Este documento describe los números reales y algunas de sus propiedades. Los números reales incluyen a los números positivos, negativos y cero, así como a los números enteros y racionales. También incluyen números irracionales como π y raíz cuadrada de 2. Todos los números reales pueden escribirse como números decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como números racionales e irracionales. Todos los números reales pueden escribirse como decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre. También define conceptos como valor absoluto, desigualdades e intervalos.
El documento explica las expresiones algebraicas racionales, que son fracciones donde el numerador y denominador son polinomios. Detalla cómo simplificar estas expresiones factorizando y cancelando términos iguales en el numerador y denominador. También describe cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con expresiones algebraicas, aplicando las mismas propiedades de las fracciones numéricas. Finalmente, presenta ejemplos de cómo resolver operaciones combinadas con expresiones algebraicas racionales.
Este documento trata sobre diferentes tipos de números, incluyendo números racionales, irracionales, naturales y enteros. Explica las propiedades de cada uno y cómo se pueden representar. También cubre conceptos como raíces, potencias, intervalos y aproximaciones de números.
Este documento trata sobre diferentes tipos de números, incluyendo números racionales, irracionales, naturales y enteros. Explica las propiedades de cada uno y cómo se pueden representar. También cubre conceptos como operaciones con radicales, intervalos de números reales y aproximaciones.
Este documento clasifica y define los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica. Por último, cubre conceptos como suma, resta, multiplicación, división, exponentes y raíces cuadradas.
Este documento clasifica los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica para expresar números muy grandes o pequeños.
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones donde las letras representan cantidades desconocidas llamadas variables. El lenguaje algebraico permite expresar información de forma concisa utilizando letras y símbolos. Un monomio es una expresión con un solo término, mientras que un polinomio contiene varios términos o monomios.
El documento habla sobre expresiones algebraicas. Define una expresión algebraica como una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes a través de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. Explica que las expresiones algebraicas pueden ser racionales, irracionales, enteras o fraccionarias dependiendo de los tipos de operaciones involucradas. También define polinomios como expresiones algebraicas especiales y explica conceptos como términos, monomios, binomios y trinomios.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como números racionales e irracionales. Todos los números reales pueden escribirse como decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre. También define conceptos como valor absoluto, desigualdades e intervalos.
El documento explica las expresiones algebraicas racionales, que son fracciones donde el numerador y denominador son polinomios. Detalla cómo simplificar estas expresiones factorizando y cancelando términos iguales en el numerador y denominador. También describe cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con expresiones algebraicas, aplicando las mismas propiedades de las fracciones numéricas. Finalmente, presenta ejemplos de cómo resolver operaciones combinadas con expresiones algebraicas racionales.
Este documento trata sobre diferentes tipos de números, incluyendo números racionales, irracionales, naturales y enteros. Explica las propiedades de cada uno y cómo se pueden representar. También cubre conceptos como raíces, potencias, intervalos y aproximaciones de números.
Este documento trata sobre diferentes tipos de números, incluyendo números racionales, irracionales, naturales y enteros. Explica las propiedades de cada uno y cómo se pueden representar. También cubre conceptos como operaciones con radicales, intervalos de números reales y aproximaciones.
Este documento clasifica y define los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica. Por último, cubre conceptos como suma, resta, multiplicación, división, exponentes y raíces cuadradas.
Este documento clasifica los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica para expresar números muy grandes o pequeños.
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones donde las letras representan cantidades desconocidas llamadas variables. El lenguaje algebraico permite expresar información de forma concisa utilizando letras y símbolos. Un monomio es una expresión con un solo término, mientras que un polinomio contiene varios términos o monomios.
El documento habla sobre expresiones algebraicas. Define una expresión algebraica como una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes a través de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. Explica que las expresiones algebraicas pueden ser racionales, irracionales, enteras o fraccionarias dependiendo de los tipos de operaciones involucradas. También define polinomios como expresiones algebraicas especiales y explica conceptos como términos, monomios, binomios y trinomios.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por signos de operaciones que permite formular leyes de aritmética, referirse a números desconocidos, y formular ecuaciones y relaciones funcionales. Las expresiones algebraicas incluyen elementos como coeficientes, partes literales, y pueden ser de distintos tipos como monomios, polinomios, binomios o trinomios. Se pueden sumar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas siguiendo ciertas reglas.
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra, incluyendo operaciones como adición, sustracción, multiplicación y división, así como expresiones algebraicas, términos y polinomios. 2) Explica que las letras se usan para representar cantidades desconocidas y los números cantidades conocidas. 3) Detalla las propiedades de cada operación algebraica y cómo se representan y ejecutan cada una.
Este documento define e introduce los conceptos de intervalos y curvas planas. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales que no deja huecos entre sus puntos. Define diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos, e ilustra cada uno con ejemplos. Luego introduce conceptos como el extremo superior e inferior de un conjunto acotado y explica que todo conjunto acotado tiene estos extremos aunque no necesariamente máximo o mínimo. Finalmente, define una curva plana como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación en
Este documento explica los números reales, incluyendo números racionales y su expresión decimal, números decimales periódicos y su expresión racional, números entre dos racionales, representación en la recta numérica, división de segmentos, números irracionales, números reales algebraicos y trascendentes, aproximación de raíces, relación de orden, intervalos y valor absoluto.
El documento describe seis casos principales de factorización de polinomios. Cada caso incluye las características y cuándo aplicarlo, cómo realizar la factorización y ejemplos. Los seis casos son: factor común, factor común por agrupación de términos, diferencia de cuadrados perfectos, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2n + bxn + c, y trinomio de la forma ax2n + bxn + c.
Este documento explica las fracciones algebraicas, incluyendo su definición, reglas, simplificación, signos, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones compuestas. Define una fracción algebraica como una fracción común donde las letras pueden aparecer en el numerador, denominador o ambos. Explica cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas siguiendo las mismas reglas que las fracciones aritméticas.
El documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, clasificación de polinomios, grado de polinomios, términos semejantes, ecuaciones de primer grado y su resolución. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto. El objetivo es explicar los elementos fundamentales del lenguaje algebraico para resolver problemas matemáticos.
Este documento describe diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica las propiedades de cada conjunto y cómo están relacionados entre sí. También define conceptos como intervalos y fracciones generatrices de números decimales.
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por operaciones matemáticas. Los polinomios son expresiones algebraicas donde las variables no están afectadas por raíces o divisiones, y se clasifican según la cantidad de términos en monomios, binomios, trinomios o cuatrinomios. El grado de un polinomio es el mayor exponente de su variable, y el coeficiente principal es el número que multiplica a la variable de mayor exponente.
El documento trata sobre el álgebra elemental. Explica que el álgebra usa símbolos como letras para representar cantidades desconocidas y realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Define términos como monomios, binomios, trinomios y polinomios. También cubre operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas, y factorización de expresiones algebraicas.
Este documento trata sobre los sistemas de números reales. Explica que los números reales incluyen números enteros, fracciones y números irracionales. Clasifica los números reales como racionales e irracionales, y también como algebraicos y trascendentes. Describe operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con números reales, así como propiedades importantes como conmutatividad, asociatividad y distributividad. Finalmente, introduce conceptos como axiomas de orden, inecuaciones e valor absoluto.
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales (enteros y fraccionarios), irracionales, y la forma en que se pueden expresar y aproximar. Explica que los números racionales pueden expresarse como fracciones, mientras que los irracionales no, y deben aproximarse mediante decimales. También cubre conceptos como intervalos, el orden de los números reales, y las operaciones con números aproximados.
Valor numérico de una expresión algebraicarubenleur
Para encontrar el valor numérico de una expresión, primero se debe entender la igualdad y distinguir entre identidades y ecuaciones. Una identidad es una igualdad que se cumple para cualquier valor de las literales, mientras que una ecuación solo se cumple para valores específicos de la incógnita. Para determinar el valor numérico, se asigna un valor a la incógnita y se comprueba si la igualdad se cumple; de lo contrario, es una ecuación que requiere encontrar el valor único de la incógnita que satisfaga la igualdad.
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una línea recta, con números positivos a la derecha del origen y números negativos a la izquierda. También cubre algunas reglas básicas y propiedades de las operaciones con números reales.
Las expresiones algebraicas son conjuntos de números y letras unidos por signos de operaciones aritméticas. Una expresión algebraica tiene un valor numérico que resulta de sustituir las letras por números y realizar las operaciones. Las expresiones se pueden simplificar extrayendo factores comunes o aplicando igualdades notables como que el cuadrado de una suma es igual a la suma de los cuadrados más el doble producto.
This document outlines Takeyha Bangura's career research assignment. They chose nursing as their career focus and researched the job description, working conditions, wages, career path, education and training requirements for registered nurses. They identified Morgan State University and Bowie State University as post-secondary institutions where they could develop the skills needed for nursing. Takeyha discussed relevant courses taken, volunteer experiences, and a network of five people who could help them achieve their career goal of becoming a nurse.
Este documento presenta una introducción a los trabajos realizados en el laboratorio de computación durante un curso. Se aprendieron habilidades como usar Microsoft Word, Excel, PowerPoint y OpenOffice. Estos conocimientos serán útiles en el futuro laboral. El documento está dividido en cuatro unidades que describen los temas cubiertos.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de calidad, procesos de calidad y normatividad relacionada con la calidad. Explica conceptos como calidad interna, externa, factores de calidad y procesos básicos de calidad según autores como Deming. También describe normas como la NMX, NOM y el procedimiento para su implementación. El objetivo es explicar temas clave de la unidad sobre procesos y normatividad de calidad que son fundamentales para las empresas.
Este documento é um sermão de William Branham sobre como os cristãos podem se tornar participantes da natureza divina de Cristo. Ele resume uma passagem bíblica de II Pedro 1 que lista virtudes como fé, virtude, conhecimento, temperança, paciência e amor que os cristãos devem cultivar para se aproximar de Deus e se tornar mais como Cristo. O sermão enfatiza que os cristãos devem escapar da corrupção do mundo e se esforçar para alcançar um nível mais alto em sua relação com Deus.
This document discusses blogs as a learning technology. It begins by describing what a blog is, noting that they originally published personal diaries and now posts appear from newest to oldest. It then lists some of the top blogs according to Technorati, including The Huffington Post, Mashable, and TechCrunch. The document outlines the basic steps to create a blog, which includes signing up, naming the blog, choosing a template, and writing an initial post. It concludes by explaining the potential benefits of blogging for learning, such as encouraging knowledge sharing, collaboration, and making writers think about how others will view their opinions.
Afrodesc cuaderno no. 6 Aproximations and Methodology of the Study of Racism The_Afrolatino_Project
Clara Inés Fonseca Mendoza
Institución: Universidad de Cartagena
Grupo de investigación: Texcultura
Fechas: 2008-2010
Objetivos:
- Analizar las percepciones del racismo que tienen los habitantes de Cartagena, a
través del auto-análisis que hacen de sus propias experiencias cotidianas de
confrontación con situaciones que definen como racistas.
- Conocer las formas específicas tomadas por el racismo en Cartagena, más allá de
un discurso general sobre racis
Este jornal aborda vários temas relacionados à mulher, incluindo:
1) A luta de mães de filhos deficientes por direitos básicos e o preconceito que enfrentam.
2) O aumento da população carcerária feminina devido às drogas, que levam muitas ao crime.
3) A conquista de espaços historicamente ocupados por homens, como motoristas e policiais, apesar da desigualdade salarial.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por signos de operaciones que permite formular leyes de aritmética, referirse a números desconocidos, y formular ecuaciones y relaciones funcionales. Las expresiones algebraicas incluyen elementos como coeficientes, partes literales, y pueden ser de distintos tipos como monomios, polinomios, binomios o trinomios. Se pueden sumar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas siguiendo ciertas reglas.
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra, incluyendo operaciones como adición, sustracción, multiplicación y división, así como expresiones algebraicas, términos y polinomios. 2) Explica que las letras se usan para representar cantidades desconocidas y los números cantidades conocidas. 3) Detalla las propiedades de cada operación algebraica y cómo se representan y ejecutan cada una.
Este documento define e introduce los conceptos de intervalos y curvas planas. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales que no deja huecos entre sus puntos. Define diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos, e ilustra cada uno con ejemplos. Luego introduce conceptos como el extremo superior e inferior de un conjunto acotado y explica que todo conjunto acotado tiene estos extremos aunque no necesariamente máximo o mínimo. Finalmente, define una curva plana como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación en
Este documento explica los números reales, incluyendo números racionales y su expresión decimal, números decimales periódicos y su expresión racional, números entre dos racionales, representación en la recta numérica, división de segmentos, números irracionales, números reales algebraicos y trascendentes, aproximación de raíces, relación de orden, intervalos y valor absoluto.
El documento describe seis casos principales de factorización de polinomios. Cada caso incluye las características y cuándo aplicarlo, cómo realizar la factorización y ejemplos. Los seis casos son: factor común, factor común por agrupación de términos, diferencia de cuadrados perfectos, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2n + bxn + c, y trinomio de la forma ax2n + bxn + c.
Este documento explica las fracciones algebraicas, incluyendo su definición, reglas, simplificación, signos, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones compuestas. Define una fracción algebraica como una fracción común donde las letras pueden aparecer en el numerador, denominador o ambos. Explica cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas siguiendo las mismas reglas que las fracciones aritméticas.
El documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, clasificación de polinomios, grado de polinomios, términos semejantes, ecuaciones de primer grado y su resolución. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto. El objetivo es explicar los elementos fundamentales del lenguaje algebraico para resolver problemas matemáticos.
Este documento describe diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica las propiedades de cada conjunto y cómo están relacionados entre sí. También define conceptos como intervalos y fracciones generatrices de números decimales.
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por operaciones matemáticas. Los polinomios son expresiones algebraicas donde las variables no están afectadas por raíces o divisiones, y se clasifican según la cantidad de términos en monomios, binomios, trinomios o cuatrinomios. El grado de un polinomio es el mayor exponente de su variable, y el coeficiente principal es el número que multiplica a la variable de mayor exponente.
El documento trata sobre el álgebra elemental. Explica que el álgebra usa símbolos como letras para representar cantidades desconocidas y realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Define términos como monomios, binomios, trinomios y polinomios. También cubre operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas, y factorización de expresiones algebraicas.
Este documento trata sobre los sistemas de números reales. Explica que los números reales incluyen números enteros, fracciones y números irracionales. Clasifica los números reales como racionales e irracionales, y también como algebraicos y trascendentes. Describe operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con números reales, así como propiedades importantes como conmutatividad, asociatividad y distributividad. Finalmente, introduce conceptos como axiomas de orden, inecuaciones e valor absoluto.
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales (enteros y fraccionarios), irracionales, y la forma en que se pueden expresar y aproximar. Explica que los números racionales pueden expresarse como fracciones, mientras que los irracionales no, y deben aproximarse mediante decimales. También cubre conceptos como intervalos, el orden de los números reales, y las operaciones con números aproximados.
Valor numérico de una expresión algebraicarubenleur
Para encontrar el valor numérico de una expresión, primero se debe entender la igualdad y distinguir entre identidades y ecuaciones. Una identidad es una igualdad que se cumple para cualquier valor de las literales, mientras que una ecuación solo se cumple para valores específicos de la incógnita. Para determinar el valor numérico, se asigna un valor a la incógnita y se comprueba si la igualdad se cumple; de lo contrario, es una ecuación que requiere encontrar el valor único de la incógnita que satisfaga la igualdad.
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una línea recta, con números positivos a la derecha del origen y números negativos a la izquierda. También cubre algunas reglas básicas y propiedades de las operaciones con números reales.
Las expresiones algebraicas son conjuntos de números y letras unidos por signos de operaciones aritméticas. Una expresión algebraica tiene un valor numérico que resulta de sustituir las letras por números y realizar las operaciones. Las expresiones se pueden simplificar extrayendo factores comunes o aplicando igualdades notables como que el cuadrado de una suma es igual a la suma de los cuadrados más el doble producto.
This document outlines Takeyha Bangura's career research assignment. They chose nursing as their career focus and researched the job description, working conditions, wages, career path, education and training requirements for registered nurses. They identified Morgan State University and Bowie State University as post-secondary institutions where they could develop the skills needed for nursing. Takeyha discussed relevant courses taken, volunteer experiences, and a network of five people who could help them achieve their career goal of becoming a nurse.
Este documento presenta una introducción a los trabajos realizados en el laboratorio de computación durante un curso. Se aprendieron habilidades como usar Microsoft Word, Excel, PowerPoint y OpenOffice. Estos conocimientos serán útiles en el futuro laboral. El documento está dividido en cuatro unidades que describen los temas cubiertos.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de calidad, procesos de calidad y normatividad relacionada con la calidad. Explica conceptos como calidad interna, externa, factores de calidad y procesos básicos de calidad según autores como Deming. También describe normas como la NMX, NOM y el procedimiento para su implementación. El objetivo es explicar temas clave de la unidad sobre procesos y normatividad de calidad que son fundamentales para las empresas.
Este documento é um sermão de William Branham sobre como os cristãos podem se tornar participantes da natureza divina de Cristo. Ele resume uma passagem bíblica de II Pedro 1 que lista virtudes como fé, virtude, conhecimento, temperança, paciência e amor que os cristãos devem cultivar para se aproximar de Deus e se tornar mais como Cristo. O sermão enfatiza que os cristãos devem escapar da corrupção do mundo e se esforçar para alcançar um nível mais alto em sua relação com Deus.
This document discusses blogs as a learning technology. It begins by describing what a blog is, noting that they originally published personal diaries and now posts appear from newest to oldest. It then lists some of the top blogs according to Technorati, including The Huffington Post, Mashable, and TechCrunch. The document outlines the basic steps to create a blog, which includes signing up, naming the blog, choosing a template, and writing an initial post. It concludes by explaining the potential benefits of blogging for learning, such as encouraging knowledge sharing, collaboration, and making writers think about how others will view their opinions.
Afrodesc cuaderno no. 6 Aproximations and Methodology of the Study of Racism The_Afrolatino_Project
Clara Inés Fonseca Mendoza
Institución: Universidad de Cartagena
Grupo de investigación: Texcultura
Fechas: 2008-2010
Objetivos:
- Analizar las percepciones del racismo que tienen los habitantes de Cartagena, a
través del auto-análisis que hacen de sus propias experiencias cotidianas de
confrontación con situaciones que definen como racistas.
- Conocer las formas específicas tomadas por el racismo en Cartagena, más allá de
un discurso general sobre racis
Este jornal aborda vários temas relacionados à mulher, incluindo:
1) A luta de mães de filhos deficientes por direitos básicos e o preconceito que enfrentam.
2) O aumento da população carcerária feminina devido às drogas, que levam muitas ao crime.
3) A conquista de espaços historicamente ocupados por homens, como motoristas e policiais, apesar da desigualdade salarial.
Physiological needs are the most basic needs like food, water, shelter, etc. Safety needs involve security and stability. Belongingness and love needs are about intimate relationships and connections with others. Esteem needs relate to achieving, being competent, and gaining recognition. Self-actualization involves realizing one's full potential and pursuing personal growth.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como números racionales e irracionales. Todos los números reales pueden escribirse como decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre. También define conceptos como valor absoluto, desigualdades e intervalos.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como números racionales e irracionales. Todos los números reales pueden escribirse como decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre. También define conceptos como valor absoluto, desigualdades e intervalos.
1) El documento presenta información sobre números reales e incluye definiciones de números naturales, enteros, racionales e irracionales.
2) Se describen propiedades de operaciones como potencias, radicales, expresiones decimales y logaritmos.
3) Se explican conceptos como valor absoluto, intervalos y cómo aproximar números reales usando notación científica.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números reales e intervalos. Explica que los números reales (R) incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Define intervalos abiertos, cerrados e infinitos y describe operaciones como unión e intersección. Luego introduce conceptos fundamentales de funciones como dominio, periodicidad y simetría. Finalmente, define funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y radicales.
Este documento trata sobre diferentes tipos de números, incluyendo números racionales, irracionales, naturales y enteros. Explica las propiedades de cada uno y cómo se pueden representar. También cubre conceptos como operaciones con radicales, intervalos de números reales y aproximaciones.
Este documento trata sobre diferentes tipos de números. Explica números racionales como fracciones y decimales periódicos, e irracionales como raíces cuadradas que son decimales no periódicos. También cubre números naturales, enteros y reales, así como operaciones con ellos.
Este documento trata sobre diferentes tipos de números, incluyendo números racionales, irracionales, naturales y enteros. Explica las propiedades de cada uno y cómo se pueden representar. También cubre conceptos como operaciones con radicales, intervalos de números reales y aproximaciones.
Este documento trata sobre diferentes tipos de números, incluyendo números racionales, irracionales, naturales y enteros. Explica las propiedades de cada uno y cómo se pueden representar. También cubre conceptos como operaciones con radicales, intervalos de números reales y aproximaciones.
El documento describe los números reales. Explica que los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como los números enteros y racionales. También incluyen números irracionales como π y e. Todos los números reales pueden escribirse como números decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre.
Este documento presenta los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica sus propiedades y cómo se pueden representar, sumar, multiplicar y dividir. También define conceptos como intervalos, valor absoluto, distancia y entornos.
Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como números reales, la recta numérica, valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones, exponentes, radicales y propiedades. Explica los números reales como la unión de números racionales e irracionales. Describe la recta numérica y cómo se representan números positivos y negativos. Define el valor absoluto y cómo se relaciona con magnitud y distancia. Luego, cubre ecuaciones, inecuaciones, y cómo resolverlas. Finalmente, explica exponentes, radicales, y sus prop
TEMAS
*Definición de Conjuntos.
*Operaciones con conjuntos.
*Números Reales
*Desigualdades.
*Definición de Valor Absoluto
*Desigualdades con Valor Absoluto
Este documento define desigualdades e inecuaciones. Define signos de relación como >, <, ≥ y ≤ y sus usos para comparar números reales. Explica conceptos como intervalos, propiedades de desigualdades, axiomas, teoremas y métodos para resolver inecuaciones de primer, segundo y mayor grado.
Este documento trata sobre los números reales y operaciones con conjuntos. Los números reales incluyen números racionales e irracionales y pueden representarse en una recta infinita. Se definen conjuntos y se describen operaciones como unión, intersección y diferencia. También se explican desigualdades y desigualdades con valor absoluto, resolviendo ejemplos.
1) La potenciación indica el número de veces que la base debe multiplicarse por sí misma. 2) Existen diferentes tipos de potencias como potencia de potencia y potencia de exponente uno. 3) Todo número elevado a cero es igual a la unidad.
1. Este documento presenta el syllabus de la asignatura Álgebra de la carrera de Gas y Petróleo. La asignatura tiene 100 horas totales, 70 horas teóricas y 30 horas prácticas. Cubre temas como números reales, expresiones algebraicas, operaciones algebraicas y división de polinomios.
2. El álgebra estudia la simplificación y generalización de cuestiones numéricas a través del uso de fórmulas y símbolos en lugar de números específicos. Incluye conceptos como monomios, polinomios
Ing esta es mi tarea Lourdes Isabel Martinez Menacho
https://es.slideshare.net/martinezmenacho/lgebra-final-24449486/edit?utm_source=ss&utm_medium=upload&utm_campaign=quick-edit
Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales usando símbolos como >, <, ≥, ≤. Explica desigualdades absolutas y relativas. Luego define intervalos numéricos como subconjuntos de números reales comprendidos entre dos extremos, sean finitos o infinitos. Finalmente describe operaciones básicas con intervalos como unión, intersección y diferencia.
El primer documento explica cómo representar números enteros en la recta numérica, incluyendo números positivos y negativos. El segundo documento trata sobre cómo representar números decimales en la recta numérica transformándolos primero a fracciones. El tercer documento cubre el producto, división y elevación de potencias.
Presentacion de la UNIDAD 1 por Veronica RagaUPTAEB
Esta es mi presentación sobre los números reales, desigualdades, valor absoluto y algunas operaciones con estos conceptos, espero sean de su agrado.
Por Verónica Raga PNFCP
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
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Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
Inteligencia Artificial para Docentes HIA Ccesa007.pdf
Calculo diferencial e integral
1.
2.
3. Los números reales es el conjunto de todos los números:
los positivos, los negativos y el cero.
- Los números reales incluyen a todos los enteros.
- Los números reales incluyen a todos los números racionales,
es decir, aquellos que se pueden poner como el cociente de
dos números enteros.
- También incluyen a los números irracionales, como , 2,
que no pueden ser escrito
e
como el cociente de dos números
enteros
4. Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden:
Terminar
Repetirse indefinidamente
Continuar para siempre
5. Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden terminar.
Ejemplos:
-5
2
0.4
5
3
0.75
4
6. Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden repetirse
indefinidamente
Ejemplos:
1
0.333333333333...
3
0.2121212121212121...
7. Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal.
Los números decimales pueden continuar para siempre.
Ejemplos:
=3.1415926535897932384626433832795028841
971693993751058209749445923078
16406286208
998628034825342117068...
2.7182818284590452353602874713526624977
57247093699959574966967627724076630353547
594571382178525166427...
2=1.414213562373095048801688724209698078
5696718753769480731
e
76679737990732478462107
038850387534327641573...
8. Ley de tricotomía
Para cualesquiera dos elementos y en una y
solamente una de las siguientes relaciones se verifica:
, ,
Ley transitiva
Si y , entonces
Si , entonces, para todo
a b R
a b a b a b
a b b c a c
a b c
,
Si y 0 , entonces
R a c b c
a b c ac bc
9. El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud”
de un número, independientemente de su signo.
Si tenemos un número real x su valor absoluto se
escribe │x│.
•El valor absoluto de 7 es 7
•El valor absoluto de –π es π
•El valor absoluto de -3 es 3
El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valor
absoluto, 20
10. Si es un número real distinto de cero, entonces
o o es positivo.
Aquél de los dos que es positivo es llamado
valor absoluto de .
El valor absoluto de un número real ,
denotado por , se define por
a
a a
a
a
a
la regla
si 0
y
si 0
a a a
a a a
11. En la recta real, el valor absoluto de un
número es su distancia al 0 (al origen)
0x
Valor absoluto
12. Una desigualdad o inecuación es una relación
matemática que hace uso de la forma en que los
números reales están ordenados.
•La desigualdad 7<11 dice que el número 7 es menor
que el 11
•La desigualdad x2≥0 expresa el hecho que el
cuadrado de cualquier número real siempre es mayor
o igual que cero
Las desigualdades aparecen constantemente en todos
los campos de las matemáticas y en todas las áreas de
su aplicación
13. La solución de una desigualdad como -2x+6>0 son
los valores de x para los cuales la expresión -2x+6
es siempre mayor que cero.
Las reglas del álgebra pueden ser aplicadas para
resolver las desigualdades (como se hacen con una
igualdad), excepto que la dirección de la desigualdad
debe ser invertida cuando se multiplica o divide por
números negativos
15. 2
Si y , entonces
Si , entonces
Si y 0, entonces
Si 0, entonces 0
a b c d a c b d
a b a b
a b c ac bc
a a
16. 1
Si 0 y 0 , entonces
Si y tiene el mismo signo 0
Si y tiene diferente signo 0
tiene el mismo signo que
a b c d ac bd
a b ab
a b ab
a a
17. 1 1
2 2
2
Si y tiene el mismo signo y , entonces
Si 0 y 0, entonces si y sólo si
Si 0, entonces si y sólo si ó
a b a b a b
a b a b a b
b a b a b a b
18. Resolver la desigualdad 3 5 3
3 5 3
3 5 5 3 5
2 8
4
La solución está dada por todos los
números reales mayores que 4
x x
x x
x x x x
x
x
19. 2
2
2
2
2
2
Resolver la desigualdad 2 6 0
2 6 0
1
3 0
2
1 49 49
3
2 16 16
1 1 49
2 16 16
1 49
4 16
x x
x x
x x
x x
x x
x
20. 2
2
Resolver la desigualdad 2 6 0
1 49
4 16
1 7 1 7
ó
4 4 4 4
3
ó 2
2
La solución está dada por todos los números reales
3
mayores que ó números reales menores
2
x x
x
x x
x x
que 2
21.
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
,
Nota: El intervalo abierto no in
Interva
cluye "los extremos",
de ahí
lo
su nomb
abierto ,
re
x
a x b
a b x
a b
R a x b
a b
22.
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
,
Nota: El intervalo cerrado in
Interval
cluye "los extremos",
de ahí su n
o cerrado ,
ombre
x
a x b
a b
a
R x
b
x a b
a b
23.
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
( , ]
Nota: El intervalo cerrado no incl
Intervalo abie
uye el extremo
izquierdo y sí in
rto-cerrado ( , ]
cluye el derecho
a b
x
a x b
a b x R a x b
a b
24.
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
[ , )
Nota: El intervalo cerrado incl
Intervalo abie
uye el extremo
izquierdo y no incluye
rto-cerra
el d
do
er
[ , )
echo
a b
x
a x b
a b x R a x b
a b
25.
,
[ , )
,
( , ]
,
a x R x a
a x R x a
a x R x a
a x R x a
x R
26.
27. De manera intuitiva podemos decir
que una función es una relación
entre dos magnitudes, de tal manera
que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la
segunda.
28. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.
Una función de A en B es una asociación de
un único elemento de B con todos y cada uno
de los elementos de A.
•El conjunto A es llamado el dominio de la
función.
•El conjunto B se llama contradominio ó
codominio de la función.
29. •Todos los elementos del dominio tiene que
tener asociado un elemento del contradominio
•A un elemento del dominio se le asociara un
único elemento del contradominio
•Elementos del contradominio pueden tener
asociados más de un elemento del dominio
33. Conjunto
de seres
humanos
A cada ser humano
se le asocia su
padre biológico
•Todo elemento del dominio tiene asociado un único
elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un
único padre biológico
•No todo elemento del contradominio tiene asociado un
elemento del dominio. No todo ser humano es un padre
biológico
Conjunto
de seres
humanos
34. Sean y dos conjuntos arbitrarios.
Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los elementos de
se les asocia un único elemento de .
El conjunto
A B
A B
A B A
B
A se llama de la función.
Al conjunto
dominio
codominiose le cdenomina ontradomio .nioB
35.
Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función : el rango de , es el conjunto
Rango de : para
f A B f
f x B x f a
Evidentemente el rango de es un subconunto del
contradominio:
El rango de Rango de Cont
alguna
radomini deo
a
f f
A
f
44. Definimos una función de x en y como
toda aplicación (regla, criterio
perfectamente definido), que a un
número x (variable independiente), le
hace corresponder un número y (y solo
uno llamado variable dependiente).
45. Se llama función real de variable real a
toda aplicación f de un subconjunto no
vacío D de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o
criterio que se puede expresar por una fórmula matemática.
La variable x recibe el nombre de variable independiente y la
y ó f(x) variable dependiente o imagen.
46.
47. Una función real de una variable
real es una función cuyo dominio
es un subconjunto de los números
reales y su contradominio son los
números reales.
Su rango es también un
subconjunto de los reales.
48. El subconjunto D de números reales que
tienen imagen se llama Dominio de definición
de la función f y se representa D(f).
Nota
El dominio de una función puede estar
limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza
del problema que representa.
2.- Por la expresión algebraica que
define el criterio.
49. : 3 2
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
f R R y f x x
50. : 3 2f R R y f x x
x f(x)
0 2
1 5
-1 -1
2 8
-2 -4
3 11
-3 -7
4 14
-4 -10
5 17
-5 -13
x f(x)
0.10 2.30
1.76 7.28
-3.45 -8.35
8.97 28.91
2.34 9.02
13.33 41.99
1.41 6.23
16.77 52.31
-44.44 -131.32
0.01 2.03
-123.00 -367.00
51. : exp
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
positivos
x
f R R y x e
52. exp: exp x
R R y x e
x f(x)
0.10 1.1051709
11.88 144,350.5506832
-3.45 0.0317456
8.97 7,863.6016055
2.34 10.3812366
13.33 615,382.9278900
6.99 1,085.7214762
-91.23 0.0000000
2.22 9.2073309
0.50 1.6487213
-12.45 0.0000039
x f(x)
0.00 1.000
1.00 2.718
-1.00 0.368
2.00 7.389
-2.00 0.135
3.00 20.086
-3.00 0.050
4.00 54.598
-4.00 0.018
5.00 148.413
-5.00 0.007
53. log : (0, ) ln
Su dominio son todos los números reales
positivos, ya que no existen el logaritmo de
un número negativo
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
R y x
55. 2
Definición
La gráfica de la función es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación ( )
, ,
f
y f x
G x y R x f x
60. 1 1 2 2
s 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y
Se llama función suma de ambas, a la función:
Análogamente podemos definir la funci
y f (x) y f (x).
y y y f (x) f (x).
d 1 2 1 2
El dominio de definición de la función suma, y también el de la
función diferencia será la intersecci
ón diferencia c
ón de los dominios de am
omo
bas
funciones.
y y y f (x) f (x)
61. 1 1 2 2
p 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) ( ).
Se llama función producto de ambas, a la función:
( ) ( )
Análogamente a lo que o
y f x y y f x
y y y f x f x
curre con las funciones suma y diferencia,
el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección
de los dominios.
62.
1 1 2
11
C
2 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) y ( ).
Se llama función cociente de ambas, a la función:
= =
El dominio de definic
y f x y f x
f xy
y
y f x
2
ión de esta función es la intersección de los
dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que
serán puntos que anulen el denominador de dicha función.
f x
63.
Dadas dos funciones ( ), ( ),
se llama función compuesta
a la función
Para que exista la función compuesta es necesario
que el recorrido de la función quede totalmente
incluido en el
y f x z g y
g f
g f x g f x
f
dominio de la función .
Dominio Dom tales que Dom
g
g f x f f x g
64.
2
2
2
( ) 2 6, ( ) ,
La función compuesta es en este caso
2 6
El dominio de la función compuesta son aquellos
valores de para los que se cumple que
2 6 0
Esa desigualdad la resolvimo
y f x x x z g y y
g f x x x
x
x x
s (con >) y da
3
Dominio y 2
2
g f x R x x
65.
2
2
2
( ) , ( ) sin ,
La función compuesta es en este caso
sin
Es claro que el rango de la función queda totalmente
incluido en el dominio de la función sin .
Dominio
y f x x z g y y
g f x x
x
y
g f R
66.
1
1
( ) , ( ) exp = ,
La función compuesta es en este caso
Dominio 0
y
x
y f x z g y y e
x
g f x e
g f R
67. Se llama función identidad a la función que le hace
corresponder a cada número real el propio número.
Se representa por ( ).
*El dominio de la función identidad
son todos los números reales
*El contradom
I x
inio o codominio de la función identidad
son todos los numeros reales
*El rango de la función identidad
son todos los números reales
69. Una función se dice
inyectiva o función uno a uno
si verifica que dos puntos
distintos no pueden tener
la misma imagen.
f
70. Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no pue
Una relación lineal (cualquier recta
den tener la mi
)
es inyectiva ó uno
sma ima
a uno
gen.
y mx b
f
71. 2
Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no puede
Una relación cuadrática (una parábola)
es inyectiva ó uno a uno
n tener la misma imag
4
en
NO
.
y x
f
72.
1
1
Sea una función.
Llamamos función inversa (en caso de que exista)
a una función notada que verifica que
con ( ) la función identidad.
Para que exista la función inversa de es nec
y f(x)
f x
f f x I x
I x
f
esario
que la función sea inyectiva.f
73.
ln
La función exponencial
exp : exp
tiene como inversa a la función logaritmo
ln : ln
Como
ln
tenemos
ln exp
x
x x
R R y x e
R R y x
x e e
I
86. El concepto de “límite” describe
el comportamiento de una
función cuando su argumento se
“acerca” a algún punto o se
vuelve extremadamente grande
87.
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a .
Se dice "el límite de en , cuand
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
f x
o se aproxima a , es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
x c L
f x L
f x c
88.
2
2
2
Nota 1.- El dominio
: 5 7
¿Cuál es e
de la función
l límite de esta función c
son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de la función
uando tiende
o se acerca a 2?
¿lim 5 7 ?
son tod
x
g R R g x x
x
x
os los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R
89. 2
: 5 7g R R g x x
2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
90. 2
: 5 7g R R g x x
2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
91. 2
: 5 7g R R g x x
13
2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
92.
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 13
x
g R R g x x
x
x
93.
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 1
E
3
n este caso, lim
x
x c
g R R g x x
x
x
f x f c
94.
1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales positivos menos e
1
: (0, ) 1
1
¿Cuál es el límite de esta función
l 1
Nota 2.-
cuando tiende
o se acerca a 1?
1
¿lim ?
E
1
l
x
x
Q R Q x
x
x
x
x
contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R
95.
1
:(0, ) 1
1
x
Q R Q x
x
1
1
¿lim ?
1x
x
x
96.
1
1
:(0, ) 1
1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
1
lim 2
1x
x
Q R Q x
x
x
x
x
97.
1
1
:(0, ) 1
1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 1?
1
lim 2
1
Sin embargo, la función ni siquiera está definida en
1
x
x
Q R Q x
x
x
x
x
x
98.
2
5
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de
3 4 5
:
5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerc
la fu
a a 1?
¿li
nción
m ?
x
x x
a R R a x
x x
x
a x
son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
menos el intervalo (11,25]
99. 2
3 4 5
:
5
x x
a R R a x
x x
5
¿lim ?
x
a x
100.
2
5
3 4 5
:
5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 5
Si nos acercamos por la izquierda
No exi
tiende a 11
Si nos acercamos por la derecha tiende a 25
?
l steim
x
x x
a R R a x
x x
x
a x
101.
0
Nota 1.- El dominio de la
1
: 0
¿Cuál es el lím
función son todos
ite de esta función cuando tiende
o
los números
reales menos el cero
Nota
se acerca a 0?
1
¿
2.- El contradom
l
i
im ?
nio de la funci
x
E R R E x
x
x
x
ón son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
102.
1
: 0E R R E x
x
0
1
¿lim ?
x x
103.
0
No existe
Si
1
: 0
¿
nos
Cuál es
acercamo
el límite de est
s por la izquier
a función cuando tiende
o se ac
da tiende a
Si nos acercamo
e
s
rca a
por la derecha tiende a
1
+
0?
lim
x
E R R E x
x
x
x
105.
1
: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E x
x
x
106.
1
: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E x
x
x
107.
1
: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
l 0im
x
E R R E x
x
x
E x
108.
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda.
Se dice "el límit
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
e de en , cuando se aproxima a por
la izquierda, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x c
L
f x L
f x c
109.
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha.
Se dice "el límite
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
de en , cuando se aproxima a por
la derecha, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x c
L
f x L
f x c
110.
0
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales menos el cero
Nota 2.- El contrad
sin
: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca
ominio
a 0?
si
d
n
¿li
e
m ?
x
x
f R R y f x
x
x
x
x
la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R
111.
sin
: 0
x
f R R y f x
x
0
sin
¿lim ?
x
x
x
112.
sin
: 0
x
f R R y f x
x
0
Si 0,
sin
y
sin
lim 1
x
x
x
f x
x
x
x
0
Si 0,
sin
y
sin
lim 1
x
x
x
f x
x
x
x
113.
sin
: 0
x
f R R y f x
x
El límite por la izquierda es 1
El límite por la derecha es +1
0 0
sin sin
Dado que lim lim , el límite no existe
x x
x x
x x
114. 2
: 5 7g R R g x x
En todo el dominio, el límite
por la derecha y el límite por
la izquierda son iguales
115.
1
:(0, ) 1
1
x
Q R Q x
x
En todo el dominio, el límite
por la derecha y el límite por
la izquierda son iguales
116. 2
3 4 5
:
5
x x
a R R a x
x x
En todo el dominio, excepto en 5,
el límite por la derecha y el límite
por la izquierda son iguales.
En 5 son 25 y 11
respectivamente
117.
1
: 0E R R E x
x
En todo el dominio, excepto en 0,
el límite por la derecha y el límite
por la izquierda son iguales.
En 0 son +∞ y -∞
respectivamente
118.
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
i).- lim lim + lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
af x bg x a f x b g x
119.
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
ii).- lim lim lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
f x g x f x g x
120.
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
lim
iii).- lim / si lim 0
lim
x x
x
x x
x
f D R R g C R R
f x g x
f x
f x g x g x
g x
121.
122. De manera intuitiva podemos decir que una
función es continua cuando pequeños
cambios en la variable independiente
generan pequeños cambios en la variable
dependiente.
De manera imprecisa podemos decir que
son aquellas funciones que se “dibujan sin
separar el lápiz del papel”
123.
Una función es continua en el punto de su dominio si:
a) está definida, es decir, está en el
Si una función es continua en todos los
dominio
puntos de su
dominio se le denom
de
)
i
lim
x c
f x c
f c c f
b f x f c
na continua
Si una función no es continua entonces es discontinua
125.
3
2
:
5 2
x x
h R R y h x
x
•Es discontinua en x=-2
•Es continua en todos los
otros puntos del dominio
126.
Si y son continuas en el punto de su dominio
y , son números reales arbitrarios, entonces:
i).- es continua en
ii).- es continua en
iii).- es continua en , siempre y cua
f x g x c
a b
af x bg x c
f x g x c
f x
c
g x
ndo
0g c
127.
128. •La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?
132. 2
3 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
133. 2
3 20y f x x x
¿Cómo cambia la función entre y ?x x
f f x f x
134. 2
3 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 2 crece en 14
•Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
135. 2
3 20y f x x x
´¿Cómo cambia la función entre y ?x x
f x f x
f
x x
136.
2
3 20
f x f x
y f x x x f
x x
x x
f x f x
x x
137. f x f x
x x
tan
f x f x
x x
145. x
y f x
x x h
secante tan
f x h f x
m
h
h
f x h f x
146. x
y f x
x
tangente
0
tan lim
h
f x h f x df x
m
h dx
147. :f D R R
0
0
0
0
lim
x x
f x f xdf
x x
dx x x
0x
f x
x
0 tan
df
x x
dx
148. :v R R v x a
a
v a
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
149.
0
0
0
0
0
0
0
:
0
0
lim
0
0
x x
da
x
d
v R R v x a
v x v x a a
v x v x
x x
v x v x
x x
x
Esto es válido para todos los puntos del dominio
150. :v R R v x a
a
v a
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
La derivada es cero,
La función “no cambia”
152.
:l R R l x mx b
m b
l x mx b
m
donde y son números reales.
Esta es la función lineal más general,
es decir, engloba todas
las rectas posibles.
El real es la pendiente de la recta, es decir,
la tangente del án X
b
Y
gulo que hace con el eje
El real es la ordenda al origen, es decir,
el punto en el cual la recta corta al eje
154.
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0
0 0
:
lim lim
x x x x
l R R l x mx b
l x l x mx b mx b m x x
l x l x m x x
m
x x x x
l
d mx
x l x
m m
x x
bdl
x x m
dx dx
x
para todo en el dominio
155. :l R R l x mx b
0
Es lógico, la tangente
a la recta es ella misma.
El cambio está dado por
la inclinación de la recta
dl
x m
dx
158.
0
2
2 2 2 2
0
2
:
lim lim
lim lim 2
2
x x x x
x x x x
f R R f x ax
f x f x ax ax a x x a x x x x
f x f x a x x x x
a x x
x x x x
f x f x
a x x
x x
a x x a x x a x x ax
d axdf
x ax
dx dx
160.
0
0
lim
lim
lim
x x
h
x
f x f xdf
x
dx x x
f x h f xdf
x
dx h
f x x f xdf
x
dx x
162.
0 0
0
: sin
sin sin
sin cos cos sin sin sin cos 1 cos sin
sin cos 1 cos sin
cos 1 sin
lim 0 lim 1
lim co
c s
s
sin
o
h h
h
f R R f x x
f x h f x x h x
x h x h x x h x h
f x f x x h x h
h h
h h
h h
f x h
d x
x
f x
d
x
h
x
165.
0 0
0
exp : exp
exp exp 1
1exp exp
1 1
lim lim
exp exp
l
exp
p
i
x
m
e
x
x h x x h x x h
x h
x h h
x x
x
h h
h
R R x e
x h x e e e e e e e
e ex h x
h h
e e e
e e
h h
x h
d x
x
x
x
e
d
h
167.
0 0
0
ln : ln
ln ln ln
ln ln 1
ln
ln ln 1
lim lim
exp exp 1
l
ln 1
im
h
x x
h h
h
R R x
x h
x h x
x
x h x x h
h h x
x h x e
e e
h h
x h x
h
d x
dx x
x
173. y f x
y
En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto
una representación explícita de la función, es decir,
hemos supuesto que
que la variable dependiente, , está escrita en términos
explicitos de la varia
3 2
* sin
* 2 8 3
* sinx
y x x
y x x x
y xe x
x
ble independien .te
174.
2 2
* 1
* sin cos
, ,x y x y
y x
x y
x y xy
Sin embargo, no siempre es posible tener la
representación explicita de una función y se
tiene una representación implícita de la forma
que determina a como función de .
* lnxy
xy
xye x
175.
, ,
, ,
x y x y
d x y d x y
dx dx
Si tenemos una representación implícita de la forma
lo que se hace para derivarla es:
1).- Diferenciar ambos lados de la ecuación para
obtener una nueva ecuación
2).- Resolver la
dy
dx
y x
ecuación anterior para .
La respuesta usualmente involucra a y a .
176.
2
2
2
1 2
1 2
dy
x xy y
dx
d x xy d y
dx dx
d xydx dy
dx dx dx
dy dx dy
x y
dx dx dx
dy dy
x y
dx dx
Dada la ecuación , encontrar
1).-
177. 2
1 2
1
2
dy
x xy y
dx
dy dy
x y
dx dx
dy
dx
dy y
dx x
Dada la ecuación , encontrar
2).- De la ecuación nueva
despejamos ,
178.
3
3
2
2
cos
cos
cos
cos 3
cos sin 3
dy
x y y x
dx
d x y y dx
dx dx
dx d y dy
y x x
dx dx dx
dy dy
y x y x
dx dx
Dada la ecuación , encontrar
1).-
179. 3
2
2
cos
cos sin 3
3 cos
1 sin
dy
x y y x
dx
dy dy
y x y x
dx dx
dy
dx
dy x y
dx x y
Dada la ecuación , encontrar
2).- De la ecuación nueva
despejamos ,
180.
Se deriva una función
Lo que se obtiene es otra función,
la función derivada
La función derivada puede ser evaluada
en cualquier punto de su dominio
181. d af g df dg
a
dx dx dx
La derivada de una combinación lineal de
funciones es la combinación lineal de las
derivadas
182. d fg dg df
f g
dx dx dx
La derivada de un producto es el primer factor
por la derivada del segundo más el segundo
factor por la derivada del primero
183.
2
2 2 2
sin sin sin cos sin
2 2
1 1 ln 1 1
ln ln ln 1 ln
2 2
x x x x x x
d d dx
x x x x x x x x
dx dx dx
d d dx
x e x e e x e xe xe x
dx dx dx
d d d x x
x x x x x x
dx dx dx x x x
184.
2
0
f df dgd g fg dx dx
dx g
g x
siempre que
185. 2
2 2 2
sin
sin
sin cos sin cos sin
d x d
x x x
d x x x x x xd
df dg
g f
d f dx d
x dx
dx x x
d
x x
x
x g g
x
186.
d f g df dg
dx dg dx
f g x f g g x
ó
187.
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 3
3 2 3 2
2 23 2 3 2
sin cos 2 cos
exp1
exp exp
2
d d x
x x x x
dx dxx x x x
d d
x x x x x
dx dx
xd d
x x x
dx dx x
188.
2 3
3 3
...
nD D D D
n
df d f d f d f
f x x x x x
dx dx dx dx
Dado que la derivada de una función
es a su vez una función, entonces
podemos derivarla nuevamente.
Esto da origen a las "derivadas de
orden superior".
189.
5
5
4
2 5 4
3
2
3 5 2 4 3
2
3 2
4 5 3 4 2 3 2
4 3 2
5 5 4 4 3 3 2 2
5 4 3 2
6 5 5 4 4 3 3 2 2
6 5 4 3 2
:
5
5
20
5 20
60
5 20 60
120
5 20 60 120
120
5 20 60 120 12
f x x
d x
x
dx
d x d x
x
dx dx
d x d x d x
x
dx dx dx
d x d x d x d x
x
dx dx dx dx
d x d x d x d x d x
dx dx dx dx dx
d x d x d x d x d x d
dx dx dx dx dx
0
0
dx
.....
todas las derivadas que siguen son cero
190. sin
0: sin
1: cos
2: sin
3: cos
4: sin
5: cos
6: sin
7 : cos
8: sin
f x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
191. sin
0: sin
1: cos
2: sin
3: cos
4: sin
5: cos
6: sin
7 : cos
8: sin
f x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
sin
0,1,2,...
1 sin
sin
1 cos
n
n
n n
f x x
n
x nd
x
dx
x n
Para
par
impar
192. exp :
0
n
x x
n
x R R
d
e e
dx
n n
para todo entero con
193.
194.
195.
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
df
x
dx
d f df
x x
dx dx
Una función tiene un
máximo relativo en si
i)
ii) ó va de a
196.
197.
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
df
x
dx
d f df
x x
dx dx
Una función tiene un
mínimo relativo en si
i)
ii) ó va de a
198.
199.
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
df
x
dx
d f df
x x
dx dx
Una función tiene un
punto de inflexión en si
i)
ii) ó no cambia de signo
200. 6 5 4 3 21 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
p x x x x x x x
Encontrar los puntos críticos, en la recta real,
del siguiente polinomio
201. 6 5 4 3 21 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
p x x x x x x x
202.
6 5 4 3 2
5 4 3 2
1 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
2 51 128 260 336
p x x x x x x x
dp x
x x x x x
dx
Encontrar los puntos críticos, en la recta real,
del siguiente polinomio
Sacamos la derivada
203. 5 4 3 2
2 51 128 260 336
dp x
x x x x x
dx
204.
6 5 4 3 2
5 4 3 2
1 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
2 51 128 260 336
p x x x x x x x
dp x
x x x x x
dx
Encontrar los puntos críticos, en la recta real,
del siguiente polinomio
Sacamos la derivada
Los puntos críticos son aquellos donde l
5 4 3 2
2 51 128 260 336 0x x x x x
a derivada
se anula
205.
5 4 3 2
2 51 128 260 336 0
7 2 1 4 6 0
x x x x x
x x x x x
Los puntos críticos son
-7, -2, 1, 4, 6
206.
2
4 3 2
2
5 8 153 256 260
d p
x x x x x
dx
Los puntos críticos son
-7, -2, 1, 4, 6
Hay que evaluar la segunda derivada
para saber que tipo de puntos críticos
son:
207.
2
2
2
2
2
2
4 3 2
2
2
2
2
2
2
5 8 153 256 260
7 5720
2 720
1 360
4 396
6 1040
d p
x x x
d p
x
dx
d p
x
dx
d p
x
dx
d p
x
dx
d p
x
d
x x
dx
x
Mí
Los puntos críticos so
nimo
Máximo
Mínimo
Máxim
n
-7, -2, 1,
o
Mí
4, 6
nimo
208.
209. a
Determinar las dimensiones y el volumen de un
cilindro circular recto de volumen máximo entre
los inscritos en una esfera de radio
h
r
a
210.
2
2
2 2
2
2
2
4
a
r h
h
r a
h
V h a
Determinar las dimensiones y el volumen de un
cilindro circular recto de volumen máximo entre
los inscritos en una esfera de radio
Volumen del cilindro:
Ahora
Así que
0,2h h a
h
r
a
211.
2
9 0,6
4
h
V h h h
212.
2
2
2 2
3
0,2
4
3
0,2
4
2
0
3
2
0, ,2
3
2 4
0 0 2 0
3 3 3
h
V h a h h a
dV
a h h a
dh
dV a
h
dh
a
a
a
V V a V a
Los puntos críticos son:
Ahora
h
r
a
213. 34
3 3
2
3
a
a
a
Determinar las dimensiones y el volumen de un
cilindro circular recto de volumen máximo entre
los inscritos en una esfera de radio
El volumen máximo es
El radio del cilindro es
La altura del ci
2
3
a
lindro es
h
r
a
214. Se va a construir un rectangulo que debe tener un
perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y
su ancho de manera que el área sea máxima?
215. a
l
Se va a construir un rectangulo que debe tener un
perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y
su a
Sea el ancho del rectán
ncho de manera que el área
gulo
Sea el largo del re
sea máxima?
ctángulo
Sea
2 2 80 40
40
A
l a a l
A l al l l
el área del rectangulo
Tenemos que , así que
El área es
217.
40
40 2
0
20
A l al l l
dA l
l
dl
dA l
dl
l
Se va a construir un rectangulo que debe tener un
perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y
su ancho de manera que el área sea máxima?
218.
2
2
40
0 20
2 0
A l al l l
dA l
l
dl
d A l
dl
Se va a construir un rectangulo que debe tener un
perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y
su ancho de manera que el área sea máxima?
219.
220. Una serie de Taylor es una
representación o una
aproximación de una función
como una suma de términos
calculados de los valores de sus
derivadas en un mismo punto
221.
0
,
!
n
n
n
f x
a r a r
f a
x a
n
La serie de Taylor de una función real
infinitamente diferenciable, definida en un
intervalo abierto , es la serie
de potencias
222.
2
2
2
3
3
3
1
1
2!
1 1
... ...
3! !
1
!
x a x a
n
n
n
x a x a
n
n
n
n x a
df d f
f x f a x a x a
dx dx
d f d f
x a x a
dx n dx
d f
f x x a
n dx
223.
1
0
0
0
sin
sin sin
s
0
in : sin
sin
sin 0 0 y cos
1
!
sin
1
n
n
n a
x
n
x
x
x
d
R R y f
d f
x x
f x x a
n
d x
x
x
x x
dx
x x
d
dx
x
228.
2 2
0
1
2
0
sin sin
sin sin0
sin : sin
1
!
2
n
n
n
n x a
x x
d f
f x x
R R y f x x
d x x d x
x x
d
n
x d
a
dx
x
229.
0
2 2
2 2
2
0
2 2
0
0
2
sin sin
cos cos0
sin sin
sin sin
sin sin0 co
sin sin
s
sin : s
s0 sin0
in
0 0
in 0
2
2
0
sin
x
x x
x
d x x d
d x d x
x
dx dx
d x d x
x
dx d
x
R R y f x x
x
x x x x
x
x dx
x
x
d
230.
2 32
3
2 3
0 0
1
0
sin sin sin1
sin sin
sin
0
2
!
: sin
6
1
x x
n
n
n
n x
x
a
d f
f
d x d x d xx
x x x
dx dx
x x a
R R y f x
n
x
d
x
x
d
231.
3
2 32
3
2 3
0 0 0
3
3 3
0
2 3
3
si
s
sin sin sin1
sin sin 0
2 6
1
sin si
n :
in sin
cos
n 0 cos 0 sin 0 cos 0
2 6 6
cos 0
sin
x x x
x
d x d x d xx
x
R R y f x
x x
dx dx d
x x
x x
d x d x
x
dx d
x
x
x
x
x
237. 2 3 41 1 3 5
1
2 8 161
1
0.5, 1.414213562
1
1 1,
1 0.25 1.25,
1 0.25 0.09375 1.34375,
1 0.25 0.09375 0.030518 1.37427
x x x O x
x
x
x
238. ln : ln
Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo
alrededor del 1.
R R y x
239.
11
2
2 2
11
3
3 3
11
1 1
11
ln : ln
Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo
alrededor del 1.
ln 1 0
ln 1
1
ln 1
1
ln 2
2
ln 1 !
1 1 1 !
xx
xx
xx
n
n n
n n
xx
R R y x
d x
dx x
d x
dx x
d x
dx x
d x n
n
dx x
240.
2 3 4
1
ln : ln
1 1 1 1
ln 1 ... 1 ...
2 3 4
n
n
R R y x
x x x x
x x
n
241.
ln : ln
ln 1
R R y x
x x
242.
2
ln : ln
1
ln 1
2
R R y x
x
x x
243.
2 3
ln : ln
1 1
ln 1
2 3
R R y x
x x
x x
244.
2 3 4
ln : ln
1 1 1
ln 1
2 3 4
R R y x
x x x
x x
246.
1
: 1
1
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
f R R y f x
x
247.
3/ 2
00
2
5 / 2
2 2
00
3
7 / 2
3 3
00
1
: 1
1
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1 1 1
1
2 21
1 1 3 1 3
1
2 2 21
1 1 3 5 1 3 5
1
2 2 2 21
1
xx
xx
xx
n
n
f R R y f x
x
d
x
dx x
d
x
dx x
d
x
dx x
d
dx
0
2 1 !!
21
n
x
n
x
248.
2 3
1
: 1
1
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
2 1 !!1 1 3 5
1 ... ...
2 8 16 !21
n
n
f R R y f x
x
n
x x x x
nx
250. exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
x
R R y x e
251.
0
0
2
2 0
0
3
3 0
0
0
exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1
1
1
1
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
n
x
n
x
R R y x e
d
e e
dx
d
e e
dx
d
e e
dx
d
e
dx
252.
2 3
exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1 1 1
1 ... ...
2 6 !
x
x n
R R y x e
e x x x x
n
253.
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
lim
x x
f x f xdf
x
dx x x
f x f xdf
x
dx x x
df
f x f x x x x
dx
254.
255.
256.
257.
258.
259.
260.
261.
Lo opuesto de una derivada es una
La integral indefinida de una función
se denota co
ant
mo
iderivada
y está definida por la propied
o integral indef
d
d
a
ini a
f x
f x
d
f x dx f x
d
d
x
x
262.
Si una función es diferenciable, su derivada es única
Una función tiene un número infinito de integrales,
que difieren por una constante aditiva
d
f x dx f x
dx
263. La integral indefinida de una función cuya derivada
es identicamente cero es una constante,
es decir,
0
donde es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una función identicamente
cero es
dx c
c
una constante.
264.
Función constante:
: donde a es una constante
La integral indefinida de la función constante es
donde es una constante arbitraria
f R R f x a
adx ax c
c
265.
2
Función identidad
: :
La integral indefinida de la función identidad es
2
donde es una constante arbitraria
I I R R I x x
x
xdx c
c
266.
1
: entero, 1
La integral indefinida de la función es
1
donde es una constante arbitraria
n
n
n
n
f R R f x x n n
x
x
x dx c
n
c
267.
1
: 0
Dado que
1
ln
se tiene que
ln
donde es una constante arbitraria
f R R f x
x
d
x
dx x
dx
x c
x
c
269.
exp exp
exp exp
d
x x
dx
x dx x c
c
Tenemos que
así que
donde es una constante arbitraria
270.
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
- La integral indefinida de una combina
indefini
ción li
das:
neal
af x bg x dx a f x dx b g x dx
271.
1
1
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indefinid
- De la regla de la cadena t
a
enemos
así que
c
s:
1
a a
a
a
d
f x a f x f x
dx
f x
f x f x dx c
a
on 1a
272.
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indef
- De la derivada del logar
1
ln para 0
ini
itmo
ln
tenemos
ln
das:
f xd
f x
d
dx f x
f x
dx f x c
f x
x x
dx x
273.
De la regla de la cadena se tiene
donde
f d f g x g x dx
g x
274. De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x
2
Ejemplo 1: cosx x dx
275. De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x
2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
x x dx
x
276. De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x
2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
Por tanto, se tiene
2
x x dx
x
d xdx
277. De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1
cos 2 cos
2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx
278. De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
279. De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
1
sin
2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
c
280.
2
2
2 2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
1 1
sin sin
2 2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
c x c
De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x
281.
2
2 2
Ejemplo 1: cos
1
cos sin
2
Es fácil evaluar la derivada, con la regla
de la cadena, para comprobar la exactitud
del resultado
x x dx
x x dx x c
De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x
282.
De la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xd
f x g
df x dg xd
f x g x dx g x dx f x dx
dx dx dx
x g x f x
dx dx dx
283.
pe
De
ro por la definición misma de la integral indefinida
la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xd
f x g x g x f x
dx dx dx
df x dg xd
f x g x d
d
f x g x dx f x
x g x dx f x dx
dx dx dx
g x
dx
284.
De la expresión
tenemos entonces
df x dg xd
f x g x dx g x dx f x dx
dx dx d
df x dg x
f x g x g x dx f x dx
dx
x
dx
285.
De la expresión
tenemos
Despejando
que es la formula de integración por pa
entonc
rtes
es
df x dg xd
f x g x dx g x dx f x dx
dx dx dx
df x dg x
f x g x g x dx f x dx
dx dx
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
286.
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
Ejemplo 1: x
xe dx
287.
Ejemplo 1:
Identificamos
y
x
x
xe dx
df x
e g x x
dx
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
288.
Ejemplo 1:
y
Entonces
x
x
x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx
dx
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
289.
Ejemplo 1:
y
De donde
x
x
x x x
x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx
dx
xe dx xe e dx
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
290.
Ejemplo 1:
y
Finalmente
1
x
x
x x x x x
x x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx xe e dx
dx
xe dx xe e x e
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
291.
Es muy fácil verificar que el resultado
es correcto haciendo la deriva
1
da
x x
xe dx x e
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
324. •Longitudes, áreas, volumenes
•Se emplea en todas las áreas de la física
•En general en toda la matemática aplicada
la integral es ampliamente empleada
325.
Si y son funciones continuas en el intervalo
, y se cumple que
en todo el intervalo, entonces el área de la región
limitada por las gráficas de y , y las rectas
verticales y , es:
f g
a b
g x f x
f g
x a x b
A f
b
a
x g x dx
326. a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del
área depende sólo de que y g sean continuas y de que ( ) ( ).
b) Las gráficas de y pueden estar situadas de cualquier manera
res
f g x f x
f g
pecto del eje .
c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que ( ) ( )
y otras veces que ( ) ( ), entonces el área de la región
comprendida entre y sobre el intervalo [ , ], viene dado po
OX
g x f x
f x g x
f g a b
r la
fórmula:
b
a
A g x f x dx
327. 2
Hallar el área de la región lim ( )itada por y ) .(g xf x x x
328.
2
Hallar el área de la región limitada por ( ) y ( ) .
* El intervalo de integración es 0,1 que son los dos puntos
en los cuales las curvas se intersectan.
* Es claro que en el intervalo 0,1 se cu
f x x g x x
2
1
2
0
mple
* En el intervalo 0,1 las dos funciones son continuas
Por tanto, el área entre las dos curvas es
x x
x x dx
329. 2
1 11 1 1
2 2 3/ 2 3
0 00 0 0
Hallar el área de la región limitada por ( ) y ( )
2 1 2 1 1
3 3 3 3 3
El área entre las dos curvas es igual a 1/3
f x x g x x
x x dx xdx x dx x x
330. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese
mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido
de revolución generado por la región plana alrededor de lo que
se conoce co
E
mo eje de revolución. Este tipo de sólidos suele
aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de
producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes,
embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según
se tome un eje de giro paralelo al eje o al eje . Incluso
a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de
revolución.
OX OY
331.
332. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos
un sólido de revolución.
El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que
se forma al girar un rectángulo alrededor de un ej
2
e adyacente a
uno de los lados del rectángulo.
El volumen de este disco de radio y de anchura es:
Volumen del disco =
R
R
333.
Si tenemos una función continua y no negativa en el
intervalo , , entonces el sólido obtenido al hacer rotar
la región
, : ,0
alrededor del eje , tiene un volumen dado por la fórmula
f x
a b
R x y a x b y f x
X V
V
2
b
a
f x dx
334.
335.
Definimos la función
donde es una constante
y
es la variable independiente
x
a
F x f d
a
x