02 Intro a la Fis - Limites y derivadas 2024-I.pdf

“Ciencia y Tecnología al Servicio del País”

Curso: Introducción a la Física
Docente: Mg. Melchor N. Llosa Demartini
Facultad de Ingeniería Mecánica
Ciclo Académico 2024-I

CAPITULO 2
Limites, continuidad y derivadas

LIMITES, CONTINUIDAD
Y DERIVADAS

LIMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
OBJETIVOS
• Describir con claridad los limites y la continuidad de funciones
• Explicar la derivada de una función real
• Explicar la derivada como razón de cambio
• Usar las operaciones de funciones vectoriales
• Aplicar un proceso ordenado para la resolución de problemas.

Aunque el cálculo fue descubierto a fines del siglo
XVII, sus fundamentos permanecieron en estado de
confusión y desorden hasta que Cauchy y sus
contemporáneos impusieron normas de rigor.
Debemos a Cauchy la idea de basar el cálculo en una
clara definición del concepto de límite.

Una función (f) es una regla de correspondencia entre dos
conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto le
corresponde solo un elemento del segundo conjunto.
A B A B
Función Relación
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
FUNCIONES

Una función es una regla
que asigna a cada numero
de entrada exactamente un
numero de salida.
FUNCIONES

Conjunto: agrupación de cosas, elementos u objetos con
características en común.
Dominio: conjunto en el cual se encuentra la variable
independiente
Rango: Conjunto en el cual se encuentra la variable
dependiente.
Variable independiente: tiene valor por si misma
Variable dependiente: para existir depende del valor de la
variable independiente.
Para denotar una función se usa una letra (f, g, F, etc). =>
F(x) se lee f de x ó f en x
F(x) designa el valor que f le asigna a x.

DOMINIO
Es el conjunto de valores para los cuales la función está
definida; es decir, son todos los valores que puede
tomar la variable independiente (la x).
El dominio consiste en todos los números reales para los
cuales la función exista.
FUNCIONES

DOMINIO:
En general se pueden seguir las siguientes
recomendaciones para obtener el dominio de una función o
de una expresión algebraica:
•No puede haber una raíz par negativa, pues se trataría
de un número imaginario que no hace parte de los números
Reales.
•Un fraccionario no puede contener por denominador
cero, pues la expresión queda indeterminada.
FUNCIONES

RANGO
Es el conjunto conformado por todos los valores que puede
tomar la variable dependiente; estos valores están
determinados además, por el dominio de la función.
FUNCIONES

FUNCIONES

FUNCIONES
DOMINIO:
RANGO:
DOMINIO:
RANGO:

FUNCIONES
Operaciones con funciones
I. (f+g)(x) = f(x) + g(x)
II. (f-g)(x) = f(x)-g(x)
III. (f*g)(x) = f(x)*g(x)
IV. (f / g)(x) = f(x) / g(x)
V. (fg)(x) = f(g(x))
Ejemplo: Si f(x) = x2 y g(x) = x+1
 (f+g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + x+1
 (f-g)(x) = f(x)-g(x) = x2 – (x+1)
= x2 – x - 1
III. (f*g)(x) = f(x)*g(x)= (x2)(x+1)
= x3 + x2
IV. (f / g)(x) = f(x) / g(x) = (x2)/(x+1)
V. (fg)(x) = f(g(x))= f(x+1) = (x+1)2
Clasificación parcial de funciones
Función constante: f(x) = k;
Función identidad: f(x) = x;
Función lineal: f(x) = ax + b
Función cuadrática:
f(x) = ax2 + bx + c
Función cúbica: f(x)=ax3+bx2+cx+d
Función polinomial:
f(x)=axn+...+ax+a
Función racional:
f(x)= (axn+...+a)/(axn+.+a)
Función valor absoluto:
f(x)=| axn+..+ax+a |
Función exponencial: f(x) = ex
Función logarítmica: f(x) = log x

LIMITES
• Tal vez ha estado usted en un estacionamiento
en el que puede “aproximarse” al automóvil de
enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo.
• Esta noción de estar cada vez más cerca de algo
pero sin tocarlo, es muy importante en
matemáticas y la cual esta involucrada en el
concepto LIMITE, en el descansa el fundamento
del cálculo.

LIMITES
Lo que se busca es que la variable independiente “se
aproxime” a un valor particular y examinar el efecto que
tienen sobre los valores de la función.

LIMITES
Noción intuitiva
Considere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-1).
Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:
x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1
y +1 ¾ 1  7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0,75
f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado
Graficando lo tabulado:
¿Qué pasa de 0 a 2?

Tabulemos mas dentro de ese intervalo, sin tocar el uno.
x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7
y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59
La grafica tiene una rompimiento en el punto (1,3); no existe
ahí. Pero, tratando de analizar la gráfica, podemos pensar que
cuando x=1, su imagen (y)=3.
Podemos concluir que el límite de f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;
Pero, en ésta forma es erróneo. Necesitamos aplicar el
límite, en el punto donde la función no existe.
Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)
x -> 1 x -> 1
=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1)
x -> 1
=lim (x2+x+1) = 12+1+1
x -> 1
= 3
Significado intuitivo de límite
Def.: Decir que lim f(x)=L significa que cuando x
está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.
=> Decir que lim f(x)=3, significa que cuando x está cerca
de uno, pero no es uno, f(x) está cerca de 3, pero no es 3.
0
1
2
3
4
5
6
7
-2.0000
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
0.7000
0.9000
0.9990
0.9999
1.0000
1.0010
1.5000
1.7000
1.9000

DEFINICION DE LIMITE

PROPIEDADES DE LIMITES

Observaciones
1. Para determinar Lím f (x), no nos interesa lo que ocurre en x = c, sino lo
que ocurre a la derecha y a la izquierda de c . Incluso puede que f (c) no
exista.
2. El límite de una función es único.
Indeterminaciones

Calcule el limite de la función
EJEMPLO

Cuando x se acerca a 1 se
expresa de la siguiente forma:

Límites que no existen.

Límites en el infinito
Si a es un número racional positivo y c es un número real cualquiera
De acuerdo a lo anterior se puede concluier que:

INTRODUCCION A DERIVADA
• El primer problema de calculo diferencial, comenzó con
querer saber la pendiente de la recta tangente que pasa
por un punto en una función.
• Que es la recta tangente:
Recta que tiene solo un punto en común con una curva

• La forma en la cual se resolvió este problema fue con el
trazo de líneas secantes a esta función, la cual tiene
sentido porque para poder construir una recta se
necesitan como mínimo dos puntos.
• Que es la recta secante:
Recta que tiene en común dos puntos con una curva.

La recta secante y la
recta tangente en una
función
Función original
)
(x
f

función
Función original
Recta secante
1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y

función
Función original
Recta tangente
1 1
( , )
x y

Sabemos que una de las características principales de una
recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor
numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
2 1
x x

2 1
y y

2 1
2 1
y y
m
x x



Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos
sobre una recta!

Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una
función es:
2 1
2 1
y y
m
x x



1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y

Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo conoce
un punto?
1 1
( , )
x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x

 


Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un
método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el
llamo símbolos.

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la recta
tangente en X=1
Observe que si hacemos diversas
aproximaciones de rectas secantes,
podemos hacer una muy buena
estimación de la Pendiente de la recta
tangente
tan
m

1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
tan
m

1 1
( , )
x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
2 2
( , )
x y
tan
m

1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
tan
m
2 1
x x x
  
Podemos expresar :
0
x
 
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
)
( 2
x
f )
( 1
x
f
-
tan
m  2 1
( ) ( )
f x f x
x


lim
0
x
 

1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
tan
m
2 1
x x x
  
)
( 2
x
f )
( 1
x
f
-
Finalmente considerando lo siguiente:
2 1
x x x
  
La expresión nos queda así:
tan
m lim
0
x
 
1 1
( ) ( )
f x x f x
x
  


tan
m  lim
0
x
 
1 1
( ) ( )
f x x f x
x
  

Este límite (el cual genera otra función),
representa la pendiente de las diversas
rectas tangentes a la gráfica de una
función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que la notación de Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado en
incrementos También existe la notación de Newton
ሶ
𝒙 ሷ
𝒙

Si se realiza el reemplazo entonces se tiene:

DERIVADA

REGLAS DE LA DERIVADA
• Es un proceso laborioso calcular la derivada por
medio de la definición, por lo tanto se tienen las
siguientes reglas de la derivada:

Ejercicio:

Ejercicios:

Derivada de exponenciales

TABLAS DE DERIVADAS
Donde encontrar mas?
• Bronstein. Tablas matemáticas. Ed. MIR
• Spiegel Murray. Tablas matemáticas. Serie
Shaum. Mc Graw Hill

EJERCICIO
Sea un movimiento cuya ecuación de rapidez es: v = 2 + 3 t m/s. Determinar la aceleración
a = dv/dt = 3 m/s2

DIFERENCIACION IMPLICITA
La diferenciación implícita es una técnica para diferencia
funciones que no están dadas en la forma usual y=f(x)
La palabra implícita se usa puesto que y no está dada de
manera explicita con función de x.
Sin embargo, se supone o queda implicado que la
ecuación define a y por lo menos como una función
diferenciable de x.

Diferenciar
i evaluar en
Por ejemplo

Ejemplos

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sabemos que la derivada de una función y=f(x) es a su vez una función f ’(x).
Si diferenciamos f ’(x) la función resultante se llama segunda derivada de f con
respecto a x.
Se denota como f ’’ (x) que se lee f doble prima de x
De manera similar la derivada de la segunda derivada se llama tercera
derivada y se escribe f ’’’(x)
Continuando de esta manera, obtenemos derivadas de orden superior.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

EJERCICIO
Sea un movimiento cuya ecuación de movimiento es: x = 6 + 5 t + 4 t2 m. Determinar la
aceleración
v = dx/dt = 5 + 8 t m/s
a = dv/dt = 8 m/s2

DIFERENCIALES DE FUNCIONES
Diferenciales y análisis de funciones
Extremos de una función
Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)
El punto a є D se llama Punto mínimo en D si:
D
x
x
f
a
f 

 )
(
)
(
Al valor f(a) se le llama mínimo de la función f(x) en D
Ejemplo: f(x)=x2-4x+5

Extremos de una función
Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)
El punto a є D se llama Punto máximo en D si:
D
x
x
f
a
f 

 )
(
)
(
Al valor f(a) se le llama máximo de la función f(x) en D
Ejemplo: f(x)=4x-x2+2

•Llamamos punto extremo en D si es punto
máximo o mínimo
•Llamamos valor extremo de la función al valor
máximo o mínimo de dicha función.

TEOREMA
f ’(c) = 0
Si c es un punto de extremo local de f, entonces
•Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o
mínimo
•Llamamos valor extremo de la función al valor máximo
o mínimo de dicha función.
OBSERVACIÓN:

PUNTOS CRITICOS
Definición:
Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto
crítico de f si f ’(c) = 0 o f ’(c) no exista
Ejemplo: Determinar el punto crítico de:
1
3
)
( 2
3


 x
x
x
f

1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]
2. Hallar f(c) para cada punto crítico c
3. Calcular f(a) y f(b)
4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto
de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto.
Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función
continua f en [a, b]
Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de:









 4
;
2
1
1
3
)
( 2
3
en
x
x
x
f

TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en (a;b), entonces:
1. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE en a,b]
2. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces f es estrictamente
DECRECIENTE en [a;b]
>


Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c entonces c es un punto de MÁXIMO local
de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

abajo
<
-
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f
’’(c), entonces:
1. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = c
arriba
>
+
2. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = c

Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0 entonces:
1. Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local.
2. Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local

PUNTO DE INFLEXIÓN
La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:
1. f es continua en c
2. La gráfica tiene tangente en el punto
3. La concavidad cambia de sentido en c

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero o no existe
ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:
• Si f es continua
• Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical)
• Si f ’’ cambia de signo

RAZON DE CAMBIO
La razón de cambio promedio de “y” respecto a “x”, cuando x cambia de
x1 a x2 corresponde a la razón de: el cambio en el valor de salida entre el
cambio en el valor de entrada:
; x2  x1
 x x2  x1
 y  y 2  y1
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

RAZON DE CAMBIO
R cp : m S
El valor numérico de la razón de cambio promedio es la pendiente de la
recta secante a la gráfica de la curva de la función.
2 1
1
2
Rcp :
y2
; x  x
x  x
 y1

RAZON DE CAMBIO
x x + h
f (x)
f (x+h)
h
Ls
s
L : Recta secante

RAZON DE CAMBIO
La razón promedio de “f” con respecto a “x”
está dado por:
donde h  0
h
f (x  h)  f (x)
,

RAZON DE CAMBIO Y LA DERIVADA
Si tomamos el límite de la razón de cambio promedio cuando “h” tiende a
cero, la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la
recta tangente, observemos que la razón de cambio promedio se convierte
en una razón de cambio instantánea en x=x0.

RAZON DE CAMBIO
x
y
x0
f (x0 )
f (x0 h)
x0 h
h

RAZON DE CAMBIO
x
y
x0
f (x0)
f (x0 h)
x0 h
h

RAZON DE CAMBIO
x
y
x0
0
f (x )
f (x0 h)
x0 h
h

RAZON DE CAMBIO
x
y
x
0
f (x0)
f (x0 h)
x0 h
T
angente!!!
LT : Recta tangente

DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO
En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante se
confunde con la recta tangente en x0 , y podemos decir que :
h
m LT
 Lím
f (x0  h)  f (x0 )
h0

Este último límite es conocido en el Cálculo Diferencial é
Integral como la derivada de la función respecto de la
variable x, en x = x0 .
En consecuencia, la derivada de una función es
numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en x = x0 .

El valor de la derivada de una función indica la rapidez con que
la función está cambiando en un valor específico de x, en x =
x0.

Entonces ,la derivada
de una función en
x = x0 es:
Lím f (x0  h)  f (x0 )
h0 h
Pendiente de la recta tangente
a la gráfica de la función en x =
x0
La razón de cambio instantánea
de la función en x = x0

dx
dy
 f (x)  y
La derivada de una función y = f(x) respecto de la variable
x, se denota de las siguientes maneras :
h
h0
y  lím
f x h f x

FUNCIONES VECTORIALES
Derivada de un vector
Sea una función vectorial que depende de un escalar t
Ejemplo:
puede ser la posición de un objeto
t puede ser el tiempo
Instante Posición
t
t’
Objetivo: calcular la razón de cambio de como función de t

En el intervalo de tiempo
El objeto se ha movido desde hasta  desplazamiento

Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán y
más pequeño será el desplazamiento
Definición de derivada: divide entre y tomar el límite cuando
Si es la posición, su derivada es la velocidad:
Dirección: tangente a la trayectoria
Magnitud: depende de lo rápido que recorra la trayectoria
Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán y
más pequeño será el desplazamiento
Definición de derivada: divide entre y tomar el límite cuando
Si es la posición, su derivada es la velocidad
Dirección: tangente a la trayectoria
Magnitud: depende de lo rápido que recorra la trayector

Tener cuidado al dibujar posición y velocidad en la misma gráfica:
Los dos vectores no se pueden sumar
Cuidado con las escalas
Definición de derivada: divide entre y tom
Si es la pos
Dirección: tangent
Magnitud: depende

Componentes de la derivada de un vector
La derivada puede contemplarse como una diferencia de vectores.
Las componentes de una diferencia de vectores es igual a la diferencia de las componentes
Tomando límites
Si la dirección a lo largo de la cuál se calcula la componente se mantiene fija con el tiempo

Derivación en funciones vectoriales.
1.- Si , donde f y g son funciones derivables de t,
entonces:
(En el plano)
2.- Si , donde f, g y h son funciones
derivables de t, entonces:
(En el espacio)

Derivada de un vector Problema 1.
Obtener la derivada de la siguiente función vectorial:
.
Solución. Se deriva en ambos miembros con respecto a “t”
Por lo tanto
Problema 2.
Obtener la derivada de la siguiente función vectorial:
Solución. Se deriva en ambos miembros con respecto a “t”
Por lo tanto

Propiedades de la derivada de un vector
Sean y funciones vectoriales derivables de t, f es una función real
derivable de t y c es un escalar.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.Si , entonces

EJERCICIO
Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: r = (3t i + 4 t2 j – 6 k) m.
Determinar la ecuación vectorial de la velocidad y aceleración
v ·= d r/ dt = d/dt (3t i + 4 t2 j – 6 k) =
v = [(3) i + 8 t j] m/s
a ·= d v/ dt = d/dt [(3) i + 8 t j] =
a = 8 j m/s2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Campos vectoriales y escalares
En una región del espacio tenemos un campo vectorial (respectivamente escalar), cuando tenemos
definida una magnitud vectorial (respectivamente escalar) para cada punto de esa región como función
de la posición
Ejemplo de campo escalar: la presión atmosférica sobre la tierra
Para cada punto geográfico (identificado mediante una longitud, una latitud y una
altura) tenemos definido un valor de la presión (expresada en Pascales)
Ejemplo de campo vectorial: la velocidad del viento en cada punto de la tierra
Para cada punto geográfico (identificado mediante una longitud, una latitud y una
altura) tenemos definido un valor de la velocidad. Dicha velocidad se expresa no solo
con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.

La temperatura, T, es un campo escalar
A cada punto (x,y,z) del espacio
se le asocia un número T(x,y,z).
Todos los puntos de la superficie marcada
por T = 20° (representada por una curva
para z = 0) están a la misma temperatura

A cada punto del espacio se le asocia un vector 3D y se suele escribir o

Cuando los cambios cambian con el tiempo, es muy fácil describir la variación
Ahora queremos describir de una manera similar variaciones con respecto a la posición.
Por ejemplo, ¿Cuál es la relación entre la temperatura en un punto dado y la temperatura en otro
punto suficientemente cercano?
En este caso, ¿Cómo deberíamos de tomar la derivada con respecto a la posición?.
¿Derivamos con respecto a x, y o z?

Las leyes fisicas no deben de depender de la orientación del sistema de coordenadas
es un escalar o es un vector?
Las leyes deben físicas deben escribirse de una forma en la cual los dos lados
de la ecuación sean un escalar o sean un vector.
Ni lo uno ni lo otro.
Si rotamos el sistema de coordenadas y tomamos un eje x
diferente, el valor de la derivada será diferente.

El operador nabla
El símbolo representa un operador vectorial diferencial.
Recibe el nombre de “nabla” o “delta”
Nos indica que vamos a tomar derivadas en las tres direcciones
espaciales sobre la magnitud en la cuál está actuando
En coordenadas cartesianas
Por si mismo, no significa nada. Necesita una magnitud sobre la que actuar.

Combinando el operador nabla con campos escalares: el gradiente
Supongamos que tenemos dos puntos y separados por una pequeña distancia
Punto Temperatura
No depende del sistema de coordenadas escogido para medir las coordenadas de los puntos
La diferencia de temperaturas es un escalar
Diferencia de temperaturas entre los dos puntos físicos reales

Si ahora escogemos un sistema de referencia adecuado a nuestro problema
Parte izquierda de la ecuación es un escalar
Parte derecha de la ecuación: producto de tres derivadas parciales por componenentes de vector
Punto Temperatura
Componentes de

La diferencia de temperaturas entre dos puntos cercanos es el producto escalar del gradiente de la
temperatura multiplicado por el vector desplazamiento entre los dos puntos.
Definición de gradiente de un campo escalar
El gradiente transforma un campo escalar en un campo vectorial.
En cada punto el vector gradiente apunta en la dirección de máxima variación

El gradiente en varias coordenadas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas

Derivada direccional
Se define la derivada direccional de un campo escalar a lo largo de
una determinada dirección, determinada por un vector unitario ,
como la razón de cambio del campo escalar cuando nos movemos a
lo largo de esa dirección

VECTORES
• Apostol Tom. Calculus
• Leithold Louis. El calculo con geometría analítica
• Spivak. Calculo
Bibliografía

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