Calculo mastarreno

Universidad Técnica de Manabí
Facultad de Ciencias Informáticas

Folder
Calculo Diferencial

Docente:
José Antonio Cevallos

Nombre:
Luis Miguel Mastarreno Macías

2do Semestre “C”

Periodo:
Abril 2012-Agosto 2012

Mastarreno Macías Luis Miguel
2 Semestre “C”
Jose Cevallos

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Programa
 Codificación del curso: Segundo “A”

 Título del curso: CÁLCULO DIFERENCIAL

 Horas de crédito: cuatro (4) créditos

 Horas contacto: 64 horas, II semestre

La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de otras
ciencias, marcando su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel
científico. Estas son las razones por la que la carrera incorpora el Cálculo Diferencial a
la malla curricular. El propósito de la asignatura en sus cuatro capítulos, es
conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos al estudiante, en el análisis de las
funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas y clasificarlas de
acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su
continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades
específicas, se hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular límites por métodos
algebraicos o trigonométricos y mediante reglas básicas, la noción de la derivada en esta
unidad el estudiante aprenderá a calcular la derivada inicialmente con su definición, y
luego hace énfasis con modelos matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de
Derivación, las Aplicaciones de las derivadas, hace énfasis en determinar los Valores
Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de
Optimización donde se pide determinar el modo óptimo de llevar a cabo un determinado
proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para el
Trazo de Curvas. La programación de la asignatura concluye con la introducción de
Diferenciales para aplicarlas en la Integral indefinida, teniendo como apoyo el software
matemático Matlab y Derive-6, para incentivarlos en la construcción de pequeños
Software.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Las políticas de curso que se aplican en la materia de Cálculo Diferencial para optimizar el
proceso de enseñanza–aprendizaje dentro del aula son los siguientes:

Compromisos Disciplinarios y Éticos

 Es primordial mantener siempre el respeto como norma principal de convivencia en armonía entre
compañeros y el docente.
 Ser puntuales en todas las actividades programadas.
 Escuchar y respetar democráticamente el criterio de los demás.
 Hacer silencio cuando alguien esté haciendo uso de la palabra.
 Evitar interrupciones innecesarias.
 Cuidar y preservar el inmobiliario del aula.
 Mantener el aula limpia, evitando botar basura en el piso
 No deteriorar ni rayar, las paredes, mesas y sillas.
 Procurar en todo momento la correcta manipulación y utilización de los equipos informáticos.
 Comprometernos responsablemente a cumplir con estas recomendaciones tanto estudiantes como
docente.

 La asistencia es obligatoria a todas las actividades programadas en esta asignatura.
 El estudiante ingresará a clase a la hora establecida y solo por una ocasión se aceptará el retraso de
10 minutos.
 El docente asistirá igualmente con toda puntualidad a las actividades establecidas y los estudiantes
esperarán 10 minutos después de la hora de inicio, en caso de que el docente no se hubiera
comunicado con el líder del curso en este lapso los estudiantes se retirarán y el docente tiene la
obligación de recuperar estas horas.
 El estudiante deberá justificar al docente su inasistencia o atraso, independiente de la justificación
reglamentaria.
 El estudiante por ningún concepto utilizará celulares en el aula, igual comportamiento tendrá el
docente.
 En caso de emergencia el estudiante solicitará al docente el respecto permiso para el uso del celular.
 El intento de copia de cualquier estudiante será sancionado con la calificación de cero y no habrá
oportunidad de recuperación, independiente de las sanciones establecidas por la universidad.
 Los trabajos se entregarán en la fecha establecida y no se recibirá en otra oportunidad. No se
aceptarán una segunda oportunidad para la entrega de trabajo.
 Serán por equipo conformado por 4 estudiantes, aplicando el sistema cooperativo en la
investigación.
 La defensa estará a cargo del grupo.
 Se presentará impreso en papel, carpeta plástica de acuerdo al modelo presentado en el curso y un
archivo lógico-caratula con las precauciones necesarias.
 El estudiante ingresará al aula sin gorra y no consumirá alimentos dentro del aula.
 El trabajo escrito será realizado con las propias palabras e ideas del estudiante, si se descubre la
copia textual de un párrafo o un texto se calificará con cero.
 El estudiante aplicará en su proceso enseñanza-aprendizaje como evidencia y mejoramiento
continuo un portafolio de acuerdo al modelo presentado en el curso.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
SYLLABUS DEL CURSO
Asignatura: Cálculo Diferencial

1. CÓDIGO Y NÚMERO DE CRÉDITOS
Código: OF-280
N° de Créditos: 4

2. DESCRIPCION DEL CURSO
La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de otras ciencias,
marcando su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel científico. Estas son las
razones por la que la carrera incorpora el Cálculo Diferencial a la malla curricular. El propósito de la
asignatura en sus cuatro capítulos, es conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos al
estudiante, en el análisis de las funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas y
clasificarlas de acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su
continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades específicas, se
hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular límites por métodos algebraicos o trigonométricos
y mediante reglas básicas, la noción de la derivada en esta unidad el estudiante aprenderá a calcular
la derivada inicialmente con su definición, y luego hace énfasis con modelos matemáticos que surgen
de las Reglas Básicas de Derivación, las Aplicaciones de las derivadas, hace énfasis en determinar
los Valores Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la práctica en problemas de
Optimización donde se pide determinar el modo óptimo de llevar a cabo un determinado proceso. Así
mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para el Trazo de Curvas. La
programación de la asignatura concluye con la introducción de Diferenciales para aplicarlas en la
Integral indefinida, teniendo como apoyo el software matemático Matlab y Derive-6, para
incentivarlos en la construcción de pequeños Software.

3. PRERREQUISITOS Y CORREQUISITOS
Pre-requisitos: OF-180
Co-requisitos: ninguno

4. TEXTOS Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS PARA EL DICTADO DEL
CURSO
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

 SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega.
 LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición. Mc
Graww Hill 2006.
 SMITH Robert-MINTON Roland, Cálculo. Tomo 1, primera edición, Mc Graw-Hill. Interamericana.
2000.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
 LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.
 STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores.
México.
 THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-
Wesley Iberoamericana. EUA.
 GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.
 LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de la
Universidad Central. Ecuador.
 PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes, ZUÑIGA Leopoldo,
GÓMEZ JOSÉ LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo Diferencial para
ingeniería.
 PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.
 www.matemáticas.com

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

5. OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO. (RESULTADOS DE APRENDIZAJE DEL
CURSO)
 Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las
técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación)
 Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de
ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si
no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación)
 Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas,
reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)
 Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante
los teoremas y reglas de derivación acertadamente(Nivel Taxonómico: Aplicación)
 Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de
optimización a través de los criterios respectivos (Nivel Taxonómico: Aplicación)

6. TOPICOS O TEMAS CUBIERTOS (NÚMEROS DE HORAS POR TEMA)
 Análisis de funciones (16 horas)
 Aproximación a la idea de límites (12 horas)
 Cálculo diferencial pendiente de la recta tangente (12 horas)
 Aplicación de la derivada (18 horas)
 Introducción al cálculo integral: Integrales indefinidas (6 horas)

7. HORARIO DE CLASE / LABORATORIO
Cuatro horas de clases teóricas en dos sesiones de dos horas de clase a la semana

8. CONTRIBUCION DEL CURSO CON LA FORMACION DEL INGENIERO

Desarrollar en los estudiantes habilidades de reconocer funciones, obtención de dominio e imagen,
expresar modelo matemáticos donde se involucre el concepto de función, demostrar límites de funciones
aplicando la definición, determinar la continuidad de una función Interpretar, enunciar y aplicar los
teoremas de la derivada, analizar el estudio de la variación de una función, aplicar el flujo de información
en la fabricación de pequeños software, para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su
pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno
espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más
complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la
ciencias informáticas.

9. RELACION DEL CURSO EL CRITERIO 3 DE ACREDITACIÓN ABET:

RESULTADOS O LOGROS DEL CONTRIBUCIÓN EL ESTUDIANTE DEBE:
APRENDIZAJE (ALTA, MEDIO,
BAJO)
(a) Capacidad de aplicar conocimientos de MEDIA Aplicar con capacidad las Matemáticas en el diseño y
matemáticas, ciencias e ingeniería. desarrollo de Sistemas Informáticos como producto de su
aprendizaje continuo y experiencia adquirida en el
manejo de lenguajes de programación de software
matemático en su etapa de formación.
(b) Capacidad de diseñar y conducir experimentos, ******* *******
así como para analizar e interpretar los datos

(c) Capacidad de diseñar un sistema, componente o ******* *******
proceso para satisfacer las necesidades deseadas
dentro de las limitaciones realistas, económicos,
ambientales, sociales, políticas, éticas, de salud y
seguridad, de fabricación, y la sostenibilidad
(d) Capacidad de funcionar en equipos MEDIA Interactuar en los equipos de trabajo, cooperando con
multidisciplinarios valores éticos, responsabilidad, respeto a opiniones y
contribuyendo con conocimiento y estrategias
informáticas efectivas en la consecución de los objetivos
de un proyecto.
(e) la capacidad de identificar, formular y resolver ******* *******
problemas de ingeniería

(f) Comprensión de la responsabilidad profesional y ******* *******
ética

(g) Capacidad de comunicarse de manera efectiva MEDIA Elaborar informes escritos aplicando los lineamientos y
normas para elaborar un proyecto de investigación y

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

expresarse con un lenguaje matemático efectivo en las
exposiciones, usando las TIC´S y software matemáticos.
(h) Educación amplia necesaria para comprender el ******* *******
impacto de las soluciones de ingeniería en un
contexto económico global, contexto ambiental y
social.
(i) Reconocimiento de la necesidad y la capacidad de ******* *******
participar en el aprendizaje permanente.
(j) Conocimiento de los temas de actualidad ******* *******
(k) Capacidad de utilizar las técnicas, habilidades y MEDIA Utilizar el Matlab (u otro software matemático) como
herramientas modernas de ingeniería necesarias herramienta informática para modelar situaciones de la
para la práctica la ingeniería. realidad en la solución de problemas informáticos del
entorno.

10. EVALUACION DEL CURSO

DESCRIPCIÓN MEDIO CLCLO FIN DE CICLO TOTALES
Exámenes 15% 15% 30%
Pruebas Escritas 5% 5% 10%
Participaciones
5% 5% 10%
en Pizarra
Actividades
Tareas 5% 5% 10%
varias
Compromisos
Éticos y 5% 5% 10%
Disciplinarios
Informes 10% 10%
Defensa Oral
Investigación (Comunicación
20% 20%
matemática
efectiva )
TOTAL 45% 55% 100%

11. RESPONSABLE DE LA ELABORACION DEL SYLLABUS Y FECHA DE
ELABORACION

Elaborado por: Ing. José Cevallos S.
Fecha: 20 de Diciembre del 2011

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

SYLLABUS DEL CURSO
PLANIFICACIÓN DEL CURSO
Asignatura: Cálculo Diferencial
1.- Datos Generales
Unidad Académica: Facultad de Ciencias Informáticas
Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos
Ciclo Académico: Abril – septiembre 2012.
Nivel o Semestre: 2do. Semestre
Área de Curricular: Matemáticas
Tipo de Asignatura: Obligatoria de Facultad
Código: OF-280
Requisito para: Cálculo Integral-OF-380
Pre-requisito: Matemáticas Básicas II-OF-180
Co-requisito: Ninguno
No de Créditos: 4
No de Horas: 64
Docente Responsable: Ing. José Antonio Cevallos Salazar
Correo Electrónico: jcevallos@utm.edu.ec, jcs1302@hotmail.com.

2. Objetivo general de la asignatura
Desarrollar en los estudiantes habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a
través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del
Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas,
promoviendo la investigación científico-técnica para la ciencias informáticas.

3. Contribución del curso con el perfil del graduado
Objetivos Educacionales de la Facultad de Ciencias Informáticas
Carrera de Ingeniería de Sistemas Informáticos

1. Aplica las ciencias básicas y las matemáticas en la solución de problemas del entorno
2. Toma decisiones que ayudan a desarrollar organizaciones proactivas que contribuyen al buen vivir
3. Construye soluciones informáticas de calidad que mejoren la eficiencia y eficacia de una organización
haciendo uso correcto de la tecnología.
4. Demuestra compromiso de aprendizaje continuo y trabajo en equipo multidisciplinario con ética
profesional
5. Capacidad para realizar estudios de posgrado con exigencia internacional en áreas afines.
6. Es emprendedor, innovador y utiliza los últimos avances tecnológicos en el desempeño de su profesión

1 2 3 4 5 6
x x

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

5. Resultados del aprendizaje

RESULTADOS DEL METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE
APRENDIZAJE NIVELES METODO DE CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO PONDERACIÓN
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
Determinar el dominio, APLICACIÓN Ejercicios escritos, Aplicación de 4 Determinará el dominio con la NIVEL ALTO:
aplicación de 4 técnicas, el rango 86-100
rango y gráficas de orales, talleres y técnicas para con 4 técnicas y graficará las
funciones en los reales en los Software dominio funciones con 4 técnicas en
a través de ejercicios, Matemático: Derie- Aplicación de 4 ejercicios escritos, orales, talleres
y en el software Matemático:
aplicando las técnicas 6 y Matlab. técnicas para rango Derive-6 y Matlab.
respectivas para cada Aplicación de 4
caso. técnicas para
Determinará el dominio, con la
graficar las aplicación. de 2 técnicas, el rango NIVELMEDIO
funciones. con 2 técnicas y graficará las 71-85
funciones con 2 técnicas en
ejercicios escritos, orales, talleres
y en un software Matemático:
Matlab

Determinará el dominio, con la
aplicación. de 1 técnica, NIVEL BÁSICO
el rango con 1 técnicas y 70
graficará las funciones con 1
técnicas en ejercicios escritos,
orales, talleres y en un software
Matemático: Matlab

Demostrar la existencia APLICACIÓN 10 ejercicios Participación activa, e Demostrará la existencia de NIVEL ALTO:
interés en el aprendizaje. límites y continuidad de funciones 86-100
de límites y escritos, orales y en Aplicación de los tres en los reales por medio gráfico a
continuidad de talleres, individual criterios de continuidad través de 10 ejercicios escritos,
funciones en los reales y en equipo. de función. orales y en talleres participativos
Conclusión final si no es aplicando los tres criterios de
por medio gráfico a continúa la función continuidad de funciones.
través de ejercicios Participación activa, e interés en
participativos el aprendizaje.
Conclusión final si no es continúa
aplicando los criterios la función.
de continuidad de
Demostrará la existencia de NIVELMEDIO
funciones y las 71-85
límites y continuidad de funciones
conclusiones finales si en los resales por medio gráfico a
no fuera continua. través de 7 ejercicios escritos,
orales y en talleres participativos
aplicando los tres criterios de
continuidad de funciones.

la función.

Demostrará la existencia de NIVEL BÁSICO
límites y continuidad de funciones 70
en los resales por medio gráfico a
través de 5 ejercicios escritos,
orales y en talleres participativos
aplicando los tres criterios de
continuidad de funciones.

la función.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Determinar al procesar APLICACIÓN Determinará al procesar los NIVEL ALTO:
los límites de funciones 10 ejercicios Aplicación de los límites de funciones en los 86-100
teoremas de límites. reales con la aplicación de los
en los reales a través de escritos, orales, Aplicación de las reglas teoremas de límites,
ejercicios mediante talleres y en los básicas de límites Con la aplicación de la regla
teoremas, reglas Software infinitos. básica de límites infinitos, con
Aplicación de las reglas la aplicación de la regla básica
básicas establecidas y Matemáticos: básicas de límites al de límites al infinito y
asíntotas Derive-6 y Matlab. infinito. aplicación de límites en las
Aplicación de límites en
asíntotas verticales y
las asíntotas verticales y
asíntotas horizontales. horizontales, en 10 ejercicios
escritos, orales, talleres y en el
software Matemático: Derive-6
y Matlab

Determinará al procesar los NIVELMEDIO
límites de funciones en los 71-85
reales con la aplicación de los
teoremas de límites,
Con la aplicación de la regla
básica de límites infinitos, con
la aplicación de la regla básica
de límites al infinito en 7
ejercicios escritos, orales,
talleres y en el software
Matemático: Matlab.
NIVEL BÁSICO
Determinará al procesar los
límites de funciones en los
reales con la aplicación de la
70
regla básica de límites infinitos,
con la aplicación de la regla
básica de límites al infinito en 5
ejercicios manuales y en el
software Matemático: Derive-6

Determinar la derivada APLICACIÓN Aplicación de los Determinará la derivada de los NIVEL ALTO:
Ejercicios escritos, orales, teoremas de derivación. diferentes tipos de funciones en 86-100
de los diferentes tipos Aplicación de la regla de los reales aplicando
talleres y en el Software
de funciones en los Matemáticos: Matlab y derivación implícita. acertadamente los teoremas de
reales a través de Derive-6. Aplicación de la regla de derivación, con la aplicación de la
la cadena abierta. regla de la derivación implícita,
ejercicios mediante los Aplicación de la regla de con la aplicación de la regla de la
teoremas y reglas de derivación orden cadena abierta, con la aplicación
derivación superior. de la regla de la derivación de la
derivada de orden superior en
acertadamente. ejercicios escritos, orales, talleres
y en el software matemáticos:
Derive-6 y Matlab.

Determinará la derivada de los
diferentes tipos de funciones en
los reales aplicando
acertadamente los teoremas de NIVELMEDIO
derivación, con la aplicación de la 71.85
regla de la derivación implícita,
con la aplicación de la regla de la
derivación de la derivada de
orden superior en ejercicios
escritos, orsles, talleres y en el
software matemático: Matlab.

Determinará la derivada de los
diferentes tipos de funciones en
los reales aplicando
acertadamente los teoremas de NIVEL BÁSICO
derivación, en ejercicios escritos, 70
orales, talleres y en el software
matemáticos: Matlab.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Determinar los ANÁLISIS Ejercicios escritos, Aplicación del primer Determinará los máximos y NIVEL ALTO:
criterio para puntos mínimos, de funciones en los 86-100
máximos y mínimos, de orales, talleres y en críticos. reales, con la aplicación del
funciones en los reales el software Aplicación del segundo primer criterio para puntos
en el estudio de gráficas matemático: criterio para críticos, con la aplicación del
concavidades y punto de segundo criterio para
y problemas de Matlab. inflexión. concavidades y punto de inflexión,
optimización a través Aplicación del primer y con la aplicación del primer y
de los criterios segundo criterio para el segundo criterio para el estudio de
estudio de graficas. graficas, y con la aplicación del
respectivos. Aplicación del segundo segundo criterio para problemas
criterio para problemas de optimización en ejercicios
de optimización. escritos, orales, talleres y en
software matemático: Matlab

Determinará los máximos y
mínimos, de funciones en los NIVELMEDIO
reales, con la aplicación del 71-85
primer criterio para puntos
críticos, Aplicación del segundo
criterio para problemas de
optimización. En ejercicios
escritos, orales, talleres y en
software matemático: Matlab

Determinará los máximos y NIVEL BÁSICO
mínimos, de funciones en los 70
reales, con la aplicación del
primer criterio para puntos
críticos, con la aplicación del
segundo criterio para
concavidades y punto de inflexión,
Aplicación del primer y segundo
criterio para el estudio de
graficas, en ejercicios escritos,
orales y talleres.

1.1 Resultados de aprendizaje de la carrera específicos a los que apunta la materia
(ABET).

Resultados de aprendizaje de la carrera de Ingeniería de Sistemas Informáticos
a. Capacidad de realizar análisis, síntesis y aplicación de las matemáticas y ciencias básicas en la
solución de problemas de ingeniería en sistemas informáticos.
b. Capacidad de planificar, diseñar, conducir e interpretar resultados de experimentos orientados a la
informática.
c. La capacidad de diseñar sistemas, procesos, modelos y componentes informáticos que cumplan los
estándares nacionales o internacionales, tomando en cuenta las limitaciones económicas, ambientales,
sociales, políticas, de salud y seguridad del entorno, y cumpliendo satisfactoriamente con las
especificaciones y restricciones existentes o indicadas por los interesados o por los criterios de
sostenibilidad.
d. Capacidad para funcionar como parte de un equipo de profesionales de distintas áreas del
conocimiento, demostrando una efectiva cooperación, comunicación, con habilidades para resolver
conflictos y contribuyendo proactivamente en la propuesta de líneas estratégicas desde el punto de
vista informático, para la solución de problemas.
e. Capacidad para identificar, formular, evaluar y resolver técnicamente problemas de ingeniería
planteados de acuerdo a las necesidades del medio.
f. Capacidad para comprender, reconocer y aplicar valores y códigos de ética profesional, que le
permitan desenvolverse sin perjudicar a sus clientes y contribuyendo al desarrollo de la sociedad.
g. Habilidad para presentar efectivamente, ideas, proyectos, informes de investigaciones, documentos de
trabajo de manera escrita, oral y digital, utilizando las herramientas de las nuevas tecnologías de la
información.
h. Habilidad y capacidad para comprender el impacto de las soluciones informáticas a la realidad local,
nacional e internacional en un contexto económico global, ambiental y social.
i. Habilidad y aptitud para ser un profesional con el compromiso del aprendizaje continuo, con capacidad
para reconocer las oportunidades para mejorar en su campo profesional.
j. Habilidad para identificar temas y problemas de actualidad con respecto al entorno local, regional y
global, con el fin de relacionarlos con propuestas de soluciones creativas y eficientes.
k. Capacidad y destreza para utilizar técnicas, habilidades y herramientas en el desarrollo de software y
hardware para implementar soluciones a problemas de su profesión.

Contribución de la materia a los resultados de aprendizaje de la carrera:

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

A: Alta M: Medio B: Baja

a b c d E F g h i j k
M M M M

6. Programación

1. Resultados del Aprendizaje No 1: Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando
las técnicas respectivas para cada caso.

Fechas No de Temas Estrategias Recursos Bibliografía
horas metodológicas
Sept. 13 TOTAL 16 ANÁLISIS MATEMÁTICO.
JUAN MANUEL SILVA,
Oct. 6 2 UNIDAD I Dinámica de integración y 1. Bibliografías-
ADRIANA LAZO. 2006.
ANÁLISIS DE FUNCIONES socialización, Interactivas, 2. 2. LIMUSA NORIEGA.
PREFACIO. documentación, Pizarra de tiza
LAZO PAG. 124-128-142
ANÁLISIS DE FUNCIONES. presentación de los temas de líquida,
PRODUCTO CARTESIANO. clase y objetivos, lectura de 3. Laboratorio de
 Definición: Representación gráfica. motivación y video del tema, Computación,
RELACIONES: técnica lluvia de ideas, para 4. Proyector,
 Definición, Dominio y Recorrido de una Relación. interactuar entre los 5. Marcadores 6.
CALCULO CON
2 FUNCIONES: receptores. Software de GEOMETRIA ANALITICA.
TOMO I
 Definición, Notación derive-6, Matlab
LARSON-HOSTETLER-
 Dominio y recorrido. Observación del diagrama EDWARDS.EDISION
OCTAVA EDICIÓN. MC
 Variable dependiente e independiente. de secuencia del tema con
GRAWW HILL 2006
2  Representación gráfica. Criterio de Línea Vertical. ejemplos específicos para
LARSON PAG. 4, 25-37-46.
 Situaciones objetivas donde se involucra el interactuar con la
concepto de función. problemática de
LAZO PAG. 857-874, 891-919.
 Función en los Reales: inyectiva, sobreyectiva y interrogantes del problema,
LAZO PAG. 920-973
biyectiva Representación gráfica. Criterio de Línea método inductivo-deductivo,
LAZO PAG. 994-999-1015
horizontal.
 Proyecto de Investigación. Definir los puntos
2
TIPOS DE FUNCIONES: importantes del
 Función Constante conocimiento interactuando
2  Función de potencia: Identidad, cuadrática, cúbica, a los estudiantes para que
hipérbola, equilátera y función raíz. expresen sus conocimientos
 Funciones Polinomiales del tema tratado, aplicando
 Funciones Racionales la Técnica Activa de la
CALCULO. TOMO 1,
 Funciones Seccionadas Memoria Técnica
PRIMERA EDICIÓN,
 Funciones Algebraicas. ROBERT SMITH-ROLAND
2 MINTON, MC GRAW-HILL.
 Funciones Trigonométricas. Talleres intra-clase, para
INTERAMERICANA. 2000.
 Funciones Exponenciales. luego reforzarlas con tareas MC GRAW HILL.
 Funciones Inversas extractase y aplicar la
SMITH PAG. 13-14
2  Funciones Logarítmicas: definición y propiedades. información en software SMITH PAG. 23-33-41-51
SMITH PAG. 454
 Funciones trigonométricas inversas. para el área con el flujo de
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES: información.
 Técnica de grafica rápida de funciones.
COMBINACIÓN DE FUNCIONES:

2  Algebra de funciones: Definición de suma, resta,
producto y cociente de funciones.
 Composición de funciones: definición de función
compuesta

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

6. Programación

2. Resultados del Aprendizaje No 2: Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico,
aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continúa.

3. Resultados del Aprendizaje No 3: Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante
teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas.

Oct. 11 TOTAL12 UNIDAD II Dinámica de integración y 1.Bibliografías-
Nov. 8
2 APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE. socialización, Interactivas LAZO PÁG. 1029
LAZO PÁG. 1069
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. documentación, 2. Pizarra de tiza
SMITH PÁG. 68
 Concepto de límite. Propiedades de presentación de los temas líquida. LARSON PÁG. 46
límites. de clase y objetivos, lectura 3. Laboratorio de
LAZO PÁG. 1090
 Limites Indeterminados de motivación y video del Computación.
LÍMITES UNILATERALES tema, técnica lluvia de 4.Proyector
2 LAZO PÁG. 1041
 Limite Lateral derecho ideas, para interactuar 5.Marcadores
 Limite Lateral izquierdo. entre los receptores. 6.Software de
 Limite Bilateral. derive-6, Matlab
LAZO PÁG 1090
LÍMITES INFINITOS Observación del diagrama
LARSON PÁG. 48
 Definiciones de secuencia del tema con
 Teoremas. ejemplos específicos para
SMITH PÁG. 95
2 LÍMITES AL INFINITO interactuar con la
 Definiciones. Teoremas. problemática de
 Limites infinitos y al infinito. interrogantes del problema, LAZO PÁG 1102
2 SMITH PÁG. 97
ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS. método inductivo-
 Asíntota Horizontal: Definición. deductivo,
 Asíntota Vertical: Definición.
 Asíntota Oblicua: Definición. Definir los puntos LAZO PÁG. 1082
2 LARSON PÁG. 48
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS. importantes del
 Límite Trigonométrico fundamental. conocimiento
 Teoremas. interactuando a los
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO. estudiantes para que
LAZ0 PÁG. 1109
 Definiciones. expresen sus conocimientos
2
 Criterios de Continuidad. del tema tratado, aplicando
 Discontinuidad Removible y Esencial. la Técnica Activa de la
Memoria Técnica

Tareas intra-clase, para
luego reforzarlas con tareas
extractase y aplicar la
información en software
para el área con el flujo de
información.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

6. Programación

4. Resultado del aprendizaje No 4: Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios
mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.

Nov. 10 TOTAL12 UNIDAD III Dinámica de integración y 1.Bibliografías-
Dic. 6 LAZO PÁG. 1125
2 CALCULO DIFERENCIAL PENDIENTE DE LA RECTA socialización, Interactivas
SMITH PÁG. 126
TANGENTE documentación, 2. Pizarra de tiza LARSON PÁG. 106
DEFINICIONES.
presentación de los temas líquida.
DERIVADAS. SMITH PÁG. 135
 Definición de la derivada en un punto. de clase y objetivos, lectura 3. Laboratorio de SMITH PÁG. 139
 Interpretación geométrica de la LARSON PÁG. 112
de motivación y video del Computación.
derivada.
tema, técnica lluvia de 4.Proyector
 La derivada de una función.
 Gráfica de la derivada de una función. ideas, para interactuar 5.Marcadores
 Diferenciabilidad y Continuidad. entre los receptores. 6.Software de
derive-6, Matlab
CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE
TIPO ALGEBRAICA. Observación del diagrama
LAZO PÁG. 1137
2  Derivada de la función Constante. de secuencia del tema con
SMITH PÁG. 145
 Derivada de la función Idéntica. ejemplos específicos para LARSON PÁG. 118
 Derivada de la potencia.
 Derivada de una constante por la interactuar con la
función. problemática de
2  Derivada de la suma o resta de las interrogantes del
funciones.
problema, método
 Derivada del producto de funciones.
 Derivada del cociente de dos funciones. inductivo-deductivo,
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.
 Regla de la Cadena.
Definir los puntos
 Regla de potencias combinadas con la
Regla de la Cadena. importantes del LAZO PÁG 1155
2
DERIVADA DE LA FUNCION POTENCIA PARA SMTH 176
conocimiento
LARSON PÁG. 141
EXPONENTES RACIONALES.
interactuando a los
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
estudiantes para que
LAZO PÁG. 1139
DERIVADA IMPLICITA. expresen sus conocimientos SMITH PÁG. 145
Método de diferenciación Implícita. LAZO PÁG. 1149
del tema tratado, aplicando
DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y SMITH PÁG. 162
la Técnica Activa de la LARSON PÁG. 135
2 LOGARITMICAS
LAZO PÁG. 1163
Derivada de: Memoria Técnica
SMITH PÁG. 182
 Funciones exponenciales. LARSON PÁG. 152
 Derivada de funciones exponenciales de SMITH PÁG. 170
Tareas intra-clase, para
base e. LARSON PÁG. 360
 Derivada de las funciones logarítmicas. luego reforzarlas con
 Derivada de la función logaritmo tareas extractase y aplicar
natural.
la información en software
 Diferenciación logarítmica.
para el área con el flujo de
información.
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS.
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.
SMITH PÁG. 459
 Notaciones comunes para derivadas de
LARSON 432
2 orden superior.

LAZO PÁG. 1163
SMITH PÁG. 149

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

6. Programación

5. Resultado del Aprendizaje No 5: Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas
de optimización a través de los criterios respectivos.

Dic. 8 TOTAL24 UNIDAD IV Dinámica de integración y 1.Bibliografías-
Febr. 12
2 APLICACIÓN DE LA DERIVADA. socialización, Interactivas
LAZO PÁG. 1173
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA documentación, 2. Pizarra de tiza LAZO PÁG. 1178
SMITH PÁG. 216
NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO. presentación de los temas de líquida.
LARSON 176
VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS. clase y objetivos, lectura de 3. Laboratorio de
2
 Máximos y Mínimos Absolutos de motivación y video del tema, Computación.
una función. técnica lluvia de ideas, para 4.Proyector
 Máximos y Mínimos Locales de una interactuar entre los 5.Marcadores
función. receptores. 6.Software de
 Teorema del Valor Extremo. derive-6, Matlab
 Puntos Críticos: Definición. Observación del diagrama
LAZO PÁG. 1179
2 FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. de secuencia del tema con
SMITH PÁG. 225
DERIVADA. ejemplos específicos para LARSON 176
 Función creciente y función interactuar con la
2
Decreciente: Definición. problemática de
 Funciones monótonas. interrogantes del problema,
 Prueba de la primera derivada para método inductivo-
extremos Locales. deductivo,
LAZO PÁG. 1184
2
CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN. SMITH PÁG. 232
 Concavidades hacia arriba y Definir los puntos
concavidades hacia abajo: Definición. importantes del
 Prueba de concavidades. conocimiento interactuando
 Punto de inflexión: Definición. a los estudiantes para que
2
 Prueba de la 2da. Derivada para expresen sus conocimientos
extremo locales. del tema tratado, aplicando
la Técnica Activa de la
TRAZOS DE CURVAS. Memoria Técnica
2  Información requerida para el trazado
de la curva: Dominio, coordenadas al Tareas intra-clase, para
origen, punto de corte con los ejes, luego reforzarlas con tareas
2
simetría y asíntotas extractase y aplicar la
 Información de 1ra. Y 2da. Derivada información en software
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN. para el área con el flujo de
PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS. información.
LAZO PÁG. 1191
INTRODUCCION DE CONOCIMIENTOS SMITH PÁG. 249
LARSON 236
2  Diferenciales. Definición.
 Integral Indefinida. Definición.
2
LAZO PÁG. 1209
SMITH PÁG. 475
SUSTENTACION DE PROYECTOS DE INVESTIGACION LARSON PÁG. 280
2

2

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

8. Parámetros para la Evaluación de los Aprendizajes.

DESCRIPCIÓN MEDIO CLCLO FIN DE CICLO TOTALES
Exámenes 15% 15% 30%
Pruebas Escritas 5% 5% 10%
Participaciones
5% 5% 10%
en Pizarra
Actividades
Tareas 5% 5% 10%
varias
Compromisos
Éticos y 5% 5% 10%
Disciplinarios
Informes 10% 10%
Defensa Oral
Investigación (Comunicación
20% 20%
matemática
efectiva )
TOTAL 45% 55% 100%

9. TEXTOS Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS PARA EL DICTADO DEL CURSO
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

 SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega.
 LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición. Mc
Graww Hill 2006.
 SMITH Robert-MINTON Roland, Cálculo. Tomo 1, primera edición, Mc Graw-Hill. Interamericana.
2000.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
 LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.
 STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores.
México.
 THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-
Wesley Iberoamericana. EUA.
 GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.
 LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de la
Universidad Central. Ecuador.
 PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes, ZUÑIGA Leopoldo,
GÓMEZ JOSÉ LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo Diferencial para
ingeniería.
 PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.
 www.matemáticas.com

10. Revisión y aprobación
DOCENTE RESPONSABLE DIRECTOR(A) DE CARRERA PRESIDENTE(A) DE COMISIÓN
Ing. José Cevallos Salazar. ACADÉMICA
Firma: Firma: Firma:

________________________________ _____________________________ ___________________________________

Fecha: Fecha: Fecha:

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Este portafolio presenta mi trayectoria en el curso de: CÁLCULO
DIFERENCIAL, este curso tuvo como objetivos desarrollar las destrezas
de el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a
través de la solución de problemas que permitan percibir e interpretar su
entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitando en el futuro la
asimilación de aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas,
promoviendo la investigación científico-técnica para la ciencias
informáticas. Durante este semestre pude conocer sobre--------------------
------------------------------------------------------------------------------------
Las técnicas presentadas por el docente me ayudaron a mejorar como
futuro profesional de la Informática.

Las áreas más dificultosas en curso fueron----------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Luis Miguel Mastarreno Macías.

Portoviejo-Calle Chile entre Quito y Ramos
Iduarte.

Tel: 090632069

Universidad Técnica de Manabí

Facultad de Ciencias Informáticas

2do Semestre “C”

Mi nombre es Luis Miguel Mastarreno Macías, soy estudiante de la
asignatura de INGLES ELEMENTAL ALTO, actualmente curso el
segundo semestre en la facultad de Ciencias Informáticas de la universidad
Técnica de Manabí. Soy una persona responsable, activa y me gusta
trabajar en equipo.

Mis principales áreas de interés son la aplicación y desarrollo de las
tecnologías y el manejo de diferentes software.

Mis metas son convertirme en profesional como ingeniera en Sistemas
Informáticos, aplicando los conocimientos adquiridos en diferentes ramas
de la informática brindándole a la sociedad un servicio de calidad y poder
cumplir mis propósitos.

Además incentivar a los demás a que estudien la carrera de Ing. en sistemas
informáticos ya que la tecnología es lo que prevalece hoy en día.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Siempre agradeciendo a Dios y a mis padres por brindarme el apoyo
incondicional para continuar con mis estudios y convertirme en lo que
anhelo ser, esforzándome cada día y sentirme orgullosa de mi misma.

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÌ

MISIÓN:
Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas, éticos y
solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo nacional, que contribuyan a
la solución de los problemas del país como universidad de docencia con investigación,
capaces de generar y aplicar nuevos conocimientos, fomentando la promoción y
difusión de los saberes y las culturas, previstos en la Constitución de la República del
Ecuador.

VISIÓN:
Ser institución universitaria, líder y referente de la educación superior en el Ecuador,
promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la técnica y la
cultura, con reconocimiento social y proyección regional y mundial.

FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÀTICAS

MISIÓN:
Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia y calidad en
la educación, organizada en sus actividades, protagonistas del progreso regional y
nacional.

VISIÓN:
Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias informáticas,
que con honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a las necesidades de la
sociedad elevando su nivel de vida.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”C”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 1:
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Tema discutido: Unidad I:
Análisis de funciones

Producto cartesiano

Definición: Representación gráfica

Relaciones:
 Definición, dominio y recorrido de una relación.

Funciones:
Definición, notación

 Dominio, recorrido o rango de una función
 Variables: dependiente e independiente
 Constante
 Representación gráfica de una función
 Criterio de recta vertical.

Objetivos de desempeño:
 Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones
 Definir y reconocer: dominio e imagen de una función
 Definir y graficar funciones, identificación de las misma aplicando criterios.

Competencia general:
Definiciones, identificación y trazos de gráficas.
2 Semestre “C”
Jose Cevallos

INTRODUCCIÓN
En el siguiente resumen se da a conocer información sobre la clase#1 de cálculo diferencial en
la cual se ha iniciado con una breve explicación sobre el capítulo respectivo.

En la primera clase se tomaron en cuenta varios factores acerca de las funciones como:

1. Dominio.
2. Co-dominio.
3. Imagen.

RESUMEN

Se comenzó con la presentación del profesor, con la forma de trabajar de él, nos mostró un
video titulado “Oración a mismo”, uno de cada miembros de estudiante dio su reflexión acerca
del video, se eligió el asiste, nos presentó el portafolio del docente del semestre anterior y el
portafolio del docente actual, también vimos el portafolio estudiantil.

En la primera clase del “Capitulo #1” se dio la explicación correspondiente sobre el tema
relacionado a “Funciones” correspondiente al capítulo antes mencionado, tomando como
principio de la clase el siguiente tema:

“Relaciones, Funciones - Variables, Producto Cartesiano”

Las relaciones de funciones se basa en una relación entre dos conjuntos en el cual el conjunto A
será el Dominio y el conjunto B el Co-dominio. La relación entre el dominio y el Co-dominio se
denomina imagen, recorrido o rango.

Datos interesantes discutidos:

Después comenzamos con la presentación del tema, nos explicó que:

 La función relaciona los elementos de 2 conjuntos, que siempre será relación pero una
relación nunca será función.
 La relación es comparar los elementos.
 Dominio es el conjunto de elementos que tienen imágenes
 Condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable
La imagen (I) o rango (Ra), recorrido (R), es un conjunto de llegada que se conecta con
el dominio respectivo. Imagen (I) Recorrido (R) Rango (Ra)
A B

-4 1
-3
-2 0
-1
Dominio 4 Condominio
0
1 25
2
3 16
4
9
2 Semestre “C”
Jose Cevallos

A B

2 -1

5 5
Imagen
7 14

Dominio Co-dominio

Una imagen es la agrupación entre el dominio y el Co-dominio que da como resultado un par.
La relación entre el dominio y el Co-dominio produce un conjunto de pares.

A B= {(2,14) ;(1,7)…}

En una función podemos encontrar dos tipos de variables: Dependientes e Independientes, y a
esto se agregan las constantes. Las variables independientes son aquellas que no dependen de
ningún otro valor, en cambio las dependientes dependen de la otra variable. Las constantes son
valores que no cambian durante la función por lo tanto no se alteran ni cambian sus valores.

Variable dependiente Y = X² + 2X – 1 constante

Variable independiente

Las funciones son representadas por el símbolo “f(x)”, en el que la f no es indispensable, ya que
puede ser reemplazado por cualquier otra letra (esto denota que se habla de una función
matemática).

Dependiendo de lo dicho anteriormente referente a las funciones podemos encontrar dos tipos
de funciones:

 Funciones Explicitas.
 Funciones Implícitas.
Las funciones Explicitas se refieren a una función definida en su totalidad.

Y = X² + 2X – 1
Las funciones Implícitas son contrarias a las explicitas, por lo consiguiente no se encuentran
definidas.

Y + 5 = 2X + 3 – X

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

 Variable dependiente, no depende de otra variable mediante el proceso matemático,
ejemplo: f(x)=x,y o f(x)es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se
subministra a x.

 Variables Independiente, depende de otra variable, ejemplo: x ya que la y es la que
depende de los valores de x.

 Función implícita, no está definida con ninguna de las variables, ejemplo:
y2+x-1=x2-6
 Función explicita, está definida con las variables, ejemplo:
Y=x2-2x+1

 Función creciente, al medida que aumenta el dominio aumento la imagen
 Función decreciente, a medida que aumenta su dominio disminuye su imagen
 Función constante, a medida que aumenta su dominio igual será su imagen

 Par, de estar formado por un dominio y un condominio

 Plano cartesiano, está formando por dos rectas, una horizontal y otra vertical que se
corta en un punto.

También nos vimos como poder reconocer una función mediante
el criterio de recta vertical, en un plano cartesiano, esto se realiza
pasando una recta perpendicular paralela a la ordenada (y) si
corta un punto es función, si corta 2 o más no es función.

Producto cartesiano._ El producto cartesiano nos permite
representar de manera gráfica cualquier función, siempre y
cuando sea de forma explícita y se realice la comprobación
correspondiente aplicando el “Criterio de la recta”.

Función No función

El criterio de la recta._ El criterio de la recta nos indica, al trazar una recta vertical se
forma una paralela a la ordenada porque corta un punto de la gráfica y su dominio A se conecta
una y solamente una vez con su imagen B.

Realizamos ejercicios donde podemos verificar si hay funciones en las relaciones

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

y=2x+1

Esta es una función por que la y tiene un resultado.

y2=4-x2

Si resolvemos este ejercicio nos quedaría así:

y2=2-x2

y= √

Esta no es una función porque y tiene como dos resultado con signo diferentes.

Otros detalles que analizamos fueron:

Resultado

f(x)

Ordenar

Galare, es la tabla de resumen de datos ejemplo:

x y
-4 25
-3 16
-2 9
-1 4
0 1

¿Qué cosas fueron difíciles?
La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la metodología del
profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.

¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil reconocer en el plano cartesiano cuales eran funciones gracias al método que el
profesor nos enseñó y como se forman las imágenes saber reconocer una imagen.

¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder diferenciar en el plano cartesiano cuales de las figuras son
funciones y cuales no son.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”C”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 2
FECHA: Martes, 24 de abril-jueves, 26 de Abril del 2012.

Tema discutido: Unidad I:
Funciones:

 Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función
 Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
 Gráfica, criterio de recta horizontal
Tipos de Funciones:

 Función Constante
 Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola y
función raíz
Objetivos de desempeño:

 Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función
 Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
Competencia general:

 Definir de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de funciones.
Datos interesantes discutidos hoy:

Comenzamos con el video de reflexión con el nombre “Lluvia de Ideas”, este se tratada
de decir en pocas palabras como había uno amanecido con sus alegrías y sus
preocupaciones. Abrimos el programa de MATLAB, para verificar el manejo de dicho
programa, realizando algunos ejercicios como:
>>figure (4)
y=(x-1)/(x)
y= (x-1)/x

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

>>ezplot(4)

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

FUNCION INYECTIVA

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

FUNCION SOBREYECTIVA

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Función: ( )

>>syms x
>> y=x^3
y=
x^3
>>ezplot(y);gridon
>>title('it{Función cúbica f(x)=x^3}','FontSize',16)

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Las cosas que fueron un poco difícil fue hallar imagen y dominio. Con las funciones dadas en la
clase

Se me hizo fácil reconocer las función inyectiva,. sobreyectiva y biyectiva.

fue trabajar en el software matemático Matlab en el cual empezamos a graficar
funciones

En esta clase aprendí a poder diferenciar los tipos de funciones y le crierio de las recta vertical
empleada en la funciones dadas

Hoy aprendí muchas cosas que me van a servir mucho en mi etapa de estudiante
PORQUE no solo aprendí a resolver ejercicios sino que también aclare mis dudas de
unos comandos que se me hacían difíciles al momento de graficar un función el
software matemático Matlab. Entre los temas que aprendí están:
1. Que la reflexión con la que empezamos la clase me lleno de gran emoción y me
pude dar cuenta uno debe tomar sus propias opiniones y no dejarse llevar por las
demás personas.
2. Hallar dominio e imagen.
3. A graficar funciones por medio del software matemático Matlab.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE CIENCIAS
INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 3

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

TIEMPO: 2 HORAS
FECHA: Jueves, 3 de mayo del 2012.

CONTENIDOS:

TIPOS DE FUNCIONES:

 Función polinomio,
 Función racional,
 Funciones seccionadas,
 Función algebraica.
 Funciones trigonométricas.
 Función exponencial
 Función inversa,
 Función logarítmica: definición y propiedades,
 Funciones trigonométricas inversa,
 Transformación de funciones: técnica de graficacion rápida de funciones,

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
 Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

COMPETENCIA GENERAL:

 Trazar graficas de diferentes tipos de funciones
Datos interesantes discutidos hoy:

 En el día de hoy en los temas discutidos empezamos con el video de reflexión
sobre AQUÍ ESTOY YO el cual nos mostró que dios esta con todos para
ayudarnos en todo los problemas, el cual aprendemos hacer todas las clases de
funciones.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

FUNCIÓN POLINOMIO

TIPOS DE FUNCIONES

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Funciones Seccionadas

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Las cosas que se me hicieron muy difícil fueron las funciones trigonometrías

En los temas que vimos el día de hoy fueron la trasformación de funciones con la técnica rapica
de graficacion

En la reflexión aprendí que dios nunca nos abandona ni en nuestros peores momento aunque
parezca algo imposible siempre le va estar p ara ayudarnos

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

FECHA: Martes, 8 de mayo-jueves, 10 de mayo del 2012.

CONTENIDOS:

COMBINACIÓN DE FUNCIONES:

 Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones,
Silva Laso, 994
 Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999

APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

 Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68,
Larson, 46
 Límites indeterminados, Silva Laso, 1090

LIMITES UNILATERALES

 Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041
 Límite lateral izquierdo
 Límite bilateral


 Definir operaciones con funciones.
 Definir y calcular límites.


 Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones aplicando criterios

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Algebra De Funciones

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Concepto de limites

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA


CONTENIDOS:

LIMITE INFINITO:

 Definición, teoremas, Silva Laso, 1090, Larson, 48

LIMTE AL INFINITO:

 Definición, teoremas.
 Limite infinito y al infinito, Smith, 95

ASÍNTOTAS:

 Asíntotas verticales, definición, gráficas, Silva Laso, 1102, Smith, 97
 Asíntotas horizontales, definición, gráficas.
 Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

 Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.
 Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.


 Definición y cálculo de límites aplicando criterios, aplicación en trazado de asíntotas.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos



CONTENIDOS:

LÍMITES TRIGONOMETRICOS:

 Límite trigonométrico fundamental, Silva Laso, 1082, Larson, 48
 Teoremas.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO:

 Definición, Silva Laso, 1109
 Criterios de continuidad.
 Discontinuidad removible y esencial.


 Definir y calcular límites trigonométricos.
 Definir y demostrar la continuidad o discontinuidad de una función.


 Definición y cálculo de límites trigonométricos, demostración de continuidad y
discontinuidad de funciones aplicando criterios.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Límite trigonométrico fundamental

CONTINUIDAD

Criterios de continuidad

Para que una función sea continua en un punto debe cumplir los siguientes criterios:

 El límite en ese punto debe existir
 La función evaluada en ese punto debe existir
 El resultado de los dos criterios anteriores deben ser iguales

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Discontinuidad removible y esencial

2 Semestre “C”
Jose Cevallos



CONTENIDOS:

CALCULO DIFERENCIAL.

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE:

 Definiciones, Silva laso, 1125, Smith, 126, Larson, 106

DERIVADA:

 Definición de la derivada en un punto, Smith, 135
 Interpretación geométrica de la derivada.
 La derivada de una función
 Gráfica de la derivada de una función, Smith, 139
 Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112


 Definir y demostrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva.
 Definir la derivada de una función.


 Aplicación de la definición de la pendiente de la recta tangente y derivada en diferentes
tipos de funciones.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

EJEMPLO:

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy
próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a
cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la
figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca
a la línea azul por lo que:
tg ah tiende a tg a, es decir,
a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto, pues
es el núcleo por
el que después entenderás otros conceptos,
si no es así, dímelo

La derivada de una función

En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una

curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvo

como resultado dos límites:

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Gráfica de la derivada

Aquí está la gráfica de una función continua
y diferenciable f (x).

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase No 8:

TEMA DISCUTIDO:
Video reflexivo “NO DESISTAS” Este video me ayudo a no desistir de las metas
propuestas en mi vida.
CONTENIDOS:
PRESENTACIÓN DE PROYECTOS.


Fortalecer sus potenciales de conocimiento.

n la praxis social Aplicación.

En esta clase no se me hizo difícil nada.
PORQUE esta clase fue más de refuerzo de lo aprendido y sobretodo de entrega de
varias cosas solicitado por el docente.
Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo.
2 Semestre “C”
Jose Cevallos

PORQUE fue más de fortalecimiento de lo ya aprendido y como hemos practicado
bastante se me hizo fácil.
Aprendí todo lo que se me hizo complicado durante todo el parcial y gracias a la
explicación y fortalecimiento del docente pude comprender.
Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo pude hacer de
una forma muy rápida.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Clase No 9:
FECHA: Martes, 19 de junio-jueves, 21 de junio del 2012.

CONTENIDOS:

CONTENIDOS:

CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICO.

 Derivada de la función Constante,
 Derivada de la función Idéntica.
 Derivada de la función potencia.
 Derivada de una constante por una función.
 Derivada de la suma de funciones.
 Derivada del producto de funciones.
 Derivada del cociente de dos funciones.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.

 Regla de la cadena,
 Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.


 Definir y calcular la derivada de algunas funciones de tipo algebraico.
 Definir y calcular derivadas de funciones compuestas.
 Definir y aplicar la regla de la cadena abierta.


 Aplicación directa de modelos matemáticos de la variación de diferentes tipos de
funciones.

Derivada de la función Constante

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la
abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo
de definición de f(x),

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas
funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del
segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el
denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el
cuadrado del denominador.

Apliquemos ln a: y = u/v
lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son f(x):
(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como factor común:
(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2

 Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

La clase se me hizo un poco difícil porque no podía entender las DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN COMPUESTA. Ya que son temas que no he visto

Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos matemático

En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funcione
trigonométricas .

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Clase No 10:
FECHA: Martes, 26 de junio-jueves, 28 de junio del 2012.

TEMA DISCUTIDO:
Video reflexivo “RECUERDAME” Este video me ayudo a varios momentos
importantes que pasaron en mi vida.
CONTENIDOS:
DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA PARA EXPONENTES
RACIONALES. Silva laso, 1139, Smith, 145
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Silva laso, 1149, Smith,
162, Larson, 135
DERIVADA IMPLICITA:
Silva Laso, 1163, Smith, 182, Larson, 152

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:
Smith, 170, Larson, 360

natural.


 Definir y calcular derivadas de funciones con exponentes racionales.
 Definir y calcular derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
 Definir y calcular derivadas de función implícita.
Aplicación de modelos matemáticos directos y acertadamente para derivar diferentes
tipos de funciones

Regla de la cadena para derivada
Después de estudiar esta sección, el estudiante deberá ser capaz de:
1. Enunciar el teorema, regla de la cadena para derivadas.
2. Empleando el teorema de regla de la cadena, obtener la derivada de una función
compuesta.

El siguiente teorema conocido como regla de la cadena, nos servirá para obtener la
derivada de una función compuesta.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Teorema “Regla de la Cadena”
Si y es una función de u, definida por 𝑦 (𝑢) y 𝐷𝑢, 𝑦, existe y si u es una funciuon de x
por 𝑢 ( ) y 𝐷 , 𝑢 existe, entonces y es una función de x y D y existe.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Derivación de Funciones Exponenciales

Sabemos que e es un número irracional, pues e =
2.718281828... La notación e para este número fue
dada por Leonhard Euler (1727).

La función f(x) = ex es una función exponencial
natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está
entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la
izquierda.

Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de
los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex.
Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es
igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el
punto (0,1) la pendiente es 1.

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano,
aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo
neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano
al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es
2 Semestre “C”
Jose Cevallos

2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar
como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de
que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado
el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que
e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número
real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta
definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta
base concreta. Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los
números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

PORQUE esta clase fue más de refuerzo de lo aprendido y sobretodo de entrega de varias
cosas solicitado por el docente.
Aprendí todo lo que se me hizo complicado durante todo el parcial y gracias a la
explicación y fortalecimiento del docente pude comprender.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Clase No 11:
FECHA: Martes, 3 de julio-jueves, 5 de julio del 2012.

TEMA DISCUTIDO:
CONTENIDOS:
DERIVADA DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. Smith, 459, Larson, 432
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.
. Silva Laso, 1163, Smith, 149

APLICACIÓN DE LA DERIVADA. Silva Laso, 1173
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL A LA
CURVA EN UN PUNTO.
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Silva Laso, 1178, Smith,, 216, Larson, 176
n a función.


y mínimos.


2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Derivación implícita y derivada de orden superior.

Después de estudiar esta sección el estudiante deberá ser capaz de:
1. De una función, implícitamente obtener la derivada de y con respecto de x.
2. Obtener la derivada de orden n de u a función dada.

Si y es una función definida por una expresión algebraica en términos de variable x, se
dice que f está definida EXPLICITAMENTE en términos de x.
Por ejemplo, las siguientes funciones están explícitamente en términos de x.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Se me hizo difícil la derivación de orden superior.
Prácticamente en esta clase se me hizo fácil la derivación de la función implícita, y el
cálculo para sacar máximos y mínimos.
Aprendí a derivar la función implícita, también las funciones de orden superior y a calcular
máximos y mínimos.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Clase No 12:

CONTENIDOS:

FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. DERIVADA:

Función creciente y función decreciente: definición. Silva Laso, 1179, Smith, 225,
Larson, 176
 Pruebas de las funciones monótonas.
 Prueba de la primera derivada para extremos locales.
CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN:

 Concavidades hacia arriba y concavidades hacia abajo: definición. Silva Laso, 1184,
Smith, 232
 Prueba de concavidades.
 Punto de inflexión: definición.
 Prueba de la 2da. Derivada para extremos locales.
TRAZOS DE CURVAS:

 Información requerida para el trazado de curvas: dominio, coordenadas al origen, punto
de corte con los ejes, simetría y asíntotas.
 Información de la 1ra. y 2da. Derivada.

 Aplicar la información de la 1ra. y 2da derivada en el trazo de graficas.
COMPETENCIA GENERAL: Aplicación de la derivada.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Función creciente y decreciente

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Es creciente cuando los valores de Y van incrementándose o manteniéndose conforme se incrementa X.
Es creciente cuando los valores de Y van decreciendo o manteniéndose conforme se incrementa X.
Si una función tiene el valor de Y constante, entonces es constante, pero también entra en la definición
tanto de creciente como de decreciente.
Si la función sólo crece o sólo decrece (no tiene ningún tramo en que esté estable, sin crecer ni decrecer),
entonces se dice que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, según el caso.
Definición:
Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, se dice que la
gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta disminuye ((x),
decimos que la función decrece.
Simbólicamente podríamos definir:
( es creciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)
( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)
[pic]
Criterios para Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el
intervalo abierto (a, b).
i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b].
ii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es decreciente en [a, b].
iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].
Observación:
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera derivada.
Así:
Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.
[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.
El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos) de
una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en
los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos
de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio
en la concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones
de tipo intuitivo.
Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la
curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos

Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se
encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es
cóncava hacia abajo en el punto x1.
Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, la
curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva
es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la
concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva.
Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:
Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.
i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:

'

Z x = f x − f c x−c − f c <
iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de
I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo
abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los su
intervalos: (a, c) y (c, b).
Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava
positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva es cóncava
hacia abajo o cóncava negativa.
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición
suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

Se me hizo difícil cuando la función es cóncava y hacia qué dirección va. .
Prácticamente en esta clase se me hizo fácil el cálculo para sacar máximos y mínimos.
Aprendí a ver cuándo hay punto de inflexión, cuando es cóncava y a calcular máximos y
mínimos.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Clase No 13:
FECHA: Martes, 17 de julio-jueves, 19 de julio del 2012. .

CONTENIDOS:

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.

 Problema de máximos y mínimos.


 Aplicar la información de la derivada en problemas de máximos y mínimos.


 Definición de problemas de optimización.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Problema de máximos y mínimos.

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa
recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la
longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.
Solución:
Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.
4.25 (a)), donde 20ax≤≤.

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la fig.
4.25 (b).
Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,

Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo

entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho
intervalo.
Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda
derivada.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

lo cual indica que x=a2 corresponde a un mínimo relativo. (Interprete geométricamente el
resultado).

máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulina
cuadrados de lado 6a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene dado por:

Qué cosas fueron difíciles?
Se me hizo difícil cuando la función es cóncava y hacia qué dirección va.
Prácticamente en esta clase se me hizo fácil el cálculo para sacar máximos y mínimos.
Aprendí a ver cuándo hay punto de inflexión, cuando es cóncava y a calcular máximos y
mínimos.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Clase No 14:

CONTENIDOS

INTRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTOS:

 Cálculo integral: definición.
 Diferenciales: definición.
 Integral indefinida: definición
 Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.


 Definir y calcular anti derivadas.


 Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Cálculo integral: definición.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan
como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que
denominan “Cálculo Integral”.

Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda una
familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre de
antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al de
la derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos concluir
que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil, podemos
hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos,
podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña definición de
integración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemos
encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada; ahora,
veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el motivo real
de este trabajo

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos
estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de
funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor
aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la
variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la
mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,
aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que
llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

DEFINICION Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta
tangente.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las
cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la variación de
f cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente en el mismo rango de
variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son
muy parecidas, es decir, T

 Integral indefinida: definición

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una
integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculo
integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el
proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la
matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes
de regiones y sólidos de revolución.

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más
importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas
matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias,
raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales y
combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado
trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones
diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una
integral definida,
0.1
por ejemplo,
∫e−x
0
dx , para la cual no hay solución en términos de funciones
elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando
término a
término dicha serie.
Aprendí a calcular lo que fue integrales y con sus diferentes modelos los cuales se me
hicieron fáciles.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Clase No 15:

FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012.

CONTENIDOS:


 Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.

 Definir y calcular antiderivadas.


 Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

 Definir y calcular antiderivadas.

Definición :
Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función
g derivable en D tal que se cumpla que:

Teorema :
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números
reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier
propiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.
Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y sean :
antiderivadas
Si es un número real, entonces se cumple :
1)

2)

Aprendí a calcular lo que fue integrales y anti derivadas y con sus diferentes modelos
los cuales se me hicieron fáciles.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Clase No 16:
FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012.

TEMA DISCUTIDO:
CONTENIDOS:


atemáticos de integración indefinida.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

PORQUE pude comprender todo lo explicado por el docente facilitador.
PORQUE fue una clase muy interesante ya que aprendimos varios modelos de integrales.
Aprendí a calcular lo que fue integrales y anti derivadas y con sus diferentes modelos los
cuales se me hicieron fáciles.
Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo pude hacer de una
forma muy rápida.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVO

ARTÍCULOS DE REVISTAS

Revista Matemática
Complutense

Director: José María Arrieta Algarra

ISSN 1139-1138

Año de fundación: 1988

Periodicidad: semestral
Formato: 17 x 24 cm

REFLEXIÒN
En este trabajo se presenta un modelo matemático general y operativo para los
problemas de decisión unietápicos cuyas consecuencias se cuantifican mediante
números difusos. Ese modelo va a permitir establecer los fundamentos de las utilidades
difusas mediante un desarrollo axiomático, y generalizar las formas normal y extensiva
del análisis bayesiano dando condiciones para la equivalencia de las mismas. Se
examinará también la particularización del análisis bayesiano en forma extensiva a la
estimación y el constraste de hipótesis, y se ilustrará su aplicación con algunos
ejemplos.

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÀTICAS

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

TRABAJO DE EJECUCIÓN

2 Semestre “C”
Jose Cevallos

Calculo mastarreno

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