (𝒄𝒐𝒔𝜶 , 𝒄𝒐𝒔𝜷 , 𝒄𝒐𝒔𝜸 )
∴ 𝑨 = (𝑨 𝒙 , 𝑨 𝑦 , 𝑨 𝑧 )

19. 𝑨′
= 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅
𝑨 𝒛 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔∅
Ahora, al aplicar trigonometría al otro TRIÁNGULO RECTÁNGULO
INFERIOR sombreado.
Algunas veces, la dirección de 𝐀 puede especificarse mediante dos ángulos, 𝜽 y
∅ ,como se muestra en la figura, entonces, las componentes de 𝐀 pueden
determinarse al aplicar primero trigonometría al TRIÁNGULO RECTÁNGULO
SUPERIOR, de donde se obtiene.
𝑨 𝒙 = 𝑨′
𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝑨 𝒚 = 𝑨′
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒔𝒊 𝑨 = 𝑨 𝒙 𝒊 + 𝑨 𝒚 𝒋 + 𝑨 𝒛 𝒌
𝑨 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒊 + 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒋 + 𝑨 𝒄𝒐𝒔∅𝒌
= 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝒔𝒆𝒏𝜽
∴ 𝑨 = 𝑨 (𝒄𝒐𝒔∅𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔∅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔∅ 𝒌 )

21. 𝑨 = 𝑨 (𝒄𝒐𝒔∅𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔∅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔∅ 𝒌 )
𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎°𝒄𝒐𝒔(−𝟒𝟓°) 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎°𝒔𝒆𝒏(−𝟒𝟓°) 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° 𝒌 )
𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟎. 𝟔𝟏 𝒊 − 𝟎. 𝟔𝟏 𝒋 + 𝟎. 𝟖𝟕 𝒌 )
𝑨 = 𝟔𝟏 𝒊 + 𝟔𝟏 𝒋 + 𝟖𝟕 𝒌