Este documento presenta una serie de problemas de ingeniería estructural que involucran el cálculo de deflexiones y pendientes en vigas sometidas a diferentes cargas. Se proporcionan figuras de vigas con cargas concentradas y distribuidas, y se piden determinar cantidades como ecuaciones de curvas elásticas, pendientes en extremos, y deflexiones en puntos específicos. También se discute el método de superposición para resolver problemas de vigas estáticamente indeterminadas calculando por separado los efectos de diferentes cargas y sumando los resultados.

1. 555
PROBLEMAS
Emplee funciones de singularidad para resolver los siguientes problemas y su-
ponga que la rigidez a flexión EI de cada viga es constante.
9.35 y 9.36 Para la viga y la carga mostradas en las figuras, determine a) la
ecuación de la curva elástica, b) la pendiente en el extremo A, c) la deflexión en el
punto C.
9.37 y 9.38 Para la viga y la carga representadas, determine a) la ecuación
de la curva elástica, b) la pendiente en el extremo libre, c) la deflexión del extremo
libre.
9.39 y 9.40 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determine
a) la pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en el
extremo D.
M0
x
y
B
C
A
L
a b
x
y
BC
P
A
L
a b
Figura P9.35 Figura P9.36
Figura P9.38
Figura P9.39 Figura P9.40
Figura P9.37
a
A
P P
y
B C
x
a
A B
P P
C
a
y
a
x
A
C
B
a a a
D
M0 M0
A D
CB
P P
a a a

2. 556 Deflexión de vigas 9.41 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuación
de la curva elástica, b) la pendiente en el punto A, c) la deflexión en el punto C.
9.47 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la pen-
diente en el extremo A, b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 29 ϫ 106
psi.
9.45 Para la viga y la carga ilustradas en la figura, determine a) la pendiente
en el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C. Utilice E = 200 GPa.
9.46 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la
pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C. Utilice E ϭ 29 ϫ
106
psi.
9.42 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuación
de la curva elástica, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en el punto C.
9.43 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuación
de la curva elástica, b) la deflexión en el punto medio C.
9.44 Para la viga y la carga representadas en la figura, determine a) la ecua-
ción de la curva elástica, b) la deflexión en el punto B, c) la deflexión en el punto D.
B
x
y
C
w
L/2 L/2
A
Figura P9.42
Figura P9.43
Figura P9.44 Figura P9.45
Figura P9.46 Figura P9.47
x
y
A
B
w
C
a a a a
L/2 L/2
B
A
y
C D
x
ww
L/2
C
BA
1.8 m 1.8 m
0.9 m 0.9 m
W310 ϫ 60
6.2 kN
3 kN/m
A
S6 ϫ 12.5
4 ft 4 ft
BC
2 kips4 kips/ft
A D
1.25 in.
24 in.
16 in.
48 in.
8 in.
200 lb
10 lb/in.
B C
Figura P9.41
A
C
B
x
w
y
L
L/3

3. Problemas
557
9.51 y 9.52 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determine
a) la reacción en el apoyo deslizante, b) la deflexión en el punto B.
9.53 Para la viga y la carga que se ilustran en la figura, determine a) la reac-
ción en el punto C, b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 200 GPa.
9.54 y 9.55 Para la viga y carga que se ilustran en la figura, determine a) la
reacción en el punto A, b) la deflexión en el punto C. Utilice E = 29 ϫ 106
psi.
9.48 Para la viga de madera y la carga mostradas en la figura, determine a) la
pendiente en el extremo A, b) la deflexión en el punto medio C. Utilice E = 12 GPa.
9.49 y 9.50 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determine
a) la reacción en el apoyo deslizante, b) la deflexión en el punto C.
Figura P9.48
Figura P9.49 Figura P9.50
Figura P9.51 Figura P9.52
Figura P9.53
Figura P9.54
0.5 m 0.5 m
P ϭ 4 kN
w ϭ 5 kN/m
1 m
150 mm
50 mm
DA
B C
L/2 L/2
C
A
B
M0
B
A
C
P
L/2 L/2
A
B
M0 M0
L/4 L/2 L/4
D
C
L/3
A B C
D
P P
L/3 L/3
C
B
A
14 kN/m
W410 ϫ 60
5 m 3 m
BC
9 kips/ft
6 ft 6 ft
A
W12 ϫ 22
B
C
w ϭ 4.5 kips/ft
2.5 ft2.5 ft2.5 ft2.5 ft
A D E
W14 ϫ 22
Figura P9.55

4. 558 Deflexión de vigas
9.7 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, a
menudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la de-
flexión causadas por cada carga. La pendiente y la deflexión totales se ob-
tienen aplicando el principio de superposición (vea la sección 2.12) y su-
mando los valores de la pendiente o la deflexión correspondiente a las
diversas cargas.
9.56 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-
acción en el punto A, b) la deflexión en el punto B. Utilice E = 200 GPa.
9.57 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-
acción en el punto A, b) la pendiente en el punto C.
9.58 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la re-
acción en el punto A, b) la deflexión en el punto medio C.
9.59 a 9.62 Para la viga y la carga mostradas en cada figura, determine la
magnitud y ubicación de la deflexión más grande hacia abajo.
9.59 La viga y la carga del problema 9.45.
9.60 La viga y la carga del problema 9.46.
9.61 La viga y la carga del problema 9.47.
9.62 La viga y la carga del problema 9.48.
9.63 Las barras rígidas BF y DH están soldadas a la viga de acero laminado
AE, como se muestra en la figura. Para la carga ilustrada, determine a) la deflexión
en el punto B, b) la deflexión en el punto medio C de la viga. Utilice E ϭ 200 GPa.
9.64 La barra rígida DEF está soldada en el punto D a la viga de acero la-
minado AB. Para la carga que se ilustra en la figura, determine a) la pendiente en el
punto A, b) la deflexión en el punto medio C de la viga. Utilice E ϭ 200 GPa.
1.2 m
50 kN 50 kN
1.2 m 1.2 m
A
B C D
W200 ϫ 52 BA C
L/2 L/2
M0
L/2 L/2
B
A C
w
D
c
H
G
E
CB
F
A
W100 ϫ 19.3
0.15 m
0.5 m 0.3 m 0.3 m 0.5 m
100 kN 1.2 m
50 kN
30 kN/m
1.2 m
2.4 m
A B
C
F
D
E W460 ϫ 52
Figura P9.56 Figura P9.57
Figura P9.58
Figura P9.63 Figura P9.64

5. 559
(9.51)
Haciendo y L ϭ 8 m, en las ecuaciones
(9.51) y (9.50), se tiene
Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las car-
gas concentradas y distribuidas, se obtiene:
yD ϭ 1yD2P ϩ 1yD2w ϭ Ϫ9 mm Ϫ 7.60 mm ϭ Ϫ16.60 mm
ϭ Ϫ5.93 ϫ 10Ϫ3
rad
uD ϭ 1uD2P ϩ 1uD2w ϭ Ϫ3 ϫ 10Ϫ3
Ϫ 2.93 ϫ 10Ϫ3
ϭ Ϫ7.60 mm
1yD2w ϭ
20 ϫ 103
241100 ϫ 106
2
1Ϫ9122 ϭ Ϫ7.60 ϫ 10Ϫ3
m
1uD2w ϭ
20 ϫ 103
241100 ϫ 106
2
1Ϫ3522 ϭ Ϫ2.93 ϫ 10Ϫ3
rad
w ϭ 20 kN/m, x ϭ 2 m,
u ϭ
dy
dx
ϭ
w
24EI
1Ϫ4x3
ϩ 6Lx2
Ϫ L3
2
Determine la pendiente y deflexión en D para la viga y carga mos-
tradas (figura 9.33), sabiendo que la rigidez a flexión de la viga
es EI ϭ 100 MN • m2
.
La pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga
pueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones cau-
sadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga dis-
tribuida (figura 9.34).
EJEMPLO 9.07
Para facilitar el trabajo de los ingenieros, los manuales de ingeniería es-
tructural y mecánica incluyen tablas con las deflexiones y pendientes de vi-
gas para diversas cargas y apoyos. En el apéndice D se encuentra una de es-
tas tablas. Note que la pendiente y la deflexión de la viga de la figura 9.33
hubieran podido determinarse a partir de allí. Ciertamente, usando la infor-
mación dada en los casos 5 y 6, pudo haberse expresado la deflexión de la
viga para cualquier valor Tomando la derivada de la expresión así
obtenida, se habría determinado la pendiente de la viga en el mismo interva-
lo. También se observa que la pendiente en los extremos de la viga puede ob-
tenerse sumando los valores correspondientes de la tabla. Sin embargo, la
x Յ Lր4.
Como la carga concentrada en la figura 9.34b se aplica a un
cuarto del claro, pueden usarse los resultados obtenidos para la
viga y la carga del ejemplo 9.03 y escribirse
Por otra parte, recordando la ecuación de la curva elástica obte-
nida para la carga uniformemente distribuida en el ejemplo 9.02,
la deflexión en la figura 9.34c se expresa como:
(9.50)
y diferenciando con respecto a x,
y ϭ
w
24EI
1Ϫx4
ϩ 2Lx3
Ϫ L3
x2
ϭ Ϫ9 mm
1yD2P ϭ Ϫ
3PL3
256EI
ϭ Ϫ
31150 ϫ 103
21823
2561100 ϫ 106
2
ϭ Ϫ9 ϫ 10Ϫ3
m
1uD2P ϭ Ϫ
PL2
32EI
ϭ Ϫ
1150 ϫ 103
21822
321100 ϫ 106
2
ϭ Ϫ3 ϫ 10Ϫ3
rad
A
D
B
150 kN
20 kN/m
2 m
8 m
D
20 kN/m
2 m
150 kN
BA
D
BA
D
BA
w ϭ 20 kN/m
x ϭ 2 mL ϭ 8 m
L ϭ 8 m
P ϭ 150 kN
b)a) c)
Figura 9.34
Figura 9.33

6. De la tabla del apéndice D (casos 2 y 1) se halla que
1yB2w ϭ Ϫ
wL4
8EI
1yB2R ϭ ϩ
RBL3
3EI
Determine las reacciones en los apoyos de la viga prismática y la
carga mostradas en la figura 9.36. (Ésta es la misma viga del ejem-
plo 9.05 de la sección 9.5.)
La reacción en B se considera redundante y se libera la viga
de ese apoyo. La reacción RB se establece como una carga des-
conocida (figura 9.37a) y se obtendrá de la condición de que la
deflexión de la viga en B debe ser cero.
EJEMPLO 9.08
deflexión máxima de la viga de la figura 9.33 no puede obtenerse sumando
las deflexiones máximas de los casos 5 y 6, pues éstas ocurren en puntos di-
ferentes de la viga.†
9.8 APLICACIÓN DE LA SUPERPOSICIÓN A VIGAS
ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
A menudo será útil el método de la superposición para determinar las reac-
ciones en los apoyos de una viga estáticamente indeterminada. Consideran-
do primero una viga indeterminada de primer grado (véase sección 9.5), como
la que se muestra en la figura 9.35 se seguirá el método descrito en la sec-
ción 2.9. Se escoge una de las reacciones como redundante y se elimina o
modifica el apoyo correspondiente. La reacción redundante se trata como una
carga desconocida que, junto con las otras, debe producir deformaciones com-
patibles con los apoyos originales. La pendiente o la deflexión donde el apo-
yo se ha modificado o eliminado se obtiene calculando separadamente las
deformaciones causadas por las cargas dadas y la reacción redundante, y su-
perponiendo los resultados obtenidos. Una vez calculadas las reacciones en
los apoyos, pueden determinarse la pendiente y la deflexión en cualquier pun-
to de la viga.
La solución se efectúa tomando por separado la deflexión (yB)w
producida en B por la carga uniformemente distribuida w (figura
9.37b) y la deflexión (yB)R producida en el mismo punto por la
reacción redundante RB (figura 9.37c).
BA
w
L
w w
B
B
A A
B
yB ϭ 0
(yB)w
(yB)R
RB
RB
A
a) b) c)
Figura 9.37
Figura 9.36
Figura 9.35 Las vigas continuas que soportan
este puente de autopista tiene tres soportes que
son indeterminados.
† El valor aproximado de la deflexión máxima de la viga se obtiene elaborando la gráfica de los
valores de y correspondientes a varios de x. La determinación de la localización exacta y magnitud
de la deflexión máxima requiere igualar a cero la expresión de la pendiente y resolver esta ecuación
para x.
560 Deflexión de vigas

7. La viga estudiada en el ejemplo previo era indeterminada de primer gra-
do. En el caso de una viga indeterminada de segundo grado (véase sección
9.5), dos reacciones deben designarse como redundantes y los soportes co-
rrespondientes eliminados y modificados como corresponda. Las reacciones
redundantes se tratan entonces como cargas desconocidas que, simultánea-
mente con las otras cargas, deben producir deformaciones compatibles con
los apoyos originales (véase problema modelo 9.9).
y, despejando a MA,
Los valores RA y RB pueden encontrarse mediante las ecuaciones
de equilibrio (9.52) y (9.53).
MA ϭ 1
8 wL2
MA ϭ 1
8 wL2
g
uA ϭ Ϫ
wL3
25EI
ϩ
MAL
3EI
ϭ 0
uA ϭ 1uA2w ϩ 1uA2M ϭ 0
Escribiendo que la deflexión en B es la suma de estas dos canti-
dades y que debe ser cero, se tiene
y resolviendo para
Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 9.38)
y escribiendo las correspondientes ecuaciones de equilibrio, se
tiene
(9.52)
(9.53)
Solución alternativa. El par en el extremo empotrado A
puede considerarse redundante y reemplazarse el extremo fijo por
un apoyo de segundo género. El par MA es ahora una carga des-
conocida (figura 9.39a) y se calculará de la condición de que la
MA ϭ 1
8 wL2
g
MA ϭ 1
2 wL2
Ϫ RBL ϭ 1
2 wL2
Ϫ 3
8 wL2
ϭ 1
8 wL2
MA ϩ RBL Ϫ 1wL211
2L2 ϭ 0ϩg gMA ϭ 0:
RA ϭ 5
8 wL c
RA ϭ wL Ϫ RB ϭ wL Ϫ 3
8wL ϭ 5
8 wL
RA ϩ RB Ϫ wL ϭ 0ϩ c gFy ϭ 0:
RB ϭ 3
8 wL RB ϭ 3
8 wL cRB,
yB ϭ Ϫ
wL4
8EI
ϩ
RBL3
3EI
ϭ 0
yB ϭ 1yB2w ϩ 1yB2R ϭ 0
pendiente debe ser cero en el punto A. La solución se consigue
considerando separadamente la pendiente (θA)w producida en A
por la carga uniformemente distribuida w (figura 9.39b) y la pen-
diente (θA)M producida por el mismo punto por el par desconoci-
do MA (figura 9.39c).
Usando la tabla del apéndice D (casos 6 y 7) y observando
que A y B deben intercambiarse en el caso 7, se halla que:
Escribiendo que la pendiente en A es la suma de estas dos canti-
dades y que debe ser cero, se halla que:
1uA2w ϭ Ϫ
wL3
24EI
1uA2M ϭ
MAL
3EI
BA
wMA
MA
w
BA
a) b)
c)
A ϭ 0␪ ( A)w␪
( A)M␪
BA
Figura 9.39
B
wL
MA
RA RB
A
L
L/2
Figura 9.38
9.8 Aplicación de la superposición a vigas
561estáticamente indeterminadas

8. 562
PROBLEMA MODELO 9.7
Para la viga y carga mostradas en la figura, determine la pendiente y la deflexión del
punto B.
SOLUCIÓN
Principio de superposición. La carga dada puede obtenerse superponiendo las
cargas mostradas en la siguiente “película de ecuación de carga”. La viga AB es, na-
turalmente, la misma en cada parte de la figura.
B
C
w
A
L/2 L/2
B
C
w
A
y
L/2 L/2
B
x
yBA
B
w
Carga I Carga II
A
L
B
C
w
A
L/2 L/2
␪B
y
B
A
B
x
x(yB)I
( B)I
A
y
␪
( B)II␪
(yB)II
B
w
Carga I
Carga II
A
L
y
B
x
(yB)I
( B)I
A
␪
␪
BC
w
A
L/2 L/2
A C
B
x
y ( B)II␪( C)II
(yB)II
(yC)II
Para cada una de las cargas I y II, la pendiente y la deflexión en B se determinan
usando la tabla de Deflexiones y pendientes de viga del apéndice D.
Carga I
Carga II
En la porción CB, el momento flector para la carga II es cero y, por tanto, la curva
elástica es una línea recta.
Pendiente en el punto B
Deflexión en B
yB ϭ
41wL4
384EI
T >yB ϭ 1yB2I ϩ 1yB2II ϭ Ϫ
wL4
8EI
ϩ
7wL4
384EI
ϭ Ϫ
41wL4
384EI
uB ϭ
7wL3
48EI
c >uB ϭ 1uB2I ϩ 1uB2II ϭ Ϫ
wL3
6EI
ϩ
wL3
48EI
ϭ Ϫ
7wL3
48EI
ϭ
wL4
128EI
ϩ
wL3
48EI
a
L
2
b ϭ ϩ
7wL4
384EI
1yB2II ϭ 1yC2II ϩ 1uC2II a
L
2
b1uB2II ϭ 1uC2II ϭ ϩ
wL3
48EI
1yC2II ϭ ϩ
w1Lր224
8EI
ϭ ϩ
wL4
128EI
1uC2II ϭ ϩ
w1Lր223
6EI
ϭ ϩ
wL3
48EI
1yB2I ϭ Ϫ
wL4
8EI
1uB2I ϭ Ϫ
wL3
6EI

9. 563
PROBLEMA MODELO 9.8
Para la viga y carga mostradas en la figura, halle a) la reacción de cada apoyo, b) la
pendiente en el extremo A.
SOLUCIÓN
Principio de superposición. La reacción RB se escoge como redundante y se
considera como carga desconocida. Las deflexiones debidas a la carga distribuida y
a la reacción RB se examinan separadamente, como se indica en la figura.
B
w
A C
2L/3
L
L/3
B
B
w
A
A
y
C
xC
2L/3 L/3
RB RB
B
w
A C
2L/3 L/3
BA C
2L/3 L/3
[ yB ϭ 0 ]
B
A
y
xC
(yB)w( A)w␪
B
A
y
xC
(yB)R( A)R␪
B
w
A C
RA ϭ 0.271 wL RB ϭ 0.688 wL
RC ϭ 0.0413 wL
Para cada carga, la deflexión en el punto B se halla usando la tabla de deflexiones y
pendientes de viga del apéndice D.
Carga distribuida. Se utiliza el caso 6 del apéndice D
En el punto B,
Carga por la reacción redundante. Del caso 5, apéndice D, con y
se tiene
a. Reacciones de los apoyos. Recordando que se tiene
Como la reacción RB ahora es conocida, se utiliza el método de la estática para de-
terminar las otras reacciones:
b. Pendiente en el extremo A. Refiriéndose de nuevo al apéndice D, se tiene
Carga distribuida.
Carga de reacción redundante. Para y
Finalmente,
uA ϭ 0.00769
wL3
EI
c >
uA ϭ Ϫ0.04167
wL3
EI
ϩ 0.03398
wL3
EI
ϭ Ϫ0.00769
wL3
EI
uA ϭ 1uA2w ϩ 1uA2R
1uA2R ϭ 0.03398
wL3
EI
1uA2R ϭ Ϫ
Pb1L2
Ϫ b2
2
6EIL
ϭ ϩ
0.688wL
6EIL
a
L
3
bcL2
Ϫ a
L
3
b
2
d
b ϭ 1
3 LP ϭ ϪRB ϭ Ϫ0.688wL
1uA2w ϭ Ϫ
wL3
24EI
ϭ Ϫ0.04167
wL3
EI
RA ϭ 0.271wL c RC ϭ 0.0413wL c >
RB ϭ 0.688wL c >0 ϭ Ϫ0.01132
wL4
EI
ϩ 0.01646
RBL3
EI
yB ϭ 1yB2w ϩ 1yB2R
yB ϭ 0,
1yB2R ϭ Ϫ
Pa2
b2
3EIL
ϭ ϩ
RB
3EIL
a
2
3
Lb
2
a
L
3
b
2
ϭ 0.01646
RBL3
EI
b ϭ 1
3 L,
a ϭ 2
3L
1yB2w ϭ Ϫ
w
24EI
ca
2
3
Lb
4
Ϫ 2La
2
3
Lb
3
ϩ L3
a
2
3
Lbd ϭ Ϫ0.01132
wL4
EI
x ϭ 2
3 L:
y ϭ Ϫ
w
24EI
1x4
Ϫ 2Lx3
ϩ L3
x2

10. 564
PROBLEMA MODELO 9.9
Para la viga y carga mostradas, determine la reacción en el empotramiento C.
SOLUCIÓN
Principio de superposición. Suponiendo que la carga axial en la viga es ce-
ro, la viga ABC es indeterminada de segundo grado y se escogen como redundantes
la fuerza vertical RC y el par MC. Las deformaciones producidas por la carga P, la
fuerza RC y el par MC se consideran separadamente como se muestra.
B
P
C
L
a b
A
B
P
C
C
a b
ABA
PMC
MC
RC RC
a b
C
C
L
A
C
C
A
A
L
BB
C
C
A
A A
( C)M␪
(yC)M
␪
␪
( C)P
␪( C)R
␪( B)P
(yC)P
(yC)R
(yB)P
[ Bϭ 0 ]
[ yBϭ 0 ]
L
a b
RA RC
Pa2
b
L2MC ϭPPab2
L2MA ϭ
Pb2
L3RA ϭ (3a ϩ b)
Pa2
L3RC ϭ (a ϩ 3b)
Para cada carga, la pendiente y la deflexión en C se encuentran en la tabla Deflexio-
nes y pendientes de viga del apéndice D.
Carga P. Se observa que, para esta carga, la porción BC de la viga es recta.
Fuerza RC
Par MC
Condiciones de frontera. En el extremo C la pendiente y la deflexión deben
ser cero.
(1)
(2)
Componentes de la reacción en C. Resolviendo simultáneamente las ecua-
ciones (1) y (2) se encuentran las reducciones
La reacción en A puede hallarse ahora usando los métodos de estática.
MC ϭ
Pa2
b
L2
b >MC ϭ Ϫ
Pa2
b
L2
RC ϭ
Pa2
L3
1a ϩ 3b2 c >RC ϭ ϩ
Pa2
L3
1a ϩ 3b2
0 ϭ Ϫ
Pa2
6EI
12a ϩ 3b2 ϩ
RC L3
3EI
ϩ
MC L2
2EI
yC ϭ 1yC2P ϩ 1yC2R ϩ 1yC2M3x ϭ L, yC ϭ 04:
0 ϭ Ϫ
Pa2
2EI
ϩ
RC L2
2EI
ϩ
MC L
EI
uC ϭ 1uC2P ϩ 1uC2R ϩ 1uC2M3x ϭ L, uC ϭ 04:
1yC2M ϭ ϩ
MC L2
2EI
1uC2M ϭ ϩ
MCL
EI
1yC2R ϭ ϩ
RC L3
3EI
1uC2R ϭ ϩ
RC L2
2EI
ϭ Ϫ
Pa3
3EI
Ϫ
Pa2
2EI
b ϭ Ϫ
Pa2
6EI
12a ϩ 3b2
1uC2P ϭ 1uB2P ϭ Ϫ
Pa2
2EI
1yC2P ϭ 1yB2P ϩ 1uB2p b