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Analisis matricial javeriana

El documento describe el método de la rigidez directa para analizar estructuras continuas. Este método consiste en describir matemáticamente la estructura mediante un modelo discreto de ecuaciones simultáneas que concentra la masa en los nudos. Se explica cómo se desarrolla la matriz de rigidez y la relación fuerza-desplazamiento, y cómo se aplica este método para analizar barras y cerchas planas.

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1 ANÁLISIS MATRICIAL MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTA Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos. • Se desarrollo con base en uno de los principios del equilibrio: La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento • Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema. • La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o restringidos) • La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por : [ F ] = [ K ] { U } [ K ] = Matriz de rigidez [ F ] =Vector de fuerzas { U } = Vector de desplazamiento Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada. 1. SISTEMA DE COORDENADAS Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas: 1.1 Sistema de coordenadas globales Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.
2 1.2 Sistema de coordenadas locales Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de posición: dirección θ y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y globales. Øx, Øy, Øz: Cosenos directores 2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ [ F ] = [ K ] { U } { U } = Vector de desplazamiento ቂ ‫݊ܨ‬ ‫ܽܨ‬ ቃ ൌ ቂ ‫݊݊ܭ‬ ‫ܽ݊ܭ‬ ‫݊ܽܭ‬ ‫ܽܽܭ‬ ቃ ቀ ܷ݊ ܷܽ ቁ ሼܷ݊ሽ ൌ ܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ݀݁‫݊݁݋ݐ݊݁݅݉ܽݖ݈ܽ݌ݏ‬ ݈‫ݏ݋‬ ݊‫ݏ݋݀ݑ‬ ݈ܾ݅‫ݏ݁ݎ‬ Ø Ø Ø
3 ሼ‫݊ܨ‬ሽ ൌ ܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ܿܽ‫ܽ݃ݎ‬ ܽ‫݈ܽ݀ܽܿ݅݌‬ ሼ‫ܽܨ‬ሽ ൌ ܴ݁ܽܿܿ݅‫ݏ݁݊݋‬ ݀݁ ݈‫ݏ݋‬ ܽ‫ݏ݋ݕ݋݌‬ ሼܷܽሽ ൌ ܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ݀݁‫݋ݐ݊݁݅݉ܽݖ݈ܽ݌ݏ‬ ݀݁ ݈‫ݏ݋‬ ݊‫ݏ݋݀ݑ‬ ‫,ݏ݋݀݅݃݊݅ݎݐݏ݁ݎ‬ ݃݁݊݁‫݁ݐ݈݊݁݉ܽݎ‬ ݅݃‫ݏ݈݁ܽݑ‬ ܽ ܿ݁‫݋ݎ‬ ‫݋‬ ݃‫ݏ݋݀ܽݎ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ‫ݏ݋ݐ݅ݎܿݏ݁ݎ݌‬ Expandiendo: [ Fn ] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua } (1) { Fa } = [ Kan ]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua } (2) De (1) despejo { Un } [ Kun ]{ Un } = { Fn } – [ Kna ]{ Ua } { Un } = [ Knn ]-1 { Fn } – [ Knn ]-1 [ Kna ]{ Ua } (3) Reemplazo en (2) { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } – [ Kan ][ Knn ]-1 [ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua } Factorizo : { Ua } { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } – [[ Kan ][ Knn ]-1 [ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua } (4) Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos: { Un } = [ Knn ]-1 { Fn } { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } - Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales: i, j = nudos
4 - Fuerzas de extremo: - Grados de libertad del elemento : Existen 3 grados de libertad libres por nudo en el caso plano. 3. MÉTODO DE LA RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA I= nudo inicial J = nudo final Ø Ø
5 ܷ ൌ ܲ‫ܮ‬ ‫ܧܣ‬ U = desplazamiento axial A = sección transversal L = longitud E = módulo de elasticidad ܲ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ܷ ܲ ൌ ‫ܭ‬ ܷ Fuerza en el resorte ‫ܭ‬ ൌ ஺ா ௅ Rigidez axial, fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario U=1 La matriz de rigidez en coordenadas locales se arma de la siguiente manera: Se suelta un extremo, y se le da un desplazamiento unitario Uj = 1 ‫݆ݔܨ‬ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ‫݆݆ܭ‬ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ Kij = Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en j Uxj = 1. Se suelta el nudo i :
6 ‫݅ݔܨ‬ ൌ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ‫݅݅ܭ‬ ൌ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en i. ሾ ‫ܭ‬ ሿ ൌ ൦ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ െ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ െ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ൪ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ቂ 1 െ1 െ1 1 ቃ Esta matriz se aplica en armaduras o cerchas espaciales. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA Grados de libertad globales Fuerzas locales En coordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL } Ø Ø
7 ൜ ‫ܮ݅ܨ‬ ‫ܮ݆ܨ‬ ൠ ൌ ൦ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ൪ ൜ ܷ݅‫ܮ‬ ܷ݆‫ܮ‬ ൠ ൞ ‫ܮ݅ݔܨ‬ ‫ܮ݅ݕܨ‬ ‫ܮ݆ݔܨ‬ ‫ܮ݆ݕܨ‬ ൢ ൌ ஺ா ௅ ቎ 1 0 0 0 െ1 0 0 0 െ1 0 0 0 1 0 0 0 ቏ ൞ ܷ‫ܮ݅ݔ‬ ܷ‫ܮ݅ݕ‬ ܷ‫ܮ݆ݔ‬ ܷ‫ܮ݆ݕ‬ ൢ Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j. UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø C = Cos Ø UxjL = Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø S = Sen Ø UyjL = - Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø Reemplazando: en { FL } = [ K ]L { UL } ൞ ‫ܮ݅ݔܨ‬ ‫ܮ݅ݕܨ‬ ‫ܮ݆ݔܨ‬ ‫ܮ݆ݕܨ‬ ൢ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ቎ ‫ܥ‬ ܵ െܵ ‫ܥ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 ‫ܥ‬ ܵ െܵ ‫ܥ‬ ቏ ൞ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ൢ Para las fuerzas se tiene: { FL } = [ T ]{ F } [ T ] = Matriz de transformación { F } = [ T ]-1 { FL } Para matrices simétricas y ortogonales Ø Ø
8 [ T ]-1 = [ T ]T { F } = [ T ]T { FL } Para los desplazamientos { UL } = [ T ]{ U } { U } = [ T ]-1 { UL } { U } = [ T ]T { UL } Reemplazando en { F } = [ T ]T { FL } { FL } = [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ]L[ T ]{ U } [ K ] = [ T ]T [ K ]L[ T ] Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento. Uxi Uyi Uxj Uyj ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ஺ா ௅ ൦ ‫ܥ‬ଶ ‫ܵܥ‬ ‫ܵܥ‬ ܵଶ െ‫ܥ‬ଶ െ‫ܵܥ‬ െ‫ܵܥ‬ െܵଶ െ‫ܥ‬ଶ െ‫ܵܥ‬ െ‫ܵܥ‬ െܵଶ ‫ܥ‬ଶ ‫ܵܥ‬ ‫ܵܥ‬ ܵଶ ൪ ൞ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ൢ [ K ] = matriz simétrica C2 = Cos2 Ø S2 = Sen2 Ø CS = Cos Ø Sen Ø PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Equilibrio: La matriz relaciona desplazamientos de extremo de un elemento con unas fuerzas de extremo en equilibrio. Cualquier desplazamiento ocasiona un conjunto de fuerzas en equilibrio.
9 Øi Øj ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Fuerzas de Extremo Σ‫ݕܨ‬ ൌ ‫݅ݕܨ‬ ൅ ‫݆ݕܨ‬ ൌ 0 Σ‫ܯ‬ ൌ ‫݅ܯ‬ ൅ ‫݆ܯ‬ ൌ 0 Σ‫ݔܨ‬ ൌ ‫݅ݔܨ‬ ൅ ‫݆ݔܨ‬ ൌ 0 Movimiento de un Cuerpo Rígido Si a un punto se le genera un desplazamiento correspondiente a un cuerpo rígido, no se desarrollaran fuerzas sobre los extremos de los elementos. No hay cambio de longitud del elemento. Uxi = Uxj Θi = θj = (Uyj-Uyi)/L Reemplazando en la columna respectiva ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ߠ݅ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ሺܷ‫݆ݕ‬ െ ܷ‫݅ݕ‬ሻ ‫ܮ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ሺܷ‫݆ݕ‬ െ ܷ‫݅ݕ‬ሻ ‫ܮ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Reemplazando en la matriz completa del elemento y despejando:
10 Fyi = Fyj = 0 ; Fxi = Fxj = 0 ; Mi = Mj = 0 Singularidad La matriz de rigidez de un elemento es singular, osea que no tiene inversa, es decir que es autoequilibrante para cualquier conjunto de desplazamientos, matemáticamente significa que las columnas 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 son linealmente dependientes, y esta es la base de la definición de una matriz singular. En este sistema hay 3 reacciones independientes y las otras 3, son el resultado de una combinación lineal. La matriz de rigidez del sistema estructural estará formada por matrices singulares de los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistema deben de estar restringidos por soportes externos. Simetría Consecuencia del teorema reciproco de Maxwell, también demostrable por el teorema de Castigliano, que indica que los términos fuera de la diagonal son iguales y por lo tanto simétricos. CARGAS EQUIVALENTES EN LAS JUNTAS PARA CARGAS SOBRE EL ELEMENTO { F } = [ K ] { U } { F } = Vector de carga que debe generar el mismo desplazamiento { U } que las cargas reales. Caso 1 : Cargas reales
11 Caso 2 : Cargas reales + conjunto de cargas restrictivas para impedir rotación y traslación de juntas. La suma de 2 y 3: es estáticamente igual al sistema real Caso 3: Cargas equivalentes en las juntas. Para cancelar cargas restrictivas. De magnitud igual pero sentido opuesto. Producen los mismos desplazamientos que las cargas reales.
12 Las cargas equivalentes se calculan a partir de las acciones de extremo fijo. Sobre los extremos de los elementos (F.E.A.), no pueden desplazarse ni girar (empotrado) El equilibrio en el nudo será: െ ∑ ሼF. E. A. ሽ ൅ ሼFሽ୰ୣୱ୲୰୧୬୥୧ୢ୭ ൌ ሼ0ሽ ሼF. E. A. ሽ ൌ Fixed End action Se tiene: ሼFሽ୰ୣୱ୲୰୧୬୥୧ୢ୭ = െሼFሽୣ୯୳୧୴ୟ୪ୣ୬୲ୣ ሼFሽୣ୯୳୧୴ୟ୪ୣ୬୲ୣ ൌ െ ∑ሼ‫.ܨ‬ ‫.ܧ‬ ‫.ܣ‬ ሽ Las cargas para cualquier análisis sobre las juntas: ሼ‫ܨ‬ሽ ൌ ሼ‫ܨ‬ሽ௡௢ௗ௢௦ െ ∑ሼ‫.ܨ‬ ‫.ܧ‬ ‫.ܣ‬ ሽ ሼ‫ܨ‬ሽ: ݂‫ݏܽݖݎ݁ݑ‬ ‫ݏ݈݁ܽݐ݋ݐ‬ ሼ‫ܨ‬ሽ௡௢ௗ௢௦ ‫׷‬ ݂‫ݏܽݖݎ݁ݑ‬ ‫݁ݎܾ݋ݏ‬ ݈‫ݏ݋‬ ݊‫ݏ݋݀݋‬ െ ∑ሼ‫.ܨ‬ ‫.ܧ‬ ‫.ܣ‬ ሽ: Fuerzas equivalentes en los nodos debido a las cargas sobre el elemento, considerando el elemento empotrado en ambos extremos MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE Ocurre un desplazamiento U y un giro θ en un extremo, las fuerzas de extremo producido por el desplazamiento serán: Ø Ø
13 U = desplazamiento extremo Θ = Rotación en un extremo Del método de la viga conjugada y haciendo un desplazamiento unitario Uy = 1 Haciendo un giro unitario θ = 1 en ambos extremos Ensamblando la matriz de rigidez. 3 Ui θi Uj θj ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൞ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ൢ Problema: Usando el método de la rigidez directa y despreciando las deformaciones axiales, halle: A) Reacciones y diagramas de V y M B) Rotaciones en el punto B ³ ³ ² ² ² ² ³ ³ ² ² Øi Øi ² ²
14 f´c = 21Mpa (NSR-10) Ec ൌ 4700√21 ൌ 21540‫ܽܲܯ‬ ‫ܫ‬ ൌ ଴,ଶହ‫כ‬଴ଷହయ ଵଶ ൌ 8.932‫01ݔ‬ିସ ݉ସ Los grados de libertad del elemento Ua θa Ub θb ൞ ܴܽ ‫ܽܯ‬ ܴܾ െ 50 20 ൢ ൌ ቎ 1068.8 3206.4 3206.4 1285.6 1068.8 3206.4 െ3206.4 6412.8 1068.8 െ3206.4 3206.4 6412.8 1068.8 െ3206.4 െ3206.4 1285.6 ቏൞ ܷܽ ߠܽ ܷܾ ߠܾ ൢ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ൌ 12‫01ݔ239.8ݔ04512ݔ‬ିସ 6ଷ ൌ 1068.8 ‫ܰܭ‬ ݉ ൌ 1069 ‫ܰܯ‬ ݉ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ൌ 6‫01ݔ239.8ݔ04512ݔ‬ିସ 6ଷ ൌ 3206.4 ‫ܰܭ‬ ݉ ൌ 3206 ‫ܰܯ‬ ݉ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ൌ 12825.64 ‫ܰܭ‬ ݉ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ൌ 6412.82 ‫ܰܭ‬ ݉ Se eliminaron los grados de libertad restringidos. Ua = θa = Ub = 0 { 20 } = [ 12825.6 ]{ θb } Θb = 1,56x10-3 rad/s T T
15 Reemplazando en { Ra } = [ 3206,4 ]{ 1,56x10-3 } Ra = 5,0 KN { Ma } = [ 6412,8 ]{ 1,56x10-3 } Ra = 9,87 KN m { Rb-50 } = [ -3206.4 ]{ 1,56x10-3 } Rb = 45,0 KN Problema: Resolver la siguiente viga. Ec = 21540 MPa I =8,93x10-4 m4 EI = 19,24 MN/m Θa = θb = θc = Ua = Uc = 0 T T
16 Se parte la viga en 2 elementos AB y BC { F } = [ T ]T [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ] { T } { U } [ K ] = [ T ]T [ K ]L [ T ] Las matrices de rigidez de cada elemento quedan: Ua θa Ub θb ൞ ܴܽ‫ݕ‬ ‫ܽܯ‬ ܴܾ‫ݕ‬ ‫ܾܯ‬ ൢ ൌ ቎ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቏ ൞ ܷܽ ߠܽ ܷܾ ߠܾ ൢ [ MN/m ] Ub θb Uc θc Rb = -100 ൞ ܴܾ‫ݕ‬ ‫ܾܯ‬ ܴܿ‫ݕ‬ ‫ܿܯ‬ ൢ ൌ ቎ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቏ ൞ ܷܾ ߠܾ ܷܿ ߠܿ ൢ Mb = 0 Ensamblando las 2 matrices, y eliminando los grados de libertad restringidos: Ua, θa, Uc, θc = 0. El sistema queda de 2X2, correspondiente a los grados de libertad libres. Ub θb ቄ ܴܾ‫ݕ‬ ‫ܾܯ‬ ቅ ൌ ቂ 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቃቄ ܷܾ ߠܾ ቅ Rb = -100 Ub θb Mb = 0 ቄ ܴܾ‫ݕ‬ ‫ܾܯ‬ ቅ ൌ ቂ 8.55 12.83 12.83 25.65 ቃቄ ܷܾ ߠܾ ቅ
17 Ub θb ቄ െ100 0 ቅ ൌ ቂ 17.1 0 0 51.3 ቃ ቄ ܷܾ ߠܾ ቅ -100 = 17,1 Ub Ub = -5,81x10-3 m 0 = 51,3 θb θb = 0 Se despejan las reacciones de la matriz de cada elemento. Elemento AB ൞ ܴܽ‫ݕ‬ ‫ܽܯ‬ െ100 0 ൢ ൌ ቎ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቏ ൞ 0 0 െ5.85‫01ݔ‬ିଷ 0 ൢ Ray = -8,55x10-6 * -5,85x10-3 = 50 KN Ma = 12,83 * -5,85x10-3 = 75 KN m Como la viga y las cargas son simétricas Ray = Rcy = 50 KN = P/2 Ma = Mc = 75 KN m = PL/8 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO PRISMÁTICO BAJO CARGA AXIAL, FLEXIÓN Y CORTANTE Fuerzas Matriz aplicable a cualquier elemento horizontal de pórtico plano (vigas).
18 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ‫݅ܯ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA COLUMNA Para resolver pórticos ortogonales, se transforman las coordenadas, y usando el sistema global, se debe usar la siguiente matriz. ² ² ³ ³ ² ² ³ ³ Ø=1 ² ² Ø=1 ² ²
19 ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ߠ݅ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ߠ݆ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ߠ݅ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Problema: resuelva el siguiente pórtico con f’c = 21 MPa , vigas 30x40, columnas 40x40 Ec ൌ 4700√f′c NSR-10 Ec = 21540 mPa 1. Se enumeran los nudos y elementos iniciando por el nudo libre : Nodos : Elementos
20 2. Fuerzas de extremo ሼ‫.ܨ‬ ‫.ܧ‬ ‫.ܣ‬ ሽ fijo ‫ܯ‬ଵିଶ ா ൌ ௪‫כ‬௟మ ଵଶ ൌ ହ଴‫଺כ‬మ ଵଶ ൌ 150 ݇݊ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଶିଵ ா (+) ‫ܨ‬௬ଵିଶ ா ൌ ௪‫כ‬௟ ଶ ൌ ହ଴‫଺כ‬ ଶ ൌ 150 ݇݊ ൌ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ா (+) ‫ܯ‬ଷିଵ ா ൌ ௪‫כ‬௟మ ଵଶ ൌ ଵ଴‫כ‬ଷమ ଵଶ ൌ 25 ݇݊ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଵିଷ ா ‫ܨ‬௬ଷିଵ ா ൌ ௪‫כ‬௟ ଶ ൌ `ଵ଴‫כ‬ଷ ଶ ൌ െ15 ݇݊ ൌ ‫ܨ‬ଵିଷ ா 3. Matriz de rigidez Ec ൌ 4700√f′c NSR െ 09 ൌ 21540MPa 3.1 Viga A = 0,3 x 0,4 = 0,12 m AE = 2584,8 MN ‫ܫ‬ ൌ ଴.ଷ ௫ ଴.ସయ ଵଶ ൌ 1.6‫01ݔ‬ିଷ ݉ସ EI = 34,46 MN m2 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 430.8 0 0 0 1.915 5.74 0 5.74 22.97 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 430.8 0 0 0 1.915 െ5.74 0 െ5.74 22.97 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 150 150 0 150 െ150ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 3.2 Columna ܷ‫3ݔ‬ ܷ‫3ݕ‬ ߠ3 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ ‫3ݕܨ‬ ‫3ܯ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 20.42 0 െ30.63 0 1148.8 0 െ30.63 0 61.27 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 െ20.42 0 30.63 0 െ1148.8 0 െ30.63 0 െ30.63 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ15 0 7.5 െ15 0 7.5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 A = 0,4x0,4 = 0,16 m2 AE = 34464 MN 1 2
21 ‫ܫ‬ ൌ ଴.ସర ଵଶ ൌ 2.133‫01ݔ‬ିଷ ݉ସ EI = 45,95 MN m2 3.3 Columna ܷ‫4ݔ‬ ܷ‫4ݕ‬ ߠ4 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ ‫4ݕܨ‬ ‫4ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 20.42 0 െ30.63 0 1148.8 0 െ30.63 0 61.27 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 െ20.42 0 30.63 0 െ1148.8 0 െ30.63 0 െ30.63 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 4. Matriz de rigidez del sistema Los grados de libertad libres de la estructura son: Los grados de libertad restringidos son: Ux3 = Uy3 = Ux4 = θ3 = θ4 = 0 Ensamblando la matriz de los grados de libertad libres 3 Θ1 Θ2
22 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 15 െ150 െ142.5 15 െ150 150 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 451.22 0 30.63 0 1150.72 5.74 30.63 5.74 84.24 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 451.22 0 30.63 0 1150.72 െ5.74 30.63 െ5.74 84.24‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 Las fuerzas de extremo en cada elemento representan las reacciones, son iguales a las fuerzas internas en cada uno de los bordes. Despejando { U } { F } = [ K ]{ U } [ K ]-1 { F } = { U } ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2݆ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 6.733‫01ݔ‬ିସ െ1.291‫01ݔ‬ିସ െ2.195‫01ݔ‬ିଷ 5.143‫01ݔ‬ିସ െ1.321‫01ݔ‬ିସ 1.893‫01ݔ‬ିଷ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Viga Reemplazando los valores de desplazamiento ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 430.8 0 0 0 1.915 5.74 0 5.74 22.97 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 430.8 0 0 0 1.915 െ5.74 0 െ5.74 22.97 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖۖ ‫۔‬ ۖۖ ‫ۓ‬ 6.733‫01ݔ‬െ4 െ1.291‫01ݔ‬െ4 െ2.195‫01ݔ‬െ3 5.143‫01ݔ‬െ4 െ1.321‫01ݔ‬െ4 1.893‫01ݔ‬െ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 150 150 0 150 െ150ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 x103 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 68.48 148.27 121.35 െ68.48 151.73 െ131.72‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Se despejan las fuerzas para las 2 columnas, reemplazo y dan los momentos Columna 2 1
23 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ ‫3ݕܨ‬ ‫3ܯ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 6.733‫01ݔ‬ିସ െ1.291‫01ݔ‬ିସ െ2.195‫01ݔ‬ିଷۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ15 0 7.5 െ15 0 7.5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ ‫3ݕܨ‬ ‫3ܯ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 38.48 148.27 െ39.11 െ68.48 െ148.31 െ121.36‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ ‫4ݕܨ‬ ‫4ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 5.143‫01ݔ‬ିସ െ1.321‫01ݔ‬ିସ 1.893‫01ݔ‬ିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ ‫4ݕܨ‬ ‫4ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ68.48 151.76 73.74 68.48 െ151.73 131.72 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Fuerzas de extremo en cada elemento 3
24 Diagramas de Fuerzas internas.
25 Problema: Resolver el siguiente portico plano. F´c = 21 MPa, vigas de 25x35cm, columnas de 30x40cm HEA300
26 EA = 200 GPa A = 0,0113 m2 Ixx = 1,826x10-4 m4 Iyy = 6,31x10-5 m4 EI = 36,52 MN m2 AE = 2260 MN Nota : no despreciar los efectos axiales 1. Propiedades geométricas Viga: 25x35 cm A = 0,25x0,35 = 0,0875 m2 ‫ܫ‬ ൌ 0.25‫53.0ݔ‬ଷ 12 ൌ 8.932‫01ݔ‬ିସ ݉ସ Ec ൌ 4700√f′c NSR െ 09 ൌ 21540MPa AE = 1884,75 MN EI = 19,24 MN m2 Columna: 30x40 cm A = 0,3x0,4 = 0,12 m2 ‫ܫ‬ ൌ 0.3‫4.0ݔ‬ଷ 12 ൌ 1.6‫01ݔ‬ିଷ ݉ସ AE = 2584,8 MN EI = 34,46 MN m2 Se numeran los elementos y los nudos y se determinan los grados de libertad libres GL libres = 7 Tamaño de la matriz 7x7
27 Las reacciones de empotramiento ‫ܨ‬௬ସିଵ ா ൌ ௪‫כ‬௟ ଶ ൌ 120 ‫ܰܭ‬ ൌ ‫ܨ‬௬ଵିସ ா ‫ܯ‬ସିଵ ா ൌ ௪‫כ‬௟మ ଵଶ ൌ 120 ‫ܰܭ‬ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଵିସ ா ‫ܨ‬௬ଵିଶ ா ൌ 60 ‫ܰܭ‬ ൌ ‫ܨ‬ଶିଵ ா ‫ܯ‬ଵିଶ ா ൌ 30 ‫ܰܭ‬ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଶିଵ ா ‫ܨ‬௫ଵିହ ா ൌ െ40 ‫ܰܭ‬ ൌ ‫ܨ‬௫ହିଵ ா ‫ܯ‬ହିଵ ா ൌ ௣‫כ‬௟ ଼ ൌ ଼଴‫כ‬ଷ ଼ ൌ 30 ‫ܰܭ‬ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଵିହ ா Las ecuaciones individuales para cada elemento. Viga ܷ‫4ݔ‬ ൌ 0 ܷ‫4ݕ‬ ൌ 0 ߠ4 ൌ 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ െ 1 ‫4ݕܨ‬ െ 1 ‫4ܯ‬ െ 1 ‫1ݔܨ‬ െ 4 ‫1ݕܨ‬ െ 4 ‫1ܯ‬ െ 4 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 314.13 0 0 0 1.069 3.21 0 3.21 12.83 െ314.13 0 0 0 െ1.069 3.21 0 െ3.21 6.41 െ314.13 0 0 0 െ1.069 െ3.21 0 3.21 6.41 314.13 0 0 0 1.069 െ3.21 0 െ3.21 12.83 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 120 120 0 120 െ120ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 Viga ? ? Θ2 Θ1 3 1 Θ2
28 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ െ 2 ‫1ݕܨ‬ െ 2 ‫1ܯ‬ െ 2 ‫2ݔܨ‬ െ 1 ‫2ݕܨ‬ െ 1 ‫2ܯ‬ െ 1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 628.25 0 0 0 8.55 12.83 0 12.83 25.65 െ628.25 0 0 0 െ8.55 12.83 0 െ12.83 12.83 െ628.25 0 0 0 െ8.55 െ12.83 0 12.83 12.83 628.25 0 0 0 8.55 െ12.83 0 െ12.83 25.65 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 60 30 0 60 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 Columna ܷ‫3ݔ‬ ܷ‫3ݕ‬ ߠ3 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ െ 2 ‫3ݕܨ‬ െ 2 ‫3ܯ‬ െ 2 ‫2ݔܨ‬ െ 3 ‫2ݕܨ‬ െ 3 ‫2ܯ‬ െ 3 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 െ13.7 0 0 0 0 0 36.52 െ6.85 0 െ13.7 0 െ565 0 13.7 0 18.26 0 0 13.7 0 0 0 0 0 18.26 6.85 0 0 0 565 0 13.7 0 36.52 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 ߠ3 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 Columna ܷሺ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ߠሻ5 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫5ݔܨ‬ െ 1 ‫5ݕܨ‬ െ 1 ‫5ܯ‬ െ 1 ‫1ݔܨ‬ െ 5 ‫1ݕܨ‬ െ 5 ‫1ܯ‬ െ 5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ15.32 0 െ22.97 0 െ861.6 0 22.97 0 22.97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.32 0 22.97 0 861.6 0 22.97 0 45.95 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ40 0 30 െ40 0 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Se ensambla la matriz de rigidez del sistema correspondiente a los grados de libertad libres; resulta un sistema de 7x7 . ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ߠ3 ‫ە‬ ۖۖ ‫۔‬ ۖۖ ‫ۓ‬ 40 െ180 120 0 െ60 30 0 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 957.7 0 22.97 0 871.22 9.62 22.97 9.62 84.43 െ628.25 0 0 0 െ8.55 12.83 0 െ12.83 12.83 0 0 0 െ628.5 0 0 0 െ8.55 െ12.83 0 12.83 12.83 635.1 0 13.7 0 573.55 െ12.83 13.7 െ12.83 62.17 12.7 0 18.26 0 0 0 13.7 0 18.26 36.52‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖۖ ‫۔‬ ۖۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ߠ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ Se despejan las incógnitas. { F } = [ K ]{ U } [ K ]-1 { F } = { U } 2 4
29 ‫ە‬ ۖۖ ‫۔‬ ۖۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ߠ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 2.287‫01ݔ‬ିହ െ2.265‫01ݔ‬ିସ 1.39‫01ݔ‬ିଷ 2.201‫01ݔ‬ିହ െ7.099‫01ݔ‬ିହ 2.642‫01ݔ‬ିସ െ1.403‫01ݔ‬ିସ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Se despejan las fuerzas externas, reemplazando en la ecuación de cada elemento Viga Viga ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ െ 1 ‫4ݕܨ‬ െ 1 ‫4ܯ‬ െ 1 ‫1ݔܨ‬ െ 4 ‫1ݕܨ‬ െ 4 ‫1ܯ‬ െ 4 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ7.18 124.7 129.64 7.18 115.3 െ101.4‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ െ 2 ‫1ݕܨ‬ െ 2 ‫1ܯ‬ െ 2 ‫2ݔܨ‬ െ 1 ‫2ݕܨ‬ െ 1 ‫2ܯ‬ െ 1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0.54 79.89 67.05 െ0.54 40.11 െ7.39‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ െ 2 ‫3ݕܨ‬ െ 2 ‫3ܯ‬ െ 2 ‫2ݔܨ‬ െ 3 ‫2ݕܨ‬ െ 3 ‫2ܯ‬ െ 3 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ1.85 40.11 0 1.85 െ40.11 7.39 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫5ݔܨ‬ െ 1 ‫5ݕܨ‬ െ 1 ‫5ܯ‬ െ 1 ‫1ݔܨ‬ െ 5 ‫1ݕܨ‬ െ 5 ‫1ܯ‬ െ 5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ72.28 195.19 62.45 െ7.72 െ195.19 34.39 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ 42 3 1
30 Fuerzas en los elementos Diagramas de fuerzas internas
31 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO INCLINADO El método de la rigidez requiere que las ecuaciones sean escritas en coordenadas globales. Se establece una relación entre las fuerzas axiales y cortantes de extremo local y global, de igual forma que en una armadura plana, mientras que los momentos, por ser vectores libres son iguales en los 2 sistemas.
32 La matriz de transformación para las fuerzas queda de la siguiente manera: ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܮ݅ݔܨ‬ ‫ܮ݅ݕܨ‬ ‫ܮ݅ܯ‬ ‫ܮ݆ݔܨ‬ ‫ܮ݆ݕܨ‬ ‫ܮ݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ‫ߠݏ݋ܥ‬ ܵ݁݊ߠ 0 െܵ݁݊ߠ െ‫ߠݏ݋ܥ‬ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ‫ߠݏ݋ܥ‬ ܵ݁݊ߠ 0 െܵ݁݊ߠ െ‫ߠݏ݋ܥ‬ 0 0 0 1‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ La matriz de transformación es igual para desplazamientos haciendo c = Cosθ , s = Senθ ሾܶሿ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ܿ ‫ݏ‬ െ‫ݏ‬ ܿ 1 ܿ ‫ݏ‬ െ‫ݏ‬ ܿ 1 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ?
33 La matriz de rigidez se transforma de coordenada local a global. { F }L = [ T ] { F } { F } = [ T ]-1 { FL } = [ T ]-1 { FL } Se tiene que: { FL } = [ KL ] { UL } y { UL } = [ T ] { U } [ T ] { F } = [ KL ] [ T ] { U } [ KL ] = Matriz de rigidez de un elemento horizontal { F } = [ T ]T [ KL ] [ T ] { U } La matriz de rigidez en coordenadas globales [ K ] = [ T ]T [ KL ] [ T ] Cuando existen cargas en el vano, el vector de fuerzas de extremo fijo debe transformarse también. { FE } = [ T ]T {FE L} { FE } = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas globales {FE L} = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas locales
34 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ஺ா ௅ ܿଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ݏ‬ଶ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ െ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ െ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ െ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ ஺ா ௅ ‫ݏ‬ଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ܿଶ ଺ாூ ௅మ ܿ െ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ ଺ாூ ௅మ ܿ ସாூ ௅ െ ஺ா ௅ ܿଶ െ ଵଶாூ ௅య ‫ݏ‬ଶ െ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ െ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ െ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ െ ஺ா ௅ ‫ݏ‬ଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ܿଶ ଺ாூ ௅మ ܿ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ െ ଺ாூ ௅మ ܿ ଶாூ ௅ െ ஺ா ௅ ܿଶ െ ଵଶாூ ௅య ‫ݏ‬ଶ െ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ െ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ െ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ െ ஺ா ௅ ‫ݏ‬ଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ܿଶ െ ଺ாூ ௅మ ܿ െ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ ଺ாூ ௅మ ܿ ଶாூ ௅ ஺ா ௅ ܿଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ݏ‬ଶ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ െ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ ஺ா ௅ ‫ݏ‬ଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ܿଶ െ ଺ாூ ௅మ ܿ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ െ ଺ாூ ௅మ ܿ ସாூ ௅ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ߠ݅ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Fuerzas internas en un elemento de pórtico plano inclinado Primero se calculan los desplazamientos correspondientes a los grados de libertad libres, después se calculan las fuerzas en coordenadas locales y se transforman a coordenadas globales con: { Fi } = [ T ] { F } { F} = [ T ]T { FL } Se recomienda usar coordenadas locales para calcular [ KL ] y después efectuar el triple producto [ T ]T [ KL ] [ T ] = [ K ] En este caso se calculan las fuerzas internas transformando primero los desplazamientos { uL } = [ T ] { u } { uL } = Desplazamientos en nudos locales { FL } = { FE L } + [ KL ] { uL } { u } = Desplazamientos en nudos globales
35 Problema: Resolver el siguiente pórtico: HEA300 EA = 200 GPa A = 0,0113 m2 Ixx = 1,826x10-4 m4 Iyy = 6,31x10-5 m4 EI = 36,52 MN m2 AE = 2260 MN L1 = 3.606 m L2 = 5.0 m 1. Se numeran los elementos, nudos y grados de libertad. Grados de libertad libres. Ux1, Uy1, θ1. Matriz de 3x3 2. Se calculan las fuerzas de extremo fijo en coordenadas locales. ? ? ? Θ3
36 F1XL = F2XL = 0 F1YL = F2YL = (WL)/2 = (40x3.606)/2 = 72.11 KN ME 2-1 = - ME 1-2 = (WL2 )/12 = 43.33 KN m Senθ1 = 3/3,606 = 0,832 Cosθ1 = 2/3.606 = 0,555 Cosθ2 = 4/5 = 0,8 Senθ2 = 3/5 = 0,6 FX2-3L = FX3-2L = 24KN ME 1-3 = - ME 3-1 = (PL)/8 = 40 KN m FY2-3L = FY3-2L = 32 KN Las fuerzas de empotramiento deben de transformarse a un sistema de coordenadas globales. ? ? Θ1 Θ2
37 { FE L } = [ T ] { FE} { FE } = [ T ]T { FE L} Elemento ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 72.11 43.33 0 72.11 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0.555 0.832 െ0.832 0.555 1 0.555 0.832 െ0.832 0.555 1 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ா ‫ܨ‬௬ଶିଵ ா ‫ܯ‬ଶିଵ ா ‫ܨ‬௫ଵିଶ ா ‫ܨ‬௬ଵିଶ ா ‫ܯ‬ଵିଶ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ59.98 40.01 43.33 െ59.98 40.01 െ43.33‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Elemento ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 24 32 40 0 32 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0.8 0.6 െ0.6 0.8 1 0.8 0.6 െ0.6 0.8 1 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ா ‫ܨ‬௬ଷିଵ ா ‫ܯ‬ଷିଵ ா ‫ܨ‬௫ଵିଷ ா ‫ܨ‬௬ଵିଷ ா ‫ܯ‬ଵିଷ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 40 40 0 40 െ40‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Se hallan las ecuaciones de equilibrio estático en coordenadas locales Elemento 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ626.81 0 0 0 െ9.35 16.86 0 െ16.86 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 626.81 0 0 0 9.35 െ16.86 0 െ16.86 40.52 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 72.11 43.33 0 72.11 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ 1 2 1
38 Elemento ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 0 0 0 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଶିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 452 0 0 0 3.51 8.76 0 8.76 29.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ452 0 0 0 െ3.51 െ8.76 0 8.76 14.61 0 0 0 0 0 0 0 0 0‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 24 32 40 24 32 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Se transforman las matrices de rigidez de cada elemento a coordenadas globales. [ K ] = [ T ]T [ K ]L [ T ] y solo se tienen en cuanta los grados de libertad libres para ensamblar los elementos. Elemento 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଶିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ199.5 െ285.05 14.02 െ285.05 436.66 9.35 14.03 െ9.36 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 199.5 285.05 14.02 285.05 436.66 െ9.35 14.03 െ9.36 40.52 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ59.98 40.01 43.33 െ59.98 40.01 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Elemento ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 0 0 0 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 290.54 215.28 െ14.02 215.28 164.97 9.35 െ5.26 7.0 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ290.54 െ215.28 14.02 െ215.28 െ164.97 െ9.35 െ5.28 7.0 40.52 0 0 0 0 0 0 0 0 0‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 40 40 0 40 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Ensamblando la matriz de rigidez del sistema. ൝ െ59.98 80 െ3.33 ൡ ൌ ൥ 490.04 500.33 0 500.33 601.63 0 8.77 െ2.36 60.78 ൩ ቐ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ቑ Despejando ቐ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ቑ ൌ ൝ #"$#" #"$"# "#$#$ ൡ 2 1 2
39 Problema: Usar el método de la rigidez directa para resolver el siguiente problema. Realizar los diagramas de cortante, momento y carga axial, también pintar la deformada. Se presenta un asentamiento diferencial en el extremo B igual a uBy = 2 cm. Propiedades: Ec=21549 MPa Viga: 25*35 cm A=0, 25*0,35=0,0875 m2 ‫ܣ‬ ൌ 0,25 ‫כ‬ 0,35ଶ 12 ൌ 8,932‫01ݔ‬ିସ ݉ସ AE = 1884,8 MN EI=19,24 MN.m2 1. Se numeran los grados de libertad ܷଶ௫ ൌ ܷଶ௬ ൌ ߠଶ ൌ 0 ‫ܨ‬ଵ௬ ൌ ܷଵ௬‫ܭ‬ ൌ 0,02 ‫כ‬ 650 ൌ െ13 ݇ܰ Hacia abajo por el asentamiento ? ? 2
40 2. Fuerzas de empotramiento sinߠ ൌ ଷ ହ ൌ 0,6 cos ߠ ൌ ସ ହ ൌ 0,8 ‫ܨ‬ଵ௫ ൌ ‫ܨ‬ଶ௫ ൌ 12݇ܰ ‫ܨ‬ଵ௬ ൌ ‫ܨ‬ଶ௬ ൌ 16݇ܰ ‫ܯ‬ଵ ா ൌ െ‫ܯ‬ଶ ா ൌ ܲ ‫ככ‬ ‫ܮ‬ 8 ൌ 30݇ܰ ‫כ‬ ݉ 3. Ecuaciones estáticas para el elemento ሼ‫ܨ‬௅ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬௅ሿሼߤ௅ሽ 4. Ecuaciones estáticas para el elemento { FL } = [ KL ] { UL } T T T T T ? ? ? ?
41 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬ଵ௫ ‫ܨ‬ଵ௬ ‫ܯ‬ଵ ‫ܨ‬ଶ௫ ‫ܨ‬ଶ௬ ‫ܯ‬ଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 251,3 0 0 0 0,55 2,05 0 2,05 10,26 െ251,3 0 0 0 െ0,55 2,05 0 െ2,05 5,13 െ251,3 0 0 0 െ0,55 െ2,05 0 2,05 5,13 251,3 0 0 0 0,55 െ2,05 0 െ2,05 10,26‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ௅ ‫כ‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ߤଵ௫ ߤଶ௫ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ12 16 30 െ12 16 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅ La matriz de rigidez en coordenadas globales es: ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ሾܶሿ்ሾ‫ܭ‬௅ሿሾܶሿ ሾܶሿ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ሾ‫ܭ‬ሿ௥௘௦௢௥௧௘ ൌ ቂ 650 650 െ650 െ650 ቃ ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 90,82 1,64 െ1,23 1,64 10,26 െ161,03 െ120,36 െ1,23 െ120,36 െ90,82 1,64 1,23 െ1,64 5,13 െ161,03 െ120,36 10,26 െ120,36 െ90,82 1,23 െ1,23 1,64 െ1,64 161,03 120,36 1,23 120,36 90,82 െ1,64 1,23 െ1,64 10,26 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ሾ‫݉/ܰܯ‬ሿ Las fuerzas de extremo en coordenadas globales. ሼ‫ܨ‬௅ ாሽ ൌ ሾܶሿሼ‫ܨ‬ாሽ ሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ሾܶሿିଵሼ‫ܨ‬௅ ாሽ ሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ19,2 5,6 30 െ19,2 5,6 െ30 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ۀܰ݇ڿ‬ ‫ܨ‬ଵ௬ ൌ 650 ‫כ‬ 0,02 ൌ 13݇ܰ La ecuación de equilibrio estático esta en coordenadas globales queda: ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬ଵ௫ െ13 ‫ܯ‬ଵ ‫ܨ‬ଶ௫ ‫ܨ‬ଶ௬ ‫ܯ‬ଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 91,47 1,64 െ1,23 1,64 10,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ161,03 െ120,36 1,23 െ120,36 െ90,82 െ1,64 െ1,23 1,64 5,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫כ‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ߤଵ௫ 0,02 ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ19,2 5,6 30 െ19,2 5,6 െ30 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Kresorte + Kviga = 90,82 + 0,65 = 91,47
42 Usando solo los grados de libertad libres. ൝ 19,2 െ18,6 െ30 ൡ ൌ ൥ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 91,47 1,64 െ1,23 1,64 10,26 ൩ ൝ ߤଵ௫ 0,02 ߠଵ ൡ -13 + (-5,6) = -18,6 *1000 ߤଵ௫ ൌ 2,208 ‫ݔ‬ 10ିଶ ݉ ߤଵ௬ ൌ 0,02913 ݉ ߠଵ ൌ 4,41 ‫ݔ‬ 10ିଷ ‫݀ܽݎ‬ se transforman a coordenadas locales. Se transforman a coordenadas locales ߤ௅ ൌ ሾܶሿሼߤሽ Y se reemplaza en la ecuación de equilibrio local y despejo ሼ‫ܨ‬௅ሽ ൝ ߤଵ௫ ߤଶ௫ ߠଵ ൡ ൌ ൥ 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1 ൩ ቐ 2,208 ‫ݔ‬ 10ିଶ 0,02913 4,41 ‫ݔ‬ 10ିଷ ቑ ൌ ቐ 6,82 ‫ݔ‬ 10ିହ െ3,67 ‫ݔ‬ 10ିଶ 4,41 ‫ݔ‬ 10ିଷ ቑ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬ଵ௫௅ ‫ܨ‬ଵ௬௅ ‫ܯ‬ଵ௅ ‫ܨ‬ଶ௫௅ ‫ܨ‬ଶ௬௅ ‫ܯ‬ଶ௅ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅ ൌ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 3,64 4,85 0 െ27,64 27,15 െ82,63ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅
43 Matriz de rigidez de elemento sometido a torsión – Parrillas Ecuación de deformación en torsión para sección circular. ‫׎‬ ൌ ்‫כ‬௅ ீ‫כ‬௃ Φ = Giro relativo J= Constante torsional igual momento polar de inercia. Ecuación de la deformación por torsión para secciones rectangulares. ‫ܬ‬ ൌ ‫ݐܾܥ‬ଷ Constante torsional ‫ܥ‬ ൌ 1 3 െ 0,21 ൬ ‫ݐ‬ ܾ ൰ ቈ1 െ 1 12 ൬ ‫ݐ‬ ܾ ൰ ସ ቉ Ecuación estática ሼ‫ܨ‬ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሼߤሽ ൜ ܶ௫௜ ܶ௫௝ ൠ ൌ ൦ ‫ܩ‬ ‫כ‬ ‫ܬ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܩ‬ ‫כ‬ ‫ܬ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܩ‬ ‫כ‬ ‫ܬ‬ ‫ܮ‬ ‫ܩ‬ ‫כ‬ ‫ܬ‬ ‫ܮ‬ ൪ ൜ ߠ௫௜ ߠ௫௝ ൠ
44 Problema: resolver el siguiente problema ‫ܩ‬௔௖௘௥௢ ൌ 80 ‫ܽܲܩ‬ ‫ܩ‬௔௟௨௠௜௡௜௢ ൌ 28 ‫ܽܲܩ‬ 1. se numeran los nudos y los grados de libertad 2. Ensambla la matriz de cada elemento ‫ܩ‬஺஼ ‫כ‬ ‫ܬ‬஺஼ ‫ܮ‬஺஼ ൌ 80‫01ݔ‬ଽ ‫כ‬ ߨ 2 ‫כ‬ 0,04ସ 1,0 ൌ 321,7 ݇ܰ ‫כ‬ ݉ ܽܿ݁‫݋ݎ‬ ‫ܩ‬஺௟ ‫כ‬ ‫ܬ‬஺௟ ‫ܮ‬஺௟ ൌ 28‫01ݔ‬ଽ ‫כ‬ ߨ 2 ‫כ‬ 0,08ସ 2 ൌ 900,76 ݇ܰ ‫כ‬ ݉ ݈ܽ‫݋݅݊݅݉ݑ‬ Elemento 3-1 0 ߠଵ ൜ ܶ௫ଷିଵ ܶ௫ଵିଷ ൠ ൌ ቂ 0 െ321,7 0 321,7 ቃ ൤ 0 ߠଵ ൨ Nota: las fuerzas de extremo son cero Elemento 1-2 ߠଵ 0 ቄ ܶ௫ଵିଶ ܿ ቅ ൌ ቂ 900,76 0 െ900,76 0 ቃ ቂ ߠଵ 0 ቃ Matriz de rigidez del sistema - grados de libertad libres ܶ௫ଵିଷ ൅ ܶ௫ଵିଶ ൌ െ1,0 ൌ 1222,46 ‫כ‬ ߠଵ ߠଵ ൌ 8,18 ‫כ‬ 10ିସ ‫݀ܽݎ‬
45 3. Reemplazado en las ecuaciones de cada elemento ܶ௫ଷିଵ ൌ െ321,7 ‫כ‬ ߠଵ ൌ െ321,7‫01ݔ‬ଷ ‫כ‬ 8,18‫01ݔ‬ିସ ൌ െ263,15 ܰ ‫כ‬ ݉ ܶ௫ଵିଷ ൌ 321,7‫01ݔ‬ଷ ‫כ‬ 8,18‫01ݔ‬ିସ ൌ 736,15 ܰ ‫כ‬ ݉ ܶ௫ଵିଶ ൌ 900,76‫01ݔ‬ଷ ‫כ‬ 8,18‫01ݔ‬ିସ ൌ 736,82 ܰ ‫כ‬ ݉ ܶ௫ଶିଵ ൌ െ736,82 ܰ ‫כ‬ ݉ Matriz de una parrilla Estructuras retractiles con cargas perpendiculares al eje longitudinal, como losas de entrepisos, tableros de puentes Elemento orientado en la dirección x
46 La ecuación básica queda: ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܯ‬ ‫݅ݕܯ‬ ‫݅ܨ‬ ‫݆ݔܯ‬ ‫݆ݕܯ‬ ‫݆ܨ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ߠ‫݅ݔ‬ ߠ‫݅ݕ‬ ‫݅ݑ‬ ߠ‫݆ݔ‬ ߠ‫݆ݕ‬ ‫݆ݑ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܯ‬௫௜ ா ‫ܯ‬௬௜ ா ‫ܨ‬௭ ௜ ா ‫ܯ‬௫௝ ா ‫ܯ‬௬௝ ா ‫ܨ‬௭ ௝ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ Para el elemento orientado en la dirección Y . ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܯ‬ ‫݅ݕܯ‬ ‫݅ܨ‬ ‫݆ݔܯ‬ ‫݆ݕܯ‬ ‫݆ܨ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ߠ‫݅ݔ‬ ߠ‫݅ݕ‬ ‫݅ݑ‬ ߠ‫݆ݔ‬ ߠ‫݆ݕ‬ ‫݆ݑ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܯ‬௫௜ ா ‫ܯ‬௬௜ ா ‫ܨ‬௭ ௜ ா ‫ܯ‬௫௝ ா ‫ܯ‬௬௝ ா ‫ܨ‬௭ ௝ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ
47 Problema: Resolver la siguiente parrilla. Vigas 30x40 cm, f`c = 21 MPa 11. CONDENSACIÓN En estructuras grandes, el tamaño de las ecuaciones puede ser de cientos o de incluso miles de grados de libertad. La condensación consiste en reducir el tamaño del sistema de ecuaciones eliminando grados de libertad. Las ecuaciones quedan en función de los grados condensados ߲ ൌ ൜ ߲஼ ߲ா ൠ ߲஼: ݃‫ݏ݋݀ܽݎ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ܿ‫ݏ݋݀ܽݏ݊݁݀݊݋‬ ߲ா: ݃‫ݏ݋݀ܽݎ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ݈݁݅݉݅݊ܽ݀‫ݏ݋‬ ሼ‫ܨ‬ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሼ߲ሽ Expandiendo ൜ ‫ܨ‬஼ ‫ܨ‬ா ൠ ൌ ൤ ‫ܭ‬஼஼ ‫ܭ‬஼ா ‫ܭ‬ா஼ ‫ܭ‬ாா ൨ ൜ ߲஼ ߲ா ൠ Se expande la fila 2 y despejo ሼ߲ாሽ ሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ா஼ሿሼ߲஼ሽ ൅ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲ாሽ ሾ‫ܭ‬ாாሿሼ߲ாሽ ൌ ሼ‫ܨ‬ாሽ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲஼ሽ ሼ߲ாሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ െ ሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲஼ሽ Reemplazando en la fila 1: ሼ‫ܨ‬஼ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ሿሼ߲஼ሽ ൅ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲ாሽ ሼ‫ܨ‬஼ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ሿሼ߲஼ሽ ൅ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲஼ሽ ሼ‫ܨ‬஼ሽ ൌ ൣሾ‫ܭ‬஼஼ሿ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿ൧ሼ߲஼ሽ ൅ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ ሼ‫ܨ‬஼ሽ െ ሾ‫ܭ‬஼஼ሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ൣሾ‫ܭ‬஼஼ሿ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿ൧ሼ߲஼ሽ
48 Se busca una ecuación de la forma ሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿሼ߲஼ሽ (1) Por analogía se tiene ሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ ൌ ሼ‫ܨ‬஼ሽ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ ሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿ ൌ െሾ‫ܭ‬஼஼ሿ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿ Estas 2 formulas sirven para encontrar los desplazamientos condensados, despejando la ecuación (1) ሼ߲஼ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿିଵሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ Y los desplazamientos eliminados ሼ߲ாሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ െ ሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿିଵሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ Los desplazamientos eliminados no deben confundirse con los despreciables Cuando ሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ሼ0ሽ ሼ߲ாሽ ൌ െሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿିଵሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ ሼ߲஼ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿିଵሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ 12. GRADOS DE LIBERTAD DESPRECIABLES En las matrices no se tienen en cuenta los grados de libertad asociados a las deformaciones de flexión producidos por cortante, mientras que los grados de libertad axiales en columnas, por carga axial para edificios bajos, se pueden despreciar. Para sistemas con diafragma rígido, se supone la losa con rigidez axial muy grande y se puede despreciar la deformación axial en vigas. En principio se debe eliminar las columnas de la matriz Knn pero para conservar la simetría, también se deben eliminar las filas 13. relaciones lineales entre grados de libertad Para un sistema de grados de libertad i x j ܽ௜ଵ߲ଵ ൅ ܽ௜ଶ߲ଶ ൅ … … … … … … … ൅ ܽଵ௡߲௜ ܽ௝ଵ߲ଵ ൅ ܽ௝ଶ߲ଶ ൅ … … … … … … … ൅ ܽ௝௜߲௜
49 Matricialmente ሾܽሿሼ߲ሽ ൌ ሼ0ሽ ሾܽ଴ሿ൛߲௜ ൟ ൅ ሾܽଵሿሼ߲௉ሽ ൌ ሾ0ሿ Despejando ሼ߲௉ሽ ሼ߲௉ሽ ൌ ሾܽଵሿିଵሾܽ଴ሿ൛߲௜ ൟ Se define ሾܴ଴ሿ ൌ ሾܽଵሿିଵሾܽ଴ሿ ሾܴሿ ൌ ൤ ‫ܫ‬ ܴ଴ ൨ I: identidad ሼ߲ሽ ൌ ൜߲௜ ߲௉ൠ ൌ ൤ ‫ܫ‬ ܴ଴ ൨ ൛߲௜ ൟ ൌ ሾܴሿ൛߲௜ ൟ Ecuación estática ሼ‫ܨ‬ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሼ߲ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሾܴሿ൛߲௜ ൟ Se quiere encontrar una ecuación de la forma ൛‫ܨ‬௜ ൟ ൌ ሾ‫ܭ‬௜ሿ൛߲௜ ൟ ൛‫ܨ‬௜ ൟ : Fuerzas inerciales asociados a los grados de libertad independientes Por la ley de BettI: ൛‫ܨ‬௜ ൟ ൌ ሾܴሿ்ሼ‫ܨ‬ሽ Reemplazando ൛‫ܨ‬௜ ൟ ൌ ሾܴሿ்ሾ‫ܭ‬ሿሾܴሿ൛߲௜ ൟ ሾ‫ܭ‬௜ሿ ൌ ሾܴሿ்ሾ‫ܭ‬ሿሾܴሿ ൛߲௜ ൟ ൌ ሾ‫ܭ‬௜ሿିଵ ൛‫ܨ‬௜ ൟ Procedimiento 1, Se define la matriz [a] 2. Se hace la partición de acuerdo a los grados de libertad independientes ൛߲௜ ൟ y los dependientes ሼ߲௣ሽ 3. Se calcula, ሾܴ଴ሿ y ሾܴሿ.
50 4. se calcula ሾ‫ܭ‬௜ሿ y ൛߲௜ ൟ 5. Se calcula ሼ∂୮ሽ 14. IGUALACIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD Simétrico Subíndice i: simétrica ߤ௫௜ି௦ ൌ െߤ௫௜ ߤ௬௜ି௦ ൌ ߤ௬௜ ߠ௜ି௦ ൌ െߠ௝௦ Anti simétrico
51 ߤ௫ି௜௦ ൌ ߤ௫௜ ߤ௬ି௜௦ ൌ െߤ௬௜ ߠ௜௦ ൌ ߠ௝௦ Problema: Resuelva el pórtico usando igualación de grados de libertad y desprecie las deformaciones axiales. F´c = 21 MPa Ec = 21540 MPa Columna 30x30 cm Vigas 25x35 cm 1. Grados de libertad 2. Propiedades sección Viga ஺ா ௅ ൌ ଴.ଶହ௫଴.ଷହ௫ଶଵହସ଴௫ଵ଴ల ଺ ൌ 314.3 ெே ௠ ‫ܫܧ‬ ൌ 21540‫ݔ‬ ଴.ଶହ௫଴.ଷହయ ଵଶ ൌ 19.24 ‫ܰܯ‬ ݉ଶ ସாூ ௅ ൌ 12.83 ‫݉/ܰܯ‬ ଶாூ ௅ ൌ 6.41 ‫݉/ܰܯ‬ ଺ாூ ௅మ ൌ 3.21 ‫݉/ܰܯ‬ ଵଶாூ ௅య ൌ 1.069 ‫݉/ܰܯ‬
52 Columna: ஺ா ௅ ൌ ଴.ଷ௫଴.ଷ௫ଶଵହସ଴௫ଵ଴ల ଷ ൌ 646.2 ‫݉/ܰܯ‬ ‫ܫܧ‬ ൌ 21540‫ݔ‬ ଴.ଷర ଵଶ ൌ 14.54 ‫ܰܯ‬ ݉ଶ ସாூ ௅ ൌ 19.39 ‫݉/ܰܯ‬ ଶாூ ௅ ൌ 9.69 ‫݉/ܰܯ‬ ଺ாூ ௅మ ൌ 9.39 ‫݉/ܰܯ‬ ଵଶாூ ௅య ൌ 6.46 ‫݉/ܰܯ‬ 3. Fuerzas de extremo ‫ܯ‬ଵିଶ ா ൌ െ‫ܯ‬ଶିଵ ா ൌ ௐ௅మ ଵଶ ൌ ଷ଴௫ଷ଺ ଵଶ ൌ 90 ݇ܰ ݉ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ா ൌ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ா ൌ ௐ௅ ଶ ൌ 90 ݇ܰ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ா ൅ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ா ൌ 10 ݇ܰ 4. Sistema en coordenadas locales. 4.1 Viga ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 314.3 0 0 0 0 3.21 0 0 12.83 െ314.21 0 0 0 0 3.21 0 0 6.41 െ314.3 0 0 0 0 െ3.21 0 0 6.41 314.21 0 0 0 0 െ3.21 0 0 12.83‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷଵ௫ 0 ߠଵ ܷଵ௫ 0 ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 90 90 0 90 െ90ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ6.46 0 െ9.69 0 0 0 9.69 0 9.69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.46 0 9.69 0 0 0 9.69 0 12.83 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷଵ௫ 0 ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ6.46 0 െ9.69 0 0 0 9.69 0 9.69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.46 0 9.69 0 0 0 9.69 0 19.39 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷଶ௫ 0 ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Fx1-3 = Fx2-4 = 10 5. Ensamble la matriz del sistema. ൞ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ൢ ൌ ቎ 320.76 9.69 9.69 32.22 െ314.3 0 0 6.41 െ314.3 0 0 6.41 െ320.76 9.69 9.69 0 ቏ ൞ ܷଵ ߠଵ ܷ2ଵ ߠଵ ൢ ൅ ൞ 0 ൅ 10 90 0 െ90 ൢ
53 En la ecuación anterior se suma la tercera columna a la primera U1x = U2x Se suman las rigideces. ൞ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ൢ ൌ ቎ 6.46 9.69 9.69 32.33 0 6.46 6.46 9.69 0 6.46 9.69 32. .33 ቏ ൝ ܷଵ௫ ߠଵ ߠଶ ൡ ൅ ൞ 10 90 0 െ90 ൢ Ux = -1.24x10-3 m Θ1 = -2.809x10-3 rad Θ2 = - 3.431x10-3 rad Hacen el examen θ1 = θ2 Sumar columna 3 +2 6. Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio de cada elemento modificado. Viga: ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 3.21 . 21 0 12.83 6.41 0 0 0 0 െ3.21 െ3.21 0 6.41 12.83‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൝ െ1.24‫01ݔ‬ିଷ െ2.809‫01ݔ‬ିଷ 3.431 ‫01ݔ‬ିଷ ൡ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 90 90 0 90 െ90ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 92 75.96 0 88 െ64 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna 3-1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ6.46 0 9.69 െ9.69 0 9.69 6.46 0 9.69 9.69 0 19.39‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൜ െ1.24 ‫01ݔ‬ିଷ െ2.809‫01ݔ‬ିଷൠ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 35.23 0 െ39.24 െ35.23 0 െ66.49‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna 4-2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ସିଶ ‫ܨ‬௬ସିଶ ‫ܯ‬ସିଶ ‫ܨ‬௫ଶିସ ‫ܨ‬௬ଶିସ ‫ܯ‬ଶିସ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ6.46 0 9.69 െ9.69 0 9.69 6.46 0 9.69 9.69 0 19.39‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൜ െ1.24 ‫01ݔ‬ିଷ െ3.431‫01ݔ‬ିଷൠ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ25.23 0 21.22 25.23 0 54.51 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ 7. Utilizando la metodología de las relaciones lineales entre los grados de libertad y la ecuación de relación por simetría, igualando θ1=θ1, queda :
54 ൥ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 െ1 0 0 0 0 0 0 0 െ1 ൩ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ݑ‬ଵ௫ ‫ݑ‬ଵ௬ ߠଵ ‫ݑ‬ଶ௫ ‫ݑ‬ଶ௬ ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ሾ0ሿ ቂ 1 0 0 1 െ1 0 0 െ1 ቃ ൞ ‫ݑ‬ଵ௫ ߠଵ ‫ݑ‬ଶ௫ ߠଶ ൢ ൌ ሾ0ሿ ሾܽ௢ ܽଵሿ ൜ ߜ݅ ߜ‫݌‬ ൠ ൌ ሾ0ሿ ሼߜ݅ሽ ൌ ‫ݏ݋݀ܽݎܩ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ݅݊݀݁‫ݏ݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌‬ ݊‫݋݀ݑ‬ ሺ1ሻ ሼߜ‫݌‬ሽ ൌ ‫ݏ݋݀ܽݎܩ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ݀݁‫ݏ݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌‬ ݊‫݋݀ݑ‬ ሺ2ሻ ሾܽ଴ሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ሾܽଵሿ ൌ ቂ െ1 0 0 െ1 ቃ ሼߜ݅ሽ ൌ ቄ ‫ݑ‬ଵ௫ ߠଵ ቅ ሼߜ‫݌‬ሽ ൌ ቄ ‫ݑ‬ଵ௫ ߠଵ ቅ ሾܴ‫݋‬ሿ ൌ െሾܽଵሿିଵሾܽ௢ሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ሾܴሿ ൌ ቂ ‫ܫ‬ ܴ‫݋‬ ቃ ൌ ቎ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቏ ሾܴሿ் ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ La matriz [ Ki ]= [ R ]T [ T ] [ R ] de grados de libertad independientes ሾ‫݅ܭ‬ሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ ቎ 320.76 9.69 9.69 32.22 െ314.3 0 0 6.41 െ314.3 0 0 6.41 320.76 9.69 9.69 32.22 ቏ ቎ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቏ ൌ ቂ 12920 19380 19380 77260 ቃ ሾ௄ே/௠ሿ { Fi } = [ R ]T { F } ሼ‫ܨ‬௜ሽ ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ ൦ െ10 െ90 0 90 ൪ ൌ ቄ െ10 0 ቅ { Fi } = [ Ki ]-1 { Fi } ቄ ‫ݑ‬ଵ௫ ߠଵ ቅ ൌ ൜െ1.241‫01ݔ‬ିଷ 3.113‫01ݔ‬ିସ ൠ ሼߜ݅ሽ ൌ ሾܴ‫݋‬ሿሼߜ݅ሽ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ቄ ‫ݑ‬ଶ௫ ߠଶ ቅ ൌ ൤െ1.241‫01ݔ‬ିଷ 3.113‫01ݔ‬ିସ ൨

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Analisis matricial javeriana

  • 1.
    1 ANÁLISIS MATRICIAL MÉTODO DELA RIGIDEZ DIRECTA Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos. • Se desarrollo con base en uno de los principios del equilibrio: La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento • Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema. • La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o restringidos) • La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por : [ F ] = [ K ] { U } [ K ] = Matriz de rigidez [ F ] =Vector de fuerzas { U } = Vector de desplazamiento Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada. 1. SISTEMA DE COORDENADAS Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas: 1.1 Sistema de coordenadas globales Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.
  • 2.
    2 1.2 Sistema decoordenadas locales Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de posición: dirección θ y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y globales. Øx, Øy, Øz: Cosenos directores 2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ [ F ] = [ K ] { U } { U } = Vector de desplazamiento ቂ ‫݊ܨ‬ ‫ܽܨ‬ ቃ ൌ ቂ ‫݊݊ܭ‬ ‫ܽ݊ܭ‬ ‫݊ܽܭ‬ ‫ܽܽܭ‬ ቃ ቀ ܷ݊ ܷܽ ቁ ሼܷ݊ሽ ൌ ܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ݀݁‫݊݁݋ݐ݊݁݅݉ܽݖ݈ܽ݌ݏ‬ ݈‫ݏ݋‬ ݊‫ݏ݋݀ݑ‬ ݈ܾ݅‫ݏ݁ݎ‬ Ø Ø Ø
  • 3.
    3 ሼ‫݊ܨ‬ሽ ൌ ܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬݀݁ ܿܽ‫ܽ݃ݎ‬ ܽ‫݈ܽ݀ܽܿ݅݌‬ ሼ‫ܽܨ‬ሽ ൌ ܴ݁ܽܿܿ݅‫ݏ݁݊݋‬ ݀݁ ݈‫ݏ݋‬ ܽ‫ݏ݋ݕ݋݌‬ ሼܷܽሽ ൌ ܸ݁ܿ‫ݎ݋ݐ‬ ݀݁ ݀݁‫݋ݐ݊݁݅݉ܽݖ݈ܽ݌ݏ‬ ݀݁ ݈‫ݏ݋‬ ݊‫ݏ݋݀ݑ‬ ‫,ݏ݋݀݅݃݊݅ݎݐݏ݁ݎ‬ ݃݁݊݁‫݁ݐ݈݊݁݉ܽݎ‬ ݅݃‫ݏ݈݁ܽݑ‬ ܽ ܿ݁‫݋ݎ‬ ‫݋‬ ݃‫ݏ݋݀ܽݎ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ‫ݏ݋ݐ݅ݎܿݏ݁ݎ݌‬ Expandiendo: [ Fn ] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua } (1) { Fa } = [ Kan ]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua } (2) De (1) despejo { Un } [ Kun ]{ Un } = { Fn } – [ Kna ]{ Ua } { Un } = [ Knn ]-1 { Fn } – [ Knn ]-1 [ Kna ]{ Ua } (3) Reemplazo en (2) { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } – [ Kan ][ Knn ]-1 [ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua } Factorizo : { Ua } { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } – [[ Kan ][ Knn ]-1 [ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua } (4) Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos: { Un } = [ Knn ]-1 { Fn } { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1 { Fn } - Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales: i, j = nudos
  • 4.
    4 - Fuerzas deextremo: - Grados de libertad del elemento : Existen 3 grados de libertad libres por nudo en el caso plano. 3. MÉTODO DE LA RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA I= nudo inicial J = nudo final Ø Ø
  • 5.
    5 ܷ ൌ ܲ‫ܮ‬ ‫ܧܣ‬ U =desplazamiento axial A = sección transversal L = longitud E = módulo de elasticidad ܲ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ܷ ܲ ൌ ‫ܭ‬ ܷ Fuerza en el resorte ‫ܭ‬ ൌ ஺ா ௅ Rigidez axial, fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario U=1 La matriz de rigidez en coordenadas locales se arma de la siguiente manera: Se suelta un extremo, y se le da un desplazamiento unitario Uj = 1 ‫݆ݔܨ‬ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ‫݆݆ܭ‬ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ Kij = Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en j Uxj = 1. Se suelta el nudo i :
  • 6.
    6 ‫݅ݔܨ‬ ൌ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ‫݅݅ܭ‬ൌ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en i. ሾ ‫ܭ‬ ሿ ൌ ൦ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ െ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ െ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ൪ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ቂ 1 െ1 െ1 1 ቃ Esta matriz se aplica en armaduras o cerchas espaciales. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA Grados de libertad globales Fuerzas locales En coordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL } Ø Ø
  • 7.
    7 ൜ ‫ܮ݅ܨ‬ ‫ܮ݆ܨ‬ ൠ ൌ ൦ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ൪൜ ܷ݅‫ܮ‬ ܷ݆‫ܮ‬ ൠ ൞ ‫ܮ݅ݔܨ‬ ‫ܮ݅ݕܨ‬ ‫ܮ݆ݔܨ‬ ‫ܮ݆ݕܨ‬ ൢ ൌ ஺ா ௅ ቎ 1 0 0 0 െ1 0 0 0 െ1 0 0 0 1 0 0 0 ቏ ൞ ܷ‫ܮ݅ݔ‬ ܷ‫ܮ݅ݕ‬ ܷ‫ܮ݆ݔ‬ ܷ‫ܮ݆ݕ‬ ൢ Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j. UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø C = Cos Ø UxjL = Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø S = Sen Ø UyjL = - Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø Reemplazando: en { FL } = [ K ]L { UL } ൞ ‫ܮ݅ݔܨ‬ ‫ܮ݅ݕܨ‬ ‫ܮ݆ݔܨ‬ ‫ܮ݆ݕܨ‬ ൢ ൌ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ ቎ ‫ܥ‬ ܵ െܵ ‫ܥ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 ‫ܥ‬ ܵ െܵ ‫ܥ‬ ቏ ൞ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ൢ Para las fuerzas se tiene: { FL } = [ T ]{ F } [ T ] = Matriz de transformación { F } = [ T ]-1 { FL } Para matrices simétricas y ortogonales Ø Ø
  • 8.
    8 [ T ]-1 =[ T ]T { F } = [ T ]T { FL } Para los desplazamientos { UL } = [ T ]{ U } { U } = [ T ]-1 { UL } { U } = [ T ]T { UL } Reemplazando en { F } = [ T ]T { FL } { FL } = [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ]L[ T ]{ U } [ K ] = [ T ]T [ K ]L[ T ] Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento. Uxi Uyi Uxj Uyj ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ஺ா ௅ ൦ ‫ܥ‬ଶ ‫ܵܥ‬ ‫ܵܥ‬ ܵଶ െ‫ܥ‬ଶ െ‫ܵܥ‬ െ‫ܵܥ‬ െܵଶ െ‫ܥ‬ଶ െ‫ܵܥ‬ െ‫ܵܥ‬ െܵଶ ‫ܥ‬ଶ ‫ܵܥ‬ ‫ܵܥ‬ ܵଶ ൪ ൞ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ൢ [ K ] = matriz simétrica C2 = Cos2 Ø S2 = Sen2 Ø CS = Cos Ø Sen Ø PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Equilibrio: La matriz relaciona desplazamientos de extremo de un elemento con unas fuerzas de extremo en equilibrio. Cualquier desplazamiento ocasiona un conjunto de fuerzas en equilibrio.
  • 9.
    9 Øi Øj ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Fuerzasde Extremo Σ‫ݕܨ‬ ൌ ‫݅ݕܨ‬ ൅ ‫݆ݕܨ‬ ൌ 0 Σ‫ܯ‬ ൌ ‫݅ܯ‬ ൅ ‫݆ܯ‬ ൌ 0 Σ‫ݔܨ‬ ൌ ‫݅ݔܨ‬ ൅ ‫݆ݔܨ‬ ൌ 0 Movimiento de un Cuerpo Rígido Si a un punto se le genera un desplazamiento correspondiente a un cuerpo rígido, no se desarrollaran fuerzas sobre los extremos de los elementos. No hay cambio de longitud del elemento. Uxi = Uxj Θi = θj = (Uyj-Uyi)/L Reemplazando en la columna respectiva ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ߠ݅ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ሺܷ‫݆ݕ‬ െ ܷ‫݅ݕ‬ሻ ‫ܮ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ሺܷ‫݆ݕ‬ െ ܷ‫݅ݕ‬ሻ ‫ܮ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Reemplazando en la matriz completa del elemento y despejando:
  • 10.
    10 Fyi = Fyj= 0 ; Fxi = Fxj = 0 ; Mi = Mj = 0 Singularidad La matriz de rigidez de un elemento es singular, osea que no tiene inversa, es decir que es autoequilibrante para cualquier conjunto de desplazamientos, matemáticamente significa que las columnas 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 son linealmente dependientes, y esta es la base de la definición de una matriz singular. En este sistema hay 3 reacciones independientes y las otras 3, son el resultado de una combinación lineal. La matriz de rigidez del sistema estructural estará formada por matrices singulares de los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistema deben de estar restringidos por soportes externos. Simetría Consecuencia del teorema reciproco de Maxwell, también demostrable por el teorema de Castigliano, que indica que los términos fuera de la diagonal son iguales y por lo tanto simétricos. CARGAS EQUIVALENTES EN LAS JUNTAS PARA CARGAS SOBRE EL ELEMENTO { F } = [ K ] { U } { F } = Vector de carga que debe generar el mismo desplazamiento { U } que las cargas reales. Caso 1 : Cargas reales
  • 11.
    11 Caso 2 : Cargasreales + conjunto de cargas restrictivas para impedir rotación y traslación de juntas. La suma de 2 y 3: es estáticamente igual al sistema real Caso 3: Cargas equivalentes en las juntas. Para cancelar cargas restrictivas. De magnitud igual pero sentido opuesto. Producen los mismos desplazamientos que las cargas reales.
  • 12.
    12 Las cargas equivalentesse calculan a partir de las acciones de extremo fijo. Sobre los extremos de los elementos (F.E.A.), no pueden desplazarse ni girar (empotrado) El equilibrio en el nudo será: െ ∑ ሼF. E. A. ሽ ൅ ሼFሽ୰ୣୱ୲୰୧୬୥୧ୢ୭ ൌ ሼ0ሽ ሼF. E. A. ሽ ൌ Fixed End action Se tiene: ሼFሽ୰ୣୱ୲୰୧୬୥୧ୢ୭ = െሼFሽୣ୯୳୧୴ୟ୪ୣ୬୲ୣ ሼFሽୣ୯୳୧୴ୟ୪ୣ୬୲ୣ ൌ െ ∑ሼ‫.ܨ‬ ‫.ܧ‬ ‫.ܣ‬ ሽ Las cargas para cualquier análisis sobre las juntas: ሼ‫ܨ‬ሽ ൌ ሼ‫ܨ‬ሽ௡௢ௗ௢௦ െ ∑ሼ‫.ܨ‬ ‫.ܧ‬ ‫.ܣ‬ ሽ ሼ‫ܨ‬ሽ: ݂‫ݏܽݖݎ݁ݑ‬ ‫ݏ݈݁ܽݐ݋ݐ‬ ሼ‫ܨ‬ሽ௡௢ௗ௢௦ ‫׷‬ ݂‫ݏܽݖݎ݁ݑ‬ ‫݁ݎܾ݋ݏ‬ ݈‫ݏ݋‬ ݊‫ݏ݋݀݋‬ െ ∑ሼ‫.ܨ‬ ‫.ܧ‬ ‫.ܣ‬ ሽ: Fuerzas equivalentes en los nodos debido a las cargas sobre el elemento, considerando el elemento empotrado en ambos extremos MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE Ocurre un desplazamiento U y un giro θ en un extremo, las fuerzas de extremo producido por el desplazamiento serán: Ø Ø
  • 13.
    13 U = desplazamientoextremo Θ = Rotación en un extremo Del método de la viga conjugada y haciendo un desplazamiento unitario Uy = 1 Haciendo un giro unitario θ = 1 en ambos extremos Ensamblando la matriz de rigidez. 3 Ui θi Uj θj ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൞ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ൢ Problema: Usando el método de la rigidez directa y despreciando las deformaciones axiales, halle: A) Reacciones y diagramas de V y M B) Rotaciones en el punto B ³ ³ ² ² ² ² ³ ³ ² ² Øi Øi ² ²
  • 14.
    14 f´c = 21Mpa(NSR-10) Ec ൌ 4700√21 ൌ 21540‫ܽܲܯ‬ ‫ܫ‬ ൌ ଴,ଶହ‫כ‬଴ଷହయ ଵଶ ൌ 8.932‫01ݔ‬ିସ ݉ସ Los grados de libertad del elemento Ua θa Ub θb ൞ ܴܽ ‫ܽܯ‬ ܴܾ െ 50 20 ൢ ൌ ቎ 1068.8 3206.4 3206.4 1285.6 1068.8 3206.4 െ3206.4 6412.8 1068.8 െ3206.4 3206.4 6412.8 1068.8 െ3206.4 െ3206.4 1285.6 ቏൞ ܷܽ ߠܽ ܷܾ ߠܾ ൢ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ൌ 12‫01ݔ239.8ݔ04512ݔ‬ିସ 6ଷ ൌ 1068.8 ‫ܰܭ‬ ݉ ൌ 1069 ‫ܰܯ‬ ݉ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ൌ 6‫01ݔ239.8ݔ04512ݔ‬ିସ 6ଷ ൌ 3206.4 ‫ܰܭ‬ ݉ ൌ 3206 ‫ܰܯ‬ ݉ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ൌ 12825.64 ‫ܰܭ‬ ݉ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ൌ 6412.82 ‫ܰܭ‬ ݉ Se eliminaron los grados de libertad restringidos. Ua = θa = Ub = 0 { 20 } = [ 12825.6 ]{ θb } Θb = 1,56x10-3 rad/s T T
  • 15.
    15 Reemplazando en { Ra} = [ 3206,4 ]{ 1,56x10-3 } Ra = 5,0 KN { Ma } = [ 6412,8 ]{ 1,56x10-3 } Ra = 9,87 KN m { Rb-50 } = [ -3206.4 ]{ 1,56x10-3 } Rb = 45,0 KN Problema: Resolver la siguiente viga. Ec = 21540 MPa I =8,93x10-4 m4 EI = 19,24 MN/m Θa = θb = θc = Ua = Uc = 0 T T
  • 16.
    16 Se parte laviga en 2 elementos AB y BC { F } = [ T ]T [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T [ K ] { T } { U } [ K ] = [ T ]T [ K ]L [ T ] Las matrices de rigidez de cada elemento quedan: Ua θa Ub θb ൞ ܴܽ‫ݕ‬ ‫ܽܯ‬ ܴܾ‫ݕ‬ ‫ܾܯ‬ ൢ ൌ ቎ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቏ ൞ ܷܽ ߠܽ ܷܾ ߠܾ ൢ [ MN/m ] Ub θb Uc θc Rb = -100 ൞ ܴܾ‫ݕ‬ ‫ܾܯ‬ ܴܿ‫ݕ‬ ‫ܿܯ‬ ൢ ൌ ቎ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቏ ൞ ܷܾ ߠܾ ܷܿ ߠܿ ൢ Mb = 0 Ensamblando las 2 matrices, y eliminando los grados de libertad restringidos: Ua, θa, Uc, θc = 0. El sistema queda de 2X2, correspondiente a los grados de libertad libres. Ub θb ቄ ܴܾ‫ݕ‬ ‫ܾܯ‬ ቅ ൌ ቂ 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቃቄ ܷܾ ߠܾ ቅ Rb = -100 Ub θb Mb = 0 ቄ ܴܾ‫ݕ‬ ‫ܾܯ‬ ቅ ൌ ቂ 8.55 12.83 12.83 25.65 ቃቄ ܷܾ ߠܾ ቅ
  • 17.
    17 Ub θb ቄ െ100 0 ቅ ൌቂ 17.1 0 0 51.3 ቃ ቄ ܷܾ ߠܾ ቅ -100 = 17,1 Ub Ub = -5,81x10-3 m 0 = 51,3 θb θb = 0 Se despejan las reacciones de la matriz de cada elemento. Elemento AB ൞ ܴܽ‫ݕ‬ ‫ܽܯ‬ െ100 0 ൢ ൌ ቎ 8.55 12.83 12.83 25.65 െ8.55 12.83 12.83 12.83 െ8.55 െ12.83 12.83 12.83 8.55 െ12.83 െ12.83 25.65 ቏ ൞ 0 0 െ5.85‫01ݔ‬ିଷ 0 ൢ Ray = -8,55x10-6 * -5,85x10-3 = 50 KN Ma = 12,83 * -5,85x10-3 = 75 KN m Como la viga y las cargas son simétricas Ray = Rcy = 50 KN = P/2 Ma = Mc = 75 KN m = PL/8 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO PRISMÁTICO BAJO CARGA AXIAL, FLEXIÓN Y CORTANTE Fuerzas Matriz aplicable a cualquier elemento horizontal de pórtico plano (vigas).
  • 18.
    18 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 00 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ‫݅ܯ‬ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA COLUMNA Para resolver pórticos ortogonales, se transforman las coordenadas, y usando el sistema global, se debe usar la siguiente matriz. ² ² ³ ³ ² ² ³ ³ Ø=1 ² ² Ø=1 ² ²
  • 19.
    19 ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ߠܷ݅‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ߠ݆ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 ‫ܧܣ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ߠ݅ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Problema: resuelva el siguiente pórtico con f’c = 21 MPa , vigas 30x40, columnas 40x40 Ec ൌ 4700√f′c NSR-10 Ec = 21540 mPa 1. Se enumeran los nudos y elementos iniciando por el nudo libre : Nodos : Elementos
  • 20.
    20 2. Fuerzas deextremo ሼ‫.ܨ‬ ‫.ܧ‬ ‫.ܣ‬ ሽ fijo ‫ܯ‬ଵିଶ ா ൌ ௪‫כ‬௟మ ଵଶ ൌ ହ଴‫଺כ‬మ ଵଶ ൌ 150 ݇݊ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଶିଵ ா (+) ‫ܨ‬௬ଵିଶ ா ൌ ௪‫כ‬௟ ଶ ൌ ହ଴‫଺כ‬ ଶ ൌ 150 ݇݊ ൌ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ா (+) ‫ܯ‬ଷିଵ ா ൌ ௪‫כ‬௟మ ଵଶ ൌ ଵ଴‫כ‬ଷమ ଵଶ ൌ 25 ݇݊ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଵିଷ ா ‫ܨ‬௬ଷିଵ ா ൌ ௪‫כ‬௟ ଶ ൌ `ଵ଴‫כ‬ଷ ଶ ൌ െ15 ݇݊ ൌ ‫ܨ‬ଵିଷ ா 3. Matriz de rigidez Ec ൌ 4700√f′c NSR െ 09 ൌ 21540MPa 3.1 Viga A = 0,3 x 0,4 = 0,12 m AE = 2584,8 MN ‫ܫ‬ ൌ ଴.ଷ ௫ ଴.ସయ ଵଶ ൌ 1.6‫01ݔ‬ିଷ ݉ସ EI = 34,46 MN m2 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 430.8 0 0 0 1.915 5.74 0 5.74 22.97 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 430.8 0 0 0 1.915 െ5.74 0 െ5.74 22.97 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 150 150 0 150 െ150ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 3.2 Columna ܷ‫3ݔ‬ ܷ‫3ݕ‬ ߠ3 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ ‫3ݕܨ‬ ‫3ܯ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 20.42 0 െ30.63 0 1148.8 0 െ30.63 0 61.27 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 െ20.42 0 30.63 0 െ1148.8 0 െ30.63 0 െ30.63 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ15 0 7.5 െ15 0 7.5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 A = 0,4x0,4 = 0,16 m2 AE = 34464 MN 1 2
  • 21.
    21 ‫ܫ‬ ൌ ଴.ସర ଵଶ ൌ 2.133‫01ݔ‬ିଷ ݉ସ EI= 45,95 MN m2 3.3 Columna ܷ‫4ݔ‬ ܷ‫4ݕ‬ ߠ4 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ ‫4ݕܨ‬ ‫4ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 20.42 0 െ30.63 0 1148.8 0 െ30.63 0 61.27 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 െ20.42 0 30.63 0 െ1148.8 0 െ30.63 0 െ30.63 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 4. Matriz de rigidez del sistema Los grados de libertad libres de la estructura son: Los grados de libertad restringidos son: Ux3 = Uy3 = Ux4 = θ3 = θ4 = 0 Ensamblando la matriz de los grados de libertad libres 3 Θ1 Θ2
  • 22.
    22 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 15 െ150 െ142.5 15 െ150 150 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 451.22 0 30.63 0 1150.72 5.74 30.63 5.74 84.24 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 451.22 0 30.63 0 1150.72 െ5.74 30.63 െ5.74 84.24‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 Las fuerzas de extremo en cada elemento representan las reacciones, son iguales a las fuerzas internas en cada uno de los bordes. Despejando { U } { F } = [ K ]{ U } [ K ]-1 { F } = { U } ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2݆ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 6.733‫01ݔ‬ିସ െ1.291‫01ݔ‬ିସ െ2.195‫01ݔ‬ିଷ 5.143‫01ݔ‬ିସ െ1.321‫01ݔ‬ିସ 1.893‫01ݔ‬ିଷ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Viga Reemplazando los valores de desplazamiento ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 430.8 0 0 0 1.915 5.74 0 5.74 22.97 െ430.8 0 0 0 െ1.915 5.74 0 െ5.74 11.49 െ430.8 0 0 0 െ1.915 െ5.74 0 5.74 11.49 430.8 0 0 0 1.915 െ5.74 0 െ5.74 22.97 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖۖ ‫۔‬ ۖۖ ‫ۓ‬ 6.733‫01ݔ‬െ4 െ1.291‫01ݔ‬െ4 െ2.195‫01ݔ‬െ3 5.143‫01ݔ‬െ4 െ1.321‫01ݔ‬െ4 1.893‫01ݔ‬െ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 150 150 0 150 െ150ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 x103 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 68.48 148.27 121.35 െ68.48 151.73 െ131.72‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Se despejan las fuerzas para las 2 columnas, reemplazo y dan los momentos Columna 2 1
  • 23.
    23 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ ‫3ݕܨ‬ ‫3ܯ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 00 0 0 0 0 0 0 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 6.733‫01ݔ‬ିସ െ1.291‫01ݔ‬ିସ െ2.195‫01ݔ‬ିଷۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ15 0 7.5 െ15 0 7.5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ ‫3ݕܨ‬ ‫3ܯ‬ ‫1ݔܨ‬ ‫1ݕܨ‬ ‫1ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 38.48 148.27 െ39.11 െ68.48 െ148.31 െ121.36‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ ‫4ݕܨ‬ ‫4ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ20.42 0 െ30.63 0 െ1148.8 0 30.63 0 30.63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.42 0 30.63 0 1.915 0 30.63 0 61.27 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 5.143‫01ݔ‬ିସ െ1.321‫01ݔ‬ିସ 1.893‫01ݔ‬ିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ ‫4ݕܨ‬ ‫4ܯ‬ ‫2ݔܨ‬ ‫2ݕܨ‬ ‫2ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ68.48 151.76 73.74 68.48 െ151.73 131.72 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Fuerzas de extremo en cada elemento 3
  • 24.
  • 25.
    25 Problema: Resolver elsiguiente portico plano. F´c = 21 MPa, vigas de 25x35cm, columnas de 30x40cm HEA300
  • 26.
    26 EA = 200GPa A = 0,0113 m2 Ixx = 1,826x10-4 m4 Iyy = 6,31x10-5 m4 EI = 36,52 MN m2 AE = 2260 MN Nota : no despreciar los efectos axiales 1. Propiedades geométricas Viga: 25x35 cm A = 0,25x0,35 = 0,0875 m2 ‫ܫ‬ ൌ 0.25‫53.0ݔ‬ଷ 12 ൌ 8.932‫01ݔ‬ିସ ݉ସ Ec ൌ 4700√f′c NSR െ 09 ൌ 21540MPa AE = 1884,75 MN EI = 19,24 MN m2 Columna: 30x40 cm A = 0,3x0,4 = 0,12 m2 ‫ܫ‬ ൌ 0.3‫4.0ݔ‬ଷ 12 ൌ 1.6‫01ݔ‬ିଷ ݉ସ AE = 2584,8 MN EI = 34,46 MN m2 Se numeran los elementos y los nudos y se determinan los grados de libertad libres GL libres = 7 Tamaño de la matriz 7x7
  • 27.
    27 Las reacciones deempotramiento ‫ܨ‬௬ସିଵ ா ൌ ௪‫כ‬௟ ଶ ൌ 120 ‫ܰܭ‬ ൌ ‫ܨ‬௬ଵିସ ா ‫ܯ‬ସିଵ ா ൌ ௪‫כ‬௟మ ଵଶ ൌ 120 ‫ܰܭ‬ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଵିସ ா ‫ܨ‬௬ଵିଶ ா ൌ 60 ‫ܰܭ‬ ൌ ‫ܨ‬ଶିଵ ா ‫ܯ‬ଵିଶ ா ൌ 30 ‫ܰܭ‬ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଶିଵ ா ‫ܨ‬௫ଵିହ ா ൌ െ40 ‫ܰܭ‬ ൌ ‫ܨ‬௫ହିଵ ா ‫ܯ‬ହିଵ ா ൌ ௣‫כ‬௟ ଼ ൌ ଼଴‫כ‬ଷ ଼ ൌ 30 ‫ܰܭ‬ ‫כ‬ ݉ ൌ െ‫ܯ‬ଵିହ ா Las ecuaciones individuales para cada elemento. Viga ܷ‫4ݔ‬ ൌ 0 ܷ‫4ݕ‬ ൌ 0 ߠ4 ൌ 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ െ 1 ‫4ݕܨ‬ െ 1 ‫4ܯ‬ െ 1 ‫1ݔܨ‬ െ 4 ‫1ݕܨ‬ െ 4 ‫1ܯ‬ െ 4 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 314.13 0 0 0 1.069 3.21 0 3.21 12.83 െ314.13 0 0 0 െ1.069 3.21 0 െ3.21 6.41 െ314.13 0 0 0 െ1.069 െ3.21 0 3.21 6.41 314.13 0 0 0 1.069 െ3.21 0 െ3.21 12.83 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 120 120 0 120 െ120ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 Viga ? ? Θ2 Θ1 3 1 Θ2
  • 28.
    28 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ െ 2 ‫1ݕܨ‬ െ 2 ‫1ܯ‬ െ 2 ‫2ݔܨ‬ െ 1 ‫2ݕܨ‬ െ 1 ‫2ܯ‬ െ 1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 628.25 0 0 0 8.55 12.83 0 12.83 25.65 െ628.25 0 0 0 െ8.55 12.83 0 െ12.83 12.83 െ628.25 0 0 0 െ8.55 െ12.83 0 12.83 12.83 628.25 0 0 0 8.55 െ12.83 0 െ12.83 25.65 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 60 30 0 60 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 X103 Columna ܷ‫3ݔ‬ ܷ‫3ݕ‬ ߠ3 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ െ 2 ‫3ݕܨ‬ െ 2 ‫3ܯ‬ െ 2 ‫2ݔܨ‬ െ 3 ‫2ݕܨ‬ െ 3 ‫2ܯ‬ െ 3 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 െ13.7 0 0 0 0 0 36.52 െ6.85 0 െ13.7 0 െ565 0 13.7 0 18.26 0 0 13.7 0 0 0 0 0 18.26 6.85 0 0 0 565 0 13.7 0 36.52 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 ߠ3 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ X106 Columna ܷሺ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ߠሻ5 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫5ݔܨ‬ െ 1 ‫5ݕܨ‬ െ 1 ‫5ܯ‬ െ 1 ‫1ݔܨ‬ െ 5 ‫1ݕܨ‬ െ 5 ‫1ܯ‬ െ 5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ15.32 0 െ22.97 0 െ861.6 0 22.97 0 22.97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.32 0 22.97 0 861.6 0 22.97 0 45.95 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ40 0 30 െ40 0 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Se ensambla la matriz de rigidez del sistema correspondiente a los grados de libertad libres; resulta un sistema de 7x7 . ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ߠ3 ‫ە‬ ۖۖ ‫۔‬ ۖۖ ‫ۓ‬ 40 െ180 120 0 െ60 30 0 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 957.7 0 22.97 0 871.22 9.62 22.97 9.62 84.43 െ628.25 0 0 0 െ8.55 12.83 0 െ12.83 12.83 0 0 0 െ628.5 0 0 0 െ8.55 െ12.83 0 12.83 12.83 635.1 0 13.7 0 573.55 െ12.83 13.7 െ12.83 62.17 12.7 0 18.26 0 0 0 13.7 0 18.26 36.52‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖۖ ‫۔‬ ۖۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ߠ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ Se despejan las incógnitas. { F } = [ K ]{ U } [ K ]-1 { F } = { U } 2 4
  • 29.
    29 ‫ە‬ ۖۖ ‫۔‬ ۖۖ ‫ۓ‬ ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ܷ‫2ݔ‬ ܷ‫2ݕ‬ ߠ2 ߠ3 ۙ ۖۖ ۘ ۖۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 2.287‫01ݔ‬ିହ െ2.265‫01ݔ‬ିସ 1.39‫01ݔ‬ିଷ 2.201‫01ݔ‬ିହ െ7.099‫01ݔ‬ିହ 2.642‫01ݔ‬ିସ െ1.403‫01ݔ‬ିସ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Se despejanlas fuerzas externas, reemplazando en la ecuación de cada elemento Viga Viga ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫4ݔܨ‬ െ 1 ‫4ݕܨ‬ െ 1 ‫4ܯ‬ െ 1 ‫1ݔܨ‬ െ 4 ‫1ݕܨ‬ െ 4 ‫1ܯ‬ െ 4 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ7.18 124.7 129.64 7.18 115.3 െ101.4‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫1ݔܨ‬ െ 2 ‫1ݕܨ‬ െ 2 ‫1ܯ‬ െ 2 ‫2ݔܨ‬ െ 1 ‫2ݕܨ‬ െ 1 ‫2ܯ‬ െ 1 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0.54 79.89 67.05 െ0.54 40.11 െ7.39‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫3ݔܨ‬ െ 2 ‫3ݕܨ‬ െ 2 ‫3ܯ‬ െ 2 ‫2ݔܨ‬ െ 3 ‫2ݕܨ‬ െ 3 ‫2ܯ‬ െ 3 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ1.85 40.11 0 1.85 െ40.11 7.39 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫5ݔܨ‬ െ 1 ‫5ݕܨ‬ െ 1 ‫5ܯ‬ െ 1 ‫1ݔܨ‬ െ 5 ‫1ݕܨ‬ െ 5 ‫1ܯ‬ െ 5 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ72.28 195.19 62.45 െ7.72 െ195.19 34.39 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ 42 3 1
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    30 Fuerzas en loselementos Diagramas de fuerzas internas
  • 31.
    31 MATRIZ DE RIGIDEZDE UN ELEMENTO INCLINADO El método de la rigidez requiere que las ecuaciones sean escritas en coordenadas globales. Se establece una relación entre las fuerzas axiales y cortantes de extremo local y global, de igual forma que en una armadura plana, mientras que los momentos, por ser vectores libres son iguales en los 2 sistemas.
  • 32.
    32 La matriz detransformación para las fuerzas queda de la siguiente manera: ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܮ݅ݔܨ‬ ‫ܮ݅ݕܨ‬ ‫ܮ݅ܯ‬ ‫ܮ݆ݔܨ‬ ‫ܮ݆ݕܨ‬ ‫ܮ݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ‫ߠݏ݋ܥ‬ ܵ݁݊ߠ 0 െܵ݁݊ߠ െ‫ߠݏ݋ܥ‬ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ‫ߠݏ݋ܥ‬ ܵ݁݊ߠ 0 െܵ݁݊ߠ െ‫ߠݏ݋ܥ‬ 0 0 0 1‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ La matriz de transformación es igual para desplazamientos haciendo c = Cosθ , s = Senθ ሾܶሿ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ܿ ‫ݏ‬ െ‫ݏ‬ ܿ 1 ܿ ‫ݏ‬ െ‫ݏ‬ ܿ 1 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ?
  • 33.
    33 La matriz derigidez se transforma de coordenada local a global. { F }L = [ T ] { F } { F } = [ T ]-1 { FL } = [ T ]-1 { FL } Se tiene que: { FL } = [ KL ] { UL } y { UL } = [ T ] { U } [ T ] { F } = [ KL ] [ T ] { U } [ KL ] = Matriz de rigidez de un elemento horizontal { F } = [ T ]T [ KL ] [ T ] { U } La matriz de rigidez en coordenadas globales [ K ] = [ T ]T [ KL ] [ T ] Cuando existen cargas en el vano, el vector de fuerzas de extremo fijo debe transformarse también. { FE } = [ T ]T {FE L} { FE } = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas globales {FE L} = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas locales
  • 34.
    34 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܨ‬ ‫݅ݕܨ‬ ‫݅ܯ‬ ‫݆ݔܨ‬ ‫݆ݕܨ‬ ‫݆ܯ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ ஺ா ௅ ܿଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ݏ‬ଶ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬െ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ െ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ െ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ ஺ா ௅ ‫ݏ‬ଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ܿଶ ଺ாூ ௅మ ܿ െ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ ଺ாூ ௅మ ܿ ସாூ ௅ െ ஺ா ௅ ܿଶ െ ଵଶாூ ௅య ‫ݏ‬ଶ െ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ െ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ െ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ െ ஺ா ௅ ‫ݏ‬ଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ܿଶ ଺ாூ ௅మ ܿ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ െ ଺ாூ ௅మ ܿ ଶாூ ௅ െ ஺ா ௅ ܿଶ െ ଵଶாூ ௅య ‫ݏ‬ଶ െ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ െ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ െ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ െ ஺ா ௅ ‫ݏ‬ଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ܿଶ െ ଺ாூ ௅మ ܿ െ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ ଺ாூ ௅మ ܿ ଶாூ ௅ ஺ா ௅ ܿଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ݏ‬ଶ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ ൅ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ ஺ா ௅ ‫ܿݏ‬ െ ଵଶாூ ௅య ‫ܿݏ‬ ஺ா ௅ ‫ݏ‬ଶ ൅ ଵଶாூ ௅య ܿଶ െ ଺ாூ ௅మ ܿ ଺ாூ ௅మ ‫ݏ‬ െ ଺ாூ ௅మ ܿ ସாூ ௅ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ‫݅ݔ‬ ܷ‫݅ݕ‬ ߠ݅ ܷ‫݆ݔ‬ ܷ‫݆ݕ‬ ߠ݆ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Fuerzas internas en un elemento de pórtico plano inclinado Primero se calculan los desplazamientos correspondientes a los grados de libertad libres, después se calculan las fuerzas en coordenadas locales y se transforman a coordenadas globales con: { Fi } = [ T ] { F } { F} = [ T ]T { FL } Se recomienda usar coordenadas locales para calcular [ KL ] y después efectuar el triple producto [ T ]T [ KL ] [ T ] = [ K ] En este caso se calculan las fuerzas internas transformando primero los desplazamientos { uL } = [ T ] { u } { uL } = Desplazamientos en nudos locales { FL } = { FE L } + [ KL ] { uL } { u } = Desplazamientos en nudos globales
  • 35.
    35 Problema: Resolver elsiguiente pórtico: HEA300 EA = 200 GPa A = 0,0113 m2 Ixx = 1,826x10-4 m4 Iyy = 6,31x10-5 m4 EI = 36,52 MN m2 AE = 2260 MN L1 = 3.606 m L2 = 5.0 m 1. Se numeran los elementos, nudos y grados de libertad. Grados de libertad libres. Ux1, Uy1, θ1. Matriz de 3x3 2. Se calculan las fuerzas de extremo fijo en coordenadas locales. ? ? ? Θ3
  • 36.
    36 F1XL = F2XL= 0 F1YL = F2YL = (WL)/2 = (40x3.606)/2 = 72.11 KN ME 2-1 = - ME 1-2 = (WL2 )/12 = 43.33 KN m Senθ1 = 3/3,606 = 0,832 Cosθ1 = 2/3.606 = 0,555 Cosθ2 = 4/5 = 0,8 Senθ2 = 3/5 = 0,6 FX2-3L = FX3-2L = 24KN ME 1-3 = - ME 3-1 = (PL)/8 = 40 KN m FY2-3L = FY3-2L = 32 KN Las fuerzas de empotramiento deben de transformarse a un sistema de coordenadas globales. ? ? Θ1 Θ2
  • 37.
    37 { FE L }= [ T ] { FE} { FE } = [ T ]T { FE L} Elemento ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 72.11 43.33 0 72.11 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0.555 0.832 െ0.832 0.555 1 0.555 0.832 െ0.832 0.555 1 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ா ‫ܨ‬௬ଶିଵ ா ‫ܯ‬ଶିଵ ா ‫ܨ‬௫ଵିଶ ா ‫ܨ‬௬ଵିଶ ா ‫ܯ‬ଵିଶ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ59.98 40.01 43.33 െ59.98 40.01 െ43.33‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Elemento ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 24 32 40 0 32 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0.8 0.6 െ0.6 0.8 1 0.8 0.6 െ0.6 0.8 1 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ா ‫ܨ‬௬ଷିଵ ா ‫ܯ‬ଷିଵ ா ‫ܨ‬௫ଵିଷ ா ‫ܨ‬௬ଵିଷ ா ‫ܯ‬ଵିଷ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 40 40 0 40 െ40‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Se hallan las ecuaciones de equilibrio estático en coordenadas locales Elemento 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ626.81 0 0 0 െ9.35 16.86 0 െ16.86 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 626.81 0 0 0 9.35 െ16.86 0 െ16.86 40.52 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 72.11 43.33 0 72.11 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ 1 2 1
  • 38.
    38 Elemento ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ10 0 0 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଶିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 452 0 0 0 3.51 8.76 0 8.76 29.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ452 0 0 0 െ3.51 െ8.76 0 8.76 14.61 0 0 0 0 0 0 0 0 0‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 24 32 40 24 32 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Se transforman las matrices de rigidez de cada elemento a coordenadas globales. [ K ] = [ T ]T [ K ]L [ T ] y solo se tienen en cuanta los grados de libertad libres para ensamblar los elementos. Elemento 0 0 0 ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଶିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ199.5 െ285.05 14.02 െ285.05 436.66 9.35 14.03 െ9.36 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 199.5 285.05 14.02 285.05 436.66 െ9.35 14.03 െ9.36 40.52 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ59.98 40.01 43.33 െ59.98 40.01 െ43.33ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Elemento ܷ‫1ݔ‬ ܷ‫1ݕ‬ ߠ1 0 0 0 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 290.54 215.28 െ14.02 215.28 164.97 9.35 െ5.26 7.0 20.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ290.54 െ215.28 14.02 െ215.28 െ164.97 െ9.35 െ5.28 7.0 40.52 0 0 0 0 0 0 0 0 0‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 40 40 0 40 െ40ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Ensamblando la matriz de rigidez del sistema. ൝ െ59.98 80 െ3.33 ൡ ൌ ൥ 490.04 500.33 0 500.33 601.63 0 8.77 െ2.36 60.78 ൩ ቐ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ቑ Despejando ቐ ܷ௫ଵ ܷ௬ଵ ߠଵ ቑ ൌ ൝ #"$#" #"$"# "#$#$ ൡ 2 1 2
  • 39.
    39 Problema: Usar elmétodo de la rigidez directa para resolver el siguiente problema. Realizar los diagramas de cortante, momento y carga axial, también pintar la deformada. Se presenta un asentamiento diferencial en el extremo B igual a uBy = 2 cm. Propiedades: Ec=21549 MPa Viga: 25*35 cm A=0, 25*0,35=0,0875 m2 ‫ܣ‬ ൌ 0,25 ‫כ‬ 0,35ଶ 12 ൌ 8,932‫01ݔ‬ିସ ݉ସ AE = 1884,8 MN EI=19,24 MN.m2 1. Se numeran los grados de libertad ܷଶ௫ ൌ ܷଶ௬ ൌ ߠଶ ൌ 0 ‫ܨ‬ଵ௬ ൌ ܷଵ௬‫ܭ‬ ൌ 0,02 ‫כ‬ 650 ൌ െ13 ݇ܰ Hacia abajo por el asentamiento ? ? 2
  • 40.
    40 2. Fuerzas deempotramiento sinߠ ൌ ଷ ହ ൌ 0,6 cos ߠ ൌ ସ ହ ൌ 0,8 ‫ܨ‬ଵ௫ ൌ ‫ܨ‬ଶ௫ ൌ 12݇ܰ ‫ܨ‬ଵ௬ ൌ ‫ܨ‬ଶ௬ ൌ 16݇ܰ ‫ܯ‬ଵ ா ൌ െ‫ܯ‬ଶ ா ൌ ܲ ‫ככ‬ ‫ܮ‬ 8 ൌ 30݇ܰ ‫כ‬ ݉ 3. Ecuaciones estáticas para el elemento ሼ‫ܨ‬௅ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬௅ሿሼߤ௅ሽ 4. Ecuaciones estáticas para el elemento { FL } = [ KL ] { UL } T T T T T ? ? ? ?
  • 41.
    41 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬ଵ௫ ‫ܨ‬ଵ௬ ‫ܯ‬ଵ ‫ܨ‬ଶ௫ ‫ܨ‬ଶ௬ ‫ܯ‬ଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 251,3 00 0 0,55 2,05 0 2,05 10,26 െ251,3 0 0 0 െ0,55 2,05 0 െ2,05 5,13 െ251,3 0 0 0 െ0,55 െ2,05 0 2,05 5,13 251,3 0 0 0 0,55 െ2,05 0 െ2,05 10,26‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ௅ ‫כ‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ߤଵ௫ ߤଶ௫ ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ12 16 30 െ12 16 െ30ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅ La matriz de rigidez en coordenadas globales es: ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ሾܶሿ்ሾ‫ܭ‬௅ሿሾܶሿ ሾܶሿ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ሾ‫ܭ‬ሿ௥௘௦௢௥௧௘ ൌ ቂ 650 650 െ650 െ650 ቃ ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 90,82 1,64 െ1,23 1,64 10,26 െ161,03 െ120,36 െ1,23 െ120,36 െ90,82 1,64 1,23 െ1,64 5,13 െ161,03 െ120,36 10,26 െ120,36 െ90,82 1,23 െ1,23 1,64 െ1,64 161,03 120,36 1,23 120,36 90,82 െ1,64 1,23 െ1,64 10,26 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ሾ‫݉/ܰܯ‬ሿ Las fuerzas de extremo en coordenadas globales. ሼ‫ܨ‬௅ ாሽ ൌ ሾܶሿሼ‫ܨ‬ாሽ ሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ሾܶሿିଵሼ‫ܨ‬௅ ாሽ ሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ19,2 5,6 30 െ19,2 5,6 െ30 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ۀܰ݇ڿ‬ ‫ܨ‬ଵ௬ ൌ 650 ‫כ‬ 0,02 ൌ 13݇ܰ La ecuación de equilibrio estático esta en coordenadas globales queda: ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬ଵ௫ െ13 ‫ܯ‬ଵ ‫ܨ‬ଶ௫ ‫ܨ‬ଶ௬ ‫ܯ‬ଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 91,47 1,64 െ1,23 1,64 10,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ161,03 െ120,36 1,23 െ120,36 െ90,82 െ1,64 െ1,23 1,64 5,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫כ‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ߤଵ௫ 0,02 ߠଵ 0 0 0 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ െ19,2 5,6 30 െ19,2 5,6 െ30 ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Kresorte + Kviga = 90,82 + 0,65 = 91,47
  • 42.
    42 Usando solo losgrados de libertad libres. ൝ 19,2 െ18,6 െ30 ൡ ൌ ൥ 161,03 120,36 െ1,23 120,36 91,47 1,64 െ1,23 1,64 10,26 ൩ ൝ ߤଵ௫ 0,02 ߠଵ ൡ -13 + (-5,6) = -18,6 *1000 ߤଵ௫ ൌ 2,208 ‫ݔ‬ 10ିଶ ݉ ߤଵ௬ ൌ 0,02913 ݉ ߠଵ ൌ 4,41 ‫ݔ‬ 10ିଷ ‫݀ܽݎ‬ se transforman a coordenadas locales. Se transforman a coordenadas locales ߤ௅ ൌ ሾܶሿሼߤሽ Y se reemplaza en la ecuación de equilibrio local y despejo ሼ‫ܨ‬௅ሽ ൝ ߤଵ௫ ߤଶ௫ ߠଵ ൡ ൌ ൥ 0,8 0,6 0 െ0,6 0,8 0 0 0 1 ൩ ቐ 2,208 ‫ݔ‬ 10ିଶ 0,02913 4,41 ‫ݔ‬ 10ିଷ ቑ ൌ ቐ 6,82 ‫ݔ‬ 10ିହ െ3,67 ‫ݔ‬ 10ିଶ 4,41 ‫ݔ‬ 10ିଷ ቑ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬ଵ௫௅ ‫ܨ‬ଵ௬௅ ‫ܯ‬ଵ௅ ‫ܨ‬ଶ௫௅ ‫ܨ‬ଶ௬௅ ‫ܯ‬ଶ௅ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅ ൌ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 3,64 4,85 0 െ27,64 27,15 െ82,63ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ௅
  • 43.
    43 Matriz de rigidezde elemento sometido a torsión – Parrillas Ecuación de deformación en torsión para sección circular. ‫׎‬ ൌ ்‫כ‬௅ ீ‫כ‬௃ Φ = Giro relativo J= Constante torsional igual momento polar de inercia. Ecuación de la deformación por torsión para secciones rectangulares. ‫ܬ‬ ൌ ‫ݐܾܥ‬ଷ Constante torsional ‫ܥ‬ ൌ 1 3 െ 0,21 ൬ ‫ݐ‬ ܾ ൰ ቈ1 െ 1 12 ൬ ‫ݐ‬ ܾ ൰ ସ ቉ Ecuación estática ሼ‫ܨ‬ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሼߤሽ ൜ ܶ௫௜ ܶ௫௝ ൠ ൌ ൦ ‫ܩ‬ ‫כ‬ ‫ܬ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܩ‬ ‫כ‬ ‫ܬ‬ ‫ܮ‬ െ ‫ܩ‬ ‫כ‬ ‫ܬ‬ ‫ܮ‬ ‫ܩ‬ ‫כ‬ ‫ܬ‬ ‫ܮ‬ ൪ ൜ ߠ௫௜ ߠ௫௝ ൠ
  • 44.
    44 Problema: resolver elsiguiente problema ‫ܩ‬௔௖௘௥௢ ൌ 80 ‫ܽܲܩ‬ ‫ܩ‬௔௟௨௠௜௡௜௢ ൌ 28 ‫ܽܲܩ‬ 1. se numeran los nudos y los grados de libertad 2. Ensambla la matriz de cada elemento ‫ܩ‬஺஼ ‫כ‬ ‫ܬ‬஺஼ ‫ܮ‬஺஼ ൌ 80‫01ݔ‬ଽ ‫כ‬ ߨ 2 ‫כ‬ 0,04ସ 1,0 ൌ 321,7 ݇ܰ ‫כ‬ ݉ ܽܿ݁‫݋ݎ‬ ‫ܩ‬஺௟ ‫כ‬ ‫ܬ‬஺௟ ‫ܮ‬஺௟ ൌ 28‫01ݔ‬ଽ ‫כ‬ ߨ 2 ‫כ‬ 0,08ସ 2 ൌ 900,76 ݇ܰ ‫כ‬ ݉ ݈ܽ‫݋݅݊݅݉ݑ‬ Elemento 3-1 0 ߠଵ ൜ ܶ௫ଷିଵ ܶ௫ଵିଷ ൠ ൌ ቂ 0 െ321,7 0 321,7 ቃ ൤ 0 ߠଵ ൨ Nota: las fuerzas de extremo son cero Elemento 1-2 ߠଵ 0 ቄ ܶ௫ଵିଶ ܿ ቅ ൌ ቂ 900,76 0 െ900,76 0 ቃ ቂ ߠଵ 0 ቃ Matriz de rigidez del sistema - grados de libertad libres ܶ௫ଵିଷ ൅ ܶ௫ଵିଶ ൌ െ1,0 ൌ 1222,46 ‫כ‬ ߠଵ ߠଵ ൌ 8,18 ‫כ‬ 10ିସ ‫݀ܽݎ‬
  • 45.
    45 3. Reemplazado enlas ecuaciones de cada elemento ܶ௫ଷିଵ ൌ െ321,7 ‫כ‬ ߠଵ ൌ െ321,7‫01ݔ‬ଷ ‫כ‬ 8,18‫01ݔ‬ିସ ൌ െ263,15 ܰ ‫כ‬ ݉ ܶ௫ଵିଷ ൌ 321,7‫01ݔ‬ଷ ‫כ‬ 8,18‫01ݔ‬ିସ ൌ 736,15 ܰ ‫כ‬ ݉ ܶ௫ଵିଶ ൌ 900,76‫01ݔ‬ଷ ‫כ‬ 8,18‫01ݔ‬ିସ ൌ 736,82 ܰ ‫כ‬ ݉ ܶ௫ଶିଵ ൌ െ736,82 ܰ ‫כ‬ ݉ Matriz de una parrilla Estructuras retractiles con cargas perpendiculares al eje longitudinal, como losas de entrepisos, tableros de puentes Elemento orientado en la dirección x
  • 46.
    46 La ecuación básicaqueda: ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܯ‬ ‫݅ݕܯ‬ ‫݅ܨ‬ ‫݆ݔܯ‬ ‫݆ݕܯ‬ ‫݆ܨ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ െ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 0 0 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ߠ‫݅ݔ‬ ߠ‫݅ݕ‬ ‫݅ݑ‬ ߠ‫݆ݔ‬ ߠ‫݆ݕ‬ ‫݆ݑ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܯ‬௫௜ ா ‫ܯ‬௬௜ ா ‫ܨ‬௭ ௜ ா ‫ܯ‬௫௝ ா ‫ܯ‬௬௝ ா ‫ܨ‬௭ ௝ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ Para el elemento orientado en la dirección Y . ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫݅ݔܯ‬ ‫݅ݕܯ‬ ‫݅ܨ‬ ‫݆ݔܯ‬ ‫݆ݕܯ‬ ‫݆ܨ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 2‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 0 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 െ6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 െ 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ 4‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 ‫ܬܩ‬ ‫ܮ‬ 0 െ 6‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ 0 12‫ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଷ ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ߠ‫݅ݔ‬ ߠ‫݅ݕ‬ ‫݅ݑ‬ ߠ‫݆ݔ‬ ߠ‫݆ݕ‬ ‫݆ݑ‬ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ۖ ‫۔‬ ۖ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܯ‬௫௜ ா ‫ܯ‬௬௜ ா ‫ܨ‬௭ ௜ ா ‫ܯ‬௫௝ ா ‫ܯ‬௬௝ ா ‫ܨ‬௭ ௝ ா ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ
  • 47.
    47 Problema: Resolver lasiguiente parrilla. Vigas 30x40 cm, f`c = 21 MPa 11. CONDENSACIÓN En estructuras grandes, el tamaño de las ecuaciones puede ser de cientos o de incluso miles de grados de libertad. La condensación consiste en reducir el tamaño del sistema de ecuaciones eliminando grados de libertad. Las ecuaciones quedan en función de los grados condensados ߲ ൌ ൜ ߲஼ ߲ா ൠ ߲஼: ݃‫ݏ݋݀ܽݎ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ܿ‫ݏ݋݀ܽݏ݊݁݀݊݋‬ ߲ா: ݃‫ݏ݋݀ܽݎ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ݈݁݅݉݅݊ܽ݀‫ݏ݋‬ ሼ‫ܨ‬ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሼ߲ሽ Expandiendo ൜ ‫ܨ‬஼ ‫ܨ‬ா ൠ ൌ ൤ ‫ܭ‬஼஼ ‫ܭ‬஼ா ‫ܭ‬ா஼ ‫ܭ‬ாா ൨ ൜ ߲஼ ߲ா ൠ Se expande la fila 2 y despejo ሼ߲ாሽ ሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ா஼ሿሼ߲஼ሽ ൅ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲ாሽ ሾ‫ܭ‬ாாሿሼ߲ாሽ ൌ ሼ‫ܨ‬ாሽ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲஼ሽ ሼ߲ாሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ െ ሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲஼ሽ Reemplazando en la fila 1: ሼ‫ܨ‬஼ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ሿሼ߲஼ሽ ൅ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲ாሽ ሼ‫ܨ‬஼ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ሿሼ߲஼ሽ ൅ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿሼ߲஼ሽ ሼ‫ܨ‬஼ሽ ൌ ൣሾ‫ܭ‬஼஼ሿ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿ൧ሼ߲஼ሽ ൅ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ ሼ‫ܨ‬஼ሽ െ ሾ‫ܭ‬஼஼ሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ൣሾ‫ܭ‬஼஼ሿ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿ൧ሼ߲஼ሽ
  • 48.
    48 Se busca unaecuación de la forma ሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿሼ߲஼ሽ (1) Por analogía se tiene ሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ ൌ ሼ‫ܨ‬஼ሽ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ ሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿ ൌ െሾ‫ܭ‬஼஼ሿ െ ሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿ Estas 2 formulas sirven para encontrar los desplazamientos condensados, despejando la ecuación (1) ሼ߲஼ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿିଵሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ Y los desplazamientos eliminados ሼ߲ாሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሼ‫ܨ‬ாሽ െ ሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿିଵሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ Los desplazamientos eliminados no deben confundirse con los despreciables Cuando ሼ‫ܨ‬ாሽ ൌ ሼ0ሽ ሼ߲ாሽ ൌ െሾ‫ܭ‬ாாሿିଵሾ‫ܭ‬஼ாሿሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿିଵሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ ሼ߲஼ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬஼஼ ‫כ‬ ሿିଵሼ‫ܨ‬஼ ‫כ‬ ሽ 12. GRADOS DE LIBERTAD DESPRECIABLES En las matrices no se tienen en cuenta los grados de libertad asociados a las deformaciones de flexión producidos por cortante, mientras que los grados de libertad axiales en columnas, por carga axial para edificios bajos, se pueden despreciar. Para sistemas con diafragma rígido, se supone la losa con rigidez axial muy grande y se puede despreciar la deformación axial en vigas. En principio se debe eliminar las columnas de la matriz Knn pero para conservar la simetría, también se deben eliminar las filas 13. relaciones lineales entre grados de libertad Para un sistema de grados de libertad i x j ܽ௜ଵ߲ଵ ൅ ܽ௜ଶ߲ଶ ൅ … … … … … … … ൅ ܽଵ௡߲௜ ܽ௝ଵ߲ଵ ൅ ܽ௝ଶ߲ଶ ൅ … … … … … … … ൅ ܽ௝௜߲௜
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    49 Matricialmente ሾܽሿሼ߲ሽ ൌ ሼ0ሽ ሾܽ଴ሿ൛߲௜ ൟ൅ ሾܽଵሿሼ߲௉ሽ ൌ ሾ0ሿ Despejando ሼ߲௉ሽ ሼ߲௉ሽ ൌ ሾܽଵሿିଵሾܽ଴ሿ൛߲௜ ൟ Se define ሾܴ଴ሿ ൌ ሾܽଵሿିଵሾܽ଴ሿ ሾܴሿ ൌ ൤ ‫ܫ‬ ܴ଴ ൨ I: identidad ሼ߲ሽ ൌ ൜߲௜ ߲௉ൠ ൌ ൤ ‫ܫ‬ ܴ଴ ൨ ൛߲௜ ൟ ൌ ሾܴሿ൛߲௜ ൟ Ecuación estática ሼ‫ܨ‬ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሼ߲ሽ ൌ ሾ‫ܭ‬ሿሾܴሿ൛߲௜ ൟ Se quiere encontrar una ecuación de la forma ൛‫ܨ‬௜ ൟ ൌ ሾ‫ܭ‬௜ሿ൛߲௜ ൟ ൛‫ܨ‬௜ ൟ : Fuerzas inerciales asociados a los grados de libertad independientes Por la ley de BettI: ൛‫ܨ‬௜ ൟ ൌ ሾܴሿ்ሼ‫ܨ‬ሽ Reemplazando ൛‫ܨ‬௜ ൟ ൌ ሾܴሿ்ሾ‫ܭ‬ሿሾܴሿ൛߲௜ ൟ ሾ‫ܭ‬௜ሿ ൌ ሾܴሿ்ሾ‫ܭ‬ሿሾܴሿ ൛߲௜ ൟ ൌ ሾ‫ܭ‬௜ሿିଵ ൛‫ܨ‬௜ ൟ Procedimiento 1, Se define la matriz [a] 2. Se hace la partición de acuerdo a los grados de libertad independientes ൛߲௜ ൟ y los dependientes ሼ߲௣ሽ 3. Se calcula, ሾܴ଴ሿ y ሾܴሿ.
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    50 4. se calculaሾ‫ܭ‬௜ሿ y ൛߲௜ ൟ 5. Se calcula ሼ∂୮ሽ 14. IGUALACIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD Simétrico Subíndice i: simétrica ߤ௫௜ି௦ ൌ െߤ௫௜ ߤ௬௜ି௦ ൌ ߤ௬௜ ߠ௜ି௦ ൌ െߠ௝௦ Anti simétrico
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    51 ߤ௫ି௜௦ ൌ ߤ௫௜ ߤ௬ି௜௦ൌ െߤ௬௜ ߠ௜௦ ൌ ߠ௝௦ Problema: Resuelva el pórtico usando igualación de grados de libertad y desprecie las deformaciones axiales. F´c = 21 MPa Ec = 21540 MPa Columna 30x30 cm Vigas 25x35 cm 1. Grados de libertad 2. Propiedades sección Viga ஺ா ௅ ൌ ଴.ଶହ௫଴.ଷହ௫ଶଵହସ଴௫ଵ଴ల ଺ ൌ 314.3 ெே ௠ ‫ܫܧ‬ ൌ 21540‫ݔ‬ ଴.ଶହ௫଴.ଷହయ ଵଶ ൌ 19.24 ‫ܰܯ‬ ݉ଶ ସாூ ௅ ൌ 12.83 ‫݉/ܰܯ‬ ଶாூ ௅ ൌ 6.41 ‫݉/ܰܯ‬ ଺ாூ ௅మ ൌ 3.21 ‫݉/ܰܯ‬ ଵଶாூ ௅య ൌ 1.069 ‫݉/ܰܯ‬
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    52 Columna: ஺ா ௅ ൌ ଴.ଷ௫଴.ଷ௫ଶଵହସ଴௫ଵ଴ల ଷ ൌ 646.2 ‫݉/ܰܯ‬‫ܫܧ‬ ൌ 21540‫ݔ‬ ଴.ଷర ଵଶ ൌ 14.54 ‫ܰܯ‬ ݉ଶ ସாூ ௅ ൌ 19.39 ‫݉/ܰܯ‬ ଶாூ ௅ ൌ 9.69 ‫݉/ܰܯ‬ ଺ாூ ௅మ ൌ 9.39 ‫݉/ܰܯ‬ ଵଶாூ ௅య ൌ 6.46 ‫݉/ܰܯ‬ 3. Fuerzas de extremo ‫ܯ‬ଵିଶ ா ൌ െ‫ܯ‬ଶିଵ ா ൌ ௐ௅మ ଵଶ ൌ ଷ଴௫ଷ଺ ଵଶ ൌ 90 ݇ܰ ݉ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ா ൌ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ா ൌ ௐ௅ ଶ ൌ 90 ݇ܰ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ா ൅ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ா ൌ 10 ݇ܰ 4. Sistema en coordenadas locales. 4.1 Viga ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 314.3 0 0 0 0 3.21 0 0 12.83 െ314.21 0 0 0 0 3.21 0 0 6.41 െ314.3 0 0 0 0 െ3.21 0 0 6.41 314.21 0 0 0 0 െ3.21 0 0 12.83‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ܷଵ௫ 0 ߠଵ ܷଵ௫ 0 ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 90 90 0 90 െ90ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ6.46 0 െ9.69 0 0 0 9.69 0 9.69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.46 0 9.69 0 0 0 9.69 0 12.83 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷଵ௫ 0 ߠଵ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 െ6.46 0 െ9.69 0 0 0 9.69 0 9.69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.46 0 9.69 0 0 0 9.69 0 19.39 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 0 0 ܷଶ௫ 0 ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ Fx1-3 = Fx2-4 = 10 5. Ensamble la matriz del sistema. ൞ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ൢ ൌ ቎ 320.76 9.69 9.69 32.22 െ314.3 0 0 6.41 െ314.3 0 0 6.41 െ320.76 9.69 9.69 0 ቏ ൞ ܷଵ ߠଵ ܷ2ଵ ߠଵ ൢ ൅ ൞ 0 ൅ 10 90 0 െ90 ൢ
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    53 En la ecuaciónanterior se suma la tercera columna a la primera U1x = U2x Se suman las rigideces. ൞ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ൢ ൌ ቎ 6.46 9.69 9.69 32.33 0 6.46 6.46 9.69 0 6.46 9.69 32. .33 ቏ ൝ ܷଵ௫ ߠଵ ߠଶ ൡ ൅ ൞ 10 90 0 െ90 ൢ Ux = -1.24x10-3 m Θ1 = -2.809x10-3 rad Θ2 = - 3.431x10-3 rad Hacen el examen θ1 = θ2 Sumar columna 3 +2 6. Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio de cada elemento modificado. Viga: ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଵିଶ ‫ܨ‬௬ଵିଶ ‫ܯ‬ଵିଶ ‫ܨ‬௫ଶିଵ ‫ܨ‬௬ଶିଵ ‫ܯ‬ଵିଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 0 0 0 3.21 . 21 0 12.83 6.41 0 0 0 0 െ3.21 െ3.21 0 6.41 12.83‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൝ െ1.24‫01ݔ‬ିଷ െ2.809‫01ݔ‬ିଷ 3.431 ‫01ݔ‬ିଷ ൡ ൅ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ 0 90 90 0 90 െ90ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 92 75.96 0 88 െ64 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna 3-1 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ଷିଵ ‫ܨ‬௬ଷିଵ ‫ܯ‬ଷିଵ ‫ܨ‬௫ଵିଷ ‫ܨ‬௬ଵିଷ ‫ܯ‬ଵିଷ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ6.46 0 9.69 െ9.69 0 9.69 6.46 0 9.69 9.69 0 19.39‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൜ െ1.24 ‫01ݔ‬ିଷ െ2.809‫01ݔ‬ିଷൠ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 35.23 0 െ39.24 െ35.23 0 െ66.49‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Columna 4-2 ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ܨ‬௫ସିଶ ‫ܨ‬௬ସିଶ ‫ܯ‬ସିଶ ‫ܨ‬௫ଶିସ ‫ܨ‬௬ଶିସ ‫ܯ‬ଶିସ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ6.46 0 9.69 െ9.69 0 9.69 6.46 0 9.69 9.69 0 19.39‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ ൜ െ1.24 ‫01ݔ‬ିଷ െ3.431‫01ݔ‬ିଷൠ ൌ ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ െ25.23 0 21.22 25.23 0 54.51 ‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ 7. Utilizando la metodología de las relaciones lineales entre los grados de libertad y la ecuación de relación por simetría, igualando θ1=θ1, queda :
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    54 ൥ 1 0 0 00 0 0 0 1 െ1 0 0 0 0 0 0 0 െ1 ൩ ‫ە‬ ۖ ‫۔‬ ۖ ‫ۓ‬ ‫ݑ‬ଵ௫ ‫ݑ‬ଵ௬ ߠଵ ‫ݑ‬ଶ௫ ‫ݑ‬ଶ௬ ߠଶ ۙ ۖ ۘ ۖ ۗ ൌ ሾ0ሿ ቂ 1 0 0 1 െ1 0 0 െ1 ቃ ൞ ‫ݑ‬ଵ௫ ߠଵ ‫ݑ‬ଶ௫ ߠଶ ൢ ൌ ሾ0ሿ ሾܽ௢ ܽଵሿ ൜ ߜ݅ ߜ‫݌‬ ൠ ൌ ሾ0ሿ ሼߜ݅ሽ ൌ ‫ݏ݋݀ܽݎܩ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ݅݊݀݁‫ݏ݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌‬ ݊‫݋݀ݑ‬ ሺ1ሻ ሼߜ‫݌‬ሽ ൌ ‫ݏ݋݀ܽݎܩ‬ ݀݁ ݈ܾ݅݁‫݀ܽݐݎ‬ ݀݁‫ݏ݁ݐ݊݁݅݀݊݁݌‬ ݊‫݋݀ݑ‬ ሺ2ሻ ሾܽ଴ሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ሾܽଵሿ ൌ ቂ െ1 0 0 െ1 ቃ ሼߜ݅ሽ ൌ ቄ ‫ݑ‬ଵ௫ ߠଵ ቅ ሼߜ‫݌‬ሽ ൌ ቄ ‫ݑ‬ଵ௫ ߠଵ ቅ ሾܴ‫݋‬ሿ ൌ െሾܽଵሿିଵሾܽ௢ሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ሾܴሿ ൌ ቂ ‫ܫ‬ ܴ‫݋‬ ቃ ൌ ቎ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቏ ሾܴሿ் ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ La matriz [ Ki ]= [ R ]T [ T ] [ R ] de grados de libertad independientes ሾ‫݅ܭ‬ሿ ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ ቎ 320.76 9.69 9.69 32.22 െ314.3 0 0 6.41 െ314.3 0 0 6.41 320.76 9.69 9.69 32.22 ቏ ቎ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቏ ൌ ቂ 12920 19380 19380 77260 ቃ ሾ௄ே/௠ሿ { Fi } = [ R ]T { F } ሼ‫ܨ‬௜ሽ ൌ ቂ 1 0 0 1 1 0 0 1 ቃ ൦ െ10 െ90 0 90 ൪ ൌ ቄ െ10 0 ቅ { Fi } = [ Ki ]-1 { Fi } ቄ ‫ݑ‬ଵ௫ ߠଵ ቅ ൌ ൜െ1.241‫01ݔ‬ିଷ 3.113‫01ݔ‬ିସ ൠ ሼߜ݅ሽ ൌ ሾܴ‫݋‬ሿሼߜ݅ሽ ൌ ቂ 1 0 0 1 ቃ ቄ ‫ݑ‬ଶ௫ ߠଶ ቅ ൌ ൤െ1.241‫01ݔ‬ିଷ 3.113‫01ݔ‬ିସ ൨