El documento trata sobre la modelización de sistemas mecánicos usando ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como la segunda ley de Newton, resortes, amortiguadores y el método de Lagrange para modelar sistemas mecánicos simples y mixtos mediante ecuaciones diferenciales. Además, analiza tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para solucionarlas en la modelización de sistemas.

1. Modelización de
Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Capitulo 1
Modelización de Sistemas
Introducción
Mecánicos Segunda Ley de
Newton
usando Ecuaciones Diferenciales Resorte
Amortiguadores
Método de Lagrange
Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales
Alfonso Cubillos V
Programa de Ing. Mecánica
Universidad de Ibagué
1.1

2. Modelización de
¿Qué se puede hacer con las Ecuaciones Diferenciales ? Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Prácticamente todos los sistemas físicos se pueden modelar
por medio de Ecuaciones Diferenciales
¿Qué sistemas se pueden
modelar por medio de
Ecuaciones Diferenciales? Introducción
Segunda Ley de
• Mecánicos Newton
Resorte
• Vibraciones Esto ha permitido realizar Amortiguadores
Método de Lagrange
analogías, soluciones
• Térmicos
generales, modelar sistemas
• Hidráulicos
complejos o mixtos, y mucho
• Eléctricos más !!!
• Magnéticos
• Poblacionales
• Económicos
• Espaciales
1.2

3. Modelización de
Sistemas Mixtos Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Introducción
Segunda Ley de
Newton
Resorte
Amortiguadores
Método de Lagrange
Sistema Electro-Mecánico
1.3

4. Modelización de
Sistemas Mixtos Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Introducción
Segunda Ley de
Newton
Resorte
Amortiguadores
Método de Lagrange
1.4
Sistema Servo-Mecánico

5. Modelización de
Algunos datos sobre las Ecuaciones Diferenciales Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Qué tipo de ecuaciones Diferenciales se pueden encontrar?
• Según Tipo : Ordinarias y Parciales
• Según el Orden : Primer, Segundo u Orden Superior
Introducción
• Según Linealidad : Lineales y No Lineales
Segunda Ley de
Newton
• Según Coeficientes : Constantes y Variables Resorte
Amortiguadores
Método de Lagrange
Qué métodos se pueden usar para solucionarlas?
• Métodos Clásicos Analíticos
• Aplicando la Transformada de Laplace y obteniendo la
Función de Transferencia
• Métodos Aproximados Simulación Digital
• Elementos Finitos
1.5

6. Modelización de
Segunda Ley de Newton Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Descomposición Escalar
Para sistemas
Fx = m ax
Traslacionales
Fy = m a y Introducción
F=ma Segunda Ley de
Newton
Fz = m az Resorte
Amortiguadores
Método de Lagrange
Para sistemas Rotacionales
Mx = Ix αx − (Iy − Iz ) wy wz
My = Iy αy − (Iz − Ix ) wz wx
Mz = Iz αz − (Ix − Iy ) wx wy
1.6

7. Modelización de
Resortes Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
• Se utilizan para almacenar energía
• Se caracterizan por su respuesta estática a las cargas
aplicadas
• El comportamiento del resorte puede ser lineal o no lineal
• La fuerza de un resorte depende del desplazamiento Introducción
relativo de sus extremos Segunda Ley de
Newton
Resorte
Amortiguadores
Método de Lagrange
1.7

8. Modelización de
Tipos de Resortes Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Resorte Lineal
Traslacional
F = k (x2 − x1 )
Introducción
Resorte Lineal Rotacional
Segunda Ley de
Newton
Resorte
T = k (θ2 − θ1 ) Amortiguadores
Método de Lagrange
1.8

9. Modelización de
Constante de Elasticidad o Rigidez de elementos Sistemas Mecánicos
Estructurales Alfonso Cubillos V
Tracción Pura
EA
k=
L
Introducción
Torsión Pura Segunda Ley de
Newton
Resorte
Amortiguadores
G Ixx
k= Método de Lagrange
L
1.9

10. Modelización de
Constante de Elasticidad o Rigidez de elementos Sistemas Mecánicos
Estructurales Alfonso Cubillos V
Flexión Pura
Depende del tipo de carga
Introducción
Segunda Ley de
Newton
Resorte
Amortiguadores
Método de Lagrange
1.10

11. Modelización de
Amortiguadores Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Introducción
Segunda Ley de
Newton
Resorte
Amortiguadores
Método de Lagrange
Amortiguador Lineal Traslacional
F = b (x˙2 − x˙1 )
Amortiguador Lineal
Rotacional
T = b (θ˙2 − θ˙1 )
1.11

12. Modelización de
Ecuaciones de Lagrange Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
Para desarrollar el método de Newton, normalmente es
necesario separar los cuerpos y realizar los diagramas de
cuerpo libre de cada uno de ellos. Sin embargo, se presentan
casos donde no es necesario conocer las fuerzas entre los
diferentes elementos. Lagrange (Matemático Frances, 1736 -
1813) demostró que una consideración energética permite
Introducción
resolver el problema. Segunda Ley de
Newton
• Seleccionar un número mínimo de coordenadas Resorte
Amortiguadores
independientes necesarias para describir la posición del
Método de Lagrange
sistema
• Cada una de estas coordenadas se denomina qi , y como
Qi las cargas en cada coordenada
• Se selecciona un sistema de referencia y se expresa la
Energía Potencial la cual incluye a los resortes y el
cambio en la altura de la masa.
Ug = W · g
U = f1 (qi ) ⇒ 1
Ue = 2 K · s2
1.12

13. Modelización de
Ecuaciones de Lagrange Sistemas Mecánicos
Alfonso Cubillos V
• La energía cinética T es función de la masa, inercia,
velocidad lineal y angular.
1
Tt = 2 m x 2
˙
T = f2 (q 2 ) ⇒
˙
˙
1
I θ2
Ta = 2
Introducción
• Las pérdidas por fricción de los dispositivos se describen
Segunda Ley de
como energía de disipación y esta depende de la Newton
Resorte
velocidad del sistema y del coeficiente de Amortiguadores
Amortiguamiento Método de Lagrange
1
R = f3 (q 2 ) ⇒ R = b x2
˙ ˙
2
• La fuerzas se concideran como Qi asociadas con cada
coordenada.
• Usando el principio de d’Alembert, se puede obtener la
ecuación de movimiento para cada coordenada utilizando
d δT δT δR δU
− = Qi
+ +
˙ ˙
dt δ qi δ qi
δqi δqi
1.13