Cap i civ121-fis 011-ina 011-2014

MEDICIONES Y SISTEMAS DE UNIDADES ING. CIVIL - ING. QUIMICA - ING. DE ALIMENTOS
CAPITULO I
MEDICIONES Y SISTEMAS DE UNIDADES
1.1. INTRODUCCION
La Física es una de las ciencias básicas fundamentales, tal vez la más importante de todas las
ciencias, porque estudia el comportamiento de la naturaleza, estudia todos los fenómenos
naturales que ocurren en nuestra vida práctica. La física es la base para el estudio de otras
ciencias, como la astronomía, biología, química, geología, etc. Para un mejor estudio, la física
puede dividirse en las siguientes ramas:
1. Física Clásica, que se ocupa del estudio de cuerpos muy grandes respecto al átomo, que
se mueven a velocidades menores que la velocidad de la luz.
2. Física Moderna, (Relatividad), estudia el movimiento de los cuerpos a grandes
velocidades, muy cercanas a la velocidad de la luz.
3. Termodinámica, que estudia la temperatura, calor, energía y trabajo para un sistema de
muchas partículas.
4. Electromagnetismo, estudia la electricidad, magnetismo y campos electromagnéticos.
5. Óptica, estudia el comportamiento de la luz y su interacción con otros materiales.
6. Mecánica cuántica, que estudia el comportamiento de la materia a nivel microscópico
con observaciones macroscópicas.
La física se basa en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas, la observación
de un fenómeno natural, será incompleta si no se da una información cuantitativa. Para
expresar una propiedad física en términos cuantitativos, es necesario el conocimiento de las
matemáticas, que nos permite operar las relaciones que existe entre las diferentes cantidades.
Por esta razón, se dice que la matemática es el lenguaje de la física, y sin matemáticas es
imposible comprender el fenómeno físico, tanto desde el punto de vista experimental como
teórico.
1.2. EL PROCESO DE MEDICION
Medir significa comparar la unidad patrón de medida con el objeto o fenómeno de estudio.
La medición es una técnica por medio de la cual asignamos un número y una unidad a una
propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar
tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. La mayor parte de las mediciones
que efectuemos en el laboratorio estarán relacionadas con la longitud, la masa y el tiempo.
Existen mediciones directas y mediciones indirectas.
La medición directa es la comparación de la unidad patrón con la propiedad física a ser
medida, por ej., la longitud del aula, se lo determina en forma manual y visual con un metro.
La medición indirecta es la medida que se obtiene por medio del empleo de instrumentos,
fórmulas y cálculos matemáticos, Por ej. La medición del volumen o masa de la tierra.
PASTOR GUTIERREZ BAREA
1

1.3. MAGNITUDES Y UNIDADES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS
En el estudio de la física se utilizan magnitudes y unidades, fundamentales y derivadas. El
físico reconoce 4 magnitudes fundamentales independientes: longitud, masa, tiempo y carga.
Existen otras magnitudes que se denominan derivadas, por que están expresadas en función de
las magnitudes fundamentales. Las unidades de las magnitudes fundamentales son el metro,
kilogramo, segundo y coulomb., cuyas abreviaciones son (m, kg, s y C).
1.4. PATRONES Y UNIDADES
Patrón de medida
Un patrón de medida es utilizado para crear una unidad de medida. Muchas unidades tienen
patrones, pero en el sistema métrico sólo las unidades básicas tienen patrones de medidas.
Los patrones nunca varían de valor. Como Ej. de patrones de medida, tenemos el metro,
kilogramo, segundo, etc.
De todos los patrones del sistema métrico, existe la muestra material del kilogramo,
conservado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. De ese patrón se han hecho varias
copias para varios países. También se cuenta un reloj atómico que no se adelantará ni retrasará
durante 20 millones de años.
Unidades
Las unidades son cantidades que se adoptan como patrones para compararlos con las
cantidades de la misma especie. Ej. Cuando decimos que un objeto mide 5 metros, estamos
indicando que es 5 veces mayor que la unidad tomada como patrón, en este caso el metro.
Una magnitud se puede expresar con diferentes unidades. Ejemplo: La longitud se expresa en
metros, pies, millas, etc. Por eso se estableció una unidad básica para cada magnitud existente,
en el caso de la longitud, es el metro.
Definiciones
El metro es la unidad de longitud del sistema Internacional de Unidades. Se define como la
longitud recorrida en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 segundos.
El kilogramo es la unidad de masa del Sistema Internacional de Unidades y su patrón está
definido por la masa que tiene el cilindro patrón, compuesto de una aleación de platino e
iridio, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, cerca de París.
Actualmente es la única unidad que se define por un objeto patrón. Su símbolo es kg.
El segundo es la unidad de tiempo. Según la definición del Sistema Internacional de Unidades,
un segundo es igual a 9.192.631.770 veces el período de vibración de radiación
correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del
isótopo 133 del átomo de cesio (133
Cs), medidos a 0 ºK.
2

1.5. SISTEMAS DE UNIDADES
Un sistema de unidades es un conjunto de unidades convenientemente relacionadas entre sí
que se utilizan para medir diversas magnitudes físicas (longitud, masa, volumen, etc.).
Para establecer las unidades fundamentales que rigen la física, la comunidad científica
normalizó en un solo sistema de unidades, conocido como Sistema Internacional de Unidades
(SI). Sin embargo hoy en día existen otros sistemas como el Absoluto y el Gravitacional que
todavía son utilizados por los países industrializados.
1.5.1. Sistema Internacional (SI)
Este sistema se utiliza en la mayoría de los países, el mismo que toma en cuenta 7 magnitudes
fundamentales y dos complementarias que detallamos en las Tablas 1.1 y 1.2.
Tabla 1.1. Magnitudes y unidades fundamentales
Magnitudes Fundamentales Unidad Símbolo Símbolo Dimensional
Longitud metro m L
Masa kilogramo kg M
Tiempo segundo s T
Intensidad de corriente eléctrica Ampere A I
Temperatura termodinámica Kelvin °K θ
Intensidad luminosa candela cd J
Cantidad de sustancia mol mol N
Tabla 1.2. Magnitudes y unidades complementarias
Magnitudes Complementarias Unidad de medida Símbolo
Angulo Plano Radián rad
Angulo sólido Estereorradián sr
1.5.2. Otros Sistemas de unidades
Los sistemas de unidades y medidas que existieron antes de crearse el Sistema Internacional,
subsisten debido a que en muchos países la tecnología industrial y la ciencia todavía hacen uso
de estas unidades. Entre estos tenemos el “Sistema Absoluto” y el “Sistema Gravitacional”
que se muestran en las Tablas 1.3 y 1.4 respectivamente.
Tabla 1.3. SISTEMA ABSOLUTO
Sub Sistema Longitud Masa Tiempo
M.K.S metro (m) kilogramo (kg) segundo (s)
C.G.S. centímetro (cm) gramo (g) segundo (s)
Ingles pie (pie) libra (lb) segundo (s)
3

Tabla 1.4. SISTEMA GRAVITACIONAL
Sub Sistema Longitud Fuerza Tiempo
M.K.S metro (m) kilogramo (kgf ) segundo (s)
C.G.S. centímetro (cm) gramo (gf ) segundo (s)
Ingles pie (pie) libra (lbf) segundo (s)
1.6. PRECISIÓN Y EXACTITUD
Para explicar estos conceptos consideremos la medición de la longitud del aula, realizada por
5 estudiantes. En la Tabla 1.5 se presentan los resultados de dichas mediciones:
Tabla 1.5. Mediciones de la longitud del aula de clases
Estudiante Longitud, m
1 14.157
2 14.150
3 14.153
4 14.159
5 14.156
Promedio 14.155
La Precisión de una serie de mediciones, se refiere al grado de reproducibilidad o
repetitividad dentro de la serie. La precisión es buena o alta, si todas las mediciones son
cercanas al promedio de la serie. La precisión de los datos de la tabla 1.5 es buena; todas las
mediciones están a menos de 0.005 m del valor promedio.
La Exactitud de una serie de mediciones se refiere a la cercanía del valor promedio (valor
medido) al valor “correcto” o verdadero de dicha medición. Es más probable que mediciones
muy precisas sean exactas que las imprecisas, pero hay ocasiones en que las mediciones muy
precisas son inexactas.
1.7. DIMENSIONES DE MAGNITUDES DERIVADAS
El largo, ancho y altura, son de la misma especie, es decir tienen la misma dimensión. Las
expresiones dimensionales de las magnitudes derivadas se representan en la Tabla 1.6.
Tabla 1.6. Magnitudes y Unidades Derivadas
Magnitudes
Derivadas
Símbolo Unidades
Físicas
Expresión
Dimensional
Área A m2
L2
Volumen V m3
L3
Velocidad V m/s L T -1
Aceleración A m/s2
L T -2
Velocidad angular ω 1/s T -1
Aceleración angular α 1/s2
T -2
4

Fuerza F kg m /s2
M L T -2
Trabajo o energía W kg m2
/s2
M L2
T -2
Presión P Kg/ms2
M L-1
T -2
Densidad ρ kg/m3
M L-3
Peso específico γ kg/m2
s2
M L-2
T -2
Viscosidad µ kg/m s M L -1
T -1
Calor específico Cp o Cv Cal/gºC L2
T-2
θ-1
1.8. ANÁLISIS DIMENSIONAL
En Física todas las magnitudes tienen dimensiones. Así decimos que [v]= LT -1
y [F]=MLT -2
.
El concepto de dimensión se debe a Fourier que, en su obra “Théorie Analytique de la
Chaleur”, dice: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene
una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no
tuviesen el mismo exponente de dimensiones”. Es decir, las ecuaciones deben de ser
homogéneas dimensionalmente hablando. Si todos los términos de una ecuación no tienen las
mismas dimensiones, no se podrían llevar a cabo operaciones de suma o resta, así por ej.,
hemos oído alguna vez que no se pueden sumar peras con manzanas; aunque esto no es
estrictamente cierto, puesto que 3 peras y 2 manzanas son 5 frutas.
Del concepto de magnitud, dimensión y homogeneidad de las ecuaciones físicas se ocupa el
llamado Análisis Dimensional.
El análisis dimensional nos permite estudiar las relaciones entre las magnitudes fundamentales
y derivadas, también nos permite encontrar la expresión dimensional de una o mas cantidades
físicas. La operación se realiza reemplazando cada símbolo dimensional que se da en las tablas
anteriores. Para obtener las dimensiones de una magnitud física, se aplica el “operador”
dimensional “ [ ] ”
.
Si a una ecuación o fórmula física, que represente una magnitud derivada, lo representamos
mediante el símbolo “S”, en su fórmula genérica, podrá representarse dimensionalmente así:
[ ] gfedcba
VJITMLS θ=
Donde a, b, c, d, e, f, g son números reales
1.8.1. Ecuaciones dimensionales
Una ecuación dimensional, relaciona la igualdad entre dos expresiones, en la que deben
encontrarse una o más incógnitas. Por ejemplo en la siguiente ecuación dimensional:
[ ] [ ] x
TMLQRML 5,02
=
Las incógnitas son R y Q, a las cuales se les debe hallar sus expresiones dimensionales.
1.8.2. Propiedades de las ecuaciones dimensionales:
5

2. Las ecuaciones dimensionales cumplen con las leyes del algebra, excepto la adición y
sustracción, por ejemplo:
a) [ ] [ ][ ]BABA .. = b)
[ ]
[ ]B
A
B
A
=





c) [ ] [ ]nn
AA = d)
[ ] [ ]m nm n
AA =
3. En una ecuación dimensional, los números, constantes numéricas, logaritomos,
medidas de ángulos y funciones trigonométricas, son dimensionalmente igual a la unidad
(1).
Ejemplos: [ ] 1150 = ; 1)2( =π ; (30º) = 1 ; [ ] 1=θsen
4. Para sumar o restar magnitudes físicas, estas deben ser homogéneas dimensionalmente,
es decir debe cumplirse el principio de la homogeneidad en sus unidades físicas.
Ejemplos de ecuaciones dimensionales:
Si A = zyx −+ , debe cumplirse que: [A] = [x] = [y] = [z]
Si DCBAE /2
++= , entonces [E] = [A] = [B2
] = [C/D]
5. Los exponentes de una magnitud dimensional, necesariamente son números reales, por
lo tanto dimensionalmente son iguales a la unidad (1).
Ejemplo: Si CBAx
=
Dimensionalmente: [ ] [ ][ ]CBA
x
= [ ] 1=x
1.8.3. Aplicaciones del Análisis Dimensional:
1. Detección de errores de cálculo.
2. Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas
insalvables. Por ejemplo, Rayleigh, precursor del Análisis Dimensional junto a Fourier,
lo empleo por primera vez en Mecánica de Fluidos.
3. Creación y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los túneles aerodinámicos.
4. Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, tanto cambios
reales como imaginarios.
1.9. MARCOS DE REFERENCIA Y SISTEMAS DE COORDENADAS
Las mediciones deben efectuarse con respecto a un marco de referencia. Por ejemplo, si usted
se encuentra en un tren que viaja a 80 km/h y mide la velocidad de una persona que avanza en
dirección del tren, supongamos que avanza a 5 km/h . Naturalmente esta será la velocidad de
la persona con respecto al tren, como marco de referencia. Con respecto a la tierra o a una
6

estación esa persona se mueve con una velocidad de 85 km/h, tomando como marco de
referencia la tierra o la estación. Siempre es necesario especificar el marco de referencia al
mencionar una velocidad.
Otro ejemplo, si un avión pasa por encima de la ciudad de Tarija a una velocidad de 1000
km/h, no solo debemos especificar su velocidad, sino también su dirección, es decir diremos,
paso a una velocidad de 1000 km/h en dirección norte o sud. Con frecuencia se suele
especificar una dirección, empleando los puntos cardinales, norte sur, este y oeste o un sistema
de coordenadas rectangulares xy, o también utilizar los terminas “hacia arriba”, “hacia abajo”,
a “la derecha”, o a “la izquierda”. En física un sistema de coordenadas rectangulares,
representa un marco de referencia. Los cuerpos colocados a la derecha del origen en el eje x,
se dice que tienen una coordenada x con valor positivo, los que están a la izquierda del origen
en el eje x, tienen una coordenada x negativa. En el eje y tendrá un valor positivo si se
encuentra por encima del origen y tendrá un valor negativo si se encuentra por debajo del
origen. Cuando se trabaja con tres dimensiones, se utiliza un eje z, que se traza perpendicular a
los ejes x y y.
Aunque la mayoría de las mediciones se efectúan en marcos de referencia fijos en la Tierra, es
importante reconocer que pueden haber otros que no se encuentren el la tierra. Por ejemplo
algunas veces se efectúan mediciones científicas a bordo de un barco, una aeronave, o de un
satélite.
1.10. PROBLEMAS RESUELTOS
1.1. La siguiente expresión es la ecuación universal de los gases ideales:
TRNPV =
Donde:
P = Presión = (N/m2
)
V = Volumen = (m3
)
N = Número de moles = (mol)
T = Temperatura absoluta = (ºK)
Hallar las dimensiones de la constante universal de los gases ideales R en el SI.
Solución:
Del principio de homogeneidad dimensional:
[P][V] = [N][R][T]
Dimensionando: [P] = M.L-1
.T-2
; [V 3
] = L3
; [N]= mol;.[T] = ºK
Reemplazando en la ecuación: (M.L-1
.T-2
)( L3
) = mol.[R].ºK
Despejando: [R] = M.L2
.T-2
.[mol-1
].[ ºK-1
] ; tomando en cuenta las unidades del SI, tenemos:
7

R = kg m2
s-2
mol-1
K-1
= J.mol-1
.K-1
1.2. La fórmula que determina la altura máxima “h” alcanzada por una partícula que es
lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial “v” tiene la siguiente
expresión:
y
x
g
v
h
.2
=
Donde:
g = Aceleración de la gravedad
Hallar la fórmula física correcta.
Solución:
Por el principio de homogeneidad dimensional:
[ ] [ ]
[ ][ ]y
x
g
v
h
.2
=
[ ]
[ ][ ]y
x
TL
TL
L
2
1
..1
.
−
−
= ======> L1
.T0
= Lx-y
.T2y-x
Donde: Para L : x - y = 1
Para T : 2y – x = 0
Resolviendo: x = 2 ; y = 1
Entonces:
g
v
h
2
2
=
1.3. El período de oscilación de un péndulo simple, está dado por la siguiente expresión:
yx
glt π2=
Hallar los valores de “x” e “y”, y expresar la fórmula física correcta.
Donde:
t = Tiempo; l = Longitud; g = aceleración de la gravedad
Solución:
Si. [t] = T; [l] = L; [g] =L.T-2
Reemplazando: T = Lx
(L.T-2
)y
Ordenando términos: T = Lx
Ly
T-2y
= Lx+y
. T-2y
8

Comparando términos: L0
.T = Lx+y
. T-2y
Separando términos: L0
= Lx+y
∴ 0 = x + y
T = T-2y
∴ 1 = -2y; y = -1/2
Como 0 = x + y 0 = x + (-1/2)
x =1/2
Reemplazando los términos en la ecuación:
g
l
glt ππ 22 2/12/1
== −
1.4. La cantidad de calor que disipa un conductor cuando por el circula una corriente
eléctrica, depende de la intensidad de corriente I que por ella circula, del valor de su
resistencia R y del tiempo t transcurrido. Hallar la formula empírica para calcular el calor
que se disipa.
zyx
tRIQ =
Por principio de homogeneidad dimensional, tenemos:
[ ] [ ] [ ] [ ] zyx
tRIQ =
[ ] zyx
TITMLITML 23222 −−−
=
yxzyyy
ITMLITML 2320212 −+−−
=
A bases iguales, le corresponden exponentes iguales:
yxzyyy 20;32;1;22 −=+−=−==
Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos los siguientes valores:
x = 2 ; y = 1 ; z = 1
La ecuación pedida será la siguiente: tRIQ 2
=
1.11. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. La energía cinética de un móvil viene dada por la siguiente expresión, Ec = ½ mv2
. Si la
velocidad de un automóvil de 9810 N de peso aumenta de 50 km/h a 100 km/h, ¿Cuál será
el aumento de su energía cinética expresada en julios?, Resp. 289398,15 J
2. El tanque de gasolina de un automóvil tiene 80 cm de longitud y 40 cm de diámetro.
¿Cuántos litros de gasolina entraran en este tanque? Resp: 100,53 l.
9

3. Por una tubería que comunica a un tanque, circulan 5 m3
/min de agua. Determine el
volumen de agua en pies cúbicos que se almacenará en un mes. Resp. 7,62x106
pies3
4. La potencia de un ventilador, se calcula a partir de la siguiente ecuación:
zyx
RWKP ρ=
Siendo K = constante; W = velocidad angular; R = radio de la hélice; ρ = densidad del agua.
Encontrar los valores de x, y y z.
Resp: x = 3 ; y = 5 ; z = 1
5. Dada la ecuación:
zyx
vrF µ=
F = fuerza; µ = viscosidad; r = radio; v = velocidad
Encontrar: (x + y + z), Resp. (x + y + z) = 3
6. Calcular las dimensiones de X y Z si la expresión siguiente es dimensionalmente correcta.
( ) 222 −
−=++ MdpCbZAX a
Donde: A = área; b = volumen, p = presión y M = masa.
Resp. 44 −−
= TLX ; 22
5
−
−
= TLZ
7. Determinar la ecuación que permita calcular la velocidad de propagación de una onda
mecánica, en una cuerda tensa, sabiendo que depende de la fuerza de tensión F y de su
densidad lineal de masa µ (masa/longitud).
yx
FKv µ=
Donde K es una constante numérica de proporcionalidad.
Resp.
µ
F
Kv =
8. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente consistente, hallar los valores de los
exponentes a, b, y c y escribir la ecuación resultante.
cba
VX
g
XtgY 02
cos2 θ
θ −=
10

Donde: Y = distancia vertical, X = distancia horizontal, g = aceleración de la gravedad, V0 =
velocidad inicial. Resp. a = 1 ; b = 2 ; c= -2
9. La Ley de Stokes de la fuerza de fricción en un liquido viscoso en reposo esta dado por:
zyx
VRKF 2
10π= ; 11 −−
= TMLK
R = Radio de la esfera que se encuentra en el fluido, V = Velocidad media de la esfera.
Calcular: (x +y - 2z) ; Resp. (x +y - 2z) = 0
10. El calor que disipa un conductor cuando por el circula una corriente eléctrica, depende de
la intensidad de corriente I, del valor de su resistencia R y del tiempo t transcurrido de
acuerdo con la siguiente expresión:
zyx
tRIKQ =
Sugerencia: El trabajo eléctrico se relaciona con la diferencia de potencial V, la intensidad de
corriente I y el tiempo t mediante la siguiente ecuación: tVIW = ; V = IR
Si K representa una constante de proporcionalidad, encuentre la fórmula empírica
dimensionalmente correcta para calcular Q.
Resp: Q =K I 2
R t
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