Laboratorio de finitos 1

“AÑO DE LA PROMOCION DE LA INDUSTRIA RESPONBLE Y COMPROMISO CLIMATICO”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD INGENIERIA MECÁNICA
1era Práctica Calificada
CURSO: CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS
PROFESOR: CUEVA PACHECO Ronald
ALUMNO: RAMOS CUIPA JORGE LUIS
CÓDIGO: 20127023H SECCIÓN: “D”
LIMA - PERU
Septiembre – 2014

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Índice
Enunciado del Problema............................................................................. 3
Solución...................................................................................................... 4
Grados de Libertad Nodales....................................................................... 5
Vector Carga............................................................................................... 6
Matriz de Rigidez........................................................................................ 7
Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno........................................... 8
Esfuerzos y Resultados.............................................................................. 9
Diagrama de Flujo....................................................................................... 10
Uso de Matlab............................................................................................. 11
Conclusiones……………………………………………………………………. 14
Página 2

PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA
(TRACCION SIMPLE)
Página 3
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Dado la siguiente poste de luz de concreto de forma trapezoidal, cuyo espesor es
constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el
apoyo. Utilizar tres elementos finitos.
Considerar:
PA = 30 KN
t (espesor) = 150 mm
E = 5.0x105 N/mm2
Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3

1200 600
b mm
600 300
1
b mm
300
Página 4
SOLUCIÓN:
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos
tendrán longitud de 1000, 500 y 500mm.
Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:
 
 
b 150
mm
2
450
2
900
2
3
2
 






Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:

Y las áreas se calculan de la siguiente relación:
A b x t 1 1 
Página 5
Cuadro de conectividad:
e
NODOS GDL le
(mm)
Ae
(1) (2) 1 2 (mm2)
1 1 2 1 2 1000
135000
2 2 3 2 3 500 67500
3 3 4 3 4 500 22500
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)
A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento será:
mm


0
Q

 

Q

Q
Q







2
3
4
Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas
que tendrán que ser calculadas.
3. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
   
  
 
 
Página 6
 
 
1 1
2
 
2 2
2
 
2 2
3
 
N
y Axl
F
N
y Axl
F
N
y Axl
F
P N
y Axl
F
R R N
y Axl
F
A
441.28125
2
1323.84375
2
1323.84375
2
35295.375
2
5295.375
2
3 3
3
1 1
1 1
1
 

 
3 3
4  
F  F  5295.375

R N
F  F  F 
3661.918
N
F F F 1765.875
N
 
5295.375 1



3661.918
1765.875




0 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
Página 7
N
y Axl
F 441.28125
2
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
  
F F 441.28125
N
3
4 4
3
3
2
3 3
2
2
1
2 2
1
1
1 1
 
Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera
N
R
F
F
F
F
F






















441.28125
1
2
3
4
1
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada
por la siguiente ecuación:






1 1 0 0











 

1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
AE
1 l
Ki















0 0 0 0
AE
2 l












0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1







0 0 1 1
AE
3 l
Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad
obtenemos:









67500 5 10
675 675 0 0
 
675 1350 675 0
0  675 900 
225



675 675 0 0
675 1350 675 0
Q
5 2

 
0  675 900 
225



1350 675 0
 
675 900 225
Página 8
1 1 0 0









 


 
 

1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
135000 5 10
1000
1
5 x x
Ki












0 0 0 0
0 1 1 0
0 
1 1 0




 

0 0 0 0
500
2
5 x x









0 0 0 0
0 0 0 0
 


 

0 0 1 1




 

0 0 1 1
22500 5 10
500
3
5 x x
Finalmente:
N
mm
K x i














 
0 0 225 225
105
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
  F K Q i i
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
5295.375 R1






 



3661.918
1765.875


441.28125










Q













3
4
0
0 0 225 225
10
Q
x
Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:







3661.918
1765.875



441.28125





Q


Q













2
3
4
5
0 225 225
10
Q
x
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:


Q 57.52 x 10
mm


Q 
60.79 x 10
mm
Q x mm
Q
5 2

E
0


   
57.52


   
60.79


   
Página 9
5
4
5
3
5
2
62.75 10


Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:



   







Q


  
3
4
0
5295.375 1 10 675 675 0 0
Q
R x
Resolviendo obtenemos:
R 44121 .375 N 1 
6. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:


  




 





1
1 1
i
i
e
e
Q
Q
l

Y obtenemos lo siguiente:
N

  5
1 2
1
5
5 10

1 10 0.2876
57.52
1 1
600
mm
x
x
  



  

 

N

  5
2 2
2
5
5 10

2 10 0.0327
60.79
1 1
400
mm
x
x
  



  

 

N

  5
3 2
3
5
5 10

31 10 0.0196
62.75
1 1
200
mm
x
x
  



  

 

7. RESULTADOS
Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
R 44121 .375 N 1 
N
1 2 0.2876
mm
 
N
2 2 0.0327
mm
 

N
3 2 0.0196
EA
EA
EA
EA
EA
  
0 0
EA
EA
EA
EA
  
0
EA
1 0 0
EA
EA
EA
0  
0
EA
EA
EA
  
Página 10
mm
 
8. DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
INGRESO DE DATOS
CONSTANTES : E, f, t
VECTORES : L, A, P
CALCULO DE VECTORES
F=























R
AL
2 1
 
 
2 2
3 2
AL AL
 

2 2
2
2
3
1
1


AL
P
AL AL
A ; K=
























EA
EA
3
3
EA
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
0 0
0
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL






















1
AL
2

2 1
 
 
2 2
3 2
AL AL
 

2 2
3
2

AL
P
AL AL
A =























 
EA
EA
3
3
EA
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
0
0 0
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L












R
1
2
3
4
Q
Q
Q

IMPRESIÓN DE RESULTADOS
1 2 3 4 1 2 3 R ,Q ,Q ,Q ,E ,E ,E
FIN
9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB
Página 11
SCRIPT
clc
clear all
R1=sym('R1');
%datos de entrada
b0=1000 %input('Ingrese base superior(mm):')
bn=0 %input('Ingrese base inferior(mm):')
t=150 %input('Ingrese espesor(mm):')
h=1200 %input('Ingrese altura(mm):')
n=3 %input('Ingrese numero de elementos finitos:')
E=300000 %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):')
y=0.00007845 %input('Ingrese densidad(N/mm3):')
Pa=50000 %input('Ingrese carga(N):')
%calculo de bases y áreas de elementos
le=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1);
Fe=zeros(n+1,1);
bo(1)=b0; ho(1)=h;
for i=1:n
if n>i
le(i)=input('Ingrese longitud del elemento finito(mm):');
b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2;
a(i)=b(i)*t;
ho(i+1)=ho(i)-le(i);
bo(i+1)=2*b(i)-bo(i);
else
le(i)=ho(i);
b(i)=(bn+bo(i))/2;
a(i)=b(i)*t;
end
end
disp('Bases(mm):')
disp(b')
disp('Longitudes(mm):')
disp(le')
disp('Areas(mm^2):')
disp(a')
%calculo de las fuerzas
for i=1:n
Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2;
end

Página 12
for i=1:n+1
if i==1
F(i)=Fe(i);
elseif i==n+1
F(i)=Fe(i-1);
else
F(i)=Fe(i-1)+Fe(i);
end
end
F(2)=F(2)+Pa;
disp('El vector de fuerzas(N):')
disp(F')
%calculo de la matriz rigidez
k=zeros(n+1);
for i=1:n
x=zeros(n+1);
x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1;
k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x;
end
disp('La matriz de rigidez es(N/mm):')
disp(k)
%calculo de desplazamientos
inv(k(2:n+1,2:n+1));
((F(2:n+1))');
Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))');
Q=[0;Q];
disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):')
disp(Q)
%calculo de la reaccion
k(1,:)*Q;
R1=k(1,:)*Q-F(1);
disp('La reaccion en el extremo es:')
disp(R1)
%calculo de esfuerzos
for i=1:n
e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)];
end
disp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):')
disp(e');

VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB
Página 13

Página 14

Página 15
CONCLUSIONES
 Podemos apreciar, al utilizar más nodos, que las respuestas no varían enormemente,
solo aumentan la precisión con la cual se presentan.
 Se recomienda utilizar un número moderado de nodos, ya que las operaciones con
matrices se vuelven demasiado engorrosas al ser de orden nxn donde n es el número
de nodos.
 Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de
micras), además todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como
referencia.
 En el ejemplo no desarrollamos todo estrictamente en el SI, nos referimos
específicamente al uso de los metros, debido a las magnitudes de las elongaciones
y esfuerzos; es por ello que se utilizó en el desarrollo milímetros en vez de metros.
 Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro
sistema de referencia.

Laboratorio de finitos 1

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Destacado

Similar a Laboratorio de finitos 1

Laboratorio de finitos 1