Este documento introduce el concepto de límite matemático y provee ejemplos para ilustrar cómo calcular límites. Define formalmente el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica cómo analizar formas indeterminadas y aplicar identidades para evaluar límites. Finalmente, analiza la continuidad de funciones en su dominio.

1. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
40
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
1
III LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.1. LÍMITES
3.1.1 CONCEPTO
Sea f(x) = 3x – 5.
Si x toma valores cercanos a 4 (o tiende o se aproxima a 4), f(x) toma valores
cercanos a 7 (o tiende o se aproxima a 7).
Simbólicamente: Si x→ 4, entonces f(x) ® 7
o
lim (3x 5) 7
®
x 4
- =
Sea f(x) = cospx – lnx. Si x→ 1, f(x) → -1
Simbólicamente:
lim (cos x ln x) 1
x ®
1
p - = -
Sea 2 1x
f (x) = x - . Si x→ 1, f(x) → 0
Simbólicamente: 2 1x
lim (x ) 0
x ®
1
- =
3.1.2 DEFINICIÓN
f
lim f (x) L 0, 0 / Si x D
®
0 | x a | | f (x) L |
x a
= Û " e > $ d > Î Ù
< - < d ⇒ - < e
NOTA. La expresión 0 < |x-a| es equivalente a: x ¹ a. En general x ® a, pero x
¹ a.
Ejemplo 1. Demostrar que 2
lim (2x 3x 2) 1
®
x 1
- + =
Prueba
Demostraremos que " e > 0, $ d >0 ¤ Si x Î Df Ù
0 < |x-1| < d ⇒ |(2x2 - 3x + 2 ) - 1| < e
En efecto
|(2x2 - 3x + 2 ) - 1| = |2x2 - 3x + 1 |
= | (2x-1) (x-1)|
= |2x-1| |x-1| (1)
La expresión |2x-1| tenemos que acotarlo superiormente con un número que no
dependa de x. Para ello, tomamos un d particular en la hipótesis de la definición de
límite, esto es d1=1
|x-1 < 1 Û -1 < x-1 < 1
Û 0 < x < 2

2. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
2
Û -1 < 2x-1 < 3
Û |2x-1| < 3 (2)
De (1) y (2):
|(2x2 - 3x + 2 ) - 1| < 3|x-1|
< 3d2 (3)
d = e
Ahora, si hacemos 2 3
Reemplazando en (3) se tiene
 e 
| (2x2 3x 2) 1| 3
- + - <   = e
3
 
{ } 1 2 3 f
" e > 0, $ d = min{ d , d } = min 1, e / si x Î D
Ù
0 < | x - 1| < d ⇒ | (2x 2
- 3x + 2) - 1|
< e
Ejemplo 2. Demostrar que
x 1
2x
= -
lim 2
® x 2
-
Prueba
2x 4x 4 4
- - = - = -
( 2) | x 1|
- - -
x 2 x 2 | x 2 |
(1)
Para d1 = 1 ⇒ |x-1| < 1
⇒ 0 < x <2
⇒ -2 < x-2 < 0
⇒ |x-2| < 2
⇒ 1 1
|x-2| 2 > (2)
Lo que queremos es que (2) sea menor que un número y no mayor. Como la
función tiene una asíntota vertical x=2, entonces elegimos 1
1 2 d = | 2 -1|
Luego
1 1 3
2 2 2 | x -1| < Û < x <
3 1
2 2 Û - < x - 2 < -
1 3
2 2 Û < x - 2 <
2 1 2
3 x-2 1 Û < <
8 4
3 x 2 8 - Û < < (3)
De (1) y (3):
2
2x
( 2) 8 x 1 8
x 2
- - < - < d
-
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39

3. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
38
 8 - x
 < = - 
 - ³
61) 3
, x 8
f (x) x 2
3 2x, x 8
62)
 sen x - sen 3
 ¹ = - 
 =
, x 3
f (x) x 3
cos3, x 3
63)
 1 + cos p x
2
¹ 
= - + 
p 2
= 
, x 1
x 2x 1
f (x)
, x 1
2
64)
1
, x 0
x
f (x) x, 0 x 5
2
x 4x 5
, x 5
x 5

<

= £ £ 
 - - >  -
Determinar “a” y “b” para que cada una de las siguientes funciones sean continuas
en su dominio
65)
x + 2a, x < - 2

= + - £ £ 
 - >
f (x) 3ax b, 2 x 1
6x 2b, x 1
66)
 - + < 
3
3
3 3x 3
, x 8
- 
= = 
a( x 2)
f (x) ab, x 8
2
, x 8
2x 7 b
>
- 
67)
2
2 2
2
sen x, x
f (x) a bsen x, x
1 sen x, x
p
p p
p
- £ -

= + - < < 
- ³ 
68)
 sen x
x , x Î< -p , 0
> 
= + Î p > 
f (x) ax b, x [0,
cos x, x Î [ p , 2
p > 
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3
d = e ⇒ ( ) 8
Elegimos 2 8
2x
( 2) 8
x 2
- - < e = e
-
{1 }
" e > 0, $ d = min{ d e 1 , d 2 } = min 2 , 8 / si x Î D
f Ù
2x
0 < | x - 1| < d ⇒ - ( - 2)
< e
-
x 2
3.1.3 OBSERVACIÓN. Si la función f tiene asíntotas verticales x = b1, x = b2
1 2 1 2 d = min{| a - b |, | a - b |}
y x → a, entonces elegimos 1
3.1.4 PROPIEDADES
1) Si existen
lim f (x)
x ®
a
y
lim g(x)
®
x a
⇒
i)
± = ±
i i
lim (f g)(x) lim f (x) lim g(x)
® ® ®
x a x a x a
f lim f (x)
®
ii) x a
x a
x a
lim (x)
g lim g(x)
®
®
 
  =
 
, siempre que
lim g(x) 0
x ®
a
¹
2) Si
i) | f(x) | < k, cuando x ® a, para algún k fijo
ii)
lim g(x) 0
®
x a
=
⇒
lim f (x) g(x) 0
x ®
a
=
3) Si
i) f(x) £ h(x) £ g(x) cuando x ® a
ii)
= =
lim f (x) lim g(x) L
x ® a x ®
a
⇒
lim h(x) L
x ®
a
=
Ejemplo 1. Calcular
2
x 1
- +
+ p +
x ln x 3
lim
® 2x sen x 2
Solución
2
- + - + =
+ p + + p +
x 2
ln x 3 lim x lim ln x lim 3
® ® ®
x 1 x 1 x 1
x 1
x 1 x 1 x 1
lim
2x sen x 2 lim 2x lim sen x lim 2
®
® ® ®
1 ln1 3
= - + =
1
+ p +
2 sen 2
Ejemplo 2. Calcular
3
x 3
-
-
x 27
lim
® x 3
Solución

4. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
4
3
- - - = =
- - -
x 3
27 lim x lim 27 27 27 0
® ®
x 3 x 3
lim :
x 3
x 3 lim x lim 3 3 3 0
x 3 x 3
®
® ®
: indeterminado
2
= - + +
x ®¹ 3
x 3 x 3
(x 3)(x 3x 9)
lim
-
2
= + + =
lim (x 3x 9) 27
®¹
x 3
x 3
3.1.5 FORMAS INDETERMINADAS
0 0 0
, , , 0 , , 0 , 1
0
¥ ¥-¥ ×¥ ¥ ¥
¥
3.1.6 OBSERVACIÓN
1) ¥ + ¥ = ¥
2) -¥ - ¥ = - ¥
3) (+¥)(+¥) = ¥
4) (-¥)(-¥) = ¥
5) a. ¥ = ¥, si a > 0
6) a. ¥ = -¥, si a < 0
7) a 0 ¥ = , " a Î ℝ
3.1.7 IDENTIDADES
Identidades algebraicas
1) a2 – b2 = (a -b)(a + b)
2) a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
3) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
4) an – bn = (a - b)(an-1 + an-2 b + ..... + a bn-2 + bn-1)
5) an + bn = (a + b)(an-1 - an-2 b + ..... - a bn-2 + bn-1) n impar
Identidades trigonométricas
6) sen2x + cos2 x =1
7) 1+ tan2 x = sec2 x
8) 1+ ctg2x = csc2 x
9) sen(x + y) = senx cos y + cos xseny
10) sen(x - y) = senx cos y - cos x seny
11) cos(x + y) = cos x cos y - sen x seny
12) cos(x - y) = cos x cos y + sen x seny
13) sen2x = 2senx cos x
14) cos 2x = cos2 x - sen2x
15) 2 x
2 2sen = 1- cos x
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
37
49)
1
sen x
x 0
 1 + tan x

   + 
lim
® 1 sen x
50)
1
x a
x a
sen x
lim
sen a
-
®
 
 
 
51)
lim (tan x)
® p
4
tan 2x
x
52)
1
x2
x 0
 cos x

 
 
lim
® cos 2x
III. Determinar las asíntotas, si existen, de
53) f (x) = 1+ x2 + 2x
54) f (x) = x2 + x - x
55) 2y(x +1)2 = x3
56)
4 2
2
= - +
x 5x 4
f (x)
+ -
x 2x 24
57)
2
2
x
f (x)3 2x
x x 2
- -
- -
58)
2
11 7x
7x , x 6
3 x 2
f (x)
5 3
2
x
, x 6
36 x

- + ³ 
+ =
 <  -
59)
2
2
2
x
, x 1
f (x) 1 x
3x
3x, x 1
x 1

< 
- =
+ ³ 
+
60)
2x , x 6
2
1 2x
3 x 2
f (x)
1 2
2
x
, x 2
4 x

- + ³ 
+ =

-
IV. Analizar la continuidad en su dominio de

5. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
36
32)
x
sen x
lim
®+¥ x
lim x sen p
®¥
33) x x
34)
h 0
+ -
log(x h) log x
lim
® h
35)
x h x
h 0
a a
lim
h
+
®
-
36)
x a
x a
-
-
e e
lim
® x a
37)
2 2
h 0
+ -
(x h) x
lim
® h
38)
3 3
x a
-
-
x a
lim
® x a
39)
n n
h 0
+ -
(x h) x
lim
® h
40)
x a
-
-
sen x sen a
lim
® x a
41)
x a
-
-
cos x cos a
lim
® x a
42)
h 0
+ -
tan(x h) tan x
lim
® h
43)
5x 3
x
3x 1
lim
2x 5
-
®-¥
 - 
   + 
44)
2x 3
x
2x 7
lim
5x 1
+
®+¥
 - 
   + 
45)
x2 2
 x + 1

   - 
lim
®+¥ x 1
x 2
46)
x4 2x 3
2x 2x 1
lim
x 3
x 4
-
®+¥
 + - 
   - 
47) ( )cscx
x
+
lim 1 senx
®+¥
lim 1 sen x p
®
48) ( )c tg x
x 1
+ p
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5
16) 2 x
2 2cos = 1+ cos x
2 2 sen x + seny = 2sen ( + ) cos ( - )
17) x y x y
18) senx -seny = sen x + sen(-y)
19) x y x y
2 2 cos x + cos y = 2cos ( + ) cos ( - )
2 2 cos x - cos y = -2sen ( + ) sen ( - )
20) x y x y
21)
sen x
tan x
cos x
=
22)
cos x
ctgx
sen x
=
23)
1
sec x
cos x
=
24)
1
csc x
senx
=
Identidades logarítmicas
25) a a a log (xy) = log x + log y
26) x
a y a a log ( ) = log x - log y
27) x
a a log w = x log w
log b
28) c
a
c
log b
log a
=
29) a = e ln a
30) b ln bln a ab a = e = e
Identidades hiperbólicas
31)
- - =
ex e x
senh x
2
32)
+ - =
ex e x
cosh x
2
33)
senh x
tanh x
cosh x
=
34)
cosh x
ctgh x
senh x
=
35)
1
sec h x
cosh x
=

6. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
6
36)
1
csc h x
senh x
=
37) cosh2 x -senh2x =1
38) senh(x ± y) = senhx cosh y ± cosh xsenhy
39) cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± senhxsenhy
3.1.8 LÍMITES ESPECIALES
1)
l im
0
®± ¥
1
x x
=
2)
x 0
sen
x
lim 1
® x
=
3)
x 0
1x
+ = »
lim (1 x) e 2.7183
®
4) x 1x
x
+ = »
lim (1 ) e 2.7183
®± ¥
5) Si
lim f (x)
x ®
a
y
lim g(x)
x ®
a
lim g(x)
g(x)
⇒ [ ] x a
existen =    
lim f (x) limf (x) ®
x ® a x ®
a
6) Si
lim f (x) 1
x ®
a
= y
lim g(x)
x ®
a
g(x) lim ( f (x) 1 ) g(x)
= ±¥ ⇒ lim [ f (x) ] e x ®
a
x a
-
®
=
Prueba
1) Se aprecia de la gráfica
Tabulando, se observa que el límite es 0, cuando x ® ±¥
x 10 50 100 500 1000 10000
1
0.1 0.02 0.01 0.002 0.001 0.0001
x
2) Tabulando, se observa que límite es 1, cuando x ® 0
x 0.2 0.1 0.02 0.01 -0.1 -0.01
sen x
0.9933 0.9983 0.9999 1 0.9983 1
x
Por otro lado,
x
y
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
35
17)
2
x 4
- +
16 x 4
lim
® (4 x) 5 x 1
- - +
18)
3
x
-
p -
1 2cos x
lim
® p 3x
19)
x 0
ctg 2x
lim
® ctg3x
20)
 - p -    +    - p  - p 
lim
®p x p 2x 2
x
cos( 2x ) 1 4 2
2
+
21) 1 1
lim x 1 sen
®¥
x x x
22)
3 2
x 2
- - + -
x 1 x x 3
lim
® 3x 10 4
+ -
23)
-
+ -
lim
® cos[tan(x p)] 1
x 0
tan(1 sen x)
2
-
2sen x s en 2x
lim
® x
24) x 0 3
25)
3 34
x 2 x
x 8 x
2
lim
® 2
- -
-
26)
2
+ -
-
2x 1
x 10x
x 1
lim
® - x 9x 14x 20
x 2 3 2
- + -
-
+
x x
27) x 0 2
lim
® x x
28)
- +
x 2 x
2
2x 1
x 2
-
-
x 1
lim
® - x 1
29) 2 2
lim (x 5 sgn( x 1 1))
®
x 0
+ + - -
30)
x 0
-
p -
1 2cos x
lim
® 3x
31)
lim ln sen x
®
x 0

7. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
34
I. Demostrar los siguientes límites
1) 2
lim (x 2x 1) 4
®
x 1
+ + =
2)
1
2 x
+ =
-
3 2x 8
lim
® 5 x 9
3)
x 3
4
=
lim 4
® x 2
-
II. Calcular los siguientes límites
4)
x 4
- +
- -
3 5 x
lim
® 1 5 x
5)
x 3
lim
®- x 7 4
x 3 2
+
+ -
6)
3
3x 5 x 3
lim
®- x 1 1
x 2 3
+ + +
+ +
7)
3 3 2
x 1
+ - +
7 x 3 x
lim
® x 1
-
8)
3 2
x 4 2
lim
® x 2x 16x 32
x 2 3 2
+ -
- - +
9)
x(x a) x
lim
®¥ x( x 3 x)
x 2
+ -
+ -
10) 2
x
+ -
lim x( x 3 x)
®-¥
11) 3 3 2 2
lim ( x 3x x 2x)
®¥
x
+ - -
12)
2 2
x
- - -
x(1 x 1) x
lim
®-¥ x 1
-
13)
3 4 5 3
+ - +
x 3 x 4
lim
®-¥ x 1
x 3 7
+
- -
2 cos x cos x
lim
® x
14) x 0 2
-
tan x s en x
lim
® x
15) x 0 3
lim ctg 2x ctg ( p x)
®
16) x 0 2
-
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
7
B
C
1
x
tan x
x
sen x
y
O A x
Area(D OAB) £ Area(Sector OAB) £ Area(D OAC)
sen x x tan x
sen x
£ £ Û 2 2 2
£ £ (1)
sen x x
cos x
Si xÎ 0, p 2 ⇒ senx, cosx son positivos ⇒
cos x 1 1
sen x
£ £ Û cos x £ £
1
sen x x sen x
x
Como
lim cos x 1
® +
x 0
= y por un teorema anterior ⇒
x 0
sen x
= (2)
lim 1
® + x
Si 2 xÎ - p , 0 ⇒ x 0 Û -x 0
Luego, de (1)
- £ - £ -
sen ( x)
sen ( x) x
-
cos( x)
Û sen x
sen x
- sen x £ - x
£ - Û cos x
x sen x
cos x
£ £
Si xÎ - p , 0 ⇒ 2 senx y tanx son negativos ⇒
1 1 cos x
sen x
£ £ Û 1 £ £
cos x
sen x x sen x
x
Como
= = y por un teorema ⇒
lim cos x lim 1 1
® - ® -
x 0 x 0
x 0
sen x
= (3)
lim 1
® - x
Por lo tanto, de (2) y (3), se concluye que
x 0
sen x
=
lim 1
® x
3) Tabulando
x 0.1 0.01 0.0001 0.00001 -0.1 -0.001 -0.00001
1x
(1+ x)
2.5937 2.7048 2.7181 2.7183 2.8680 2.7196 2.7183

8. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
8
4) Se obtiene el límite anterior haciendo un cambio de variable. Hacer
1 1
u = Û x
=
x u
Por otro lado, se cumple
1 1 1
  ln  1
+  +  
n 1 n n
, n Î ℤ+
Así que
1 1
   +    +
ln 1
n n 1
⇒
1
n 1 1
+ + ⇒
1 e
n
n + 1  1
  + 
 
1 e
n
(1)
1 1
   + 
 
ln 1
n n
1
⇒ 1n
+ ⇒
1 e
n
n 1
   + 
 
1 e
n
(2)
De (1) y (2), se tiene
1
n 1 n 1 1
    +  1 +  e  1
+ 
 n   n

Aplicando un teorema anterior sobre límites se tiene
n n 1
1 1
     +  =  +  = »
   
lim 1 lim 1 e 2.7183
n n
n n
+
®¥ ®¥
, n Î ℤ+
Para x ® +¥, $ n Î ℤ+ / n £ x £ n+1 (3)
1 1 1
Û £ £
+
n 1 x n
1 1 1
Û 1 + £ 1 + £ 1
+
+
n 1 x n
(4)
De (3) y (4), resulta
+        +  £  +  £  +   +     
Pero
n x n 1 1 1 1
1 1 1
n 1 x n
+
n 1 n
1 1 1
       +  =  +   +  = × =
     
lim 1 lim 1 1 e 1 e
n n n
®¥ ®¥
n n
n
n 1 n
n n 1 lim
 1   1
  n n 1
1
 +  =  +   = = =  +   +  
lim 1 lim 1 e e e
n 1 n 1
n n
+
®¥ +
+
®¥ ®¥
Luego, por un teorema anterior, resulta
+
x n 1 n
1 1 1
       +  =  +  =  +  =      + 
lim 1 lim 1 lim 1 e
x n n 1
®¥ ®¥ ®¥
x n n
Cuando x ® - ¥, hacemos un cambio de variable u = - x
6) g(x) g(x)
= + -
lim f (x) lim [1 (f (x) 1)]
® ®
x a x a
= + - - -
x a
1
f (x) 1 (f (x) 1) g(x)
lim {[1 (f (x) 1)] }
®
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
33
Luego, f no es continua en x = 1.
iii)
= - = -
x 2 x 2
1
lim f (x) lim 1
® - ® - 2 x 1
- -
= - = -
lim f (x) lim (2x 5) 1
® + ® +
x 2 x 2
$
lim f (x)
®
x 2
Por lo tanto, para x =1, f es discontinua no evitable; para x = 0 es discontinua
evitable.
35) Hallar k y b si
 x 3
+ 1
  + -  =  + 
lim kx b 0
®¥ x 1
x 2
Solución
3 2
= - + + + -
(k 1)x bx kx b 1
0 lim
x 2
+
®¥ x 1
2
2
b 1 kx
x
(k 1)x b
x 1
x
lim
1
-
® ¥
- + + +
=
= - +
lim ((k 1)x b)
® ¥
+ x
Este límite se cumple Û k – 1 = 0, b = 0 Û k = 1, b = 0
36) Si
 4 + 3
+   - + - =  - +  
x cx 1 3
2
lim x 3x 10
® ¥ x x 1 2
x 3
, hallar a y b
Solución
3   x 4 + cx 3
+ 1
  = lim - x + (x - x 2
+ 3x - 10)
2 x ® ¥   3
  x - x + 1
   
Efectuando en un término y racionalizando en el otro, se tiene
 3 + 2
 =  - + - + 
3 cx x x 3x 10
lim
 - + + + -   
x 3 2
2 ® ¥ x x 1 x x 3x 10
1 1 10 c 3
2
lim x x x
x
1 1 3 10 1 1 1
2 3 2
x x x x
® ¥
 
 + - - + 
=  +   
 - + + + - 
 
= c – 3 Û c = 9/2
EJERCICIOS PROPUESTOS

9. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
32
f(-1) = a – 3
= = - Û
lim f (x) lim f (x) f ( 1)
®- - ®- +
x 1 x 1
b 3
- = - Û = - (1)
a 3 b 2a 3
2
ii)
2
= + - = -
b x 2x b 1
lim f (x) lim
® - ® - x 1 2
x 1 x 1 2
+
2 2 2
= - - = -
lim f (x) lim (a x 10x 4) a 14
® + ® +
x 1 x 1
f(1) = (b - 1)/2
- = - Û - = - (2)
= = Û b 1 2 2
lim f (x) lim f (x) f (1)
® - ® +
x 1 x 1
a 14 2a 28 b 1
2
De (1) y (2), se tiene
2a2 – 28 = 2a -3 -1 Û a2 –a – 12 = 0
a = 4, a = -3
b = 5, b = -9
(a, b) = (-3, -9) y (a, b) = (4, 5)
34) Analizar la continuidad de
 1 - x + x -
1
 , x Î [0, 2
= - -

 - ³
f (x) 2 x x
2x 5, x 2
Solución
= = 
 - Î
 - = 
 -  - -

 - ³
0, x 0, x 1
1
, x 0, 1
2 x
f (x)
1
, x 1, 2
2 x 1
2x 5, x 2
Existe problemas de continuidad en 0, 1 y 2
i)
= - = - ¹
x 0 x 0
1 1
lim f (x) lim f (0)
® + ® + 2 x 2
-
= 0
Luego, f es discontinua en 0.
ii)
= - = -
x 1 x 1
1
lim f (x) lim 1
® - ® - 2 x
-
= - = -
x 1 x 1
1 1
lim f (x) lim
® + ® + 2 x 1 2
- -
$
lim f (x)
x ®
1
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
9
lim
x a
x a
1
f (x) 1
(f (x) 1) g(x)
{lim[1 (f (x) 1)] } ®
®
- -
= + -
lim
x a
f (x) 1 0
1
f (x) 1
(f (x) 1) g(x)
{ lim [1 (f (x) 1)] } ®
- ®
- -
= + -
lim (f (x) 1) g(x)
e x ®
a
-
=
Ejemplos. Calcular los siguientes límites
3
1)
- + ¥
- ¥
2x 3x 2
lim :
®¥ 3x 4
x 3
Indeterminado
Para evitar la indeterminación, en estos tipos de límites, se divide al numerador y
denominador entre la variable con su mayor exponente. En nuestro ejercicio será
x3.
3
2x 3x 2
3 3
x 3 x 3
3
2x 3x 2 x lim lim
3x 4 3x 4
x
®¥ ®¥
- +
- + =
- -
( ) ( )
( )
2 3
- +
1 1
lim 2 3 lim 2 lim
x x x x x
®¥ ®¥ ®¥
3
1x
lim 3 4 lim
®¥ ®¥
x x
=
-
2 3
= - × + × =
2 3 0 2 0 2
3
- ×
3 4 0 3
2)
3
x 8
-
-
x 2 0
lim :
® x 8 0
Indeterminado
3
x 8
-
-
x 2
lim
® x 8
3 3 2 3 2
= - + +
( x 2)( x 2 x 2 )
lim
x ® 8 3 2 (x 8)( x 2 3 x 2 2
)
= -
(x 8)
lim
® (x 8)( x 2 x 2 )
2 - + + x 8 - 3 + 3 +
2
1
lim
® x 2 x 2
x 8 3 2 3 2
=
+ +
1
12
=
3)
x 0
tan x 0
lim :
® x 0
x 0
tan x
senx 1
= = ´ =
lim
® x x 0 x 0
lim lim 1 1 1
® x ® cos x
2 2
p - - 4) ( ) ( p
) ( ) ln(2x 1) lim ln(2x 1) 0 x x 1
= = =
x lim sen lim sen ® 1
1
x 1 6 x 1 6 2
® ®
5) ( )x kx
lim 1 : 1¥
®¥
x
+ es indeterminado

10. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
10
( )x kx
lim 1
®¥
x
+
kx
+ -
lim (1 1)x lim k
e ®¥ e ®¥ ek
= x = x
=
6)
x
x 0
-
a 1 0
lim :
® x 0
= - Û = +
Sea x ln(1 w)
w a 1 x
ln a
Si x ® 0, w ® 0
Luego
x
a 1 w
lim lim
x ® 0 x w ® 0 1
ln(1 w)
ln a
- =
+ w 0
1w
ln a
lim
® ln(1 w)
=
+
ln a
ln e
=
7)
x 0
senh x 0
lim :
® x 0
x 0
senh x
lim
® x
x x
= -
e e
lim
x 0 2
x
-
®
2 x
= -
(e ) 1
lim
® xe
x 0 2 x
2 x
= -
(e ) 1 1
lim lim
® x ® e
x 0 x 0 2 x
2 1
2 = (ln e ) = 1
8)
x
senx oscila
lim :
®¥ x ¥
. Esto no es indeterminado, pero para calcular su límite,
aplicaremos una propiedad anterior
Como |senx| £ 1, cuando x ® ¥
1x
lim 0
®¥
x
=
Luego, por una propiedad anterior, se tiene
senx 1
lim lim senx 0
®¥ x ®¥ x
x x
 
=   =
 
3.1.9 CÁLCULO DE LÍMITES CON EL SOFTWARE DERIVE
arcsen x -
arctan x
Ejemplo. Con el software DERIVE, calcular x 0 3
lim
® x
Solución
La función se ingresa de la siguiente manera
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
31
 - -  Î - 4 2

= p - - p 
Î p 2
2
sen2x cos 2x 1
, x ,
cos x senx
2 2 x 2x
f (x) , x ,
2x
1, x
p p
p
p
- p 
=

¿Es f continua en p/4, p?. Redefinir f si es posible, de modo que f sea continua
p/4, p.
Solución
= - - = =
x x
2 2
sen2x cos 2x 1 0
lim f (x) lim 0
®p- ®p- cos x - senx -
1
= p - - p
2 2 x x
2 2 x 2x
lim f (x) lim
®p+ ®p+ 2x
- p
= - + p - p )
2 x
2 ( 2x
1 lim
®p+
( 2x - p
2
= - + p =
1 0
p + p p
)( 2 x ) 2
$
lim f (x) 0
®p
2
x
=
Ahora f(p/2) = 1 ¹ 0
Por lo tanto, x = p/2 es un punto de discontinuidad evitable de f.
f será continua en p/2 si redefinimos la función así:
 - -  Î - 4 2

= p - - p 
Î p 2
2
sen2x cos 2x 1
, x ,
cos x senx
2 2 x 2x
f (x) , x ,
2x
0, x
p p
p
p
- p 
=

33) Sea
 x 3 + ax 2
+ x - 1, x £ -
1

 b + x -
2x
2
=  - £
f (x) , 1 x 1
2
x + 1

2 2
 - - £
a x 10x 4, 1 x 3
Hallar los valores de a y b de modo que f sea continua en -1 y en 1.
Solución
i) 3 2
= + + - = - + - - = -
lim f (x) lim (x ax x 1) 1 a 1 1 a 3
®- - ®- -
x 1 x 1
2
= + - = -
b x 2x b 3
lim f (x) lim
®- + ®- + x 1 2
x 1 x 1 2
+

11. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
30
31) Analizar la continuidad en su dominio de la función
1
x 1
(sen(2x 2) 1) , x 1
1x
f (x) (1 2x) , 1 x 2
5 arctan(2x 4)
, x 2
2(x 2)
-

- +

= + £ £ 
 -  -
Solución
Como
1
x 1
f1(x) (sen(2x 2) 1) = - + - es continua en -¥, 1
1x
f2 (x) = (1+ 2x) es continua en 1, 2
3
= -
5 arctan(2x 4)
f (x)
-
2(x 2)
es continua en 2, +¥
porque no hay un número real en estos intervalos que hagan indefinido o
indeterminado o que salga un número complejo de estas expresiones. Luego, f es
continua en -¥, 1 È 1, 2 È 2, +¥
Nos queda por analizar si f es continua en los números 1 y 2. En efecto,
1
x 1
= - +
lim f (x) lim (sen(2x 2) 1) :1
- -
x 1 x 1
- ¥
® ®
-
sen(2x 2)
lim x 1 ex 1 e2
® - - = =
1x
= + =
lim f (x) lim (1 2x) 3
® + ® +
x 1 x 1
Luego, no existe
lim f (x)
®
x 1
1x
= + =
lim f (x) lim (1 2x) 5
® - ® -
x 2 x 2
5 arctan(2x - 4)
= =
lim f (x) lim 5
® + 2 ® + x 2
x 2 x 2
-
1
f (2) = (1+ 2(2)) 2 = 5
Por lo tanto, f es discontinua en 1, pero continua en 2. Luego, f es continua en
-¥, 1 È 1, ¥
32) Dado
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
11
Después se presionar enter ( ¿ ) del teclado y se obtiene
A continuación se presiona el icono de límite y resulta la ventana

12. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
12
Después se presiona el icono de “Simplificar” y se obtiene
- =
arcsen x arctan x 1
Luego, x 0 3
lim
® x 2
3.1.10 LÍMITES LATERALES
El límite lateral por la derecha es
lim f (x)
+ ®
x a
x a
El límite lateral por la izquierda es
lim f (x)
® -
x a
x a
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
29
 
1 1
x a x a lim ( 1)
x 1
a x a 1 x a a
- - -
x x 1
      = lim ln   = ln  lim    = ln e = ln e
=
a a a
x a x a
® -
® ®
     
 
30) Hallar todas las asíntotas de la función

2
- + ³ - 
2
2
2
2
x
x 2 , x 1
x 1
f (x) ln(x 1), 3 x 1
5x x 1
, x 3
x 2
+

= - - £ £ - 
- - + £ -  + 
Solución
i)
 
2 x
=  - +  =    + 
m lim 1 2
®¥ x x 1
x 2
 2

x
=  - + -     + 
b lim x 2 2x
®¥ x 1
x 2
2 2
= - + +
x (x 2) x 1
lim
®¥ x 1
x 2
+
4 4 2 3 2
= - + + + + +
x (x x 4x 4x 4x 4)
lim
®¥ x 1 (x (x 2) x 1)
x 2 2 2
+ + + +
3 2
= - + + +
4x 5x 4x 4
lim
®¥ x 1 (x (x 2) x 1)
x 2 2 2
+ + + +
4
1(1 1)
= -
+
= -2
Luego, tenemos una asíntota oblicua y = 2x – 2, cuando x ® ¥.
ii) x2 – 1 = 0 Û x = ± 1
Pero x = 1 Ï -3, -1; por consiguiente no es asíntota
x = -1 es una asíntota vertical por el lado izquierdo.
iii)
2
5x x 1
= - - + =
m lim 0
x 3
+
®-¥ x 2x
 - 5x 2
- x + 1
 b = lim  - 0 x ®-¥ x 2
= - 5
 + 1
 
Luego, y = -5 es una asíntota horizontal.

13. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
28
a = -
p
26) Calcular
lim (sen x 1 sen x)
®¥
x
+ -
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: ¥ - ¥.
Aplicaremos una identidad trigonométrica.
lim (sen x 1 sen x)
®¥
x
lim 2 sen( + - ) cos( + + )
®¥
+ - x 1 x x 1 x
x 2 2
=
2 lim sen( 1 ) cos( x + 1 + x
)
x 2( x 1 x ) 2
®¥ + +
=
2 cos( + + ) £ 1, xÎℝ y 1
Como x 1 x
lim sen( ) 0
®¥ + +
x 2( x 1 x )
= entonces, por una
propiedad, inferimos que
lim (sen x 1 sen x )
®¥
x
2 lim sen( ) cos( + + ) 0
+ - = 1 x 1 x
x 2( x 1 x ) 2
®¥ + +
=
27) Calcular ( ) 1
2 2x
lim 1 tan x
®
x 0
+
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: 1¥
Aplicando una propiedad sobre este tipo de límites, se obtiene
2 2 1
lim tan x 1 lim
tan x
1 ( 2
2x 2 ) 2x
x 0 x 0 ( x )2
lim 1 tan x e ® e ® e
®
x 0
+ = = =
28) Calcular
senx
x senx
x 0
senx
lim
x
-
®
 
 
 
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: 1¥
senx lim ( senx 1)
senx
x senx 1
- - -
x 0 x x senx
- x 0
senx
lim e e
x
® -
®
 
  = =
 
29) Calcular
x a
-
-
ln x ln a
lim
® x a
a0
Solución
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
13
Ejemplo. Calcular
- - -
x 4
2 3
2
x 2
x 1
lim
® + sgn(x 1)
-
Solución
x®2+ ⇒ x 2 Û 1
2 x Û 3
x - 4
1
x 4
2 3
- Û 2 3  -  = -1
Si x 2 ⇒ x-1 1 ⇒ |x-1|=x-1
Si x 2 ⇒ x2 4 Û x2 -1 3 Û sgn(x2 -1) = 1
Luego, al reemplazar en el límite se tiene
- - - - - - = = -
x 4
2 3
lim lim 2
® + sgn(x 2
1) ® + 1
x 1 1 (x 1)
-
x 2 x 2
PROPIEDAD
= Û = =
lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L
® ® + ® -
x a x a x a
3.2. ASÍNTOTAS
3.2.1 ASÍNTOTAS VERTICALES. La recta x = a es una asíntota vertical
de la curva y = f(x) Û
lim f (x)
®
x a
= ±¥
Geométricamente pueden presentarse los siguientes casos
x=a
f
lim f (x)
®
= -¥
x=a
X
X
Y
Y
f
x a
lim f (x)
® -
x a
= +¥
f
x=a
lim f (x)
® +
= -¥
f x=a
X
X
Y
Y
x a
lim f (x)
® -
x a
= -¥
3.2.2 ASÍNTOTAS OBLICUAS
i) La recta y = mx + b es una asíntota oblicua por la derecha de la curva

14. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
14
y = f(x) Û
x
f (x)
m lim
® +¥ x
=
= -
b lim (f (x) mx)
x
® +¥
ii) La recta y = mx + b es una asíntota oblicua por la izquierda de la curva
y = f(x) Û
x
f (x)
m lim
® -¥ x
=
= -
b lim (f (x) mx)
x
® -¥
y=mx+b
y=mx+b
3.2.3 ASÍNTOTAS HORIZONTALES. Se obtiene del caso anterior cuando
m = 0.
i) La recta y = b es una asíntota horizontal por la derecha de la curva
y = f(x) Û
b lim f (x)
x
® +¥
=
ii) La recta y = b es una asíntota horizontal por la izquierda de la curva
y = f(x) Û
b lim f (x)
x
® -¥
=
Ejemplo. Hallar las asíntotas de
2
x
f(x) = + x - 5
2
x + 4
Solución
 
 
 
f(x) x 5
=
m = lim lim +1- = 2
®+¥ x ®+¥ x + 4 x
x x 2
 2  2 - + 2
= - =  - +  =
+ x x (5 x) x 4
b lim (f (x) 2x) lim (5 x) lim
   +  +
®+¥ ®+¥ x 4 ®+¥ x 4
x x 2 x 2
4 2 2 3 2
= - + + = - + + +
x (5 x) (x 4) (10x 29x 4x 100)
lim lim
®+¥ x 4(x (5 x) x 4) ®+¥ x 4(x (5 x) x 4)
x 2 2 2 x 2 2 2
+ + + + + + + +
10 + 29 x + 4 2 +
100
x x
3
10
( ( ) )
= - = - = -
lim 5
®+¥ 1 1 1 1 2
x 4 5 4
+ + + +
x x x
2 2
asíntota
por la izquierda y hacia abajo
X
Y
f
asíntota
por la derecha y hacia arriba
X
Y
f
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
27
-
1 cos x
lim
® x
23) Calcular x 0 2
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: 00
2 x
2
1 cos x 2sen
- =
lim lim
® x ® x
x 0 2 x 0 2
x 2
2
 
2 sen
lim
4 ®
=    
x 0 x
 
2
1
2
=
24) Calcular
x 0
 1 1

 - 
 
lim
® sen x tan x
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: ¥ - ¥.
Efectuando, se tiene
 - 
 
  =
 1 1  tan x - senx
 -  =
  x 0
lim lim
® sen x tan x ® senx tan x
x 0 x 0
1 cos x
(senx)
cos x
lim
senx
(senx)
cos x
®
 
 
 
lim
x 0
1 cos x
x 0
x
senx
lim
x
®
®
-
= 0
= = 0
1
lim sen - tan p
®
25) Calcular x a x
x a 2 2a
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: 0.¥.
Hagamos un cambio de variable:
Sea x – a = y Û x = a + y
Si x ® a ⇒ y ® 0
Luego,
lim sen x - a tan p x = y lim sen tan( p +
p y
)
® ®
x a 2 2a y 0 2 2 2a
p
y
y 2a
® p
y 0 2 y
2a
cos
lim sen
sen
=
-
y
2
sen
y 0 y
®
y 2
y 0 2a y
2a
y 0 y
2a
lim
a
lim cos
sen
lim
p
® p
® p
= -
p

15. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
26
20) Calcular
x 0
sen4x
lim
® x
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: 00
Hagamos un cambio de variable
y = 4x ⇒ x = y/4
Si x ® 0 ⇒ y ® 0
sen4x sen y sen y
= = = =
lim lim 4 lim 4(1) 4
® x ® ® y
x 0 y 0 y y 0
4
21) Calcular
x 0
arcsenx
lim
® x
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: 00
Hagamos un cambio de variable
y = arcsen x Û x = sen y
Si x ® 0 ⇒ y ® 0
arcsenx y 1 1
= = = =
lim lim lim 1
x sen y sen y 1
x 0 y 0 y 0
y
® ® ®
22) Calcular
x 0
-
1 cos x
lim
® x
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: 00
Usaremos identidades trigonométricas para evitar la indeterminación.
Sabemos que
1 cos x
= - Û - =
x x
2 2
sen 1 cos x 2 sen
2
Reemplazando, resulta
2 x
2
1 cos x sen
- =
lim 2 lim
® x ® x
x 0 x 0
x 2
 
1 sen
lim x
2 ®
2 2
=    
x 0 x
 
2
x 2
 
1 sen
lim x lim
2 ® ®
2 2
=    
x 0 x 0 x
 
2
1 2
= ´ ´
=
0 1
2
0
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
15
x
f (x)
m lim
®-¥ x
=
 
x 5
=  + - 
lim 1
®-¥ x 4 x
  =  - + - 
   +  y 2
x 2
y 5
lim 1
®+¥ y 4 y
 + -   
 
 - 1 5

=  + + 
lim 1
®+¥ 1 y
y 4
 + 2

 y

= 0
Se hizo un cambio de variable y=-x, y→+¥, cuando x→-¥
m = 0
 2  2 + + 2
= - =  + -  =
+ x x (5 x) x 4
b lim (f (x) 0x) lim x 5) lim
   +  +
®-¥ ®-¥ x 4 ®-¥ x 4
x x 2 x 2
Racionalizando y haciendo y=-x
3 2
= - + -
10x 29x 40x 100
b lim
x 2 2 2
®-¥ x 4(x (x 5) x 4)
+ - - +
3 2
= - - - -
10y 29y 40y 100
lim
®+¥ y 4(y ( y 5) y 4)
y 2 2 2
+ - - - +
29 40 100
y y y
- + + +
2 3
10
y 4 5 4
y y y
2 2
lim
1 1 (1 ) 1 ®+¥
=
  +  + + + 
 
10
= - = -
5
2
Luego, y = 2x-5 es una asíntota oblicua hacia la derecha, y=-5 es una asíntota
horizontal hacia la izquierda.
3.3 CONTINUIDAD
3.3.1 DEFINICIÓN. Se dice que f f : D Ì ℝ ®ℝ es continua en f a Î D Û
lim f (x) f (a)
®
x a
=
Ejemplo. Analizar si
3 x 2
¹
, x 8
-
-
x 8
f (x)
1
, x 8
12
=
=

es continua en x = 8
Solución
f(8)=1/12

16. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
16
3
= - = - =
x 2 x 8 1
lim f (x) lim lim
® ® x 8 ® (x 8)( x 2 x 4) 12
- - + +
x 8 x 8 x 8 3 2 3
Como
lim f (x) f (8)
®
x 8
= , entonces f es continua en x = 8
3.3.2 PROPIEDADES
1. Si f y g son continuas en “a”, entonces f+g, f-g, fg y f/g (g(a) ¹ 0) también
son continuas en “a”.
2. Si f es continua en “a” y g es continua en f(a), entonces g°f es continua en “a”.
3. Si lim f (x) b
x a
=
®
y g es continua en “b”, entonces
= =
lim g(f (x)) g( lim f (x)) g(b)
® ®
x a x a
3.3.3 DEFINICIÓN. f es continua en el intervalo a, b Û f es continua en
cada punto de a, b
3.3.4 DEFINICIÓN. f es continua en el intervalo [a, b] Û
i. f es continua en a, b
ii. lim f (x) f (a)
x a+
=
®
iii. lim f (x) f (b)
x b-
=
®
Ejemplo. Analizar si
= -
ln x x
2
f (x)
+
x 4
es continua en [1, 4]
Solución
Como las funciones lnx y x son continua en 1, 4 , según la propiedad 3.3)-
a, ln x - x también es continua en 1, 4 . Además 2 x + 4 es continua en
1, 4 . Luego
= -
ln x x
2
f (x)
+
x 4
también es continua 1, 4 .
Por otro lado,
ln x x 1
= - = - =
lim f (x) lim f (1)
x 1+ x 1+ x 4 5
® ® 2
+
ln x x 2 ln 2 1 ln 2 1
lim f (x) lim f (4)
x 4- x 4- 2
x 4 16 8
- - -
= = = =
® ® +
Por lo tanto, f es continua en [1, 4]
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
25
( 2 + + ) = ( 2 + -
)
lim x 1 x lim y 1 y
®-¥ ®¥
x y
Racionalizando:
2 2
= + -
y 1 y
lim
®¥ y 1 y
y 2
+ + y 2
1
lim
®¥ y 1 y
=
+ +
= 0
17) Calcular lim ( x 2 + 1 -
x
x
®-¥
)
Solución
( 2 x
)
+ - = ¥ - -¥ = ¥ + ¥ = ¥
lim x 1 x ( )
®-¥
3 18) Calcular lim (x 3 + 2x 2 + 3 - x 2 + 4x +
1
x
®¥
)
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: ¥ - ¥.
Para evitar la indeterminación, restaremos y sumaremos x.
(3 3 2 2 )
= lim x + 2x + 3 - x + x - x + 4x +
1
x
®¥
(3 3 2 ) ( 2 )
= + + - + + - + +
Racionalizando
lim x 2x 3 x lim x x 4x 1
®¥ ®¥
x x
2
= +
2x 3
lim
x 2 3 3 2 3 3 2 2
x 2x 3 x x 2x 3 x
®¥
+ - -
+ + + + + + x 2
4x 1
lim
®¥ x 4x 1 x
+ + +
3
2
2
lim x
x 2
2 3 2 3
1 1 1
3 3
2 3
x x x x
®¥
+
=
+ + + + + +
x
1
2
4
lim x
4 1
1 1
x x
®¥
- -
+
+ + +
2 4
= - 2
= -
3 3
19) Calcular
2
x
- + - +
6 5x x x
lim
®¥ x
Solución
El límite no existe porque el dominio de la función es [2, 3].

17. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
24
2
2
+ +
x 1 x
+ + =
+ - + -
x 1 x
lim lim
x 4 3 x 4 3
x
x
x
®¥ ®¥
x x x x x
1 1
2
x
4
3
1
x x lim
1 1
1
x x
®¥
+ +
=
+ -
1
1
=
-
= -1
15) Calcular
3 3 3 3
+ - +
+ - -
2x 3 x 4
lim
®-¥ 2x 2 x 3
x 4 4 4 4
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: -¥+¥
¥-¥
En primer lugar, haremos un cambio de variable:
y = -x Û x = -y; Cuando x ® -¥ ⇒ y ® +¥
Reemplazando en el límite, se obtiene
3 3 3 3 3 3 3 3
+ - + - + - - + =
+ - - + - -
2x 3 x 4 2y 3 y 4
lim lim
® -¥ 2x 2 x 3 ®¥ 2y 2 y 3
x 4 4 4 4 y 4 4 4 4
Como y ® ¥, el mayor exponente de y es 1, dividiremos al numerador y
denominador entre y.
3 3 3 3
3 3 3 3
2y 3 y 4
2x 3 x 4 y
lim lim
x 4 4 4 4 y 4 4 4 4
2x 2 x 3 2y 2 y 3
y
®-¥ ®¥
- + - - +
+ - + =
+ - - + - -
3 4
2 1
3 3
3 3
y
y y
4 4
4 4
lim
2 3
2 1
y y
®¥
- + - - +
=
+ - -
3 3
4 4
= - - -
2 1
2 1
-
3
4
= - +
2 1
2 1
-
16) Calcular lim ( x 2 + 1 +
x
x
®-¥
)
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: ¥ - ¥.
En primer lugar, haremos un cambio de variable:
y = -x Û x = -y; Cuando x ® -¥ ⇒ y ® +¥
Reemplazando en el límite, se obtiene
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
17
3.3.5 CLASES DE DISCONTINUIDAD
1. “a” es un punto de discontinuidad evitable (o removible) de la función f Û
$ y
lim f (x)
®
x a
lim f (x) f (a)
®
x a
¹
2. “a” es un punto de discontinuidad no evitable (o no removible) de la función f
Û No existe
lim f (x)
®
x a
Ejemplo. Analizar que tipo de discontinuidad son x=2, x=3 de la función
2
-
2x 6
f (x)
x 5x 6
=
- +
Solución
2x - 6 2(x - 3) 2
= = = =
lim f (x) lim lim lim 2
® ® x 5x 6 ® (x 2)(x 3) ® x 2
- + - - -
x 3 x 3 2 x 3 x 3
- +¥ ® = = =
2x 6 2 , x 2 lim f (x) lim lim
x 5x 6 x 2 , x 2
x 2 x 2 2 x 3
+
-
® ® ®

- + - -¥ ®
Luego, x = 3 es un punto de discontinuidad evitable y x = 2 un punto de
discontinuidad no evitable.
3.3.6 OBSERVACIÓN. Si x = a es un punto de discontinuidad evitable de f, se
puede hacer continua la función redefiniéndola así
¹ 
=  =
 ®
f (x), x a
F(x) lim f (x), x a
x a
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Calcular
3 2
+ +
- -
x 3x 2x
lim
®- x x 6
x 2 2
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: 00
, entonces
aplicaremos las identidades algebraicas apropiadas para evitar la indeterminación.
3 2
+ + = +
- -
x 3x 2x x(x 1)
lim lim
x 2 2 x 2
x x
( x 2
® - 6 ®-
+
(x 3)
)
- ( x + 2 )
= + = -
x 2
x(x 1) 2
lim
®- x 3 5
-
2) Calcular
7 7
+
+
x a
lim
®- x a
x a 3 3
Solución

18. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
18
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: 00
, entonces
7 7
+ =
+
x a (
lim lim
x a 3 3 x a
x a
x a
®- ®-
+ )(x6 - x5a + x4a2 - x3a3 + x2a4 xa5 +
a6
+
( x a
-
)(x2 - ax + a2 )
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
= - + - + - +
x x a x a x a x a xa a
lim
®- x ax a
x a 2 2
- +
= a4
 2 2

 -   - - + 
lim
® 3x 6 2x 5x 2
3) Calcular x 2 2
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: ¥ - ¥. Entonces
2
 2 2  2x - 8x +
8
 -  =  - - +  - - +
lim 2 lim
® 3x 6 2x 5x 2 ® (3x 6)(2x 5x 2)
x 2 2 x 2 2
x 2
2 (x 2
2
)
l m
2
i®
=
-
3 (x - 2)2 (2x 1)
4
9
-
=
4) Calcular
x 4
- +
- -
3 5 x
lim
® 1 5 x
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: 00
. Luego, hacemos lo
siguiente
- + = - + +
- -
+
3 5 x (3 5 x)(3 5 x
+
-
- + - +
+
-
® ® 1 5 x )
x 4 x 4
)( 1 5 x
)
3 5
lim lim
1 5 x (1 5 x)( )( x
= - )(1 5 x
x 4
4
lim
( x
®
4
)
( x
+ -
- - )(3 5 x)
1
3
+ +
= -
5) Calcular
3
x 1 4
-
-
x 1
lim
® x 1
Solución
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
23
Luego, el límite es igual a:
( )
3 2
- - - + -
3 3 2x 28 x 13 196
lim
®- x 6 2 4 x 2 8
( )
x 6 3 3
+ - + - + +
( )
( )
( 2 )
- - - + -
3 3 2x 28 x 13 7
3
lim lim
®- 2 4 x 10 ®- x 6
x 6 3 x 6
=
- + - + +
= + - +
24(6 x) 28(x 6)(x 6)
lim 3
lim
®- 6(4 x 10) ®- (x 6)( x 13 7)
- - + + + +
x 6 x 6 2
)(4 x 10)
= - 3
+ x 6
( 6 x
8 3 lim
®-
+ - +
+
x 6
= -64 3 3
13) Calcular
3
+
- +
x x
lim
®+¥ x 3x 1
x 4 2
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: ¥¥
Cuando la variable independiente tiende al infinito, a la función la dividimos, al
numerador y denominador entre la variable x con su mayor exponente. En este
caso, lo dividimos entre x4, después aplicamos el limite.
+
x x
+ 4
=
- + - +
3
3
x 4 2 x 4 2
4
x x
lim li x
x
m
® +¥ x 3x 1 ®+¥ x 3x 1
1 1
3
x
lim x x
3 1
2 4
1
x x
®+¥
+
=
- +
0
0
= =
1
14) Calcular
2
x 1 x
lim
®¥ x x x
x 4 3
+ +
+ -
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: ¥¥
Como x ® ¥, el mayor exponente de x es 1, dividiremos al numerador y
denominador entre x.

19. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
22
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado de la forma: 00
|x-3|2 = (x-3)2
Cuando x ® 3, entonces x+3 ® 6; por lo tanto, x+3 es positivo y |x+3| = x+3.
Luego, el límite es igual a
2
- + + - +
1 (x 3) 26 x 3 3x 33
lim lim
2 x ® 3 x 2 15x 6 2 x ®
3 x 2
15x 6
- 3 + - - 3
+ -
2 2
+ +
x 3 x 3
2 2
= - + - - + + - -
1 12(x 3)(x 3) 12(x 3)((x 3) 3x 33
lim 13 lim
2 ® (x 10)(x 3) ® 12(x 10)(x 3)
+ - + -
2
x 3 x 3
= - + - -
x 3
x 6x 3x 24
0 6 lim
-
® x 3
2
= - + - -
x 3
x 6x 3x 24 0
6 lim :
-
® x 3 0
Hacemos un cambio de variable
Sea
y2
3 y = 3x Û x =
Si x ® 3 ⇒ y ® 3
Luego, reemplazando, resulta
4
y 2
9
+ - -
2y y 24
2
y 3 y
3
6 lim
® 3
= -
-
4 2
= - + - -
3(y 18y 9y 216)
6 lim
y 3 2
-
® 9(y 9)
En el numerador, aplicando el método de Ruffini para división de polinomios, se
obtiene
3 2
= - - + + +
y 3
(y 3)(y 3y 27y 72)
2 lim
+ -
® (y 3)(y 3)
= -69
12) Calcular ( 3 ) 3 2
3 3sgn(x 6) 2x 28 x 13 196
x 6 3 x 3
4
lim
x 6 2 4 x 2 4
®-
- + - + -
 
+  - + - - 
 
Solución
Si x ® -6 ⇒ x3+6 ® -210, sgn(x3+6) = -1
Si x ® -6 ⇒ x 3
4 = -2
4 2 ®- , x
Si x ® -6 ⇒ x-2 ® -8, |x-2| = -(x-2)
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
19
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: 00
3 2 3 4 3 4 2 4
+ + + +
+ +
- -
+
x 1 ( x 1)( x x 1)( x x x )
4 3 4 2 4
3 3
lim lim
x 1 4 x 1 4 3 2 3
1
x 1 ( x 1)( x )( x x 1)
® ® x x 1
+ +
=
- - +
= -
x 1
x
lim
( 1
®
4 3 4 2 4 )( x x
x
x
( 1
+ + 1)
-
+
3 2 3 )( x x 1)
4
3
+ +
=
6) Calcular
3
x 8
+ -
-
2 x 2
lim
® x 8
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: 00
3 3
+ - -
2 x 2 x 2 0
li
m lim :
® x 8 ® (x 8)( x 2) 0
x 8 x 8 3
2
+ +
=
- -
= -
x 8
x
lim
8
®
( x -8 3 3 2 3 )( 2 x 2)( x x )
1
48
+ 4
=
+ + +
 3 2

 - 
 - - 
lim
® 1 x 1 x
7) Calcular x 1 3
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: ¥ - ¥.
Racionalizando cada término que está dentro del límite
 3 2

 - 
 - - 
lim
® 1 x 1 x
x 1 3
 3 3 2
 =  + - + + 
x 1
3(1 x ) 2(1 x x )
lim
® 1 x 1 x
 - -   
 3 3 2
 =  + - - 
x 1
1 3 x 2 x 2 x
lim
® 1 x
 -   
 3 3 2
 =  - + - + - 
x 1
3( x 1) 2(1 x) 2(1 x )
lim
® 1 x
 -   

20. Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
20
   3  2
 x - 1 1 - x   1 = - + + - 3 x
3 lim    x ® 1   2 lim     2 lim
 x - 1  x ® 1  1 - x  x ® 1
   1 - x

 1    1   1 + 3
x
 = - 3 lim   + 2 lim  2 2 lim
  x ® 1  x + 1  x ® 1  3 3  + x ® 1  3 3 2
  1 + x + x   1 + x + x

1 1 2
     
= - 3   + 2   + 2
 
2 3 3
     
1
2
=
8) Calcular
3
+ - +
x 2 x 20
lim
® x 9 2
x 7 4
+ -
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: 00
Para evitar la indeterminación, restamos y sumamos la cantidad que resulta después
de aplicar el límite a uno de los radicales del numerador. En este caso es 3.
3 3
+ - + = + + - +
x 2 x 20 x 2 x 20
lim lim
x 7 4 x 7 4
3 3
x 9 2 x 9 2
® ®
+
-
+ - -
3
= + - + - +
x 2 3 3 x 20
lim lim
® x 9 2 ® x 9 2
x 7 4 x 7 4
+ - + -
4 3 4 2 4
= + + + + + +
x 7
x 9 2 x 9 4 x 9 8
lim
® x 2 3
+ +
4 3 4 2 4
+ + + + + + +
x 9 2 x 9 4 x 9 8
lim
® x 20 3 x 20 9
x 7 3 2 3
+ + + +
32 32 112
6 27 27
= - =
9) Calcular
3 2 4
+ - -
1 x 1 2x
lim
® x x
x 0 2
+
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: 00
Para evitar la indeterminación, restamos y sumamos 1.
3 2 4 3 2 4
+ - - = + - + - -
1 x 1 2x 1 x 1 2x
lim lim
x 0 2 x 0 2
+ +
x x x
1
x
1
® ®
Mag. Jube Portalatino Límites y continuidad
21
3 2 4
= + - + - -
1 x 1 1 1 2x
lim lim
® x x ® x x
x 0 2 x 0 2
+ +
x
lim
x 0 2 3 2 3 2
(1 x)( 1 x 1 x 1)
®
=
+ + + + +
2
lim
® (1 x)(1 1 2x 1 2x 1 2x )
x 0 4 4 2 4 3
+
+ + - + - + -
1
2
=
10) Calcular
3
x 1
+ - +
- +
5x 3 3x 1
lim
® x 3x 2
Solución
Aplicando directamente, se obtiene un límite indeterminado: 00
Primero, hacemos un cambio de variable:
y x x y2
x 1 y 1
= Û =
® ⇒ ®
Luego, se tiene
3 3 2 2
+ - + + - + = -
- + - -
5x 3 3x 1 5y 3 3y 1
lim lim
® x 3x 2 ® 3y y 2
x 1 y 1 2
3 2 2
+ - +
- +
5y 3 2 3y 1
l
y 1 2
2
y y 2
im
® 3
-
-
=
-
= - +
5(y 1)
lim
y 1 2 3 2 3 2
(3y 2)( 5y 3 2 5y 3 4)
®
+ + + + +
- - +
3(y 1)
lim
® (3y 2)(2 3y 1)
y 1 2
+ + +
2 3 2
12 10 15
= - + =
11) Calcular
2
x 3 26 x 3 26 3x 33
x 3 2
3
lim
x 15x 6
4 2
x 3
®
- + + - +
- + -
+
Solución