Replanteo de curvas simples

ING. WILFREDO AVALOS LOZANO 1
1 APUNTES DE TOPOGRAFIA

REPLANTEO DE CURVAS HORIZONTALES
Una vez adquirido los conocimientos básicos de los parámetros de diseño de
carreteras y habiendo trazado un alineamiento del mismo, procederemos a adquirir
la destreza de trasladar la posición de los puntos topográficos del eje de trazo. para
esto haremos uso de fórmulas y cálculos básicos con el fin de representar las
curvas de una forma más acertada para que su ejecución sea rápida y lo más
exacta.
Se enuncian los métodos a estudiar en este manual.
 Método de deflexiones angulares.
 Método de Intersección de visuales.
 Método de coordenadas en la tangente.
 Método coordenadas en la cuerda.
 Caso Especial del PI Inaccesible.
Los resultados serán replanteados con ayuda del teodolito electrónico puesto que
este instrumento nos permite el uso de coordenadas polares, así también se usara
la wincha para la ubicación de las estacas de replanteo, para utilizar la estación
total deberíamos de trabajar con coordenadas introducirlas al instrumento y
trasladarlas a campo pero esto es demasiado fácil el siguiente manual busca
activar todas las destrezas del estudiante a fin de resolver y ejecutar el trabajo de
manera rápida y muy exacta ya que en topografía no existe el error cero.
Replanteo:
Es la acción que se realiza para plasmar físicamente puntos topográficos
representados en un plano u anotados en una hoja de cálculo, hacia el terreno con
la utilización de materiales y equipos topográficos tales como nivel de ingeniero,
teodolito electrónico, estación total y wincha.
Los resultados del cálculo de gabinete sea quizás no tan tedioso de calcular lo que
si es difícil si no se cuenta con el conocimiento matemático y destreza en su
ejecución es el replanteo de una curva en el eje de trazo sabiendo que solo se
cuentan con tres puntos de ubicación conocidos como lo son el PC, PI y el PT. más
aún si son inaccesibles.

1. Método de Deflexiones Angulares.-
Este método consiste en calcular el grado de curvatura “Gc”, la deflexión total “δc,
para cada “C”, o distancia entre estacas en la longitud de curva. es decir entre PC y
PT; así como también la deflexión por metro lineal “δm” para las distancias que no
suman el valor de “C”.
Estos datos se calculan conocidos la deflexión y el radio, el parámetro “C” se
obtiene según el valor del Radio de curvatura de la curva simple el cual como
sabemos está en función del tipo de carretera y la velocidad de diseño “Vd”.
Valores de “C” según el valor del Radio.
Sí; R< 50m entonces C=5m
Sí; 50m < R < 100m entonces C=10m
Sí; R > 100m entonces C=20m
Fórmula del grado de curvatura.
Fórmula del grado de curvatura para cada distancia “C”. entre estacas.
Fórmula del grado de curvatura para cada metro lineal.
A continuación resolveremos un problema.

Problema N°01. En una carretera de 3ra
Clase; en terreno ondulado en área rural
con una velocidad de diseño de 50km/h; diseñar la curva simple y calcular los datos
de replanteo por el método de las deflexiones angulares.
Calculos:
Según la norma DGC-2018, el radio mínimo que le corresponde es de R=85m,
pues tomaremos un R=90m.
Elementos de curva.
Tangente.
= = 58.928m
Longitud de curva.
= = 104.348m
Cuerda Larga.
= = 98.600m

Externa.
= = 17.575m
Flecha o Mediana.
F=M= *( )+ = *( )+ = 14.704m
Cálculo de las deflexiones Angulares.
Como radio R<100 entonces C=10m; significan estacas cada 10m en la longitud de
curva.
Calculo del grado de curvatura ( .
= = 6°22’10.12”
Deflexión para cada cuerda C=10m, (
= = 3°11’5.06”
Deflexión por metro lineal, (
= = 0°19’6.51”
Para poder calcular las deflexiones, antes debo precisar el abscisado del PC y el
PT.
Calculo del PC:
PC=PI – T = km0+250 – km58.928 = km191.072m
Calculo del PT:
PT=PC + Lc = km0+191.072 + 104.348 = km0+295.42m
Las progresivas serán estacas enteras de valor C=10m; pero en puntos no enteros
como el PC y el PT, se tomaran como cuerdas las distancias parciales hasta
completar la estaca entera. ejemplo la cuerda a la estaca 200m es (km0+200 –
191.072 = 8.928m), y de la estaca 290m a 295.42m, es (PT – km0+290 = 5.42m).

A continuación se elabora la tabla de Deflexiones angulares a los ángulos a ser
lanzados con el equipo en este caso el teodolito y plasmar en el terreno los puntos
topográficos del alineamiento es decir las estacas cada 10 metros sobre la longitud
de circunferencia.
La sumatoria de los ángulos de deflexión acumulados debe ser igual a la mitad del
ángulo de deflexión es decir Δ/2, en caso no dar el mismo resultado se puede
realizar una corrección angular para obtener los ángulos corregidos y replantear
con estos, eso sería lo ideal pero sabemos que muchos teodolitos tienen errores a
los 5” por lo cual se desprecia la corrección. En todo caso cual debería ser el
ángulo de corrección en este ejemplo:
= = 33°12’54” dato Inicial de Replanteo.
33°13’55.59”
Error angular = 33°13’55.59” – 33°12’54” = 0°1’1.59”
Corrección angular. Ca = Ea/N° de cuerdas = = 0°0’5.6” a restar a cada
cuerda. Como Ca es superior a los 5” procede la corrección porque es mayor al
mínimo error de un teodolito electrónico. Por lo tanto la tabla de valores corregidos
es la siguiente.
PC:km 0+191.072 0 0 0
200 8.92800702 2°50'36.05" 2°50'36.05"
210 10 3°11'5.06" 6°1'41.11"
220 10 3°11'5.06" 9°12'46.17"
230 10 3°11'5.06" 12°23'51.23"
240 10 3°11'5.06" 15°34'56.29"
250 10 3°11'5.06" 18°46'1.35"
260 10 3°11'5.06" 21°57'6.41"
270 10 3°11'5.06" 25°8'11.47"
280 10 3°11'5.06" 28°19'16.53"
290 10 3°11'5.06" 31°30'21.59"
PT:km0+295.420 5.4199298 1°43'34" 33°13'55.59"
SUMA= 104.348 33°13'55.59"
PROGRESIVA
CUERDA
(m)
DEFLEXION
DEFLEXION
ACUMULADA

Tabla de deflexiones angulares corregidas.
Se replantea desde el PC o PT, lanzando con el teodolito las coordenadas polares
deflexiones angulares y la cuerda para cada una de ellas tomando en cuenta que
las cuerdas son radios de circunferencia que tienen como centro de radiación el
punto donde intersecta a la deflexión angular lanzada, la figura queda de la
siguiente manera la línea rosada representa el replanteo con el método estudiado.
PC:km 0+191.072 0 0 0 0 0 0
200 8.92800702 2°50'36.05" 2°50'36.05" 0°0'5.6" 2°50'29.55" 2°50'29.55"
210 10 3°11'5.06" 6°1'41.11" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 6°1'29.01"
220 10 3°11'5.06" 9°12'46.17" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 9°12'28.47"
230 10 3°11'5.06" 12°23'51.23" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 12°23'27.93"
240 10 3°11'5.06" 15°34'56.29" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 15°34'27.39"
250 10 3°11'5.06" 18°46'1.35" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 18°45'26.85"
260 10 3°11'5.06" 21°57'6.41" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 21°56'26.31"
270 10 3°11'5.06" 25°8'11.47" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 25°7'25.77"
280 10 3°11'5.06" 28°19'16.53" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 28"18'25.23"
290 10 3°11'5.06" 31°30'21.59" 0°0'5.6" 3°10'59.46" 31°29'24.69"
PT:km0+295.420 5.4199298 1°43'34" 33°13'55.59" 0°0'5.6" 1°43'28.4" 33°12'54"
SUMA= 104.348 33°13'55.59" 0°1'1.59" 33°12'54"
DEFLEXION
DEFLEXION
ACUMULADA
CORRECION
DEFLEX. ACUM
CORREGIDA
DEFLEXION
CORREGIDA
PROGRESIVA
CUERDA
(m)

2. Método de Intersección de Visuales.-
Este método es netamente práctico se realiza lanzando los valores de las
deflexiones angulares desde el PC y PT, con ayuda del teodolito. Esto sucede por
ejemplo cuando se carece del conocimiento o manejo de otros métodos o no se
cuenta con equipos como la estación total.
Gráfica: una vez lanzadas las cuerdas de las visuales a cada estaca, con su
respectivo ángulo de deflexión dependiendo desde donde se replantea: PC o PT.

A continuación trazaremos uniendo cada uno de los puntos de intersección
lanzados desde el PC y PT, respectivamente.
Se aprecia la curva en color azul que ha sido confeccionada uniendo los puntos de
visual que se cortan respectivamente.
Ahora confrontaremos la curva dibujada con AutoCAD, solo con los elementos de
curva vs la intersección de visuales.

3. Método de Coordenadas en la Tangente.-
Este método consiste en repartir el ángulo de deflexión en partes iguales a cada
lado del eje del radio. y con estos ángulos unitarios “α” ir calculando valores para
“Y” en la tangente y “X” ortogonales a la tangente.
los valores calculados se pueden lanzar desde el PC o el PT ya que tendrán el
mismo valor.
La ventaja de este método es que es muy práctico ya que no necesitamos de
instrumentos de precisión para replantear basta con tener los puntos en el terreno y
con la ayuda de una wincha puedo realizar el replanteo.
Fórmulas: principal parámetro es el radio R.
Y= R. Senα
X = R (1-Cosα)
Ejemplo: utilizando el mismo ejercicio de los métodos anteriores.

Cálculos de las proyecciones “X” y “Y” en la tangente. Con las cuales se calculan
las coordenadas en caso de replantear con estación total. y de contar con una
wincha pues es muy fácil realizar el replanteo solo se debe tener el cuidado de
medir bien para lograr mejores resultados.
Para α1=8°18’13.5” y R=90m
Y = 90 x Sen 8°18’13.5” = 12.9978m
X = 90 x (1 - Cos 8°18’13.5”) = 0.9435m
Para α2=16°36’27” y R=90m
Y = 90 x Sen 16°36’27” = 25.7232m
X = 90 x (1 - Cos 16°36’27”) = 3.7543m
Para α3=24°54’40.5”y R=90m
Y = 90 x Sen 24°54’40.5” = 37.9093m
X = 90 x (1 - Cos 24°54’40.5”) = 8.3765m
Para α4=33°12’54” y R=90m
Y = 90 x Sen 33°12’54” = 49.300m
X = 90 x (1 - Cos 33°12’54”) = 14.70411m
Luego de este último punto se replantea el valor de la externa “E” desde el PI; para
luego continuar replanteando los mismos datos desde el punto de estación
opuesto. Quiere decir si inicie desde el PC, solo replanteo 4 coordenadas desde
cada punto de la curva y los otras 4 coordenadas desde PT, con los mismos
valores.
A continuación se muestra la gráfica de cómo queda la curva replanteada.

Replanteo de una Curva Horizontal Simple por el Método de Coordenadas en la
Tangente.

4. Método de Coordenadas en la Cuerda.-
Muy similar y práctico al momento de replantear que el método de coordenadas en
la tangente con la diferencia que las proyecciones se calculan en la cuerda el valor
“X” es paralelo a la cuerda y el valor “Y” es paralelo al eje de la externa y el radio.
X= R. Senα
Y = R. Cosα – R.CosΔ/2
Ejemplo: utilizando el mismo ejercicio de los métodos anteriores.

Calculo de “X” y “Y”; los parámetros importantes son el Radio y “α “.
Para α1= 8°18’13.5” y R=90m
X= R. Sen α = 90. Sen 8°18’13.5” = 12.997m
Y = R. Cosα – R.CosΔ/2 = 90.Cos 8°18’13.5” – 90.Cos 66°25’48”/2 = 13.761m
Para α2= 16°36’27” y R=90m
X= R. Sen α = 90. Sen 16°36’27” = 25.723m
Y = R. Cosα – R.CosΔ/2 = 90.Cos 16°36’27” – 90.Cos 66°25’48”/2 = 10.949m
Para α3= 24°54’40.5” y R=90m
X= R. Sen α = 90. Sen 24°54’40.5” = 37.909m
Y = R. Cosα – R.CosΔ/2 = 90.Cos 24°54’40.5” – 90.Cos 66°25’48”/2 = 6.331m
Para α4= 33°12’54” y R=90m
X= R. Sen α = 90. Sen 33°12’54” = 49.300m
Y= R. Cosα – R.CosΔ/2 = 90.Cos 33°12’54” – 90.Cos 66°25’48”/2 = 0m
Se inicia graficando las proyecciones desde la línea de eje central de la curva se
calculan solo la mitad de los valores ya que para la otra mitad los valores son
iguales.

Gráfica de Replanteo por el Método de Coordenadas en la Cuerda.
Gráfica final del Replanteo.

5. Caso del PI Inaccesible.-
Diríamos que es un caso especial más que un método inicial de replanteo, puesto
que por la presencia de un obstáculo que imposibilita medir desde un PI las
posiciones del PC y el PT para replantear por cualquiera de los casos anteriores.
Primero debemos resolver el problema de ubicar el PC y el PT, generando para
esto puntos auxiliares en las tangentes y que se corten en un punto en el cual se
proyectara la línea para graficar una deflexión, y a partir de este valor calcular por
métodos geométricos y trigonométricos como la ley de Senos y la ley de Cosenos
todos los ángulos hasta llegar a calcular el ángulo de deflexión.
Se presenta el siguiente caso:
Ejemplo.
Se tiene que replantear la curva simple, en el PI de un trazo de carreteras que
presenta muchos obstáculos, la curva a trazar tiene los siguientes parámetros a
tomar en cuenta para su replanteo en campo.
 Clasificación : Trocha Carrozable.
 Velocidad de Diseño : 60 km/h
 Radio Mínimo : 25m
 <B : 77°57’36”
 Progresiva en A : km3+620
 DAB : 37.27m
 DAB : 41.94m
 <PI AB : 75°47’17”
 <PI CB : 110°31’34”
El problema a solucionar se presenta con más ocurrencia durante el trazado de
apertura de carreteras, puesto que el diseño se realiza en gabinete y al momento
de replantear en campo es que nos damos cuenta que existen muchos obstáculos
que dificultan el tratado de dichos elementos constituyentes en la ejecución de
carreteras.
Una vez resuelto el problema de ubicación de los puntos PC y PT, de la curva
realizaremos el replanteo con el método que mejor presentación nos dé.

Resolución de problema.
 Problema en Campo.
 Primero se reconoce la poligonal en campo y nos damos cuenta de lo que
pueda suceder. o el método con el cual solucionar la dificultad.

Aprovecharemos el ángulo B, para poder dar inicio al cálculo de ángulos por ley de
cosenos la distancia en el tramo AC.
Calculo del angulo β.
β = 180° - 77°57’36” = 102°2’24”
β = 102°2’24”
Calculamos la distancia DAC= b; por ley de cosenos.
DAC= b = 37.272
+41.942
-(2*37.47*41.94*cos102°2’24”
DAC= b = 61.65m
Calculado el angulo β, por ley de senos calculo el angulo α .
=
b*senα = c*senβ
α = arcsen
α = 41°42’26.72”

Aplicando la sumatoria de angulos internos. Si:
Ʃ<sint = 180(n-2)
Donde: n= número de vertices;entonces n=3
Ʃ<sint = 180(n-2)
Ʃ<sint = 180(3-2) = 180°
Esto quiere decir que:
(α + β + Ɣ) = 180°
(41°42’26.72”+102°2’24”+ Ɣ )= 180°
Ɣ = 36°15’9.28”
Como ya obtuvimos los angulos de nuestra poligonal de apoyo,calcumos los
angulos reducidos de la base del triángulo A-PI-C.
Angulo Ø:
Ø = 110°31’34” – 41°42’26.72”
Ø = 68°49’7.28”
Angulo δ:
δ = 75°47’17” – 36°18’9.28”
δ = 39°29’7.72”

Cálculo de ϴ, y la distancia de A-PI.
ϴ = 180° - (68°49’7.28” + 39°32’7.72”)
ϴ = 71°38’45”
Conocido ϴ, ya puedo calcular la deflexion en el PI.
Cálculo de la Deflexión en el PI:

calculando la deflexión:
Δ = 180° - 71°38’45”
Δ = 108°21’15”
Calculo del Valor “d” o d= A PI.
Por ley de senos relacionaremos lo siguientes valores a fin de calcular la dsitancia
“d”.
=
b*sen = d*sen
d =
d=41.347m
Cálculo de Elementos de Curva.
Tangente.
= = 83.1219615m
Longitud de curva.
= = 113.468m
Cuerda Larga.
= = 97.29957m
Externa.
= = 42.5146799m
Flecha o Mediana.
F=M= *( )+ = *( )+ = 24.88307817m

Cálculo de Progresivas al PC,PI y PT
PI = A+d = 3620 + 41.347 = km3+661.347
PC = PI -T = 3661.347- 83.12196 = km3+578.225
PT = PC + Lc = 3578.225 + 113.468 = km3+691.693
El Replanteo lo realizaremos por conveniencia por el metodo de ccordenadas en la
cuerda larga.
X= R. Senα
Y = R. Cosα – R.CosΔ/2
Dividimos la deflexión en 8 partes iguales y calculamos “X”, ”Y”.
Para α1= 8°18’13.5” y R=60m
X= R. Sen α = 60. Sen 13°32’39.38” = 14.052m
Y = R. Cosα – R.CosΔ/2 = 60.Cos 13°32’39.38” – 60. Cos108°21’15”/2 = 23.295m
Para α2= 27°5’18.75” y R=60m
X= R. Sen α = 60. Sen 27°5’18.75” = 27.322m
Y = R. Cosα – R.CosΔ/2 = 60. Cos 27°5’18.75” – 60. Cos108°21’15”/2 = 18.382m
Para α3= 40°37’59.14” y R=60m
X= R. Sen α = 60. Sen 40°37’59.14” = 39.072m
Y = R. Cosα – R.CosΔ/2 = 60.Cos 40°37’59.14” – 60. Cos108°21’15”/2 = 10.497m
Para α4= 54°10’37.52” y R=60m
X= R. Sen α = 60. Sen 54°10’37.52” = 49.300m
Y= R. Cosα – R.CosΔ/2 = 60.Cos 54°10’37.52” – 60. Cos108°21’15”/2 = 0m

Se inicia graficando las proyecciones desde la línea de eje central de la curva se
calculan solo la mitad de los valores ya que para la otra mitad los valores son
iguales.

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