Este documento presenta el cálculo por elementos finitos de una poste de concreto trapezoidal sometida a tracción simple. Se divide la poste en tres elementos finitos y se calculan las matrices de rigidez, los vectores de carga y desplazamiento. Esto permite determinar los esfuerzos en cada elemento y la reacción en el apoyo, obteniendo valores máximos de 0,2876 MPa en el primer elemento.

1. “AÑO DE LA PROMOCION DE LA INDUSTRIA RESPONBLE Y COMPROMISO CLIMATICO”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD INGENIERIA MECÁNICA
1era Práctica Calificada
CURSO: CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS
PROFESOR: CUEVA PACHECO Ronald
ALUMNO: RAMOS CUIPA JORGE LUIS
CÓDIGO: 20127023H SECCIÓN: “D”
LIMA - PERU
Septiembre – 2014

2. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Índice
Enunciado del Problema............................................................................. 3
Solución...................................................................................................... 4
Grados de Libertad Nodales....................................................................... 5
Vector Carga............................................................................................... 6
Matriz de Rigidez........................................................................................ 7
Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno........................................... 8
Esfuerzos y Resultados.............................................................................. 9
Diagrama de Flujo....................................................................................... 10
Uso de Matlab............................................................................................. 11
Conclusiones……………………………………………………………………. 14
Página 2

3. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA
(TRACCION SIMPLE)
Página 3
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Dado la siguiente poste de luz de concreto de forma trapezoidal, cuyo espesor es
constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el
apoyo. Utilizar tres elementos finitos.
Considerar:
PA = 30 KN
t (espesor) = 150 mm
E = 5.0x105 N/mm2
Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3

4. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
1200 600
b mm
600 300
1
b mm
300
Página 4
SOLUCIÓN:
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos
tendrán longitud de 1000, 500 y 500mm.
Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:
 
 
b 150
mm
2
450
2
900
2
3
2
 






Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:

5. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Y las áreas se calculan de la siguiente relación:
A b x t 1 1 
Página 5
Cuadro de conectividad:
e
NODOS GDL le
(mm)
Ae
(1) (2) 1 2 (mm2)
1 1 2 1 2 1000
135000
2 2 3 2 3 500 67500
3 3 4 3 4 500 22500
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)
A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

6. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Luego el vector de desplazamiento será:
mm


0
Q

 

Q

Q
Q







2
3
4
Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas
que tendrán que ser calculadas.
3. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
   
  
 
 
Página 6
 
 
1 1
2
 
2 2
2
 
2 2
3
 
N
y Axl
F
N
y Axl
F
N
y Axl
F
P N
y Axl
F
R R N
y Axl
F
A
441.28125
2
1323.84375
2
1323.84375
2
35295.375
2
5295.375
2
3 3
3
1 1
1 1
1
 

7. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
 
3 3
4  
F  F  5295.375

R N
F  F  F 
3661.918
N
F F F 1765.875
N
 
5295.375 1



3661.918
1765.875




0 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
Página 7
N
y Axl
F 441.28125
2
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
  
F F 441.28125
N
3
4 4
3
3
2
3 3
2
2
1
2 2
1
1
1 1
 
Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera
N
R
F
F
F
F
F






















441.28125
1
2
3
4
1
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada
por la siguiente ecuación:






1 1 0 0











 

1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
AE
1 l
Ki















0 0 0 0
AE
2 l












0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1







0 0 1 1
AE
3 l
Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad
obtenemos:

8. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple








67500 5 10
675 675 0 0
 
675 1350 675 0
0  675 900 
225



675 675 0 0
675 1350 675 0
Q
5 2

 
0  675 900 
225



1350 675 0
 
675 900 225
Página 8
1 1 0 0









 


 
 

1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
135000 5 10
1000
1
5 x x
Ki












0 0 0 0
0 1 1 0
0 
1 1 0




 

0 0 0 0
500
2
5 x x









0 0 0 0
0 0 0 0
 


 

0 0 1 1




 

0 0 1 1
22500 5 10
500
3
5 x x
Finalmente:
N
mm
K x i














 
0 0 225 225
105
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
  F K Q i i
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
5295.375 R1






 



3661.918
1765.875


441.28125










Q













3
4
0
0 0 225 225
10
Q
x
Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:







3661.918
1765.875



441.28125





Q


Q













2
3
4
5
0 225 225
10
Q
x
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

9. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple

Q 57.52 x 10
mm


Q 
60.79 x 10
mm
Q x mm
Q
5 2

E
0


   
57.52


   
60.79


   
Página 9
5
4
5
3
5
2
62.75 10


Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:



   







Q


  
3
4
0
5295.375 1 10 675 675 0 0
Q
R x
Resolviendo obtenemos:
R 44121 .375 N 1 
6. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:


  




 





1
1 1
i
i
e
e
Q
Q
l

Y obtenemos lo siguiente:
N

  5
1 2
1
5
5 10

1 10 0.2876
57.52
1 1
600
mm
x
x
  



  

 

N

  5
2 2
2
5
5 10

2 10 0.0327
60.79
1 1
400
mm
x
x
  



  

 

N

  5
3 2
3
5
5 10

31 10 0.0196
62.75
1 1
200
mm
x
x
  



  

 

7. RESULTADOS
Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
R 44121 .375 N 1 
N
1 2 0.2876
mm
 
N
2 2 0.0327
mm
 

10. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
N
3 2 0.0196
EA
EA
EA
EA
EA
  
0 0
EA
EA
EA
EA
  
0
EA
1 0 0
EA
EA
EA
0  
0
EA
EA
EA
  
Página 10
mm
 
8. DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
INGRESO DE DATOS
CONSTANTES : E, f, t
VECTORES : L, A, P
CALCULO DE VECTORES
F=























R
AL
2 1
 
 
2 2
3 2
AL AL
 

2 2
2
2
3
1
1


AL
P
AL AL
A ; K=
























EA
EA
3
3
EA
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
0 0
0
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL






















1
AL
2

2 1
 
 
2 2
3 2
AL AL
 

2 2
3
2

AL
P
AL AL
A =























 
EA
EA
3
3
EA
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
0
0 0
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L












R
1
2
3
4
Q
Q
Q

11. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
IMPRESIÓN DE RESULTADOS
1 2 3 4 1 2 3 R ,Q ,Q ,Q ,E ,E ,E
FIN
9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB
Página 11
SCRIPT
clc
clear all
R1=sym('R1');
%datos de entrada
b0=1000 %input('Ingrese base superior(mm):')
bn=0 %input('Ingrese base inferior(mm):')
t=150 %input('Ingrese espesor(mm):')
h=1200 %input('Ingrese altura(mm):')
n=3 %input('Ingrese numero de elementos finitos:')
E=300000 %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):')
y=0.00007845 %input('Ingrese densidad(N/mm3):')
Pa=50000 %input('Ingrese carga(N):')
%calculo de bases y áreas de elementos
le=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1);
Fe=zeros(n+1,1);
bo(1)=b0; ho(1)=h;
for i=1:n
if n>i
le(i)=input('Ingrese longitud del elemento finito(mm):');
b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2;
a(i)=b(i)*t;
ho(i+1)=ho(i)-le(i);
bo(i+1)=2*b(i)-bo(i);
else
le(i)=ho(i);
b(i)=(bn+bo(i))/2;
a(i)=b(i)*t;
end
end
disp('Bases(mm):')
disp(b')
disp('Longitudes(mm):')
disp(le')
disp('Areas(mm^2):')
disp(a')
%calculo de las fuerzas
for i=1:n
Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2;
end

12. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 12
for i=1:n+1
if i==1
F(i)=Fe(i);
elseif i==n+1
F(i)=Fe(i-1);
else
F(i)=Fe(i-1)+Fe(i);
end
end
F(2)=F(2)+Pa;
disp('El vector de fuerzas(N):')
disp(F')
%calculo de la matriz rigidez
k=zeros(n+1);
for i=1:n
x=zeros(n+1);
x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1;
k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x;
end
disp('La matriz de rigidez es(N/mm):')
disp(k)
%calculo de desplazamientos
inv(k(2:n+1,2:n+1));
((F(2:n+1))');
Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))');
Q=[0;Q];
disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):')
disp(Q)
%calculo de la reaccion
k(1,:)*Q;
R1=k(1,:)*Q-F(1);
disp('La reaccion en el extremo es:')
disp(R1)
%calculo de esfuerzos
for i=1:n
e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)];
end
disp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):')
disp(e');

13. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB
Página 13

14. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 14

15. CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 15
CONCLUSIONES
 Podemos apreciar, al utilizar más nodos, que las respuestas no varían enormemente,
solo aumentan la precisión con la cual se presentan.
 Se recomienda utilizar un número moderado de nodos, ya que las operaciones con
matrices se vuelven demasiado engorrosas al ser de orden nxn donde n es el número
de nodos.
 Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de
micras), además todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como
referencia.
 En el ejemplo no desarrollamos todo estrictamente en el SI, nos referimos
específicamente al uso de los metros, debido a las magnitudes de las elongaciones
y esfuerzos; es por ello que se utilizó en el desarrollo milímetros en vez de metros.
 Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro
sistema de referencia.