2BCT-03-Determinantes-Ejercicios_resueltos.pdf

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 1
TEMA 3 – DETERMINANTES
EJERCICIO 1 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:
1
0
5
1
2
2
3
3
1
1
0
2
0
3
2
4
b)
x
1
1
0
1
x
1
1
0
1
x
1
a)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
[ ]=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
2
x
1
x
1
x
1
2
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
1
0
1
x
1
1
0
1
x
1
a)
2
3
3
( )[ ] ( )( ) 1
x
x
3
x
1
x
2
x
x
1
2
x
x
2
1
x
1 2
3
2
2 −
−
+
−
=
−
−
−
=
−
+
−
−
=
( ) =
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
⋅
−
+
2
13
5
1
5
3
3
2
4
1
0
5
1
0
2
13
5
0
1
5
3
0
3
2
4
1
0
5
1
2
2
3
3
1
1
0
2
0
3
2
4
b)
1
4
4
2
3
4
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
( ) ( ) 28
143
115
23
11
13
5
0
23
11
1
5
3
0
13
5
2
2
2
3
2
2
3
1
FILAS
a
a
a
a
a
−
=
+
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
⋅
−
⋅
−
( ) columna.
4
la
por
mos
Desarrolla a
1 ( ) columna.
3
la
por
mos
Desarrolla a
2
EJERCICIO 2 : Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t
para que el determinante sea cero:
1
3
3
1
3
0
4
1
5
2
1
1
4
3
1
2
b)
4
2
0
1
1
1
1
a)
−
−
−
t
t
t
Solución:
a) Calculamos el valor del determinante: ( ) ( ) 4
t
7
t
3
t
t
2
t
2
t
4
4
t
t
t
1
t
2
t
1
4
t
t
4
2
0
t
1
t
1
1
1
2
2
2
2
+
−
=
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
+
=
−
Veamos para que valores de t se anula el determinante:







=
=
=
=
±
=
−
±
=
→
=
+
−
1
6
6
t
3
4
6
8
t
6
1
7
6
48
49
7
t
0
4
t
7
t
3 2
.
1
t
cuando
y
3
4
t
cuando
cero
vale
te
determinan
El =
=
( ) ( ) ( )
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
+
−
⋅
−
3
2
1
4
4
3
4
2
4
2
1
FILAS
4
3
7
4
1
2
6
0
0
4
3
7
4
1
2
2
3
7
1
3
3
1
4
3
7
0
4
1
2
0
2
3
7
0
1
3
3
1
3
0
4
1
5
2
1
1
4
3
1
2
b)
a
a
a
a
a
a
a
( ) 6
7
6
6
3
7
1
2
6 −
=
+
−
−
=
−
−
−
( ) columna.
1
la
por
mos
Desarrolla a
1 ( ) .
3
la
fila
1
la
a
Sumamos a
a
2 ( ) fila.
1
la
por
mos
Desarrolla a
3
EJERCICIO 3 : a) Resuelve la ecuación: 0
3
x
1
2
x
1
3
1
x
=
=
=
= b) Calcula el valor del determinante:
3
0
2
1
2
1
1
3
1
1
3
2
0
1
2
1
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:

a) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:
1
x
1
x
0
1
x
x
1
1
x
1
0
0
2
x
1
3
1
x
3
x
1
2
x
1
3
1
x
2
2
a
a
a
a
2
3
2
1
FILAS
±
=
→
=
→
=
−
=
=
=
−
⇒ 1
x
,
1
x
:
soluciones
dos
Hay 2
1 =
−
=
( ) ( ) ( )
=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
+
3
2
1
4
3
3
2
3
1
FILAS
3
2
1
0
4
0
2
3
4
3
2
1
3
2
1
2
3
4
3
0
2
1
2
1
1
3
3
0
2
1
2
0
3
4
3
0
2
1
2
1
1
3
1
1
3
2
0
1
2
1
b)
a
a
a
a
a
a
( ) 40
10
4
2
12
4
3
1
2
4
4 =
⋅
=
−
=
(1) Desarrollamos por la 3a columna. (2) Sumamos la 3a fila a la 2a. (3) Desarrollamos por la 2a fila.
EJERCICIO 4 : Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:
0
1
2
4
2
0
3
1
1
3
2
0
1
2
1
2
b)
t
t
1
0
t
2
2
2
t
a)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:
( ) 0
2
t
t
t
2
t
t
4
t
2
t
4
t
t
t
1
0
t
2
2
2
t
2
3
3
→
=
−
=
−
=
−
−
+
=



±
=
→
=
→
=
−
=
→
2
t
2
t
0
2
t
0
t
2
2
2
t
;
2
t
;
0
t
:
soluciones
Hay tres 3
2
1 =
−
=
=
( ) =
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
⋅
−
−
1
2
4
4
1
3
5
1
2
0
1
2
4
0
4
1
3
0
5
1
2
1
2
1
2
0
1
2
4
2
0
3
1
1
3
2
0
1
2
1
2
b)
1
4
1
2
3
1
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
( ) 19
8
11
11
8
1
1
11
0
8
1
0
1
5
1
2
=
2
1
2
3
1
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
=
+
=
−
=
−
−
⋅
+
−
( ) columna.
4
la
por
mos
Desarrolla a
1 ( ) columna.
2
la
por
mos
Desarrolla a
2
EJERCICIO 5 : Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):
2
1
1
3
4
1
1
1
1
2
0
1
3
0
1
2
b)
0
1
1
0
a
1
1
1
a
a
a)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
−
Solución:
a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el
resultado: ( ) 1
a
0
1
a
a
1
1
a
1
1
0
a
0
1
1
0
a
1
1
0
a
1
1
1
a
a
2
1
3
1
2
1
COLUMNAS
a
a
a
a
±
=
→
=
−
=
=
−
=
−
−
⇒ 1
a
;
1
a
:
soluciones
dos
Hay 2
1 =
−
=
( ) columna.
2
la
por
mos
Desarrolla a
1
( ) =
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
5
1
5
1
1
1
1
2
1
5
1
0
5
1
1
0
1
1
2
0
1
3
0
1
2
2
1
1
3
4
1
1
1
1
2
0
1
3
0
1
2
b)
1
1
4
1
3
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
( ) 10
5
5
5
5
1
1
5
1
5
1
1
1
0
1
0
2
3
2
2
1
a
a
a
a
−
=
−
−
=
−
=
−
−
−
−

( ) columna.
2
la
por
mos
Desarrolla a
1 ( ) fila.
1
la
por
mos
Desarrolla a
2
EJERCICIO 6 : Desarrolla el siguiente determinante:
0
1
x
x
1
x
0
x
x
0
1
x
x
x
x
x
Solución:
( )
[ ] [ ]
)
x
x
3
x
3
1
(
x
.
x
x
1
x
x
x
x
1
0
x
1
0
x
0
x
x
1
x
x
x
1
0
x
x
1
0
x
x
0
x
x
1
x
0
0
0
x
0
1
x
x
1
x
0
x
x
0
1
x
x
x
x
x
3
2
3
3
3
)
2
(
)
1
(
−
+
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
= =
x.(2x3
– 3x2
+ 3x – 1)
(1) Restamos la 1a columna a las demás. (2) Desarrollamos por la 1a fila.
EJERCICIO 7 : Halla el valor de los siguientes determinantes:
a) b) c)
4
2
3
1
2
1
1
5
2
3
1
2
3
0
2
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
2
1
1
1
1
2
0
3
1
0
2
1
3
2
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0
1
1
2
1
1
3
0
2
2
2
1
1
1
1
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
a)
17
0
5
9
8
4
13
3
2
1
0
0
5
9
2
1
1
5
8
0
4
13
3
0
2
1
4
2
3
1
2
1
1
5
2
3
1
2
3
0
2
1
Filas
)
1
(
3
·
2
4
3
3
·
3
2
1
a
a
a
a
a
a
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
− (1) Desarrollamos por la 3a columna.
b)
38
2
5
1
1
1
2
5
7
4
2
5
1
0
1
1
2
0
5
7
4
0
1
3
2
1
1
2
1
1
1
1
2
0
3
1
0
2
1
3
2
1
Filas
)
1
(
1
4
3
1
·
2
2
1
a
a
a
a
a
a
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
− (1) Desarrollamos por la 1a columna.
c)
( ) 24
24
4
5
5
1
1
3
3
3
5
4
5
5
0
1
1
3
0
2
2
2
1
3
3
5
0
0
1
1
2
1
1
3
0
2
2
2
1
1
1
1
2
Filas
)
1
(
2
·
2
4
3
2
2
·
2
1
a
a
a
a
a
a
=
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
(1) Desarrollamos por la 1a columna.
EJERCICIO 8 : Calcula, en función de x, el valor de este determinante:
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x
1
Da el resultado factorizado.
Solución:
( ) =
+
=
+
+
+
+
=
1
x
x
1
x
1
x
1
x
x
1
1
x
x
x
1
x
3
1
1
x
x
x
3
1
x
1
x
x
3
1
x
x
1
x
3
1
x
x
x
x
3
1
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x
1
)
1
(

( ) ( ) ( ) ( )3
x
1
x
3
1
x
1
0
0
0
x
1
0
0
0
x
1
x
3
1
x
1
0
0
0
0
x
1
0
0
0
0
x
1
0
x
x
x
1
x
3
1
Filas
)
2
(
1
4
1
3
1
2
1
a
a
a
a
a
a
a
−
+
=
−
−
−
+
=
−
−
−
+
=
−
−
−
(1) Sacamos (1  3x) factor común de la 1a columna. (2) Desarrollamos por la 1a columna.
EJERCICIO 9 :Demuestra que: a) (
(
(
( )
)
)
) (
(
(
( )
)
)
) (
(
(
( )
)
)
)
c
d
b
c
a
b
a
d
c
b
a
c
c
b
a
b
b
b
a
a
a
a
a
−
−
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
=
=
=
= b) (
(
(
( )
)
)
)3
c
b
a
b
a
c
c
2
c
2
b
2
a
c
b
b
2
a
2
a
2
c
b
a
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
a)
( ) ( ) ( )
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
3
2
1
a
d
a
c
a
b
a
c
a
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
d
a
c
a
b
0
a
c
a
c
a
b
0
a
b
a
b
a
b
0
a
a
a
a
d
c
b
a
c
c
b
a
b
b
b
a
a
a
a
a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
c
d
b
c
a
-
b
a
c
d
0
0
b
c
b
c
0
a
b
a
b
1
a
b
a
a
d
a
c
1
a
c
a
c
1
a
b
a
b
1
a
b
a
5
4
3
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
=
( ) tres.
otras
las
a
fila
1
la
Restamos a
1 ( ) columna.
1
la
por
mos
Desarrolla
2 a
( ) ( ) común.
factor
a
b
Sacamos
3 −
( ) .
1
la
2
la
a
y
2
la
fila
3
la
a
Restamos a
a
a
a
4 ( ) r.
triangula
matriz
una
de
te
determinan
el
Es
5
b)
( ) =
b
a
c
c
2
c
2
b
2
a
c
b
b
2
c
b
a
c
b
a
c
b
a
b
a
c
c
2
c
2
b
2
a
c
b
b
2
a
2
a
2
c
b
a
1
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
−
−
( )( ) ( ) ( )
=
−
−
−
−
−
−
+
+
=
−
−
−
−
+
+
=
−
−
3
1
3
1
2
1
2
COLUMNAS
c
b
a
0
c
2
0
c
b
a
b
2
0
0
1
c
b
a
b
a
c
c
2
c
2
b
2
a
c
b
b
2
1
1
1
c
b
a
a
a
a
a
a
( )( )( )( ) ( )3
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
3
+
+
=
−
−
−
−
−
−
+
+
=
( ) dos.
otras
las
fila
1
la
a
Sumamos a
1 ( ) ( ) común.
factor
c
b
a
Sacamos
2 +
+ ( ) r.
triangula
matriz
una
de
te
determinan
el
Es
3
EJERCICIO 10 : Calcula el valor de este determinante:
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
Solución:
( ) ( )( ) =
+
=
+
+
+
+
=
x
a
a
1
a
x
a
1
a
a
x
1
a
a
a
1
a
3
x
x
a
a
a
3
x
a
x
a
a
3
x
a
a
x
a
3
x
a
a
a
a
3
x
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
2
1
( ) ( ) ( )3
a
x
a
3
x
a
x
0
0
0
0
a
x
0
0
0
0
a
x
0
a
a
a
1
a
3
x
a
a
a
a
a
a
a
1
4
1
3
1
2
1
FILAS
−
⋅
+
=
−
−
−
+
−
−
−
( ) tres.
otras
las
columna
1
la
a
Sumamos a
1 ( ) ( ) común.
factor
a
3
x
Sacamos
2 + ( ) r.
triangula
matriz
una
de
te
determinan
el
Es
3
EJERCICIO 11 : Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:
a
1
0
1
1
a
1
0
0
1
a
1
1
0
1
a

Solución:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
=
−
−
−
−
+
=
+
=
+
+
+
+
=
4
3
2
1
1
a
1
1
1
0
a
0
1
1
1
1
a
1
0
0
0
1
2
a
a
1
0
1
1
a
1
1
0
1
a
1
1
0
1
1
2
a
a
1
0
2
a
1
a
1
2
a
0
1
a
2
a
1
0
1
2
a
a
1
0
1
1
a
1
0
0
1
a
1
1
0
1
a
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )=
−
+
=
−
−
+
=
−
−
−
−
+
=
−
−
−
−
+
= a
2
a
a
2
a
1
1
a
a
2
a
1
a
1
1
1
a
a
2
a
1
a
1
1
0
a
0
1
1
1
a
2
a 2
2
5
4
( ) ( ) ( )( )
2
a
2
a
a
2
a
a
2
a 2
2 −
+
=
−
+
( ) demás.
las
columna
1
la
a
Sumamos a
1 ( ) ( ) común.
factor
2
a
Sacamos
2 + ( ) .
4
la
a
y
2
la
a
columna
1
la
Restamos a
a
a
3
( ) fila.
1
la
por
mos
Desarrolla a
4 ( ) fila.
2
la
por
mos
Desarrolla a
5
EJERCICIO 12 : Halla en función de a, el valor de este determinante:
a
1
1
0
0
a
1
1
1
1
a
1
1
1
a
a
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
( ) ( ) =
−
−
−
−
−
+
−
=
−
−
+
−
−
−
+
=
−
−
−
−
−
a
1
1
0
a
1
1
1
a
1
a
a
1
1
0
0
a
1
1
0
0
0
1
a
1
1
a
a
a
1
1
0
0
a
1
1
1
1
a
1
1
1
a
a
1
4
3
1
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
( )( ) ( )( ) ( )( )
1
a
1
a
a
a
1
a
1
a
a
1
1
0
a
1
1
1
a
1
a 3
3
2
−
+
=
−
+
−
+
=
−
−
+
=
( ) fila.
2
la
por
mos
Desarrolla a
1 ( ) común.
factor
1
Sacamos
2 −
EJERCICIO 13 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
r
q
p
c
b
a
z
y
x
3
r
3
c
3
z
3
q
3
b
3
y
3
p
3
a
3
x
3
b)
r
q
p
r
2
c
q
2
b
p
2
a
z
2
y
2
x
2
r
q
p
c
b
a
z
y
x
a)
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
Solución:
r
q
p
c
b
a
z
y
x
r
q
p
c
b
a
z
y
x
2
1
2
r
q
p
2
c
2
b
2
a
z
2
y
2
x
2
r
q
p
r
2
c
q
2
b
p
2
a
z
2
y
2
x
2
a)
a
a
a
a
3
3
2
1
FILAS
=
⋅
=
−
=
+
+
+
Por tanto, es verdadera la igualdad.
b) Falsa, ya que:
r
q
p
c
b
a
z
y
x
3
r
q
p
c
b
a
z
y
x
3
r
c
z
q
b
y
p
a
x
3
r
3
c
3
z
3
q
3
b
3
y
3
p
3
a
3
x
3
3
3
≠
=
=
EJERCICIO 14 :
a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:
d
c
b
a
d
c
b
a
;
d
c
b
a
d
c
b
a
;
d
c
b
a
d
c
b
a 2
2 α
α
α
α
=
=
=
=
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
=
=
=
=
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
=
=
=
=
α
α
α
α
α
α
α
α
:
tes
determinan
siguientes
los
de
valor
el
calcula
,
3
d
c
b
a
Si
b) =
=
=
=
d
d
2
c
2
b
b
2
a
2
;
d
b
c
a
+
+
+
+
+
+
+
+
Solución:
( ) VERDADERA
d
c
b
a
bc
ad
bc
ad
d
c
b
a
a)
→
α
=
−
α
=
α
−
α
=
α
α

( ) FALSA
bc
ad
d
c
b
a
bc
ad
d
c
b
a 2
2
2
→
−
α
=
α
≠
−
α
=
α
α
( ) VERDADERA
d
c
b
a
bc
ad
bc
ad
d
c
b
a 2
2
2
2
→
α
=
−
α
=
α
−
α
=
α
α
α
α
3
d
c
b
a
d
b
c
a
b)
=
=
( ) 6
3
2
0
d
c
b
a
2
d
d
2
b
b
2
d
c
2
b
a
2
d
d
2
c
2
b
b
2
a
2 1
=
⋅
=
+
=
+
=
+
+
( ) ales.
proporcion
columnas
dos
las
por tener
0
es
te
determinan
segundo
El
1
EJERCICIO 15 : Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:
0
a
a
1
a
a
1
a
a
1
b)
2
c
2
b
2
a
z
2
y
2
x
2
1
1
1
c
b
a
z
y
x
2
2
2
a)
4
3
3
2
2
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
Solución:
.
1
la
sumado
hemos
le
3
la
A
.
2
1
por
2
la
y
2
por
do
multiplica
hemos
la
fila
1
La
a) a
a
a
a
Por tanto: cierta.
es
igualdad
La
.
2
c
2
b
2
a
z
2
y
2
x
2
1
1
1
2
2
1
c
b
a
z
y
x
2
2
2
+
+
+
⋅
=
b) Observamos que la 2a y la 3a columna son proporcionales, puesto que la 3a la obtenemos multiplicando la 2a por a. Por tanto, el
determinante es cero. La igualdad es cierta.
EJERCICIO 16 :
do
justifican
calcula,
,
4
B
y
2
A
que
tales
2,
2
matrices
dos
son
B
y
A
Si
a) −
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
×
×
×
× la respuesta:
1
2
2 −
− A
;
A
B
;
AB
;
A
;
A
;
A t
t
(((( ))))
B
matriz
la
de
traspuesta
la
representa
Bt
.
d
d
c
2
b
b
a
2
calcula
,
2
d
c
b
a
Si
b)
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
Solución
a) Vamos a tener en cuenta estas tres igualdades:
Consideramos A y B dos matrices 2×2. A
A
k
A
k
B
A
B
A =
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅ t
2
A
3)
;
2)
;
)
1
Por tanto:
4
22
2
2
=
=
=
⋅
=
⋅
=
• A
A
A
A
A
A
( ) ( ) 2
1
1
1
2
=
=
⋅
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
• A
A
A
A
A
8
2
4
4
2
2 2
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
• A
A
A
( ) 8
4
2 −
=
−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
• B
A
B
A
B
A t
t
( ) 8
2
4 −
=
⋅
−
=
⋅
=
⋅
=
⋅
• A
B
A
B
A
B t
t
,
A
existe
que
y
;
I
A
A
que
cuenta
en
tener
a
vamos
,
A
hallar
Para 1
1
1 −
−
−
=
⋅
• :
Así
.
0
2
A
que
puesto ≠
=
2
1
A
1
A
1
A
A
I
=
A
A 1
1
1
=
=
→
=
⋅
→
⋅ −
−
−
b) Sumamos a la 1ª columna la 2ª y sacamos 2 y (–1) factor común: ( ) ( ) ( ) 4
2
2
d
c
b
a
2
d
c
2
b
a
2
=
d
d
c
2
b
b
a
2
=
−
⋅
−
=
⋅
−
=
−
−
−
+
−
+
EJERCICIO 17 : :
tes
determinan
siguientes
los
de
valor
el
halla
,
4
r
q
p
z
y
x
c
b
a
que
Sabiendo =
=
=
=

z
r
3
z
c
y
q
3
y
b
x
p
3
x
a
b)
z
y
x
r
2
q
2
p
2
c
z
b
y
a
x
a)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
( ) :
común
factor
2
sacamos
y
3
la
fila
1
la
a
Restando
a) a
a
−
( )
=
−
=
−
−
−
=
−
−
−
*
z
y
x
r
q
p
c
b
a
2
z
y
x
r
2
q
2
p
2
c
b
a
z
y
x
r
2
q
2
p
2
c
z
b
y
a
x
( ) ( ) 8
4
2
r
q
p
z
y
x
c
b
a
1
2 =
⋅
=
−
⋅
−
( ) signo.
de
cambia
te
determinan
el
orden,
de
filas
3
y
2
la
permutar
Al a
a
*
:
común
factor
3
sacamos
y
,
2
la
columna
3
la
a
Restamos
b) a
a
( ) 12
4
3
r
q
p
z
y
x
c
b
a
3
r
z
c
q
y
b
p
x
a
3
r
3
z
c
q
3
y
b
p
3
x
a
z
r
3
z
c
y
q
3
y
b
x
p
3
x
a
* =
⋅
=
=
=
=
+
+
+
( ) el
con
coincide
matriz
una
de
te
determinan
el
que
cuenta
en
Tenemos
* de su traspuesta.
EJERCICIO 18 : Calcula el rango de las matrices:
a)








































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
4
2
1
1
2
3
1
1
3
1
0
1
3
2
4
3
1
2
A b)
























































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
1
1
4
3
3
0
1
0
2
3
2
1
0
2
1
1
M c)
























































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
1
1
1
4
1
3
0
3
1
0
1
1
1
2
1
3
2
3
1
2
M
d)
























































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
3
7
7
0
7
11
12
1
1
3
2
1
5
1
3
2
A e)
























































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
2
3
5
5
1
4
3
0
2
1
1
1
2
1
3
2
M
Solución:
a) 0
1
0
1
1
2
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
=
−
Por tanto, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras líneas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
ntes.
independie
nte
linealmeme
son
filas
tres
Las
0
14
1
2
3
1
3
0
1
1
2
→
≠
=
−
−
Luego, ran (A) = 3.
b)














−
−
−
=
1
1
3
0
4
3
1
0
2
3
0
2
2
1
1
1
M
Tomamos un menor no nulo de orden 2: ( ) 2
ran
0
4
2
3
0
2
≥
→
≠
= M Las dos primeras filas son linealmente independientes.
:
primeras
dos
las
de
e
linealment
depende
fila
3
la
si
Veamos a
( ) 3
M
ran
ntes
independie
e
linealment
son
filas
primeras
tres
Las
0
15
3
1
2
1
3
3
0
0
2
3
0
2
1
1
≥
→
→
≠
=
−
=
−
Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:
( ) ( ) 0
15
13
1
3
4
3
1
3
2
1
1
13
1
4
3
0
0
1
0
4
3
2
1
3
2
1
1
1
1
4
3
3
0
1
0
2
3
2
1
0
2
1
1
M
2
1
≠
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=

( ) 3.
por
da
multiplica
2
la
columna,
4
la
a
Restamos a
a
1 ( ) fila.
3
la
por
mos
Desarrolla a
2
Por tanto, ran (M) = 4
c)
.
3
la
que
igual
es
5
la
que
y
1
la
con
coincide
columna
4
la
que
Observamos a
a
a
a
Por tanto, podemos prescindir de las dos últimas columnas para calcular el rango de M. Así, ran (M) ≤ 3.
0
3
2
1
1
2
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
=
−
−
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
:
primeras
dos
las
de
e
linealment
depende
fila
3
la
si
Veamos a
( ) 3
M
ran
0
14
3
1
0
1
2
1
3
1
2
=
→
≠
=
−
−
−
d) 0
7
2
1
3
2
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
−
=
−
Luego, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
( )
a
a
a
3
la
obtenemos
,
2
la
menos
columna
1
la
restamos
si
pues,
0
11
12
1
3
1
2
1
3
2
=
−
−
−
primeras.
dos
las
de
lineal
n
combinació
es
fila
3
la
Así,
.
0
7
12
1
1
2
1
5
3
2
a
=
−
Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:
primeras.
dos
las
de
depende
fila
cuarta
la
También
.
0
3
7
0
1
2
1
5
3
2
;
0
7
7
0
3
2
1
1
3
2
=
−
=
−
−
−
Por tanto, ran (A) = 2.
e) 0
5
1
1
3
2
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
=
−
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
( ) 3
M
ran
ntes
independie
e
linealment
son
filas
primeras
tres
Las
0
17
4
3
0
1
1
1
1
3
2
≥
→
→
≠
=
−
−
Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:
0
12
2
10
1
4
3
6
1
5
12
2
10
5
1
4
3
0
0
0
0
1
6
1
5
2
2
3
5
5
1
4
3
0
2
1
1
1
2
1
3
2
M
a
a
a
a
a
a
a
1
2
4
1
3
1
2
1
COLUMNAS
=
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
⋅
+
+
+
Por tanto, ran (M) = 3.

EJERCICIO 19 : Estudia el rango de las siguientes matrices para los distintos valores de los parámetros:
a)












=
a
a
a
a
M
5
2
2
1
2
1
0
3
1
b)












−
−
=
2
3
1
0
4
0
2
4
0
1
t
t
M c)












λ
λ
+
λ
=
0
2
0
2
0
0
1
1
1
1
A
d)












−
−
=
2
3
3
8
1
2
3
1
1
3
2
1
t
t
M e)












−
−
=
0
1
4
0
3
0
0
1
0
1
a
a
A
Solución:
a) 0
3
1
2
0
3
:
cero
de
distinto
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
=
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a.
Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:
( ) →
=
+
−
→
=
+
−
=
+
−
=
−
−
+
= 0
3
a
4
a
0
3
a
4
a
2
6
a
8
a
2
a
3
a
5
6
a
2
a
5
1
2
0
3
2
1
a
2
2
2
2



=
=
±
=
−
±
=
1
a
3
a
2
2
4
2
12
16
4
a
:
columna
2
la
con
ocurre
que
Veamos
últimas.
dos
las
de
e
linealment
depende
columna
1
la
que
Sabemos
1
a
Si
a
a
→
=
•
últimas.
dos
las
de
e
linealment
depende
columna
2
La
0
1
5
1
2
0
3
2
1
1
a
→
=
:
columna
2
la
con
ocurre
que
Veamos
últimas.
dos
las
de
e
linealment
depende
columna
1
la
que
Sabemos
3
a
Si
a
a
→
=
•
( ) 3
M
ran
Por tanto,
.
0
8
3
5
1
2
0
3
6
3
1
=
≠
=
b)
rango.
el
obtener
para
ella
de
prescindir
podemos
Luego,
.
1
la
de
doble
el
es
columna
4
la
que
Observamos a
a
0
4
4
0
4
1
:
cero
de
distinto
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
= Así, ran (M) ≥ 2.
Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:



−
=
=
±
−
=
+
±
−
=
→
=
−
+
=
−
6
t
2
t
2
8
4
2
48
16
4
t
0
12
t
4
t
t
3
1
4
t
0
4
0
1
2
( ) 3
M
ran
6
t
y
2
t
Si =
→
−
≠
≠
•
.
3
y
1
la
de
e
linealment
depende
columna
2
La
6
t
o
2
t
Si a
a
a
→
−
=
=
•
c)












λ
λ
+
λ
=
0
2
0
2
0
0
1
1
1
1
A
0
2
2
0
1
1
:
cero
de
distinto
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
= Luego, ran (A) ≥ 2.

Buscamos los valores de λ que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:
( )
[ ] [ ]=
λ
−
λ
−
−
=
+
λ
λ
−
−
=
λ
+
λ
−
=
λ
+
λ
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
0
2
2
0
0
1
1
1
[ ] 


−
=
λ
=
λ
±
−
=
+
±
−
=
λ
→
=
−
λ
+
λ
⋅
=
2
1
2
3
1
2
8
1
1
0
2
2 2
( ) 3
ran
2
y
1
Si =
→
−
≠
λ
≠
λ
• A
:
columna
1
la
con
ocurre
qué
Veamos
.
4
y
2
la
de
e
linealment
depende
columna
3
La
1
Si a
a
a
a
→
=
λ
•
( ) 3
A
ran
0
1
0
1
0
2
0
1
1
1
1
=
→
≠
−
=
:
columna
1
la
con
ocurre
qué
Veamos
.
4
y
2
la
de
e
linealment
depende
columna
3
La
2
Si a
a
a
a
→
−
=
λ
•
( ) 3
A
ran
0
8
0
2
0
2
0
2
1
1
1
=
→
≠
=
−
−
Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de λ.
d)
( ) rango.
el
calcular
para
ella
de
prescindir
podemos
por tanto,
;
su triple
es
1
la
a
al
proporcion
es
columna
3
la
que
Observamos a
a
0
1
2
1
1
1
:
cero
de
distinto
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
= Luego, ran (M) ≥ 2.
Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:
( ) .
t
de
valor
cualquier
para
0
4
t
3
8
2
t
4
t
3
8
t
2
2
t
3
8
1
2
t
1
1
2
1
=
+
−
−
−
+
−
+
−
=
−
−
.
de
valor
cualquier
para
primeras
dos
las
de
linelmente
depende
fila
3
la
tanto,
Por a
t Así, ran (M) = 2.
e) rango.
el
en
influye
no
pues
columna,
3
la
de
prescindir
Podemos a
0
1
1
4
0
1
:
cero
de
distinto
2
orden
de
menor
un
Tomemos ≠
= Luego, ran (A) ≥ 2.
Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:



−
=
−
=
±
−
=
−
±
−
=
→
=
+
+
=
−
−
3
a
1
a
2
2
4
2
12
16
4
a
0
3
a
4
a
a
1
4
3
a
0
1
0
1
2
( ) 3
A
ran
3
a
y
1
a
Si =
→
−
≠
−
≠
•
→
→
−
=
−
=
• dos
otras
las
de
e
linealment
depende
fila
2
La
3
a
o
1
a
Si a
ran (A) = 2
EJERCICIO 20 : matriz
la
I
siendo
,
I
A
2
A
que
comprueba
,
1
4
4
1
1
2
2
4
5
A
matriz
la
Dada 2
−
−
−
−
=
=
=
=








































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
= identidad. Usando la
fórmula anterior, calcula A4.
Solución:
Comprobamos que A2 = 2A - I

iguales.
Son
3
8
8
2
3
4
4
8
9
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
8
8
2
2
4
4
8
10
I
A
2
3
8
8
2
3
4
4
8
9
1
4
4
1
1
2
2
4
5
1
4
4
1
1
2
2
4
5
A2























−
−
−
−
=










−










−
−
−
−
=
−










−
−
−
−
=










−
−
−










−
−
−
−
=
Utilizando que A2 = 2A - I, calculamos A4:A4 = (A2)2 = (2A – I)2
= 4A2
– 4A + I = 4(2A – I) – 4A + I = 4A – 3I
Por tanto: =










−










−
−
−
−
=










−










−
−
−
−
=
−
=
3
0
0
0
3
0
0
0
3
4
16
16
4
4
8
8
16
20
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
1
4
4
1
1
2
2
4
5
4
I
3
A
4
A4










−
−
−
−
7
16
16
4
7
8
8
16
17
EJERCICIO 21 :
a) Calcula el rango de la siguiente matriz:








































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
1
1
1
0
2
1
1
2
2
1
1
3
A
b) ¿Cuántas filas hay en la matriz A que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta.
Solución:
0
5
1
2
1
3
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos
a) ≠
=
−
Luego ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 0
5
1
1
0
2
2
1
2
1
3
;
0
1
1
0
1
1
1
2
1
3
≠
=
−
−
−
=
−
−
Por tanto, ran (A) = 3.
b) Como ran (A) = 3, las tres filas de A son linealmente independientes.
EJERCICIO 22 : Halla el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:








































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
0
6
3
0
1
3
2
1
2
0
1
2
m
Solución:
0
3
2
1
1
2
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos ≠
−
=
−
−
Luego ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
0
3
0
1
2
2
1
1
2
;
0
6
3
0
3
0
2
1
1
2
=
−
−
=
−
−
−
La tercera fila depende linealmente de las dos primeras. Por tanto, ran (M) 2.
Así, el número de columnas de M linealmente independientes es 2.
EJERCICIO 23 :
a) Averigua el rango de la matriz:
























































−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
1
1
0
8
3
1
2
1
2
4
5
3
M
b) ¿Cuál es el número de columnas linealmente independientes en la matriz M? Justifica tu respuesta.
Solución:

0
7
1
2
5
3
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos
a) ≠
−
=
−
−
primeras.
dos
las
de
e
linealment
depende
fila
3
La
0
8
3
1
2
4
1
2
5
3
a
=
−
−
Veamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras: 0
7
1
1
0
2
4
1
2
5
3
≠
=
−
−
b) Como ran (M) = 3, las tres columnas de M son linealmente independientes.
EJERCICIO 24 :
a) Halla el rango de la siguiente matriz:








































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
3
2
1
1
1
2
1
3
1
2
0
2
A
b) Averigua el número de columnas de A que son linealmente independientes.
Solución:
0
2
1
3
0
2
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos
a) ≠
−
=
−
Luego ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
3
1
1
1
1
1
3
0
2
;
0
2
1
1
2
2
1
3
0
2
=
−
−
−
=
−
−
−
−
b) Como ran (A) = 2, hay dos columnas de A linealmente independientes.
EJERCICIO 25 :
a) Obtén el rango de la siguiente matriz:
























































−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
3
2
0
1
1
2
0
1
3
2
0
2
M
b) ¿Cuántas columnas hay en la matriz M que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta.
Solución:
0
2
1
3
0
2
:
nulo
no
2
orden
de
menor
un
Tomamos
a) ≠
−
=
−
primeras.
dos
las
de
e
linealment
depende
fila
3
La
.
0
1
1
2
0
2
1
3
0
2
a
=
−
−
−
Veamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras: ( ) .
3
M
ran
Por tanto,
.
0
18
3
2
0
0
2
1
3
0
2
=
≠
−
=
−
−
b) Como ran (M) = 3, las tres columnas de M son linealmente independientes.

EJERCICIO 26 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:
a)
2
1
1
0
1
2
3
2
1
1
0
1
2
0
4
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
b)
3
4
0
1
0
1
2
1
1
3
2
0
1
1
1
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
c)
1
0
2
2
2
1
1
3
2
1
0
2
1
2
1
3
−
−
−
−
−
d)
1
2
1
0
2
1
3
1
4
2
1
1
3
0
1
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
e)
2
1
1
0
1
3
2
1
1
1
1
2
3
0
2
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
a) ( ) 6
2
1
1
3
2
1
4
2
4
2
1
1
0
3
2
1
0
1
1
0
1
4
2
4
0
2
1
1
0
1
2
3
2
1
1
0
1
2
0
4
2
1
4
1
3
2
2
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
+
⋅
−
( ) columna.
1
la
por
mos
Desarrolla a
1
b) ( ) 4
3
5
2
1
3
2
7
9
1
3
4
0
1
3
5
2
0
1
3
2
0
7
9
1
0
3
4
0
1
0
1
2
1
1
3
2
0
1
1
1
2
1
4
4
3
2
4
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
⋅
+
( ) columna
1
la
por
mos
Desarrolla a
1
c) ( )
6
3
4
4
1
3
0
2
1
2
3
4
0
4
1
3
0
0
2
1
0
2
1
2
1
3
1
0
2
2
2
1
1
3
2
1
0
2
1
2
1
3
1
1
2
4
1
3
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
⋅
+
+
( ) columna.
2
la
por
mos
Desarrolla a
1
d) ( ) ( ) 30
30
1
1
2
1
2
3
4
5
4
1
1
1
2
1
0
2
3
4
0
4
2
1
1
5
4
1
0
1
2
1
0
2
1
3
1
4
2
1
1
3
0
1
2
1
4
2
3
2
2
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
=
−
⋅
−
=
−
−
−
−
⋅
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
⋅
−
( ) columna
1
la
por
mos
Desarrolla a
1
e)
( )
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
⋅
+ 1
4
1
3
1
2
2
1
2
1
1
0
2
3
4
0
7
1
5
0
3
0
2
1
2
1
1
0
1
3
2
1
1
1
1
2
3
0
2
1
a
a
a
a
a
a
( )
( ) ( ) 15
15
1
2
1
1
2
3
4
7
1
5
1
1
=
−
⋅
−
=
−
−
−
⋅
−
= ( ) columna.
1
la
por
mos
Desarrolla a
1
EJERCICIO 27 : Halla, en función del parámetro, el valor de estos determinantes:
a)
2
2
2
a
0
1
1
a
2
2
a
2
1
a
1
a
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
b)
x
x
x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
Solución:
a) ( ) ( )
( ) =
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2
a
0
1
1
a
2
2
1
a
1
1
1
a
a
0
1
1
a
2
1
a
2
1
a
1
a
1
a
0
1
1
a
2
2
a
2
1
a
1
a
1
1

( ) ( )
( ) ( )( ) ( )2
2
2
2
2
2
2
2 1
a
1
a
1
a
a
a
1
1
a
1
1
a
a
a
1
0
1
a
1
0
a
1
1
1
a
2
1
3
1
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
( ) ( ) columna.
2
la
de
común
factor
1
a
Sacamos a
2
1 − ( ) columna.
1
la
por
mos
Desarrolla a
2
b)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
=
+
−
+
=
−
−
−
+
=
+
−
−
−
=
−
−
−
−
−
− 2
1
2
1
1
x
0
0
1
x
1
1
1
1
1
x
x
1
1
1
x
1
1
1
1
1
x
1
x
0
0
0
1
x
1
1
1
1
x
1
1
1
1
1
x
1
1
1
1
x
1
1
1
1
x
1
1
1
1
1
( )( ) ( ) ( ) ( )3
2
2 1
x
1
x
1
x
x
1
1
1
1
x
2
+
=
+
+
=
−
+
=
(1) Sumamos a al última fila la primera. (2) Desarrollamos por la última fila
EJERCICIO 28 : Resuelve la siguiente ecuación (operando en el determinante antes de desarrollarlo):
0
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x
1
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución: :
tres
otras
las
columna
1
la
a
Sumamos
a
( )
( ) =
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
1
x
x
1
x
1
x
1
x
x
1
1
x
x
x
1
1
x
3
1
x
x
1
x
3
x
1
x
1
x
3
x
x
1
1
x
3
x
x
x
1
x
3
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x
1
x
x
x
x
1
1
( )
( )
( )( ) 0
x
1
1
x
3
x
1
0
0
0
0
x
1
0
0
0
0
x
1
0
x
x
x
1
1
x
3 3
2
1
4
1
3
1
2
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
a
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
( ) ( ) columna.
1
la
de
común
factor
1
x
3
Sacamos a
1 − (2) Es el determinante de una matriz triangular.
( )( )
( )





−
=
→
=
−
−
→
=
−
−
=
→
=
→
=
−
→
=
−
−
−
1
x
0
x
1
0
x
1
3
1
x
1
x
3
0
1
x
3
0
x
1
1
x
3
3
3
La ecuación tiene dos soluciones: 1
x
;
3
1
x 2
1 −
=
=
EJERCICIO 29 : Desarrolla el siguiente determinante:
2
x
1
1
1
1
2
x
1
1
1
1
2
x
1
1
1
1
2
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Solución: Sumamos a la primera columna las otras tres:
( )
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
1
2
x
1
1
5
x
1
2
x
1
5
x
1
1
2
x
5
x
1
1
1
5
x
2
x
1
1
1
1
2
x
1
1
1
1
2
x
1
1
1
1
2
x
( )
( ) ( )
( )
( )( )3
1
x
5
x
1
x
0
0
0
0
1
x
0
0
0
0
1
x
0
1
1
1
1
5
x
2
x
1
1
1
1
2
x
1
1
1
1
2
x
1
1
1
1
1
5
x
2
1
4
1
3
1
2
1
1
FILAS
a
a
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
−
−
−

( ) ( ) columna.
1
la
de
común
factor
5
x
Sacamos a
1 + (2) Es el determinante de una matriz triangular.
EJERCICIO 30 : Resuelve la siguiente ecuación: 0
c
a
x
a
c
b
c
b
x
c
b
a
b
a
x
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
( ) =
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
c
a
x
a
x
b
c
b
x
x
b
a
x
c
a
x
a
c
b
c
b
x
c
b
a
b
a
x
1
( ) 0
c
b
a
x
x
c
b
a
x
0
0
0
c
b
a
x
0
b
a
x
2
a
a
a
a
a
1
3
1
2
1
FILAS
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
(1) A la primera columna le sumamos las otras dos.
( )



+
+
=
→
=
−
−
−
=
→
=
−
−
−
c
b
a
x
0
c
b
a
x
0
x
0
c
b
a
x
x 2
Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones: c
b
a
x
;
0
x 2
1 +
+
=
=
EJERCICIO 31 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
0
c
z
2
b
y
2
a
x
2
c
b
a
z
y
x
b)
q
y
c
p
x
b
2
2
2
2
a
q
p
a
y
x
a
c
b
a
a)
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
Solución:
( ) ( )
q
y
c
p
x
b
2
2
2
2
a
q
y
c
p
x
b
1
1
1
a
q
p
1
y
x
1
c
b
1
a
q
p
a
y
x
a
c
b
a
a)
2
1
=
=
=
Por tanto, la igualdad es cierta.
( ) columna.
1
la
de
común
factor
a
Sacamos a
1 (2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
( ).
2
1
2
es
primera
dos
las
de
lineal
n
combinació
es
fila
3
La
b) a
a
a
−
⋅
Por tanto, el determinante es cero. La igualdad es cierta.
EJERCICIO 32 : :
tes
determinan
siguientes
los
de
valor
el
halla
,
2
r
q
p
c
b
a
z
y
x
que
Sabiendo =
=
=
=
r
q
2
r
q
p
c
b
2
c
b
a
z
y
2
z
y
x
b)
r
q
p
c
2
b
2
a
2
z
c
y
b
x
a
a)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
( ) =
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
r
q
p
c
b
a
z
y
x
2
r
q
p
c
b
a
z
c
y
b
x
a
2
r
q
p
c
2
b
2
a
2
z
c
y
b
x
a
a)
* 4
2
2
r
q
p
c
b
a
z
y
x
2 −
=
⋅
−
=
−
=
( ) .
2
la
fila
1
la
a
restado
Hemos a
a
*
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
r
q
2
r
c
b
2
c
z
y
2
z
r
q
2
q
c
b
2
b
z
y
2
y
r
q
2
p
c
b
2
a
z
y
2
x
r
q
2
r
q
p
c
b
2
c
b
a
z
y
2
z
y
x
b)
( ) 4
2
2
0
0
r
q
p
c
b
a
z
y
x
2
* =
⋅
=
+
+
=
( ) ( )
( ).
3
y
1
iguales
columnas
dos
por tener
cero
es
te
determinan
tercer
El
ales.
proporcion
2
la
y
1
la
columnas
dos
por tener
0
es
te
determinan
2
El
a
a
a
a
o
*

EJERCICIO 33 :
a) Justifica, sin desarrollar el determinante, que
4
35
3
4
4
20
3
1
12 −
−
−
−
es múltiplo de 7.
b) Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es cero:
2
/
z
3
z
2
2
/
y
2
y
2
2
/
x
1
x
2
;
t
z
y
x
3
0
5
2
2
t
3
z
1
y
2
x
2
3
1
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
:
dos
otras
las
columna
1
la
a
Sumamos
a)
a
4
35
6
4
4
4
3
1
2
7
4
35
6
7
4
4
4
7
3
1
2
7
4
35
42
4
4
28
3
1
14
4
35
3
4
4
20
3
1
12 −
=
⋅
⋅
−
⋅
=
−
=
−
Por tanto, el determinante es múltiplo de 7.
b) Primer determinante → La 2a es combinación lineal de la 4a y la 1a (es igual a la 4a menos la 1a). Por tanto, el determinante es
cero.
Segundo determinante → La 1a y la 3a columna son proporcionales (la 1a es 4 veces la 3a). Por tanto, el determinante es cero.
EJERCICIO 34 : Indica, razonando tu respuesta, si son ciertas o no las siguientes igualdades:
q
p
z
2
y
2
q
p
y
x
q
p
z
2
y
y
2
x
a)
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
z
2
r
2
c
2
y
2
q
2
b
2
x
2
p
2
a
2
8
z
y
x
r
q
p
c
b
a
b)
=
=
=
=
Solución:
( ) ( ) =
−
−
+
=
+
−
+
=
+
+
pz
2
py
qy
2
qx
z
2
y
p
y
2
x
q
q
p
z
2
y
y
2
x
a)
( ) ( )
q
p
z
2
y
2
q
p
y
x
pz
2
qy
2
py
qx +
=
−
+
−
=
Por tanto, la igualdad es verdadera.
b) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Además, si multiplicamos una fila (o una columna) por un número,
el determinante queda multiplicado por ese número. Por tanto:
z
y
x
r
q
p
c
b
a
64
z
r
c
y
q
b
x
p
a
8
8
z
2
r
2
c
2
y
2
q
2
b
2
x
2
p
2
a
2
8 =
⋅
=
Por tanto, la igualdad es falsa.
EJERCICIO 35 : Sabiendo que A y B son dos matrices de orden 2 tales que |A| = - 2 y |B| = 4, calcula, justificando la
respuesta: A
3
;
B
A
;
B
;
A
;
AB 1
1
t
t −
−
−
−
−
−
−
−
Solución:
Tendremos en cuenta que:
B
A
AB
)
1 ⋅
= A
A
)
2 t
=
A
1
A
1
A
A
A
A
I
A
A
)
3 1
1
1
1
=
→
=
⋅
=
⋅
→
=
⋅ −
−
−
− ( ).
A
existe
si
decir,
es
;
0
A
si 1
−
≠








=








=
22
21
12
11
22
21
12
11
a
3
a
3
a
3
a
3
A
3
entonces
,
a
a
a
a
A
Si
)
4
Por tanto:
8
4
2
B
A
B
A
AB t
t
−
=
⋅
−
=
=
= 2
A
At
−
=
=
4
1
B
1
B 1
=
=
−
2
4
2
1
B
A
1
B
A
B
A 1
1
−
=
⋅
−
=
=
= −
− ( ) 18
2
9
A
9
A
3
A
3 2
−
=
−
⋅
=
=
=

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