Integrales entre dos curvas

1. INTEGRALES: AREAS ENTRE DOS
CURVAS Y SU FUNCION EN LA
CIENCIA

2. La integral o mejor dicho la integración es uno de los conceptos
fundamentales del cálculo y del análisis matemático. La integral
puede decirse que es la suma de infinitos, infinitamente pequeños.
DEFINICION
El cálculo integral es una rama de las matemáticas
en el proceso de integración o anti derivación, es
muy común en la ingeniería y en la ciencia
también, se utiliza para el cálculo de áreas,
volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Como se puede ver en la imagen, es una integral definida de una
función, que representa el área limitada por la grafica de la función,
en un sistema de coordenadas x,y cuando la función toma valores
positivos (x) y signo negativo cuando toma valores negativos (y).

3. INTEGRALES
La integrales tienen muchos objetivos y varias teorías por lo que lo
hace un tema extenso y a la ves como se dijo anteriormente
importante en el área de ingeniería y tecnología que más adelante se
explicara su uso y porque de su importancia.
Uno de sus objetivos es el cambio variable
es una de las técnicas empleadas en las
matemáticas para resolver ecuaciones o
sistemas de ecuación que su grado sea
superior a 1.
Mediante dicho sistema se da paso a una ecuación equivalente y ya
resuelta se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita
inicial.

4. Integral impropia también es otro objetivo el cual es el límite de
una integral definida cuando uno o ambos intervalos, de integración
se acerca a un número real. Se puede decir que también es
impropia cuando la función integrando de la integral definida no es
continua en todo el intervalo de la integración; también esta la
integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es
evaluada sobre la curva.
INTEGRALES ENTRE DOS CURVAS
El concepto de integral definida surge íntimamente ligado al de
área.
Riemann introduce la integral definida de una función continua en
un intervalo a partir del límite de una suma de áreas de rectángulos.
Por ello, una de las aplicaciones más inmediatas de la integral
definida es el cálculo de áreas de recintos planos acotados y
definidos por curvas o gráficas de funciones.

5. El cálculo de áreas sencillas limitadas por curvas puede contribuir a
ayudar al alumno a comprender la potencia del cálculo integral y a
familiarizarse con aspectos prácticos del mismo.
Ha de servir como introducción para otras aplicaciones de las
integrales en los diferentes campos de la ciencia: Física, Biología,
Ingeniería o Economía. En ellas, la integral definida permitirá medir
magnitudes a través de la medida de áreas.
INTEGRALES ENTRE DOS CURVAS

6. INTEGRALES ENTRE DOS CURVAS
En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos
curvas. El problema es el siguiente:
Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus
gráficas en el intervalo [a,b] .
Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente
ejemplo. f(x)= 3x3 - x2 - 10x g(x)= - x2 + 2x

7. INTEGRALES ENTRE DOS CURVAS
Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar
el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas
haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de
longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor
particular de x, al que llamaremos x*.

8. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor
exacto del área buscada.
Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la
Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y
de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n).
INTEGRALES ENTRE DOS CURVAS
integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los
rectángulos es g(x*)-
Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una
aproximación al valor del área entre las curvas.
f(x*).

9. Definición de área entre dos gráficas: El área entre las gráficas
de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la
Integral Definida de |f-g| en [a,b].
INTEGRALES ENTRE DOS CURVAS
Dentro del intervalo (-2,2), las curvas:
y=2(1-x2) y y=x2-1
se intersectan en x = -1, 1.
f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1
El área entre las curvas en cada subintervalo
es: {4, 4, 4} Cada una de estas áreas tiene que
ser calculada por separado.
El área total entre las curvas es:
4 + 4 + 4 = 12

10. INTEGRALES ENTRE DOS CURVAS
Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas:
y = -x2/3+1 y y = x2/3
se intersectan en x = 1.
f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1 El área entre las
curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867}
Cada una de estas áreas tiene que ser
calculada por separado.
El área total entre las curvas es: 1.6 + 0.15867
= 1.75867