El documento describe el movimiento armónico simple y varios sistemas que exhiben este tipo de movimiento. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico y vibratorio producido por una fuerza recuperadora directamente proporcional a la posición. Dos ejemplos son el péndulo simple, donde una masa oscila debido a la gravedad, y el sistema masa-resorte, donde una masa unida a un resorte oscila en torno a su posición de equilibrio.

1. 1.Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio fásico. Las
órbita es periódica.
El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento
vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en
ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es
directamente proporcional a la posición, y que queda descrito en función del tiempo por
una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese
más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un
m.a.s.
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila
alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal
manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una
sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a
su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste
Cinemática del movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo
oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en
intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle
oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le
separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Péndulo simple
El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema
idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o
mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica
de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría
Método de Newton
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la
partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical,
y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo
la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -
Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la

2. longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea
armónico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del
movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su
propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial
del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para
manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza
recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner
siendo la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la
presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del
péndulo simple no es armónico simple, en general.
Método de Lagrange
El lagrangiano del sistema es
donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y es la longitud
del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
y obtenemos la ecuación del movimiento es

3. de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo
El péndulo esun sistemafísicoque puede oscilarbajolaaccióngravitatoriauotra característica
física (elasticidad,porejemplo) yque estáconfiguradoporunamasa suspendidade unpuntoo de
un eje horizontal fijosmedianteunhilo,unavarilla,uotrodispositivoque sirve paramedirel
tiempo
SISTEMA MASA-RESORTE
Otro ejemplo de Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-resorte que
consiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como
se muestra en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.
El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en
ausencia de fuerzas externas. z a :

4. El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en
ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o
acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza
mediante una constante “k”que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que
aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesta a la fuerza externa aplicada
(si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica.
Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a :
En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con
el resorte teniendo su longitud normal.
Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo), hasta una
deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo empezará a moverse con M.A.S.
oscilando en torno a la posición de equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero
negativa, lo que indica que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la
posición de equilibrio.
Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso la
deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La fuerza será máxima pero
positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio.
A través de la Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante
(recuperadora) con la aceleración a(t).