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Resistencia de Materiales I
Torsión
Contenido
1.Objetivo
2.Introducción
3.Hipótesis
4.Deducción de las Formulas de Torsión
5.Distribución de Esfuerzo de Corte
6.Acoplamiento por Medio de Bridas
7.Transmisión de Potencia
8.Esfuerzo Cortante Longitudinal
9.Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante
10.Torsión en Barras no Circulares
11.Uniones Conectadas con Carga Excéntrica
1.Objetivo
Después del estudio de este tema el alumno será capaz de:
1. Definir par de torsión
2. Calcular los esfuerzos cortantes en un miembro estructural sometido a cargas
de torsión.
3. Calcular el ángulo de deformación torsional.
4. Especificar un diseño conveniente por esfuerzo de cortante.
5. De analizar los acoplamientos por medios de juntas bridas.
6. Determinar la naturaleza de los esfuerzos cortantes longitudinales.
7. Analizar tubos de pared del delgada sometidos a torsión.
8. Estudiar el comportamiento de secciones no circulares sometidas a torsión.
2. Introducción
Su efecto es de interés primordial
en el diseño de ejes de
transmisión, utilizados
ampliamente en vehículos y
maquinaria.
Un momento de torsión o par torsor es aquel que tiende a hacer girar un
miembro respecto a su eje longitudinal.
2. Introducción (continuación…)
Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se
aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el hule,
por ejemplo.
Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen
como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las
líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con
el mismo ángulo a los círculos transversales.
Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y consideraremos un
pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha
porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento diferencial
considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se
muestra.
2. Introducción (continuación…)
a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
b) Las secciones transversales se mantienen planas y no se alabean
después de la torsión.
c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una
sección permanece radial después de la torsión.
d) El árbol esta sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que
actúan en planos perpendiculares a su eje.
e) Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material
y los esfuerzos no sobrepasan el limite de proporcionalidad
3. Hipótesis
3. Hipótesis (continuación…)
Eje sin deformar
Eje deformado
3. Hipótesis (continuación…)
Eje sin deformar
Eje deformado
Líneas se
convierten
hélices
Radio sin
alteración
Círculos
mantienen
su forma
4. Deducción de las Formulas de Torsión
γ
A
B
ρ
ρ
Ф
A’ T
T
L
O
O’
	 	 	 	 	
	 ∅ 	
∅
…………….. (I)
ó 	 	 	
	 	 	 	 	 (
= G 	 … … … … … … . .
4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…)
Reemplazando (I) en (II)
	
∅
………………. (III) (Ecuación de Compatibilidad)
G: Modulo de Rigidez al Cortante
	: Esfuerzo Cortante
∅: Angulo de Giro
: Radio de la sección Transversal
Sección M-N
ρ
T
O dF = dA
4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…)
(a) en (IV)
T = Tr =
T =
dF =
T =
Reemplazando (III) en (V) T= ∅ / ∅/L
T =
∅
4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…)
…………………………. (VI)
De (VI) y (III)
G: Modulo de Rigidez al Cortante
∅: Angulo de Giro en Radianes
J: Momento de Inercia Polar
: Momento Torsor
	: Esfuerzo Cortante
4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…)
Convención de Signos
Uso de la mano derecha, según la cual tanto el par de torsión como el
ángulo de torsión serán positivos si el pulgar esté dirigido hacia afuera del
eje
5. Distribución de Esfuerzos de Corte
a) Árbol Circular Sólido
5. Distribución de Esfuerzos de Corte(continuación…)
b) Árbol Circular Hueco
6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos
a) Para un Grupo Concéntrico de Pernos
F
F
FF
F
F
6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…)
a) Para un Grupo Concéntrico de Pernos
Por equilibrio:
T = ΣRxF
T = n R F
F = τ A
n = Número de Pernos
A = Área del Perno
T = τ A R n
F
F
FF
F
F
6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…)
b) Para dos Grupos Concéntricos de Pernos
Por equilibrio:
T = ΣR1xP1 + ΣR2xF2
T = n1R1xP1 + n2R2xF2
T = τ1 A1 R1 n1 + τ2 A2 R2 n2
P = τ A
n = Número de Pernos
A = Área del Perno
Las deformaciones angulares en los
pernos son proporcionales a sus
distancias al eje del árbol
=
6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…)
b) Para dos Grupos Concéntricos de Pernos
Para pernos de igual material
=
=
=
7. Transmisión de Potencia
También a menudo se reporta la frecuencia de una maquina f, la cual
indica el número de revoluciones o ciclos por segundo.
Entonces, la potencia puede ser expresada en términos de la frecuencia.
P = Tω …………………. (1)
ω = 2 ∏ f………………. (2)
T = P / (2 ∏ f) ………………. (3)
Donde:
P: Potencia (W = N.m/s)
T: Par de Torsión (N.m)
f: Frecuencia de rotación expresada en Hertz (1Hz = 1ciclo/s)
	 … … … … … … … … . . 		 ó Á
8. Esfuerzo Cortante Longitudinal
 M gh  Fdx  F´rd  0 F  A
 M g h  dr rd dx  dr dx rd  0
  ´ 0
  ´
Hasta ahora se ha considerado el esfuerzo cortante que se produce en las
secciones transversales. Sin embargo, también aparece un esfuerzo
longitudinal de dirección perpendicular al anterior y del mismo modulo.
9. Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante
F1  q1L , F2  q2 L
q1L  q2 L q1  q2
Relacionando el flujo cortante con el par de torsión
Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:
Aplicando las condiciones de equilibrio:
T   rqdL
τ , … … … … … … … . . 	
/
/
9. Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante
(continuación…)
Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:
T   rqdL
Esfuerzo cortante medio en cualquier espesor “t”.
t  q
	
2
	
	
2
(r) dL= 2A
2
10. Torsión en Barras No Circulares
Denotando con L la longitud de la barra, con a y b, respectivamente, el lado
más ancho y el más angosto de su sección transversal y con T la magnitud de
los pares de torsión aplicados a la barra
Esfuerzo cortante máximo
Angulo de Giro
max 	
1	 	 ∅
2
11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica
11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica(continuación…)
a) Cargas directas iguales
b) Distribución de las Cargas de Momento
c) Cargas resultantes
	
	
	 	
	 +
J = A ( ∑ 	∑
	
	 ∑ ∑
	
	
∑ ∑
11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica(continuación…)
EJEMPLO:
El eje vertical AD está unido a una base fija en D y sometido a los torques
indicados. Un hueco de 44 mm de diámetro ha sido perforado en la porción
CD del eje. Sabiendo que todo el eje está hecho de acero con G = 80 GPa,
determine el ángulo de torsión en el extremo A.
SOLUCIÓN:
En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD, cada una de sección
uniforme y con torque interno constante, además el sistema está en equilibrio,
luego:
Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:
NmTTNm ABAB 2500250 
Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar
NmTTNmNm BCBC 225002000250 
No hay torque aplicado en C entonces : NmTT BCCD 2250
El ángulo de torsión en A será:
)(
1
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
i
ii
J
LT
J
LT
J
LT
GGJ
LT
 
 











4444
)044,0()06,0(
32
)6,0)(2250(
)06,0(
32
)2,0)(2250(
)03,0(
32
)4,0)(250(
80
1
m
mNm
m
mNm
m
mNm
GPa
A


º22,2)
2
º360
(0388,0 
rad
radA

 º22,2A
EJEMPLO:
Para el eje cilíndrico hueco que se muestra en la figura:
a) Cual es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no debe pasar de 120 MPa.
b) Cual es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante?
SOLUCIÓN:
a) como
J
Tr
J
T
 max


De donde:
extr
J
T
r
J
T
)()( max
max
max 

 
m
mmPax
T
030,0
)040.0()060,0(
32
)10120( 446
max



kNmT 08,4max 
b) El esfuerzo cortante mínimo lo podemos deducir del gráfico siguiente:
max
2
1
min
1
min
2
max


r
r
rr

)120(
03,0
02,0
min MPa
m
m

MPa80min 
La polea de la figura se une al eje en el que va montada por medio de una chaveta de
1x1x6 cm. El eje tiene un diámetro de 5 cm y la polea transmite una potencia de 15
HP, girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de cortadura en la chaveta
watt
HP
watt
HPP 5,11032)
1
5,735
(15 
srad
srev
radrev
/56,12)
60
min1
)(
1
2
(
min1
120



SOLUCIÓN:
La potencia y la velocidad angular la debemos
expresar en unidades que nos permitan
simplificaciones
El momento torsor es:
Nm
srad
sNmP
T 38,878
/56,12
/5,11032


EJEMPLO:
Debido a que el sistema está en equilibrio:
N
m
Nm
r
T
FFrT 6,35117
025,0
94,877

Esta fuerza actuando sobre la sección recta de la chaveta el valor del
esfuerzo en esta sección
La sección recta de la chaveta tiene un área de:
242
1066)6(1 mxcmcmcmA 

Luego el esfuerzo será:
MPa
mx
N
S
F
5,58
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Torsion (3)

  • 2. Contenido 1.Objetivo 2.Introducción 3.Hipótesis 4.Deducción de las Formulas de Torsión 5.Distribución de Esfuerzo de Corte 6.Acoplamiento por Medio de Bridas 7.Transmisión de Potencia 8.Esfuerzo Cortante Longitudinal 9.Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante 10.Torsión en Barras no Circulares 11.Uniones Conectadas con Carga Excéntrica
  • 3. 1.Objetivo Después del estudio de este tema el alumno será capaz de: 1. Definir par de torsión 2. Calcular los esfuerzos cortantes en un miembro estructural sometido a cargas de torsión. 3. Calcular el ángulo de deformación torsional. 4. Especificar un diseño conveniente por esfuerzo de cortante. 5. De analizar los acoplamientos por medios de juntas bridas. 6. Determinar la naturaleza de los esfuerzos cortantes longitudinales. 7. Analizar tubos de pared del delgada sometidos a torsión. 8. Estudiar el comportamiento de secciones no circulares sometidas a torsión.
  • 4. 2. Introducción Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria. Un momento de torsión o par torsor es aquel que tiende a hacer girar un miembro respecto a su eje longitudinal.
  • 5. 2. Introducción (continuación…) Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el hule, por ejemplo. Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con el mismo ángulo a los círculos transversales.
  • 6. Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se muestra. 2. Introducción (continuación…)
  • 7. a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. b) Las secciones transversales se mantienen planas y no se alabean después de la torsión. c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. d) El árbol esta sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. e) Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material y los esfuerzos no sobrepasan el limite de proporcionalidad 3. Hipótesis
  • 8. 3. Hipótesis (continuación…) Eje sin deformar Eje deformado
  • 9. 3. Hipótesis (continuación…) Eje sin deformar Eje deformado Líneas se convierten hélices Radio sin alteración Círculos mantienen su forma
  • 10. 4. Deducción de las Formulas de Torsión γ A B ρ ρ Ф A’ T T L O O’ ∅ ∅ …………….. (I) ó ( = G … … … … … … . .
  • 11. 4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…) Reemplazando (I) en (II) ∅ ………………. (III) (Ecuación de Compatibilidad) G: Modulo de Rigidez al Cortante : Esfuerzo Cortante ∅: Angulo de Giro : Radio de la sección Transversal Sección M-N ρ T O dF = dA
  • 12. 4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…) (a) en (IV) T = Tr = T = dF = T = Reemplazando (III) en (V) T= ∅ / ∅/L T = ∅
  • 13. 4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…) …………………………. (VI) De (VI) y (III) G: Modulo de Rigidez al Cortante ∅: Angulo de Giro en Radianes J: Momento de Inercia Polar : Momento Torsor : Esfuerzo Cortante
  • 14. 4. Deducción de las Formulas de Torsión (continuación…) Convención de Signos Uso de la mano derecha, según la cual tanto el par de torsión como el ángulo de torsión serán positivos si el pulgar esté dirigido hacia afuera del eje
  • 15. 5. Distribución de Esfuerzos de Corte a) Árbol Circular Sólido
  • 16. 5. Distribución de Esfuerzos de Corte(continuación…) b) Árbol Circular Hueco
  • 17. 6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos a) Para un Grupo Concéntrico de Pernos F F FF F F
  • 18. 6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…) a) Para un Grupo Concéntrico de Pernos Por equilibrio: T = ΣRxF T = n R F F = τ A n = Número de Pernos A = Área del Perno T = τ A R n F F FF F F
  • 19. 6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…) b) Para dos Grupos Concéntricos de Pernos Por equilibrio: T = ΣR1xP1 + ΣR2xF2 T = n1R1xP1 + n2R2xF2 T = τ1 A1 R1 n1 + τ2 A2 R2 n2 P = τ A n = Número de Pernos A = Área del Perno Las deformaciones angulares en los pernos son proporcionales a sus distancias al eje del árbol =
  • 20. 6. Acoplamiento por Bridas Empernadas - Discos (continuación…) b) Para dos Grupos Concéntricos de Pernos Para pernos de igual material = = =
  • 21. 7. Transmisión de Potencia También a menudo se reporta la frecuencia de una maquina f, la cual indica el número de revoluciones o ciclos por segundo. Entonces, la potencia puede ser expresada en términos de la frecuencia. P = Tω …………………. (1) ω = 2 ∏ f………………. (2) T = P / (2 ∏ f) ………………. (3) Donde: P: Potencia (W = N.m/s) T: Par de Torsión (N.m) f: Frecuencia de rotación expresada en Hertz (1Hz = 1ciclo/s) … … … … … … … … . . ó Á
  • 22. 8. Esfuerzo Cortante Longitudinal  M gh  Fdx  F´rd  0 F  A  M g h  dr rd dx  dr dx rd  0   ´ 0   ´ Hasta ahora se ha considerado el esfuerzo cortante que se produce en las secciones transversales. Sin embargo, también aparece un esfuerzo longitudinal de dirección perpendicular al anterior y del mismo modulo.
  • 23. 9. Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante F1  q1L , F2  q2 L q1L  q2 L q1  q2 Relacionando el flujo cortante con el par de torsión Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son: Aplicando las condiciones de equilibrio: T   rqdL τ , … … … … … … … . . / /
  • 24. 9. Torsión de Tubos de Pared Delgada; Flujo de Cortante (continuación…) Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son: T   rqdL Esfuerzo cortante medio en cualquier espesor “t”. t  q 2 2 (r) dL= 2A 2
  • 25. 10. Torsión en Barras No Circulares Denotando con L la longitud de la barra, con a y b, respectivamente, el lado más ancho y el más angosto de su sección transversal y con T la magnitud de los pares de torsión aplicados a la barra Esfuerzo cortante máximo Angulo de Giro max 1 ∅ 2
  • 26. 11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica
  • 27. 11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica(continuación…) a) Cargas directas iguales b) Distribución de las Cargas de Momento c) Cargas resultantes + J = A ( ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
  • 28. 11. Uniones Conectadas con Carga Excéntrica(continuación…)
  • 29. EJEMPLO: El eje vertical AD está unido a una base fija en D y sometido a los torques indicados. Un hueco de 44 mm de diámetro ha sido perforado en la porción CD del eje. Sabiendo que todo el eje está hecho de acero con G = 80 GPa, determine el ángulo de torsión en el extremo A. SOLUCIÓN: En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD, cada una de sección uniforme y con torque interno constante, además el sistema está en equilibrio, luego: Podemos hacer un corte entre A y B, entonces: NmTTNm ABAB 2500250  Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar NmTTNmNm BCBC 225002000250 
  • 30. No hay torque aplicado en C entonces : NmTT BCCD 2250 El ángulo de torsión en A será: )( 1 CD CDCD BC BCBC AB ABAB i ii J LT J LT J LT GGJ LT                4444 )044,0()06,0( 32 )6,0)(2250( )06,0( 32 )2,0)(2250( )03,0( 32 )4,0)(250( 80 1 m mNm m mNm m mNm GPa A   º22,2) 2 º360 (0388,0  rad radA   º22,2A
  • 31. EJEMPLO: Para el eje cilíndrico hueco que se muestra en la figura: a) Cual es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no debe pasar de 120 MPa. b) Cual es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante? SOLUCIÓN: a) como J Tr J T  max   De donde: extr J T r J T )()( max max max     m mmPax T 030,0 )040.0()060,0( 32 )10120( 446 max    kNmT 08,4max 
  • 32. b) El esfuerzo cortante mínimo lo podemos deducir del gráfico siguiente: max 2 1 min 1 min 2 max   r r rr  )120( 03,0 02,0 min MPa m m  MPa80min 
  • 33. La polea de la figura se une al eje en el que va montada por medio de una chaveta de 1x1x6 cm. El eje tiene un diámetro de 5 cm y la polea transmite una potencia de 15 HP, girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de cortadura en la chaveta watt HP watt HPP 5,11032) 1 5,735 (15  srad srev radrev /56,12) 60 min1 )( 1 2 ( min1 120    SOLUCIÓN: La potencia y la velocidad angular la debemos expresar en unidades que nos permitan simplificaciones El momento torsor es: Nm srad sNmP T 38,878 /56,12 /5,11032   EJEMPLO:
  • 34. Debido a que el sistema está en equilibrio: N m Nm r T FFrT 6,35117 025,0 94,877  Esta fuerza actuando sobre la sección recta de la chaveta el valor del esfuerzo en esta sección La sección recta de la chaveta tiene un área de: 242 1066)6(1 mxcmcmcmA   Luego el esfuerzo será: MPa mx N S F 5,58 106 5,35117 24    MPa5,58