Este documento presenta el cálculo de la matriz de rigidez global de una estructura mediante el método matricial. Se definen los grados de libertad y se calculan las matrices de rigidez locales de cada elemento. Luego, se ensamblan las matrices locales para obtener la matriz de rigidez global, y se definen los vectores de desplazamiento y cargas para formular el sistema de ecuaciones a resolver.
Estructuracion y diseño de edificaciones de concreto armado antonio blanco ...esmaton
Este documento habla sobre la importancia de resumir textos de forma concisa para captar la idea principal. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los detalles más relevantes del documento original en una o dos oraciones como máximo.
Este documento describe los elementos estructurales y el diseño de un puente de vigas y losa de concreto armado. Explica que el puente está compuesto por vigas principales, vigas transversales o diafragmas, y una losa de concreto que soporta el asfalto. También describe cómo se calculan los momentos y cortantes en las vigas y losa debido a las cargas vivas como el tráfico, considerando factores de distribución.
The document is from the website www.elfisicojuan.jimdo.com by Br. Juan Jose Ramos Cabezas. It provides solved structural analysis exercises using the slope-deflection method. Various structural connections are defined including pinned, roller, and fixed. The document contains numerous structural analysis problems and their step-by-step solutions using the slope-deflection method.
El documento presenta dos tablas con las propiedades geométricas recomendadas para vigas AASHTO. La Tabla 1 muestra las secciones transversales tipo I con sus áreas, momentos de inercia y distancias al alma máximas. La Tabla 2 presenta las secciones cajón tipo BI a BIV con sus propiedades y vanos máximos recomendados para cables deflectados y rectos. Ambas tablas proporcionan datos útiles para el diseño de vigas de hormigón pretensado.
Este método se usa para resolver estructuras hiperestáticas planas asumiendo deformaciones por flexión. Se basa en expresar los momentos de extremo de cada elemento en función de los giros y deflexiones de los nudos, manteniendo constantes los ángulos entre elementos que convergen en los nudos. Identifica los grados de libertad como giros o desplazamientos de nudos e iguala los momentos de extremo de cada elemento para formular ecuaciones de equilibrio, generando un sistema lineal que al resolver da los giros y desplazamientos de los nudos.
El documento describe los criterios y controles básicos para el diseño geométrico de carreteras, incluyendo factores como el tipo de servicio, seguridad, costos, y medio ambiente. Explica conceptos como vehículos de diseño, características del tránsito, velocidad de diseño, y visibilidad. Además, presenta tablas sobre velocidades de marcha en función de la velocidad directriz y clasificación de carreteras según tráfico vehicular diario y características.
Estructuracion y diseño de edificaciones de concreto armado antonio blanco ...esmaton
Este documento habla sobre la importancia de resumir textos de forma concisa para captar la idea principal. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los detalles más relevantes del documento original en una o dos oraciones como máximo.
Este documento describe los elementos estructurales y el diseño de un puente de vigas y losa de concreto armado. Explica que el puente está compuesto por vigas principales, vigas transversales o diafragmas, y una losa de concreto que soporta el asfalto. También describe cómo se calculan los momentos y cortantes en las vigas y losa debido a las cargas vivas como el tráfico, considerando factores de distribución.
The document is from the website www.elfisicojuan.jimdo.com by Br. Juan Jose Ramos Cabezas. It provides solved structural analysis exercises using the slope-deflection method. Various structural connections are defined including pinned, roller, and fixed. The document contains numerous structural analysis problems and their step-by-step solutions using the slope-deflection method.
El documento presenta dos tablas con las propiedades geométricas recomendadas para vigas AASHTO. La Tabla 1 muestra las secciones transversales tipo I con sus áreas, momentos de inercia y distancias al alma máximas. La Tabla 2 presenta las secciones cajón tipo BI a BIV con sus propiedades y vanos máximos recomendados para cables deflectados y rectos. Ambas tablas proporcionan datos útiles para el diseño de vigas de hormigón pretensado.
Este método se usa para resolver estructuras hiperestáticas planas asumiendo deformaciones por flexión. Se basa en expresar los momentos de extremo de cada elemento en función de los giros y deflexiones de los nudos, manteniendo constantes los ángulos entre elementos que convergen en los nudos. Identifica los grados de libertad como giros o desplazamientos de nudos e iguala los momentos de extremo de cada elemento para formular ecuaciones de equilibrio, generando un sistema lineal que al resolver da los giros y desplazamientos de los nudos.
El documento describe los criterios y controles básicos para el diseño geométrico de carreteras, incluyendo factores como el tipo de servicio, seguridad, costos, y medio ambiente. Explica conceptos como vehículos de diseño, características del tránsito, velocidad de diseño, y visibilidad. Además, presenta tablas sobre velocidades de marcha en función de la velocidad directriz y clasificación de carreteras según tráfico vehicular diario y características.
El documento presenta el análisis sismorresistente realizado a un edificio de oficinas en Tacna, Perú. Se describe la estructura, se calculan los parámetros sísmicos de acuerdo a la norma E.030, y se realizan análisis modal, estático y dinámico en el programa ETABS. Se identifican diversas irregularidades estructurales y se verifica que los desplazamientos laterales y derivas entre pisos cumplen los límites establecidos, concluyendo que la estructura cumple con la norm
Este documento trata sobre la capacidad de carga y asentamientos elásticos en cimentaciones superficiales. Explica los diferentes tipos de falla que pueden ocurrir en la cimentación (falla general por corte, falla local por corte, falla por punzonamiento) y los factores que influyen en cada tipo de falla. También resume la teoría de Terzaghi sobre la capacidad de carga última y cómo calcularla para diferentes tipos de cimentaciones considerando parámetros del suelo como la cohesión, ángulo de fricción y nivel
Este documento presenta los conceptos básicos para calcular el empuje de los suelos sobre estructuras de retención según la teoría de Rankine. Explica que el empuje depende de la naturaleza del suelo y del tipo de estructura. Describe los estados límites activo y pasivo de Rankine y cómo se relacionan las tensiones principales en cada estado. Proporciona fórmulas y diagramas para calcular el empuje activo y pasivo tanto en arenas como en arcillas, considerando la profundidad, cohesión,
Este documento presenta el diseño de un muro de contención con contrafuertes. En 3 oraciones:
1) Se realiza el cálculo de la estabilidad del muro considerando fuerzas como el empuje del terreno y sobrecargas, y se verifica que cumple con factores de seguridad contra volteo y deslizamiento.
2) Luego, se dimensiona la sección transversal de la pantalla de contención, calculando momentos y diseñando la armadura para resistirlos.
3) Finalmente, se verifica que la cantidad de acero dise
El documento presenta el diseño del puente Chinchimachay utilizando el método de viga-losa de acuerdo a la normatividad vigente. Se realizó un levantamiento topográfico y luego el cálculo en gabinete. Inicialmente se describen conceptos de diseño de puentes y tipos de puentes. Luego se presentan los resultados del análisis y discusión, así como las conclusiones y recomendaciones del diseño del puente Chinchimachay utilizando vigas y losa.
Este documento resume la metodología utilizada para el diseño estructural y estudio de tensiones de la presa Ralco en Chile. El estudio se dividió en dos etapas: 1) Estudio de estabilidad para definir la geometría, considerando la estabilidad al deslizamiento y volcamiento de cada bloque. 2) Estudio de tensiones para determinar las tensiones máximas y definir las resistencias requeridas en el hormigón compactado con rodillo. El análisis consideró diferentes combinaciones de cargas estáticas y sísmicas.
1) Se presenta el predimensionamiento de un muro de contención con una altura de 3.10 metros, incluyendo el cálculo del espesor superior e inferior de la pantalla, la longitud y altura de la zapata. 2) Se verifica la estabilidad del muro mediante el cálculo de factores de seguridad y presiones en el suelo. 3) Se determina el refuerzo necesario en la pantalla y zapata anterior para resistir corte y momento flector.
Este documento describe las funciones y flujo de trabajo del programa SAFE para el diseño de losas, vigas y cimentaciones de concreto reforzado y postensado. Explica cómo crear y editar modelos, asignar materiales y propiedades, agregar cargas, realizar análisis y diseño, generar detalles de refuerzo y exportar resultados. El programa integra herramientas de diseño y análisis de elementos finitos con una interfaz gráfica fácil de usar para producir rápidamente nuevos diseños de losas y c
El documento describe los tipos de cimentaciones superficiales para estructuras de concreto armado. Explica que las cimentaciones distribuyen las cargas de las columnas y muros al terreno para reducir los esfuerzos. Detalla que las cimentaciones más comunes son zapatas individuales para columnas, zapatas combinadas para varias columnas, y cimientos corridos para muros. También cubre conceptos como la presión del suelo y cómo afecta el tipo de terreno.
El documento describe los procesos de estructuración e idealización de estructuras para el análisis de ingeniería civil. Estos procesos incluyen la idealización geométrica, mecánica, de vínculos, materiales y cargas para simplificar una estructura real en un sistema analizable. También presenta ejemplos de idealización de elementos estructurales como losas aligeradas, pórticos y cargas distribuidas.
El documento describe los factores de seguridad utilizados en el cálculo de la capacidad de carga de cimentaciones superficiales. Explica que el factor de seguridad se aplica a la capacidad de carga última bruta para determinar la capacidad de carga permisible bruta. También describe cómo se modifican las ecuaciones cuando hay presencia de agua subterránea y diferentes configuraciones del nivel freático. Finalmente, presenta factores comúnmente usados para considerar la forma, profundidad e inclinación de la carga en el cálculo de la
Trabajo 3-de-caminos TRAZADO DELINEA DEL TERENO Y DE LA RAZANTE DEL EJE DE LA...Angelo Alvarez Sifuentes
Este documento presenta el informe de trazado de la línea de gradiente de una carretera en Chimbote, Perú. En primer lugar, introduce el marco teórico sobre líneas de gradiente y perfiles longitudinales. Luego, describe el método utilizado, incluyendo el cálculo de las cotas del terreno, las cotas de la rasante y los tramos del perfil longitudinal. Finalmente, concluye con recomendaciones sobre el diseño de la carretera.
Este PDF corresponde al curso de Estructuras y Cargas del Cuarto Ciclo, es un compendio de información concisa. Los derechos de autor están en la Bibliografía y citados al término de cada parrafo.
Autor: Héctor Vera.
Año de Publicación: 2016-2 (Octubre)
*Favor de mandar sus sugerencias para mejorar el presente informe.
Este documento presenta los criterios de evaluación y las unidades I y II de un curso de Geotecnia Aplicada. La calificación total se basa en dos evaluaciones del 50% cada una. La unidad I cubre la teoría de Rankine sobre presiones activas y pasivas en muros de contención, así como la teoría de Coulomb para el caso activo. Se incluyen fórmulas, tablas y figuras para calcular coeficientes de presión.
Este documento presenta un resumen de los principios de ingeniería de cimentaciones. Explica conceptos clave como las propiedades geotécnicas del suelo, la exploración del subsuelo, la capacidad de carga de cimentaciones superficiales, la presión lateral de tierra, y diseños de estructuras de retención como muros y cortes. El objetivo es proporcionar una introducción a los fundamentos de la ingeniería geotécnica aplicada al diseño y análisis de cimentaciones.
Este documento describe los conceptos de presión lateral en muros de contención. Existen tres tipos de presión lateral: presión en reposo, activa y pasiva. La presión activa se produce cuando el muro se mueve hacia afuera, disminuyendo la presión hasta un valor mínimo. La presión pasiva ocurre cuando el muro se mueve hacia el relleno, aumentando la presión hasta un máximo. El diseño de muros implica iteraciones para verificar la estabilidad contra volteo, deslizamiento y capacidad portante.
Este documento presenta el diseño de un sistema de captación de agua para riego que incluye un colchón disipador, enrocado de protección y control de filtración. Calcula la longitud y espesor del colchón disipador, la longitud y ancho del enrocado, y la longitud del control de filtración utilizando ecuaciones hidráulicas y datos de caudal, altura y ancho del sistema de captación. El diseño final incluye las cotas y dimensiones clave de los componentes para cumplir con los requisitos hidráulicos.
This document describes the steps needed to prepare and ship an order of goods to a customer. It details obtaining packaging materials, confirming the order details are correct, packing and sealing the items, applying shipping labels, and arranging for pickup. The key steps are verifying the order, packaging each item securely for transport, and making sure the labels have the correct delivery information.
MÓDULO 5: CONSIDERACIONES SOBRE DRENAJE EN LOS PAVIMENTOS - FERNANDO SÁNCHEZ ...Emilio Castillo
El documento describe consideraciones sobre el drenaje en pavimentos. Explica que el drenaje superficial y el drenaje interno son importantes para prevenir daños en los pavimentos causados por el agua. También describe métodos para mejorar el drenaje como capas permeables, cunetas y sumideros.
El documento resume el Capítulo 10 del libro "Análisis de Sistemas de Potencia de Stevenson". El capítulo analiza sistemas de potencia e incluye cálculos de corrientes, voltajes y otros parámetros eléctricos. El ingeniero Widmar Aguilar presenta los resultados de sus cálculos para el Capítulo 10 en noviembre de 2022.
Este documento resume el proceso de cálculo de un pórtico mediante el método matricial de rigidez en 10 pasos. Se describe el pórtico y las cargas aplicadas. Luego, se ordenan los nudos y barras, se calculan las cargas y reacciones, y se pasan las matrices de rigidez y cargas a coordenadas globales. Finalmente, se resuelve el sistema matricial para obtener los desplazamientos y se calculan los esfuerzos internos en cada barra.
El documento presenta el análisis sismorresistente realizado a un edificio de oficinas en Tacna, Perú. Se describe la estructura, se calculan los parámetros sísmicos de acuerdo a la norma E.030, y se realizan análisis modal, estático y dinámico en el programa ETABS. Se identifican diversas irregularidades estructurales y se verifica que los desplazamientos laterales y derivas entre pisos cumplen los límites establecidos, concluyendo que la estructura cumple con la norm
Este documento trata sobre la capacidad de carga y asentamientos elásticos en cimentaciones superficiales. Explica los diferentes tipos de falla que pueden ocurrir en la cimentación (falla general por corte, falla local por corte, falla por punzonamiento) y los factores que influyen en cada tipo de falla. También resume la teoría de Terzaghi sobre la capacidad de carga última y cómo calcularla para diferentes tipos de cimentaciones considerando parámetros del suelo como la cohesión, ángulo de fricción y nivel
Este documento presenta los conceptos básicos para calcular el empuje de los suelos sobre estructuras de retención según la teoría de Rankine. Explica que el empuje depende de la naturaleza del suelo y del tipo de estructura. Describe los estados límites activo y pasivo de Rankine y cómo se relacionan las tensiones principales en cada estado. Proporciona fórmulas y diagramas para calcular el empuje activo y pasivo tanto en arenas como en arcillas, considerando la profundidad, cohesión,
Este documento presenta el diseño de un muro de contención con contrafuertes. En 3 oraciones:
1) Se realiza el cálculo de la estabilidad del muro considerando fuerzas como el empuje del terreno y sobrecargas, y se verifica que cumple con factores de seguridad contra volteo y deslizamiento.
2) Luego, se dimensiona la sección transversal de la pantalla de contención, calculando momentos y diseñando la armadura para resistirlos.
3) Finalmente, se verifica que la cantidad de acero dise
El documento presenta el diseño del puente Chinchimachay utilizando el método de viga-losa de acuerdo a la normatividad vigente. Se realizó un levantamiento topográfico y luego el cálculo en gabinete. Inicialmente se describen conceptos de diseño de puentes y tipos de puentes. Luego se presentan los resultados del análisis y discusión, así como las conclusiones y recomendaciones del diseño del puente Chinchimachay utilizando vigas y losa.
Este documento resume la metodología utilizada para el diseño estructural y estudio de tensiones de la presa Ralco en Chile. El estudio se dividió en dos etapas: 1) Estudio de estabilidad para definir la geometría, considerando la estabilidad al deslizamiento y volcamiento de cada bloque. 2) Estudio de tensiones para determinar las tensiones máximas y definir las resistencias requeridas en el hormigón compactado con rodillo. El análisis consideró diferentes combinaciones de cargas estáticas y sísmicas.
1) Se presenta el predimensionamiento de un muro de contención con una altura de 3.10 metros, incluyendo el cálculo del espesor superior e inferior de la pantalla, la longitud y altura de la zapata. 2) Se verifica la estabilidad del muro mediante el cálculo de factores de seguridad y presiones en el suelo. 3) Se determina el refuerzo necesario en la pantalla y zapata anterior para resistir corte y momento flector.
Este documento describe las funciones y flujo de trabajo del programa SAFE para el diseño de losas, vigas y cimentaciones de concreto reforzado y postensado. Explica cómo crear y editar modelos, asignar materiales y propiedades, agregar cargas, realizar análisis y diseño, generar detalles de refuerzo y exportar resultados. El programa integra herramientas de diseño y análisis de elementos finitos con una interfaz gráfica fácil de usar para producir rápidamente nuevos diseños de losas y c
El documento describe los tipos de cimentaciones superficiales para estructuras de concreto armado. Explica que las cimentaciones distribuyen las cargas de las columnas y muros al terreno para reducir los esfuerzos. Detalla que las cimentaciones más comunes son zapatas individuales para columnas, zapatas combinadas para varias columnas, y cimientos corridos para muros. También cubre conceptos como la presión del suelo y cómo afecta el tipo de terreno.
El documento describe los procesos de estructuración e idealización de estructuras para el análisis de ingeniería civil. Estos procesos incluyen la idealización geométrica, mecánica, de vínculos, materiales y cargas para simplificar una estructura real en un sistema analizable. También presenta ejemplos de idealización de elementos estructurales como losas aligeradas, pórticos y cargas distribuidas.
El documento describe los factores de seguridad utilizados en el cálculo de la capacidad de carga de cimentaciones superficiales. Explica que el factor de seguridad se aplica a la capacidad de carga última bruta para determinar la capacidad de carga permisible bruta. También describe cómo se modifican las ecuaciones cuando hay presencia de agua subterránea y diferentes configuraciones del nivel freático. Finalmente, presenta factores comúnmente usados para considerar la forma, profundidad e inclinación de la carga en el cálculo de la
Trabajo 3-de-caminos TRAZADO DELINEA DEL TERENO Y DE LA RAZANTE DEL EJE DE LA...Angelo Alvarez Sifuentes
Este documento presenta el informe de trazado de la línea de gradiente de una carretera en Chimbote, Perú. En primer lugar, introduce el marco teórico sobre líneas de gradiente y perfiles longitudinales. Luego, describe el método utilizado, incluyendo el cálculo de las cotas del terreno, las cotas de la rasante y los tramos del perfil longitudinal. Finalmente, concluye con recomendaciones sobre el diseño de la carretera.
Este PDF corresponde al curso de Estructuras y Cargas del Cuarto Ciclo, es un compendio de información concisa. Los derechos de autor están en la Bibliografía y citados al término de cada parrafo.
Autor: Héctor Vera.
Año de Publicación: 2016-2 (Octubre)
*Favor de mandar sus sugerencias para mejorar el presente informe.
Este documento presenta los criterios de evaluación y las unidades I y II de un curso de Geotecnia Aplicada. La calificación total se basa en dos evaluaciones del 50% cada una. La unidad I cubre la teoría de Rankine sobre presiones activas y pasivas en muros de contención, así como la teoría de Coulomb para el caso activo. Se incluyen fórmulas, tablas y figuras para calcular coeficientes de presión.
Este documento presenta un resumen de los principios de ingeniería de cimentaciones. Explica conceptos clave como las propiedades geotécnicas del suelo, la exploración del subsuelo, la capacidad de carga de cimentaciones superficiales, la presión lateral de tierra, y diseños de estructuras de retención como muros y cortes. El objetivo es proporcionar una introducción a los fundamentos de la ingeniería geotécnica aplicada al diseño y análisis de cimentaciones.
Este documento describe los conceptos de presión lateral en muros de contención. Existen tres tipos de presión lateral: presión en reposo, activa y pasiva. La presión activa se produce cuando el muro se mueve hacia afuera, disminuyendo la presión hasta un valor mínimo. La presión pasiva ocurre cuando el muro se mueve hacia el relleno, aumentando la presión hasta un máximo. El diseño de muros implica iteraciones para verificar la estabilidad contra volteo, deslizamiento y capacidad portante.
Este documento presenta el diseño de un sistema de captación de agua para riego que incluye un colchón disipador, enrocado de protección y control de filtración. Calcula la longitud y espesor del colchón disipador, la longitud y ancho del enrocado, y la longitud del control de filtración utilizando ecuaciones hidráulicas y datos de caudal, altura y ancho del sistema de captación. El diseño final incluye las cotas y dimensiones clave de los componentes para cumplir con los requisitos hidráulicos.
This document describes the steps needed to prepare and ship an order of goods to a customer. It details obtaining packaging materials, confirming the order details are correct, packing and sealing the items, applying shipping labels, and arranging for pickup. The key steps are verifying the order, packaging each item securely for transport, and making sure the labels have the correct delivery information.
MÓDULO 5: CONSIDERACIONES SOBRE DRENAJE EN LOS PAVIMENTOS - FERNANDO SÁNCHEZ ...Emilio Castillo
El documento describe consideraciones sobre el drenaje en pavimentos. Explica que el drenaje superficial y el drenaje interno son importantes para prevenir daños en los pavimentos causados por el agua. También describe métodos para mejorar el drenaje como capas permeables, cunetas y sumideros.
El documento resume el Capítulo 10 del libro "Análisis de Sistemas de Potencia de Stevenson". El capítulo analiza sistemas de potencia e incluye cálculos de corrientes, voltajes y otros parámetros eléctricos. El ingeniero Widmar Aguilar presenta los resultados de sus cálculos para el Capítulo 10 en noviembre de 2022.
Este documento resume el proceso de cálculo de un pórtico mediante el método matricial de rigidez en 10 pasos. Se describe el pórtico y las cargas aplicadas. Luego, se ordenan los nudos y barras, se calculan las cargas y reacciones, y se pasan las matrices de rigidez y cargas a coordenadas globales. Finalmente, se resuelve el sistema matricial para obtener los desplazamientos y se calculan los esfuerzos internos en cada barra.
El documento describe los conceptos y métodos para analizar estructuras planas de pórticos, incluyendo las matrices de rigidez de vigas, columnas y elementos inclinados, así como la rotación de sistemas de referencia y la matriz de transformación. Luego presenta ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de fuerzas internas en una estructura de concreto armado.
El documento presenta un análisis estadístico para estimar la ganancia de corriente esperada basado en datos de tiempo de difusión y resistencia. Se aplica un modelo de regresión lineal de dos variables usando el método de mínimos cuadrados para estimar los parámetros del modelo. El modelo predice una ganancia de corriente de 8,367 amperios cuando el tiempo es de 2,2 horas y la resistencia es de 90 ohmios.
Este documento presenta los pasos para calcular las fuerzas sísmicas en un edificio de 8 niveles utilizando el método dinámico con un grado de libertad por planta de acuerdo a la norma sismorresistente COVENIN 1756-2001. Se obtienen los datos modales del edificio y se aplican los parámetros de la norma para determinar los factores de participación modal y los espectros de diseño. Luego se calculan las fuerzas laterales y cortantes en cada modo y se comprueba que el cortante basal acumulado
Este documento presenta los pasos para calcular las fuerzas sísmicas en un edificio de 8 niveles utilizando el método dinámico con un grado de libertad por planta de acuerdo a la norma sismorresistente COVENIN 1756-2001. Se obtienen los datos modales del edificio y se aplican los parámetros de la norma para determinar los factores de participación modal y los espectros de diseño. Luego se calculan las fuerzas laterales y cortantes en cada modo y se comprueba que el cortante basal acumulado
1. Un vector de posición localiza un punto en el espacio con respecto a otro punto.
2. La manera más fácil de formular las componentes de un vector de posición consiste en determinar la distancia y la dirección que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y, z desde la cola hasta la cabeza del vector.
3. Una fuerza F que actúa en la dirección de un vector de posición r puede ser representada en forma cartesiana si se determina el vector unitario u del vector de posición y éste se multiplica por la magnitud de
Este documento presenta 4 problemas de dinámica y equilibrio estático resueltos. El primer problema involucra dos objetos conectados por una cuerda sobre una polea. Se calculan las aceleraciones, tensión en la cuerda y velocidades después de 2 segundos. El segundo problema es similar pero los objetos están sobre una superficie con fricción. El tercer problema determina las masas de objetos en un móvil construido con barras y cuerdas. El cuarto problema calcula la tensión en un cable que sostiene una pluma con un objeto
El documento presenta el análisis de sistemas de potencia de Stevenson realizado por el Ingeniero Widmar Aguilar en mayo de 2022. Incluye el cálculo de impedancias, corrientes y potencias para una línea de transmisión de 100 millas con constantes R=1.715 Ω y X=0.577+j0.0003 Ω/milla. La regulación de la línea fue determinada en 17.36%.
El documento presenta el análisis estructural de dos problemas propuestos utilizando el método matricial. En el primer ejercicio, se determinan los desplazamientos de dos nudos y las fuerzas axiales en cinco elementos de una estructura plana sometida a una carga. En el segundo ejercicio, se calculan los desplazamientos verticales de tres nudos y las fuerzas axiales en nueve elementos de otra estructura plana sometida a una carga. Ambos problemas son resueltos mediante la formación y resolución de matrices de rigidez
El documento presenta los cambios en las normas técnicas complementarias del Reglamento del DF para estructuras de concreto entre 1987 y 2004. Se detalla el cálculo del refuerzo longitudinal y transversal de una columna cuadrada y una viga, incluyendo los diagramas de momentos y fuerzas cortantes, así como las áreas de acero requeridas.
laboratorio graficamos un conjunto de datos experimentales en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, en papel milimetrado, papel logarítmico y semilogaritmico. Aplicamos el método de mínimos cuadrados para poder convertir nuestra curva en rectas
1) La tensión normal en el punto (y=-10 cm, z=8 cm) es de 6,94 MPa de compresión y la tensión cortante es de 0,626 MPa.
2) La línea neutra se encuentra en z=7 cm. Por encima hay tracción y por debajo hay compresión.
3) La tensión normal máxima es de 43 MPa y ocurre en la fibra superior.
4) La tensión cortante máxima es de 0,84 MPa y ocurre en la fibra más alejada del eje z.
1) La tensión normal en el punto (y=-10 cm, z=8 cm) es de 6,94 MPa de compresión y la tensión cortante es de 0,626 MPa.
2) La línea neutra se encuentra en z=7 cm. Por encima hay tracción y por debajo hay compresión.
3) La tensión normal máxima es de 43 MPa y se da en la fibra superior.
4) La tensión cortante máxima es de 0,84 MPa y se da en la fibra más alejada del eje z.
1) La tensión normal en el punto (y=-10 cm, z=8 cm) es de 6,94 MPa de compresión y la tensión cortante es de 0,626 MPa.
2) La línea neutra se encuentra en z=7 cm. Por encima hay tracción y por debajo hay compresión.
3) La tensión normal máxima es de 43 MPa y se da en la fibra superior.
4) La tensión cortante máxima es de 0,84 MPa y se da en la fibra más alejada del eje z.
1) La tensión normal en el punto (y=-10 cm, z=8 cm) es de 6,94 MPa de compresión y la tensión cortante es de 0,626 MPa.
2) La línea neutra se encuentra en z=7 cm. Por encima hay tracción y por debajo hay compresión.
3) La tensión normal máxima es de 43 MPa y se da en la fibra superior.
4) La tensión cortante máxima es de 0,84 MPa y se da en la fibra más alejada del eje z.
1) La tensión normal en el punto (y=-10 cm, z=8 cm) es de 6,94 MPa de compresión y la tensión cortante es de 0,626 MPa.
2) La línea neutra se encuentra en z=7 cm. Por encima hay tracción y por debajo hay compresión.
3) La tensión normal máxima es de 43 MPa y se da en la fibra superior.
4) La tensión cortante máxima es de 0,84 MPa y se da en la fibra más alejada del eje z.
1) La tensión normal en el punto (y=-10 cm, z=8 cm) es de 6,94 MPa de compresión y la tensión cortante es de 0,626 MPa.
2) La línea neutra se encuentra en z=7 cm. Por encima hay tracción y por debajo hay compresión.
3) La tensión normal máxima es de 43 MPa y se da en la fibra superior.
4) La tensión cortante máxima es de 0,84 MPa y se da en la fibra más alejada del eje z.
El documento describe el Sistema Internacional de Unidades (SI), incluyendo las siete unidades básicas de longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa. También cubre unidades derivadas como fuerza, presión y carga eléctrica, así como prefijos para formar múltiplos y submúltiplos de unidades. Finalmente, presenta varios ejercicios sobre vectores para practicar conversiones de unidades y cálculos con magnitudes vectoriales.
Este documento presenta el análisis estructural de dos diseños propuestos para una armadura. Se calculan las fuerzas en las barras y los factores de seguridad para ambas opciones. La segunda armadura propuesta muestra fuerzas y esfuerzos más altos, pero el criterio para seleccionar la opción fue el costo, haciendo que la primera armadura sea la elegida. Se recomienda realizar una cotización en físico y extender el análisis para incluir deformaciones.
El crecimiento urbano de las ciudades latinoamericanas ha sido muy rápido en las últimas décadas, debido a factores como el crecimiento demográfico, la migración del campo a la ciudad, y el desarrollo económico. Este crecimiento ha llevado a la expansión de las ciudades hacia las áreas periféricas, creando problemas como la falta de infraestructura adecuada, la congestión del tráfico, la contaminación ambiental, y la segregación social.
En muchas ciudades latinoamericanas, el crecimiento urbano ha sido desorganizado y ha resultado en la formación de asentamientos informales o barrios marginales, donde las condiciones de vida son precarias y la población carece de servicios básicos como agua potable, electricidad y transporte público.
Además, el crecimiento urbano descontrolado ha llevado a la destrucción de áreas verdes, la deforestación y la pérdida de biodiversidad, lo que tiene un impacto negativo en el medio ambiente y en la calidad de vida de los habitantes de las ciudades.
Para hacer frente a estos desafíos, las ciudades latinoamericanas están implementando políticas de planificación urbana sostenible, promoviendo la densificación urbana, la revitalización de áreas degradadas, la preservación de espacios verdes y la mejora de la infraestructura y los servicios públicos. También se están llevando a cabo programas de vivienda social y de regularización de asentamientos informales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de estas áreas.
Catalogo Coleccion Atelier Bathco Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
Explora el catálogo general de la colección Atelier de Bathco, disponible en Amado Salvador, ofrece una exquisita selección de lavabos y sanitarios de alta gama con un enfoque artesanal y exclusivo. Como distribuidor oficial Bathco, Amado Salvador presenta productos Bathco que encarnan la excelencia en calidad y diseño. Este catálogo destaca la colección Atelier, la más exclusiva de Bathco, que combina la artesanía tradicional con la innovación contemporánea.
La colección Atelier de Bathco se distingue por su atención meticulosa a los detalles y la utilización de materiales de primera calidad. Los lavabos y sanitarios de esta colección son verdaderas obras de arte, diseñados para elevar el lujo y la sofisticación en cualquier baño. Cada pieza de la colección Atelier refleja el compromiso de Bathco con la excelencia y la elegancia.
Amado Salvador, distribuidor oficial Bathco en Valencia. Explora este catálogo y sumérgete en el mundo de la colección Atelier de Bathco, donde la artesanía y la elegancia se unen para crear espacios de baño verdaderamente excepcionales.
Trazos poligonales para hallar las medidas de los angulos con las distancias establecidas realizadas con la cinta metrica. Empleando fórmulas como la ley de cosenos y senos, para determinar dichos ángulos.Lo que ayudará para la enseñanza estudiantil en el ámbito de la ingeniería.
Catalogo General Grespania Ceramica Amado Salvador Distribuidor Oficial ValenciaAMADO SALVADOR
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El crecimiento urbano de las ciudades latinoamericanas ha sido muy rápido en las últimas décadas, debido a factores como el crecimiento demográfico, la migración del campo a la ciudad, y el desarrollo económico. Este crecimiento ha llevado a la expansión de las ciudades hacia las áreas periféricas, creando problemas como la falta de infraestructura adecuada, la congestión del tráfico, la contaminación ambiental, y la segregación social.
En muchas ciudades latinoamericanas, el crecimiento urbano ha sido desorganizado y ha resultado en la formación de asentamientos informales o barrios marginales, donde las condiciones de vida son precarias y la población carece de servicios básicos como agua potable, electricidad y transporte público.
Además, el crecimiento urbano descontrolado ha llevado a la destrucción de áreas verdes, la deforestación y la pérdida de biodiversidad, lo que tiene un impacto negativo en el medio ambiente y en la calidad de vida de los habitantes de las ciudades.
Para hacer frente a estos desafíos, las ciudades latinoamericanas están implementando políticas de planificación urbana sostenible, promoviendo la densificación urbana, la revitalización de áreas degradadas, la preservación de espacios verdes y la mejora de la infraestructura y los servicios públicos. También se están llevando a cabo programas de vivienda social y de regularización de asentamientos informales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de estas áreas.
Catalogo General Durstone Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
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Catalogo General Durstone Distribuidor Oficial Amado Salvador Valencia
Calculo matricial ejercicios
1. 1. TEMA 5. MÉTODO MATRICIAL
1.1 Ejercicios resueltos
1. En la cubierta de la figura, determiar el valor de los momentos en
los extremos de las barras, así como el momento máximo en ellas.
(E=2.1·1011 N/m2, I=68000 cm4, A=56 cm2)
4.5 m
2.5m1m
3 kN/m
1m
2kN/m
2EI, A
EI, A
EI, A
En primer lugar, definimos los nudos y los grados de libertad de la estructura.
7
8
9
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
10
11
12
Las características necesarias para calcular las matrices de rigidez se resumen en la tabla siguiente.
BARRA L (m) I (cm4) A(cm2) ANGULO
AB 2.5 136000 56 90
BC 2 136000 56 90
BD 4.61 68000 56 12.5288
CD 4.61 - 56 -12.5588
2. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 2
Calculamos las matrices de rigidez de los distintos elementos,
Elemento AB,
AB
470.4 0 0 -470.4 0 0
0 219.3408 274.1760 0 -219.3408 274.176
0 274.1760
k =
456.9600 0 -274.1760 228.48
-470.4 0 0 470.4 0 0
0 -219.3408 -274.1760 0 219.3408 -274.176
0 274.1760 228.4800 0 -274.1760 456.96
que en coordenadas globales es,
AB
219.3408 0 -274.176 -219.3408 0 -274.176
0 470.4 0 0 -470.4 0
-274.1760 0 456.96 274.1760
K =
0 228.48
-219.3408 0 274.176 219.3408 0 274.176
0 -470.4 0 0 470.4 0
-274.1760 0 228.48 274.1760 0 456.96
A
B
1
2
3
α
4
5
6
Sistema local de los elementos AB y BC
3
B
C
1
2
α
4
5
6
3. El método matricial
A. Carnicero 3
Elemento BC,
BC
588 0 0 -588 0 0
0 428.4 428.4 0 -428.4 428.4
0 428.4 571.2 0 -428.4 285.6
k
-588 0 0 58
=
8 0 0
0 -428.4 -428.4 0 428.4 -428.4
0 428.4 285.6 0 -428.4 571.2
que en coordenadas globales es,
BC
428.4 0 -428.4 -428.4 0 -428.4
0 588 0 0 -588 0
-428.4 0 571.2 428.4 0 285.6
K
-428.4 0 428.4 428.4 0
=
428.4
0 -588 0 0 588 0
-428.4 0 285.6 428.4 0 571.2
Elemento BD,
BD
255.1102 0 0 -255.1102 0 0
0 17.4933 40.3200 0 -17.4933 40.32
0 40.32 123.
k =
9107 0 -40.3200 61.9553
-255.1102 0 0 255.1102 0 0
0 -17.4933 -40.32 0 17.4933 -40.32
0 40.32 61.9553 0 -40.3200 123.9107
que empleanto la matriz de rotación
B
1
2
3
α
Sistema local de los elementos BD y CD
4
5
6
D C 1
2
3
α
4
5
6
D
4. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 4
BD
0.9762 0.2169 0 0 0 0
-0.2169 0.9762 0 0 0 0
0 0 1 0 0
R =
0
0 0 0 0.9762 0.2169 0
0 0 0 -0.2169 0.9762 0
0 0 0 0 0 1
permite obtener la matriz de rigidez en coordenadas globales,
BD
243.9283 50.3189 -8.7466 -243.9283 -50.3189 -8.7466
50.3189 28.6752 39.3599 -50.3189 -28.6752 39.3599
-8.7466 39.3599 123.9107 8.7466 -39.3599 61.9553
K
-243.9283 -
=
50.3189 8.7466 243.9283 50.3189 8.7466
-50.3189 -28.6752 -39.3599 50.3189 28.6752 -39.3599
-8.7466 39.3599 61.9553 8.7466 -39.3599 123.9107
Elemento CD.
Este elemento solo puede trabajar a tracción o compresión (está articulado en los extremos y no tiene cargas
transversales o momentos aplicados) por lo que su matriz en coordenadas locales es,
CD
255.1102 -255.1102
k
-255.1102 255.1102
=
que en coordenadas globales es
CD
243.1050 -54.0233 -243.105 54.0233
-54.0233 12.0052 54.0233 -12.0052
K
-243.1050 54.0233 243.1050 -54.0233
54.0233 -12.0052 -54.0233 12.0052
=
matriz a la que se llego por medio de
CD
0.9762 0
-0.2169 0
R
0 0.9762
0 -0.2169
=
Luego las matrices de rigidez de los distintos elementos ya están calculadas. Las ensamblamos ahora para obtener la
matriz de rigidez global de la estructura,
5. El método matricial
A. Carnicero 5
219.3408
0
-274.1760
-219.3408
0
-274.1760
0
0
0
0
0
0
0
470.4
0
0
-470.4
0
0
0
0
0
0
-274.1760
0
456.9600
274.1760
0
228.4800
0
0
0
0
0
0
-219.3408
0
274.1760
891.6691
50.3189
-162.9706
-428.4
0
-428.4
-243.9283
-50.3189
-8.7466
0
-470.4
0
50.3
1087.1
39.4
0
-588
0
-50.3
-28.7
39.4
-274.2
0
228.5
-163
39.4
1152.1
428.4
0
285.6
8.7
-39.4
62
0
0
0
-428.4
0
428.4
671.5050
-54.0233
428.4
-243.1050
54.0233
0
0
0
0
0
-588
0
-54.0233
600.0052
0
54.0233
-12.0052
0
0
0
0
-428.4
0
285.6
428.4
0
571.2
0
0
0
0
0
0
-243.9283
-50.3189
8.7466
-243.1050
54.0233
0
487.0333
-3.7045
8.7466
0
0
0
-50.3189
-28.6752
-39.3599
54.0233
-12.0052
0
-3.7045
40.6804
-39.3599
0
0
0
-8.7466
39.3599
61.9553
0
0
0
8.7466
-39.3599
123.9107
Vector desplazamiento
El vector de desplazamiento es
( )
t
4 5 6 7 8 9 10 11 12U 0,0,0,U ,U ,U ,U ,U ,U ,U ,U ,U=
Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver tendrá 9 ecuaciones.
Vector de cargas
El vector de cargas de los elementos AB y BC, se puede escribir directamente en coordenadas globales como
t2 2
ql ql ql ql
F ,0, , ,0,
2 12 2 12
= − − −
que sustituyendo para cada una de las barras
( )
( )
t3 3 3 3 3
AB
t3 4 3 4
BC
F 2.5·10 ,0,1.0416·10 , 2.5·10 ,0, 1.0416·10 ·10
F 2·10 ,0,6.6666·10 , 2·10 ,0, 6.6666·10
− − − − −
− − − −
= − − −
= − − −
El vector de carga del elemento BD, es más cómodo escribirlo en coordenadas locales y pasarlo despues a globales.
( )
t3 3 3 3
BDf 0,6.9146·10 ,5.3125·10 ,0,6.9146·10 , 5.3125·10− − − −
= −
El vector de cargas se calcula como
( )
tt -3 -3 -3 -3 -3 -3
BD BD BDF R f -1.5·10 ,6.75·10 ,5.3125·10 , 1.5·10 ,6.75·10 ,-5.3125·10= = −
Ensamblando estos vectores se obtiene el vector de esfuerzos de empotramiento
7. El método matricial
A. Carnicero 7
Resolviendo el sistema de ecuaciones se calculan los desplazamientos desconocidos.
U4 = 5.5439·10-4
U5 = -2.8699·10-5
U6 = -4.0886·10-4
U7 = 1.4641·10-3
U8 = -3.1854·10-5
U9 = -4.766·10-4
U10 = 1.0112·10-3
U11 = -2.224·10-3
U12 = -4.8237·10-4
Conocidos los desplazamientos, calcular esfuerzos en las distintas barras es sencillo.
8. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 8
2. Obtener los desplazamientos desconocidos y dibujar los esfuerzos en
las barras AB y EF.
400200 200
300300
10kN
20kN/m
A
B
D
C
E
F
G H
I
J
A=20 cm2
RESTO DE ELEMENTOS
A=164 cm2
I=147361 cm4
Dado que la estructura es simétrica modelamos sólo la mitad e imponemos condiciones de simetría en los puntos que
se encuentren sobre el eje de simetría (U7=U16=U18=0).
5kN
A
B
D
C
E
F
1
2
3
4
5
6
10
11
12
13
14
16
17
18
7
Las matrices de rigides de los elementos BA y DB (con los nudos inicial y final en ese orden, expresando las fuerzas en
MN y las longitudes en m) son:
BA DB
1148 0 0 -1148 0 0
0 137.5 206.3 0 -137.5 206.3
0 206.3 412.6 0 -206.3
k k= =
206.3
-1148 0 0 1148 0 0
0 -137.5 -206.3 0 137.5 -206.3
0 206.3 206.3 0 -206.3 412.6
9. El método matricial
A. Carnicero 9
Siendo su expresión en coordenadas globales (matriz de rotación con α=-90º):
BA DB
137.5 0.000 206.3 -137.5 0.0000 206.3
0.000 1148 0.0000 0.0000 -1148 0.0000
206.3 0.000 412.6 -206.3 0.0000 206.3
K K
-137.5 0.000 -206.3
= =
137.5 0.0000 -206.3
0.000 -1148 0.0000 0.0000 1148 0.0000
206.3 0.000 206.3 -206.3 0.0000 412.6
La matriz de rigidez de un elemento de 2 metros de longitud con las características resistentes de los estudiados es:
1722 0 0 -1722 0 0
0 464.2 464.2 0 -464.2 464.2
0 464.2 618.9 0 -464.2 309.5
k
-1722
=
0 0 1722 0 0
0 -464.2 -464.2 0 464.2 -464.2
0 464.2 309.5 0 -464.2 618.9
Cuya expresión es la misma para coordenadas locales y globales.
La matriz de rigidez del elemento BC (no trabaja a flexión) es
BC
105 -105
k
-105 105
=
Dado que el grado de libertad 15 no existe es necesario eliminarlo de las matrices de rigidez de los elementos DE y EF.
Para obtener la matriz de rigidez liberada, aplicamos:
I t
I
l al al
a aal aa
ll ll
l
F K K
F K K 0 U
K K
U
0 0 0
− − =
Elemento DE (eliminando el grado de libertad 6)
l l
DE DE
1722 0 0 -1722 0
0 116 232.1 0 -116
k K 0 232.1 464.2 0 -232.1
-1722 0
= =
0 1722 0
0 -116 -232.1 0 116
Elemento EF (eliminando el grado de libertad 3)
10. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 10
l l
EF EF
1722 0 -1722 0 0
0 116 0 -116 232.1
k K -1722 0 1722 0 0
0 -116 0 116 -232.1
= =
0 232.1 0 -232.1 464.2
Ensamblando los elementos obtenemos la matriz de rigidez global de la estructura
137.5369
0.0000
-206.3054
-137.5369
0.0000
-206.3054
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0000
11480
0.0000
0.0000
-11480
0.0000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-206.3054
0.0000
412.6108
206.3054
0.0000
206.3054
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-137.5369
0.0000
206.3054
380.0739
0.0000
0
-105.0000
0
0
-137.5369
0.0000
-206.3054
0
0
0
0
0
0
0.0000
-11480
0.0000
0.0000
22960
0
0
0
0
0.0000
-11480
0.0000
0
0
0
0
0
0
-206.3054
0.0000
206.3054
0
0
825.2216
0
0
0
206.3054
0.0000
206.3054
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-105
0
0
105
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-137.5
0.0000
206.3
0
0
0
1859.5
0.0000
206.3
-1722
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0000
-11480
0.0000
0
0
0
0.0000
12640
232
0
-116
0
0
0
0
0
0
0
-206.3054
0.0000
206.3054
0
0
0
206.3054
232.0936
876.7979
0
-232.0936
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1722
0
0
3444
0
0
-1722
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-116.0468
-232.0936
0
232.0468
0
0
-116.0000
232.1000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1722
0
0
1722
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-116.0000
0
0
116.0000
-232.1000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
232.1000
0
0
-232.1000
464.2000
Imponiendo las CC, la matriz de rigidez Kcc queda
380.0739
0.0000
0
-137.5369
0.0000
-206.3054
0
0
0
0.0000
22960
0
0.0000
-11480
0.0000
0
0
0
0
0
825.2216
206.3054
0.0000
206.3054
0
0
0
-137.5
0.0000
206.3
1859.5
0.0000
206.3
-1722
0
0
0.0000
-11480
0.0000
0.0000
12640
232
0
-116
0
-206.3054
0.0000
206.3054
206.3054
232.0936
876.7979
0
-232.0936
0
0
0
0
-17220
0
0
34440
0
0
0
0
0
0
-116.0468
-232.0936
0
232.0468
-116
0
0
0
0
0
0
0
-116.000
116.000
Vector de desplazamientos
El vector de desplazamientos es (el grado de libertad 15 se ha eliminado)
( )
t
4 5 6 10 11 12 13 14 17U 0,0,0,U ,U ,U ,0,U ,U ,U ,U ,U ,0,U ,0=
Vector de cargas
El vector de cargas debido a cargas en las barras puede escribirse fácilmente en coordenadas globales como,
( )
t
BA DBF F 0.0300 0.0000 0.015 0.0300 0.0000 -0.015= =
Que está asociado a los grados de libertad 4, 5, 6, 1, 2 y 3 en el caso de BA y a 10, 11, 12, 4, 5 y 6, en el caso de DB.
Ensamblándolos, tenemos que el vector de cargas debido a cargas en el elemento es:
11. El método matricial
A. Carnicero
11
e m p
0 . 0 3 0 0
0 . 0 0 0 0
- 0 . 0 1 5 0
0 . 0 6 0 0
0 . 0 0 0 0
0
0
0
0
F
0 . 0 3 0 0
0 . 0 0 0 0
0 . 0 1 5 0
0
0
0
0
0
0
=
Por lo tanto el vector de cargas se obtiene incluyendo las cargas en los nudos
n e m p
R 1 - 0 . 0 3 0 0
R 2 + 0 .0 0 0 0
R 3 + 0 .0 1 5
- 0 . 0 6 0 0
0 .0 0 0 0
0
R 7 + 0
F F F - 0 . 0 3 0 0
0 .0 0 0 0
- 0 . 0 1 5 0
0
0
R 1 6 + 0
- 0 . 0 0 5 0
R 1 8 + 0
= − =
El vector de cargas con las condiciones de contorno ya impuestas es, que será el que utilizaremos para resolver el
sistema de ecuaciones es:
( )
t
ccF -0.0600 0 0 -0.0300 0 -0.0150 0 0 -0.0050=
Resolviendo el sistema de ecuaciones
1
cc ccU K F= ⋅
se obtiene los valores de los desplazamientos desconocidos. Éstos son:
U4 = -0.290471·10-3
U5 = -0.004355·10-3
U6 = 0.064250·10-3
U10 = -.038101·10-3
U11 = -0.00871·10-3
12. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 12
U12 = -0.21890·10-3
U13 = -0.01905·10-3
U14 = -0.48959·10-3
U17=-0.53268·10-3
Cálculo de esfuerzos
Conocidos los desplazamientos se pueden calcular los esfuerzos en las barras.
Por ejemplo en la barra BA
El vector desplazamientos es
UBA=(-0.29047·10-3,-0.0043554·10-3,0.06425·10-3, 0,0,0)t
Y los esfuerzos producidos por estos desplazamientos son:
FBA=KBA· UBA son:
( )
t
BAF -0.02669 -0.005 -0.03341 0.02669 0.005 -0.04667=
A este vector hay que sumarle el vector de esfuerzos de empotramiento perfecto del elemento. Y obtenemos los
esfuerzos en los estremos del elemento:
( )
t
BAEsfuerzos 0.0033047 -0.005 -0.018415 0.056695 0.005 -0.061670=
Ojo, porque este vector de esfuerzos está calculado en coordenadas globales y asociado a los extremos B y A
(en ese orden).
0.005 MN
AXIL
0.06167 MN/m
FLECTORES
0.018415 MN/m
2
ql
0.0255MN / m
8
=
0.05669 MN
CORTANTE
0.0033 MN
Cálculamos ahora los esfuerzos en los estremos del elemento EF (coordenadas locales y globales coinciden).
13. El método matricial
A. Carnicero
13
El vector desplazamientos es
UEF=( -0.01905·10-3, -0.4895969·10-3,0, -0.532683·10-3,0)t
Y los esfuerzos producidos por estos desplazamientos son:
FEF=KEF· UEF son:
( )
t
EFF -0.032805 0.005 0.032805 -0.005 0.01=
Que dado que no hay esfuerzos en las barras, nos permiten obtener directamente los esfuerzos en los estremos de la
barra.
0.0328 MN
AXIL
0.01 MN/m
FLECTORES
0.005 MN
CORTANTE
Los gráficos siguientes muestran los resultados obtenidos al calcular la estructura mediante un programa de cálculo por
elementos finitos comercial.
14. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 14
3. Sobre la estructura de la figura, y pensando en el método matricial
400 cm
A D
B C
20 kN/m
20kN/m
10 kN
500cm
E=2.1·1011
N/m2
A=14 cm2
I=65400 cm4
Dibujar y numerar los grados de libertad considerados
1
2
3A D
B C4
5
6
7
8
9
10
11
12
15. El método matricial
A. Carnicero
15
Escribir la matriz de rigidez en coordenadas locales del elemento BD (en
ese orden). En un dibujo indicar dichas coordenadas, las coordenadas
globales asociadas y el ángulo de giro. Escribir la matriz de rotación
que permite el paso a coordenadas globales.
La matriz de rigidez en coordenadas locales será una matriz de 2x2 de la forma
BD
1 1 1 1AE
k 45.91 MN / m
1 1 1 1l
− −
= = − −
La matriz de rotación que permite el paso a coordenadas globales será de la forma
cos sen 0 0
R
0 0 cos sen
α α
α α
=
Determinar el vector de esfuerzos
El vector de esfuerzos vendra dado por
nudos empF F F= −
El vector de fuerzas en los nudos es
( )
t3
nudos 1 2 10 11F R ,R ,0,0,0,10·10 ,0,0,R ,R ,0−
=
Para ensamblar el vector de esfuerzos de empotramiento se puede trabajar directamente en coordenadas globales que
puede resultar más rápido que pasar de locales a globales (por ser el ángulo de giro 90 grados). Así
( )
( )
t
BC
t
AB
F 0,0.04,0.0267,0,0.04, 0.0267
F 0.05,0,0.0416, 0.05,0, 0.0417
= −
= − − −
Ensamblando el vector de esfuerzos de empotramiento se tiene que éste vale
( )
t
empF 0.05,0,0.0416, 0.05,0.04, 0.0417 0.0267,0,0.04, 0.0267= − − − + −
Por lo que el vector de cargas queda
( )
t
1 2 10 11F R 0.05,R , 0.0416,0.05, 0.04,0.015,0, 0.04,0.0267,R ,R ,0= + − − −
B
5
4
D
10
11
α= -51.34 º
1
2
16. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 16
Escribir el vector de desplazamientos
( )
t
3 4 5 6 7 8 9 12U 0,0,u ,u ,u ,u ,u ,u ,u ,0,0,u=
Una vez planteado el problema supongamos se tiene que los
desplazamientos de los grados de libertad asociados al nudo B son
(0.93·10-3, 0.234·10-3, -0.003·10-3)t y los del nudo C (1.23·10-3,
0.725·10-3, 0.012·10-3)t. Dibujar el diagrama de momentos flectores,
cortantes y axiles en la barra BC, siendo su matriz de rigidez en
coordenadas globales.
73.5 0 0 -73.5 0 0
0 25.7513 51.5025 0 -25.7513 51.5025
0 51.5025 137.34 0 -51.5025
k =
68.67
-73.5 0 0 73.5 0 0
0 -25.7513 -51.5025 0 25.7513 -51.5025
0 51.5025 68.6700 0 -51.5025 137.34
Para la determinación de dicha matriz se ha trabajado con las longitudes en m y las fuerzas en MN. Los esfuerzos en
los extremos de la barra vienen dados por
BC
BC BC empf k u f= +
Dado que la viga a estudiar está en posición horizontal es lo mismo trabajar en coordenadas locales que globales. La
matriz kBC está dada y el vector de desplazamientos elementales también. Por lo tanto
3
BC
BC BC emp
0.022 0 0.022
0.0122 0.04 0.0278
0.0249 0.0267 1.8·10
f k u f
0.022 0 0.022
0.0122 0.04 0.0522
0.0238 0.0267 0.0505
−
− −
−
−
= + = + =
− − −
Donde los esfuerzos están en MN. Los diagramas de esfuerzos se obtienen superponiendo los valores anteriores a los
isostáticos.
17. El método matricial
A. Carnicero
17
4. Determinar los desplazamientos y las reacciones en la viga de la
figura
2
20 kN/m
I=96000 cm4
E=2.1·1011
N/m2
3
Los grados de libertad consideramos para la resolución del problema son:
1
2
A
3
4
5
B
6
7
C
donde se han eliminado los grados de libertad horizontal al ser los desplazamientos en esa dirección nulos.
La matriz de rigidez del elemento AB es (coinciden coordenadas globales y locales) –en MPa-
AB AB
302.4 302.4 -302.4 302.4
302.4 403.2 -302.4 201.6
k K
-302.4 -302.4 302.4 -302.4
302.4 201.6 -302.4 403.2
= =
y La matriz de rigidez de elemento BC
BC BC
89.6 134.4 -89.6 134.4
134.4 268.8 -134.4 134.4
k K
-89.6 -134.4 89.6 -134.4
134.4 134.4 -134.4 268.8
= =
18. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 18
Considerando los grados de libertad de la figura, se tiene que la matriz de rigidez global será
302.4 302.4 -302.4 302.4 0 0 0
302.4 403.2 -302.4 201.6 0 0 0
-302.4 -302.4 392.0 -302.4 134.4 -89.6 134.4
K 302.= 4 201.6 -302.4 403.2 0 0 0
0 0 134.4 0 268.8 -134.4 134.4
0 0 -89.6 0 -134.4 89.6 -134.4
0 0 134.4 0 134.4 -134.4 268.8
Conocida la matriz de rigidez, escribimos el vactor de desplzamientos
( )3 4 50,0, , , ,0,0
t
U U U U=
Para determinar el vector de cargas, calculamos el valor de los esfuerzos de empotramiento de los dos elementos
considerados
1 1 2 2
emp emp emp emp
0.0200 0.0300
0.0067 0.0150
f F f F
0.0200 0.0300
-0.0067 -0.0150
= = = =
Por lo que el vector de cargas quedará
1
2
6
7
0.02
0.0067
0 0.02 0.03
0 0.0067
0 0.015
0.03
0.015
R
R
F
R
R
+
= − −
−
De esa forma, el sistema de ecuaciones a resolver es
3
4
5
0.05
0.0067
0.015
392 -302.4 134.4 U
-302.4 403.2 0 U
134.4 0 268.8 U
−
=
−
Cuya resolución nos permite determinar los desplazamientos desconocidos
19. El método matricial
A. Carnicero
19
-3
3
-3
4
-3
5
U =-0.3826·10
U =-0.2704·10
U =0.1355·10
Una vez determinados todos los desplazamientos se pueden calcular las reacciones resolviendo el sistema
1
3
2
4
6
5
7
F -302.4 302.4 0 0.0339
U
F -302.4 201.6 0 0.0612
U
F -89.6 0 -134.4 0.0161
U
F 134.4 0 134.4 -0.0332
= =
Y dado que conocemos el vector de esfuerzos de empotramiento, las reacciones serán
1
2
6
7
R = 53.9 kN
R =67.8 kNm
R =46.1 kN
R =-48.2 kNm
5. Cálcular los desplazamientos desconocidos de la estructura.
5 m
10 kN
E= 2.1·1011
N/m2
I= 36000 cm4
A=94 cm2
5m
2 m
2m
20kN/m
A
B C
D
Determinamos los grados de libertad que existen en la estructura. Se ha dibujado el grado de libertad 6, que deberá ser
eliminado de las matrices de rigidez de los distintos elementos.
20. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 20
A
B C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
La matriz de rigidez del elemento AB en coordenadas locales y del elemento BC, donde coinciden locales y globales es,
AB BC BC
394.8 0 0 -394.8 0 0
0 7.2576 18.144 0 -7.2576 18.144
0 18.144 60.48 0 -18.144 30.24
k k K
-394.8 0
= = =
0 394.8 0 0
0 -7.2576 -18.144 0 7.2576 -18.144
0 18.144 30.24 0 -18.144 60.48
y teniendo en cuenta una rotación de 90 grados, la matriz del elemento AB en coordenadas globales es
AB
7.2576 0 -18.144 -7.2576 0 -18.144
0 394.8 0 0 -394.8 0
-18.144 0 60.48 18.144 0 30.24
K =
-7.2576 0 18.144 7.2576 0 18.144
0 -394.8 0 0 394.8 0
-18.144 0 30.24 18.144 0 60.48
Estas matrices están calculadas como si los extremos estubieran empotrados por lo que habrá que liberar el grado de
libertad 6 (global) de ellas.
Por último la matriz de rigidez del elemento DB en coordenadas locales es
DB
697.9144 -697.9144
k
-697.9144 697.9144
=
Con un ángulo de rotación de –45 grados, es decir, una matriz de rigidez global
21. El método matricial
A. Carnicero
21
DB
348.9572 -348.9572 -348.9572 348.9572
-348.9572 348.9572 348.9572 -348.9572
K
-348.9572 348.9572 348.9572 -348.9572
348.9572 -348.9572 -348.9572 348.9572
=
Emsamblando las matrices, obtenemos la matriz de rigides de la estructura (a falta de eliminar el grado de libertad 6):
7.2576 0 -18.1440
0 394.8 0
-18.144 0 60.48
-7.2576 0 18.144
0 -394.8 0
K -18.144 0 30.24
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
=
-7.2576 0 -18.144
0 -394.8 0
18.144 0 30.2
751.0148 -348.9572
-348.9572 751.0148
18.144 18.144
-394.8 0
0 -7.2576
0 18.1440
-348.9572 48.9572
348.9572 -348.9572
0 0 0
0 0 0
4 0 0 0
18.144 -394.8 0
18.144 0 -7.2576
120.96 0 -18.144
0 394.8 0
-18.144 0 7.2576
30.24 0 -18.1440
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 -348.9572 348.9572
18.144 348.9572 -348.9572
30.24 0
0 0
-18.144 0
60.48 0
0 348.9572
0 -348.9572
0
0
0
0
-348.9572
348.9572
Para simplificar los cálculos a realizar, liberamos el grado de libertad 6 sobre el sistema con las condiciones
de contorno impuestas es decir
cc
751.0148 -348.9572 18.144
K -348.9572 751.0148 18.144
18.144 18.144 120.96
=
Donde hay que liberar la rotación (término 3,3). La matriz liberada es
l
cc
748.2932 -351.6788
K
-351.6788 748.2932
=
El sistema de ecuaciones a resolver es
4
5
l
4l
ccl
5
F U
K
F U
=
Por lo que hay que determinar el vector de cargas. Calculamos en primer lugar el término de esfuerzos de
empotramiento perfecto debido a las cargas en las barras. Estos vectores pueden escribirse fácilmente en coordenadas
locales,
22. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 22
t2 2
emp
AB
t
emp
BC
ql ql ql ql
F ,0, , ,0,
2 12 2 12
pl pl pl pl
F 0, , ,0, ,
2 8 2 8
= − − −
= −
Sustituyendo
( )
( )
temp
AB
temp
BC
F 0.05,0,0.041666, 0.05,0, 0.041666
F 0,0.005,0.00625,0,0.005, 0.00625
= − − −
= −
Luego el vector de cargas (sin liberar el grado de libertad 6) es
1
2
3
emp
n
7
8
9
10
11
R 0.05
R 0
R 0.041666
0 0.05
0 0 0.005
F F F 0 0.041666 0.00625
R 0
R 0.005
R 0.00625
R 0
R 0
−
−
+
= − = − − +
Los términos que nos interesan para resolver el sistema de eciaciones son los 4,5 y 6. es decir
(0.05,-0.005,0.03541666)t. De donde hay que elininar el último término, recordando que
I t
I
l al al
a aal aa
ll ll
l
F K K
F K K 0 U
K K
U
0 0 0
− − =
tendremos que los términos liberados se obtendrán como
4
5
l
l
F 0.05 18.144 0.04468750.035416666
F 0.005 18.144 0.0103125120.96
= − =
− −
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que nos permite determinar el desplazamiento es
23. El método matricial
A. Carnicero
23
4
5
U0.0446875 748.2932 -351.6788
U0.0103125 -351.6788 748.2932
= −
Resolviendo el sistema
U4 = 6.834·10-5 m
U5 = 1.833·10-5 m
6. Dibujar los diagramas de esfuerzos de la viga de la figura
4 m 4 m3 m1 m
20 kN/m
Los elementos de la estructura tiene las siguientes características: A=12.6 cm2, I=86000 cm4 y e=2.1·1011 N/m2.
Determiar los diagramas de momentos flectores en la viga horizontal.
Los grados de libertad considerados son:
8
9
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
21
22
19
20
17
18
23
24
A B C D E
Las matrices de rigidez de las barras son,
AB AB
66.15 0 0 -66.15 0 0
0 33.8625 67.725 0 -33.8625 67.725
0 67.725 180.6 0 -67.725 90.3
k K
-66.15 0
= = DE DEk K
0 66.15 0 0
0 -33.8625 -67.725 0 33.8625 -67.725
0 67.725 90.3 0 -67.725 180.6
= =
24. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 24
3
BC BC
0.2646 0 0 -0.2646 0 0
0 2.1672 1.0836 0 -2.1672 1.0836
0 1.0836 0.7224 0 -1.0836 0.3612
k K 10 ·
-0.26
= =
46 0 0 0.2646 0 0
0 -2.1672 -1.0836 0 2.1672 -1.0836
0 1.0836 0.3612 0 -1.0836 0.7224
CD CD
88.2 0 0 -88.2 0 0
0 80.2667 120.4 0 -80.2667 120.4
0 120.4 240.8 0 -120.4 120.4
k K
-88.2 0 0 88.2
= =
0 0
0 -80.2667 -120.4 0 80.2667 -120.4
0 120.4 120.4 0 -120.4 240.8
La matriz de rigidez en coordenadas elementales o globales de los cables es siempre la misma y valen
88.2 -88.2
k
-88.2 88.2
=
0 0 0 0
0 88.2 0 -88.2
K
0 0 0 0
0 -88.2 0 88.2
=
Se puede pasar a ensamblar la matriz de rigidez de la estructura. Para disminuir el tamaño de la matriz de
rigidez se van a imponer ya las condiciones de contorno por lo que los términos asociados a los grados 17 a
24 no van a ser emsamblados. Por lo tanto los cables sólo van a aportar un término de valor 88.2 MN/m a los
términos k2,2,k5,5,k12,12 y k15,15.
66.15 0 0
0 122.06 67.725
0 67.725 180.6
-66.15 0
0 -33.862
0 67.725
0 0
0 0
K
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
=
-66.15 0
0 -33.86
0
0 330.75
-67.725 0
90.3 0
0 -264.6
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
2
-67.725
0
2289.3
1015.9
0
-2167.2
1083.6
0
0
0
0
0
0
0
67.725
90.3
0
1015.9
903
0
-1083.6
361.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-264.6
0
0
352.8
0
0
0
-88.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2167.2
-1083.6
0
2247.5
-1083.6
120.4
0
-80.267
120.4
0
0
0
0
0
0
1083.6
361.2
0
-1083.6
722.4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
120.4
0
240.8
0
-120.4
120.4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-88.2
0
0
0
154.35
0
0
-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-80.267
0
-120.4
0
202.33
-52.675
66.15
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
120.4 0
0 0
120.4 0
0 -66.15
-52.675 0
421.4 0
0 0 66.15
-33.862 -67.725 0
67.725 90.3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-33.862
-67.725
0
122.06
0 -67.725
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
67.725
90.3
0
-67.725
180.6
25. El método matricial
A. Carnicero
25
Los obtención de los valores de los vectores de esfuerzos de empotramiento no presenta ninguna dificultad:
emp emp
AB DE
0
0.04
0.026667
F F
0
0.04
-0.026667
= =
emp
BC
0
0.01
0.0016667
F
0
0.01
-0.0016667
=
emp
CD
0
0.03
0.015
F
0
0.03
0.015
=
y dado que no hay cargas en los nudos, el vector de cargas ensamblado es
emp
F F= − :
27. El método matricial
A. Carnicero
27
u15= -0.00037942
u16=0.00034559
Sin embargo la solución anterior no ha sido obtenido inviertiendo la matriz de rigidez escrita anteriormente
ya que se puede comprobar que ésta es singular. La singularidad proviene de la no existencia de condiciones
de contorno en dirección X. Para resolver el problema se ha impuesto que U1=0 y entonces ya es posible
resolver el sistema de ecuaciones.
Conocidos los desplazamientos se calculan los diagramas de esfuerzos en las barras.
Tramo AB
emp
AB AB AB AB
0
0.032178
0
esf k u f
0
0.047822
-0.031286
= ⋅ + =
Tramo BC
emp
BC BC BC BC
0
0.041286
0.031286
esf k u f
0
-0.021286
0
= ⋅ + =
Tramo CD
emp
CD CD CD CD
0
0.021286
0
esf k u f
0
0.038714
-0.026142
= ⋅ + =
Tramo DE
28. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 28
emp
DE DE DE DE
0
0.046535
0.026142
esf k u f
0
0.033465
0
= ⋅ + =
29. El método matricial
A. Carnicero
29
1.2 Ejercicios propuestos
7. Empleando el método matricial, calcular el diagrama de momentos
flectores de la viga de la figura
40
50 kN
30 kN/m
A=210 cm2
I=116474 cm4
E=2.1·1011
N/m2
Resultado
3309500 N/m
4345250 N/m
8. Dibujar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura
30. Teoría de Estructuras I
A. Carnicero 30
800
600300
40kN/m
40kN/m
20 kN/m
20 kN/m
20 kN/m
DATOS
E=2.1 ·10
11
N/m
2
Pilares
A=149 cm
2
I=25170 cm
4
Cubierta
A=33 cm
2
I=1510 cm
4
Resto
A=24 cm
2
I=864 cm
4
Resultado.
Valores de los esfuerzos en los extremos de las barras (lado derecho de la estructura)
( )
( )
( )
t
1
t
2
t
3
f 0.0517,0.3,1.0569, 0.0517, 0.06,0.0232
f 0.0415,0.0454, 0.0231,0.0415,0.0546,0
f 0.0504,0.04,0.0504,0.04
= − −
= − −
= −
No se especifican los grados de libertad por considerar que es obvia su definición. Resulta de gran interés plantearse
cómo quedarían los diagramas de la parte no calculada.
1.3 Otros ejercicios
9. Determinar empleando el método matricial los esfuerzos en la celosía
sabiendo que la rigidez es AE. Aplicar todas las simplificaciones
posibles en el proceso de cálculo (ensamblanje, vectores de cargas,
etc.)
30
30
30
45
L
P