Las tres funciones que son iguales en el equilibrio térmico son hA, hB y hC, donde: hA = 4πCC H/M, hB = Θ + 4πC0C H0/M0, hC = PV/Rn. Estas funciones pueden expresarse como ecuaciones de estado de la forma f(P,V,T)=0. La resistencia de un cristal de Germanio a 218 Ω corresponde a una temperatura de aproximadamente 4 K. Un gráfico log-log de R0 vs θ muestra una relación line

1. Termodinámica1
1. Ejercicio 1
Los sistemas A y B son sales paramagnéticas con coordenanas H, M, H0, M0, respectivamente.
El sistema C es un gas con coordenadas P V . Cuando A y C están en equilibrio térmico se cumple
la relación:
4πnRCcH − MPV = 0
Cuando están en equilibrio B y C la relación es:
nRΘM0 + 4πnRC0
cH0 − M0PV = 0
Los valores de n, R, Cc, C
0
c, Θ son constantes.
a. ¿Cuáles son las tres funciones que son iguales entre sí en el equilibrio térmico?
Tomando fAC(H, M, P, V ) y fBC(H0, M0, P, V ) como las funciones que describen el equilibrio térmi-
co entre los sistenas AC y BC respectivamente, donde es posible despejar P de una de las funciones:
fAC(H, M, P, V ) = 4πnRCcH − MPV = 0 ⇒ P =
4πnRCcH
MV
, (1)
luego, esta presión hallada es reemplazada en
fBC(H0
, M0
, P, V ) = nRΘM0
+ 4πnRC
0
CH0
− MPV = 0 (2)
⇒ nRΘM0
+ 4πnRC
0
cH0
− 4πnRCcH
M0
M
= 0
ΘM0
+ 4πC
0
CH0
− 4πCCH
M0
M
= 0
ΘM0
M + 4πC
0
cH0
H − 4πCcHM0
= 0
Θ + 4πC
0
c
H0
M0
− 4πCc
H
M
= 0 (3)
En la ecuación número (3) se observa que una parte de la ecuación depende sólo de las coordenadas
del sistema A mientras que otra parte sólo del sistema B
Θ + 4πC
0
c
H0
M0
| {z }
hB
− 4πCC
H
M
| {z }
hA
= 0,
Es decir que ya se tienen las ecuaciones para el sistema A ⇒ hA y B ⇒ hB. Ahora, para hallar hC,
se parte de que al estar en equilibrio térmico, debe satisfacerse
hA = hB = hC = t, (4)
1

2. así, de la ecuación número (1) se tiene que
4πCC
H
M
| {z }
hA
=
PV
Rn
|{z}
hC
.
Por lo tanto las tres funciones que son iguales entre sí en el equilibrio térmico son:
hA = 4πCC
H
M
hB = Θ + 4πC
0
C
H0
M0
hC =
PV
Rn
. (5)
b. Hacer cada una de estas funciones igual a la temperatura del gas ideal y ver si algunas de
estas son ecuaciones de estado como las estudiadas en el capítulo 2.
Para solucionar este punto, es necesario llevar las ecuaciones halladas en el punto anterior a una
ecuación de estado con la forma f(P, V, T) = 0 donde T es la temperatura del gas ideal T = PV
Rn .
Iniciando con hC, se tiene que:
PV
Rn
= T −→ PV − TRn = 0 ⇒ f∗
C(P, V, T) = PV − TRn = 0. (6)
Luego, hA
hA = hC −→ 4πCC
H
M
= T −→
4πCCRnH
MV
−
T
V
Rn = 0,
P −
T
V
Rn = 0 ⇒ f∗
A(P, V, T) = 0, (7)
y por último hC
hB + hC −→ Θ = 4πC
0
C
H0
M0
= T −→ Θ = 4πC
0
C
H0
M0
− T = 0
de fBC se tiene que P = 1
V nR(Θ + 4πCc
H0
M0 ), entonces
P −
TRn
V
= 0 ⇒ f∗
C(P, V, T) = P −
TRn
V
= 0. (8)
Por lo tanto las tres ecuaciones son ecuaciones de estado de la forma f(P, V, T) = 0
2. Ejercicio 2
La resistencia de un cristal de Germanio dopado obedece a la ecuación:
log R0 = 4,697 − 3,917 log θ
a.En un criostato de Helio líquido se mide la resistencia de 218 Ω. ¿Cuál es la temperatura?
Se despeja en función dada en función de θ:
3,917 log(θ) = 4,697l log(R0
)
θ = 10
4,697−log(R0)
3,917
2

3. Para R0 = 218Ω
θ = 10
4,697−log(218)
3,917
θ ≈ 4◦
K (9)
Donde θ es la temperatura del líquido de Helio.
b. Realizar el gráfico log-log de R0 en función de θ para valores de R ∈ (200Ω, 30000Ω)
Dada la ecuación log R0 = 4,697−3,917 log θ, veremos el comportamiento lineal de esta, para ello,
el valor de R0 estará entre (200Ω, 30000Ω), tomaremos 50 valores equidistantes entre los extremos
del intervalo y procedemos a hallar el valor de θ para dichas resistencias.
La gráfica log R0 vs. log θ será:
Figura 1:
Se puede observar claramente en la gráfica que esta es una relación líneal inversa, esto quiere
decir que cuanto más baja es la temperatura (dada en K), más alto es el valor de la resistencia,
puesto que el logaritmo natural para valores cercanos a cero tiende a menos infinito: log(θ) ⇒ −∞;
y logaritmo natural para valores cada vez más grandes y positivos tiende a infinito: log(R0) ⇒ ∞
3