Dinamica Estructural_Saez

Capítulo 2
Elementos de Dinámica Estructural
2.1 Introducción
Ante acciones de tipo dinámico una estructura responde modi…cando su con…guración alrededor
de una posición de equilibrio estable. Estos cambios de con…guración pueden alcanzar grandes
amplitudes incluso para valores pequeños de la acción excitadora, pudiendo conducir al colapso
de la estructura.
En este capítulo se revisan algunos de los conceptos básicos del análisis dinámico de estruc-
turas que son de aplicación en las normativas sismorresistentes. Así, en la sección 2 se realiza
un breve repaso de los sistemas lineales de un grado de libertad. Se estudian los casos de las
vibraciones tanto libres como forzadas y el caso de vibraciones producidas por una excitación
de base. A continuación, en la sección 3, se introduce uno de los conceptos clave del cálculo
sísmico: la de…nición de la acción por medio de espectros sísmicos de respuesta. La sección 4
se dedica al estudio de sistemas elásticos lineales con varios grados de libertad. Se plantean las
ecuaciones del movimiento y se presentan las propiedades de los modos y frecuencias propias
de la estructura. La respuesta máxima del sistema ante una solicitación sísmica se obtiene uti-
lizando el análisis modal espectral, i.e., expresando dicha respuesta mediante superposición de
modos, obteniendo la respuesta máxima asociada a cada uno de estos modos en base a la acción
sísmica de…nida por su espectro de respuesta, y combinando las respuestas máximas modales
así calculadas. Finalmente, se hace un breve apunte de los métodos de integración directa de
las ecuaciones del movimiento.
c°A. Sáez. Estructuras III. E.T.S. Arquitectura de Sevilla.

CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL 10
2.2 Sistemas de un grado de libertad
2.2.1 Vibraciones libres
Vibraciones libres de sistemas no amortiguados
Se estudia la vibración del sistema que se esquematiza en la …gura 2.1, formado por una masa
y un muelle de comportamiento elástico y lineal.
m
k
x(t)
m
k x
m x
Figura 2.1: Sistema de un g.d.l.. Equilibrio de fuerzas
Si se desplaza la masa desde su posición de equilibrio y a continuación se deja vibrar libre-
mente, la masa oscilará alrededor de dicha posición. Aislando la masa y planteando el equilibrio
de fuerzas, se obtiene
mÄx + kx = 0 (2.1)
La solución a la ecuación (2.1) es de la forma
x(t) = A1 cos !nt + A2 sen !nt ; !n =
s
k
m
(2.2)
donde !n es la frecuencia natural o frecuencia propia del sistema (dada en radianes por segundo)
y es la frecuencia a que tiende a vibrar el sistema de acuerdo con sus características. A1 y A2
son dos constantes arbitrarias que se calculan a partir de las condiciones iniciales.
Amortiguamiento
El amortiguamiento es el proceso causante de que un movimiento vibratorio disminuya su am-
plitud con el tiempo. Su origen puede ser diverso: por rozamiento de dos super…cies, como
consecuencia de la fricción interna o histéresis del propio material, etc.
Para aproximar las distintas formas de amortiguamiento es habitual en dinámica estructural
emplear un amortiguamiento viscoso. En este caso la fuerza amortiguadora es proporcional a la
velocidad
Fa = c _x (2.3)
donde la constante c de amortiguamiento equivalente es tal que origina la misma disipación de
energía que la producida por el amortiguamiento real de la estructura.

Vibraciones libres de sistemas amortiguados
La …gura 2.2 esquematiza un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso. La
ecuación del movimiento viene de…nida en este caso por
mÄx + c _x + kx = 0 (2.4)
La solución a esta ecuación tiene la forma
x(t) = e¡ c
2m
t
n
A1er1t
+ A2er2t
o
; r1 =
s
c2
4m2
¡
k
m
= ¡r2 (2.5)
donde A1 y A2 se calculan de nuevo a partir de las condiciones iniciales.
m
k
x(t)
m
k x
m x
c c x
Figura 2.2: Sistema de un g.d.l. con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de fuerzas.
La respuesta del sistema depende del valor de r1 y r2 en la ecuación (2.5). Se pueden
distinguir dos casos:
² Si c2
4m2 ¸ k
m las raíces r1 y r2 son reales. El sistema está sobreamortiguado y tiende
exponencialmente a su posición de equilibrio sin oscilar (…gura 2.3). En el caso particular
en que r1 = r2 = 0 se dice que el sistema está críticamente amortiguado, ya que tiende a
la posición de equilibrio en el menor tiempo posible. Esto sucede para un valor crítico de
la constante de amortiguamiento, ccr, dado por
c2
cr
4m2
=
k
m
) ccr =
p
4km = 2m!n (2.6)
La relación entre la constante de amortiguamiento de un sistema y la constante de amor-
tiguamiento crítico se denomina factor de amortiguamiento »:
» =
c
ccr
=
c
2m!n
(2.7)
² Si c2
4m2 < k
m, i.e., si c < ccr, como sucede habitualmente en estructuras de edi…cación, las
raíces r1 y r2 son complejas y el sistema vibra con amplitud decreciente hacia su posición
de equilibrio (…gura 2.4). La respuesta del sistema adopta entonces la forma
x(t) = e¡ c
2m
t
fA1 cos !dt + A2 sen !dtg ; !d =
s
k
m
¡
c2
4m2
= !n
q
1 ¡ »2
(2.8)
donde !d es la frecuencia de vibración amortiguada. Dado que en edi…cación el factor de
amortiguamiento de las estructuras suele ser inferior a 0.1, se veri…ca que !d ' !n, i.e., la
frecuencia de oscilación libre del sistema no va a depender de su amortiguamiento.

t
x(t)
Figura 2.3: Respuesta de un sistema sobreamortiguado
t
x(t)
Figura 2.4: Respuesta de un sistema amortiguado
2.2.2 Vibraciones forzadas
Se estudia el caso de un sistema amortiguado de un grado de libertad sometido a una fuerza
excitadora de tipo armónico
F(t) = Fo sen !t (2.9)
según se muestra en la …gura 2.5. Planteando el equilibrio de fuerzas se obtiene la ecuación del
movimiento
mÄx + c _x + kx = Fo sen !t (2.10)
cuya solución es la suma de la solución de la ecuación homogénea y una solución particular de
la completa, i.e.,
x(t) = xh(t) + xp(t) (2.11)
donde la solución homogénea viene dada por
xh(t) = e¡ c
2m
t
fA1 cos !dt + A2 sen !dtg (2.12)
y una solución particular de la ecuación completa por
xp(t) =
Fo=k
s·
1 ¡
³
!
!n
´2
¸2
+
h
2» !
!n
i2
sen (!t ¡ ') (2.13)

m
k
x(t)
m
k x
m x
c c x
F(t) F(t)
Figura 2.5: Sistema de un g.d.l. sometido a carga armónica. Equilibrio de fuerzas.
= Xsen (!t ¡ ')
El comportamiento del término xh(t) ya se ha descrito al estudiar las vibraciones libres, y
corresponde a la respuesta transitoria del sistema. En sistemas amortiguados esta vibración
desaparece al cabo de un cierto tiempo y depende de las condiciones iniciales de velocidad y
desplazamiento.
El término xp(t) de…ne la respuesta en régimen permanente. En este caso la vibración
no desaparece hasta que cesa la excitación exterior. Puesto que en la ecuación (2.13) Fo=k
corresponde a la respuesta del sistema para una carga estática de amplitud Fo, se de…ne el
coe…ciente de ampli…cación dinámica o factor dinámico de carga como la relación entre las
respuestas dinámica y estática del sistema (a una excitación de la misma amplitud)
X
Fo=k
=
X
Xest
=
1
s·
1 ¡
³
!
!n
´2
¸2
+
h
2» !
!n
i2
(2.14)
En la …gura 2.6 se muestra la evolución con la frecuencia excitadora de este coe…ciente. Se
distinguen tres zonas:
² ! < !n : cuando ! ' 0 la fuerza aplicada es cuasi-estática y por tanto la respuesta coincide
con la estática. A medida que ! aumenta, el sistema comienza a vibrar en respuesta a la
fuerza aplicada, aumentando la ampli…cación según la frecuencia excitadora se aproxima al
valor de la frecuencia natural del sistema. El papel que juega el amortiguamiento es doble:
por un lado disminuye la ampli…cación de la respuesta y por otro produce un incremento
en el desfase '.
² ! ' !n : en esta zona se produce la máxima ampli…cación de la respuesta. Esto ocurre
para una frecuencia de excitación
! = !n
q
1 ¡ 2»2
(2.15)
que prácticamente coincide con !n para los valores habituales del amortiguamiento (» <
0:1). La ampli…cación obtenida para esta frecuencia es
X
Xest
¯
¯
¯
¯
max
=
1
2»
q
1 ¡ 2»2
'
1
2»
(2.16)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
2
4
6
8
10
ω/ωn
X/Xest
ξ=0
ξ=0.05
ξ=0.1
ξ=0.2
ξ=0.5
Figura 2.6: Coe…ciente de ampli…cación dinámica
m
k
x(t)
m
k (x-y)
m x
c c (x-y)
y(t)
Figura 2.7: Sistema de un g.d.l. sometido a excitación en su base. Equilibrio de fuerzas.
² ! > !n : según aumenta el valor de la frecuencia de excitación (! ! 1) al sistema le
resulta imposible seguir las oscilaciones inducidas por la acción exterior, por lo que tiende
a permanecer en reposo
X
Xest
¯
¯
¯
¯
!!1
! 0 (2.17)
2.2.3 Vibraciones producidas por una excitación de la base
Las vibraciones producidas por los terremotos están asociadas a un movimiento en la base del
sistema (…gura 2.7). A continuación se estudia el caso en que este movimiento es de tipo armónico
y(t) = Y sen !t (2.18)
Al igual que en los casos anteriores la ecuación del movimiento se obtiene planteando el
equilibrio de fuerzas para la masa aislada
mÄx + c( _x ¡ _y) + k(x ¡ y) = 0 (2.19)

Considerando el movimiento relativo entre la masa y la base, z = x¡y, la ecuación (2.19) queda
mÄz + c _z + kz = ¡mÄy = mY !2
sen !t (2.20)
que tiene la misma forma que la ecuación del movimiento obtenida al estudiar las vibraciones
forzadas con Fo = mY !2, por lo que para este caso son aplicables todas las conclusiones extraidas
en el apartado anterior.
2.3 Espectro de respuesta
Cuando la base de un oscilador de un grado de libertad sufre un terremoto caracterizado por un
acelerograma a(t), i.e., por una historia de aceleraciones del terreno, el movimiento del sistema
viene de…nido por la ecuación
mÄz + c _z + kz = ¡ma(t) (2.21)
o, dividiendo por m,
Äz + 2»!n _z + !2
nz = ¡a(t) (2.22)
Esta ecuación puede integrarse fácilmente utilizando diversos procedimientos que no se van a
detallar aquí1. En particular, para cualquier sistema caracterizado por su amortiguamiento »
y por su frecuencia natural !n es posible determinar el valor máximo de su respuesta a un
acelerograma dado. Si estos valores máximos de respuesta se calculan para todos los posibles
sistemas de un grado de libertad, i.e., para todos los posibles valores de » y !n de interés y se
gra…can, se habrá obtenido el denominado espectro sísmico de respuesta del acelerograma a(t).
Esta respuesta puede expresarse en desplazamientos, velocidades o aceleraciones, de…niendo en
cada caso un espectro de desplazamiento (Sd), velocidad (Sv) o aceleración (Sa).
En general, y dado que se trata de obtener la solución de la ecuación (2.22), el espectro se
obtiene para un amortiguamiento pre…jado » y una historia de aceleraciones a(t) conocida y se
gra…ca en función de la frecuencia !n (o del período T)
Sd(!n; ») = jz(t)jmax (2.23)
Sv(!n; ») = j _z(t)jmax para un acelerograma a(t) determinado (2.24)
Sa(!n; ») = jÄz(t) + a(t)jmax (2.25)
donde Sd y Sv son valores relativos y Sa se re…ere al valor total de la aceleración.
Estos espectros veri…can las siguientes relaciones2
Sv = !nSd (2.26)
Sa = !2
nSd (2.27)
lo que permite representar los tres espectros en una misma grá…ca empleando una escala trilo-
garítmica (…gura 2.8). En general:
1
véase, e.g., Chopra (1995).
2
Esto es así cuando lo que se están manejando son seudoespectros de respuesta (véase, e.g., Barbat y Canet,
1994). Los seudoespectros se obtienen a partir de los espectros de respuesta introduciendo algunas simpli…caciones
habituales en Ingeniería Estructural (» < 0:2 ...), que permiten una mayor facilidad de tratamiento sin pérdida
de precisión para el rango de valores de T y » de interés.

² Para estructuras de períodos muy bajos (T ! 0), i.e., muy rígidas, Sa ! jÄy(t)jmax, siendo
jÄy(t)jmax la máxima aceleración del terreno (del acelerograma a(t)).
² Para estructuras de períodos muy largos (T ! 1), i.e., muy ‡exibles, Sd ! jy(t)jmax,
siendo jy(t)jmax el desplazamiento máximo del terreno.
Figura 2.8: Espectro sísmico de respuesta del terremoto de San Fernando (EE.UU., febrero de
1971). Representación trilogarítmica (»=0.00, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20).
Por tanto, un espectro sísmico de respuesta resume la respuesta máxima de cualquier sistema
de un grado de libertad a un acelerograma determinado a(t). Puesto que para una determinada
región geográ…ca es de esperar que los terremotos tengan una serie de características comunes,
puede obtenerse un espectro de respuesta tipo (espectro suavizado de diseño) para esa región
utilizando para ello los procedimientos desarrollados al efecto en Sismología.
La importancia de los espectros radica en que generalmente el proyectista sólo está interesado
en los valores máximos de la respuesta a la hora de diseñar el sistema para que resista la acción
de un terremoto.

2.4 Sistemas con varios grados de libertad
2.4.1 Ecuaciones del movimiento
En el caso de estructuras de edi…cación el análisis dinámico puede simpli…carse considerando un
modelo de masas concentradas, sin que ello resulte en una pérdida de precisión signi…cativa. La
masa total del sistema se concentra sobre algunos elementos del mismo -fácilmente identi…cables-
y la capacidad de deformación sobre otros.
mn
xn
(t)
x1
(t)
x2(t)
xi
(t)
m1
m2
mi
xn
(t)
x1
(t)
x2(t)
xi
(t)
mn
m1
m2
mi
k1
ki+1
ki
k2
a(t) a(t)
Figura 2.9: Edi…cio de cortante
Un modelo ampliamente utilizado en el análisis de pórticos planos corresponde al denominado
”edi…cio de cortante” (…gura 2.9). La masa se concentra a nivel de los forjados, que se consideran
in…nitamente rígidos en su plano. Los pilares sólo aportan rigidez, pero no masa. Se admite que
los giros en las cabezas de los pilares son nulos y que su deformación por axil es despreciable.
De esta forma el sistema queda de…nido por un grado de libertad por planta, asociado a la
traslación horizontal respecto a la cimentación del edi…cio.
Para completar el modelo de edi…cio de cortante se deben incluir de alguna manera las fuerzas
de amortiguamiento asociadas a la disipación de energía que se produce durante la vibración
del sistema (…gura 2.10). Esto se realiza habitualmente, y al igual que ya se describiera para
los sistemas de un grado de libertad, mediante la de…nición de unas fuerzas de amortiguamiento
viscoso (i.e., proporcionales a la velocidad), lo que equivale a admitir que existe un mecanismo

xn
(t)
x1(t)
x2
(t)
xi(t)
mn
m1
m2
mi
k1
ki+1
ki
k2
a(t)
c1
ci
c2
cn
mi
ki+1
kimi (xi+a(t))
ci
xi
ki (xi-xi-1)
ki+1 (xi+1-xi)
0mHi
Figura 2.10: Edi…cio de cortante con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de fuerzas
de disipación de energía homogéneo en toda la estructura. Planteando el equilibrio dinámico
para cada una de las masas mi (…gura 2.10), se obtiene
miÄxi + ci _xi + (ki + ki+1)xi ¡ ki+1xi+1 ¡ kixi¡1 = ¡mia(t) (2.28)
o, en forma matricial para todo el sistema,
MÄx + C_x + Kx = ¡MJa(t) (2.29)
donde J es un vector columna con todos sus elementos iguales a la unidad (J = 1), M es la
matriz de masa (diagonal)
M =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
m1
m2 0
...
mi
0
...
mn
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
(2.30)
siendo n el número total de plantas -y por tanto de grados de libertad considerados-; K es
la matriz de rigidez, que coincide con la del problema estático (cada uno de sus términos kij
representa la fuerza que aparece en la coordenada i al dar un desplazamiento estático unidad

según el grado de libertad j)
K =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
k1 + k2 ¡k2
¡k2 k2 + k3 ¡k3 0
...
¡ki ki + ki+1 ¡ki+1
0
...
kn
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
(2.31)
donde ki es la rigidez al desplazamiento transversal del conjunto de pilares situado en el nivel i,
i.e., entre las plantas i ¡ 1 e i. La rigidez de cada uno de esos pilares viene dada por
kp =
12EIp
H3
i
siendo Hi la altura de los pilares del nivel i (2.32)
C es la matriz de amortiguamiento (diagonal)
C =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
c1
c2 0
...
ci
0
...
cn
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
(2.33)
x, _x y Äx son vectores conteniendo, respectivamente, los desplazamientos, velocidades y acele-
raciones de cada planta; y a(t) es el acelerograma que de…ne la acción sísmica (en la base del
edi…cio).
Para analizar estructuras tridimensionales caben dos opciones:
² Si el edi…cio es ”razonablemente” regular, puede analizarse a través de dos modelos orto-
gonales independientes. Los resultados obtenidos para cada una de las direcciones deberán
combinarse de acuerdo a unas reglas que, en general, vienen dadas en las normativas sis-
morresistentes, y que en el caso de la NCSE-94 establecen que ”para cada hipótesis sísmica
se combinarán las acciones pésimas de cada modelo con el 30% de las acciones pésimas del
otro modelo ortogonal”.
² En el caso de estructuras tridimensionales generales, tanto de barras como continuas,
es posible obtener un modelo dinámico3 cuyo comportamiento queda descrito por una
ecuación del tipo (2.29), siendo el vector de in‡uencia J en este caso un vector que realiza la
descomposición de la excitación a(t) según las direcciones (grados de libertad) consideradas
en el análisis, i.e., sus componentes son los desplazamientos de sólido rígido experimentados
por los grados de libertad de la estructura cuando la base sufre un desplazamiento unidad
en la dirección del sismo. En estos casos puede emplearse una matriz de amortiguamiento
proporcional (o de Rayleigh) obtenida como combinación lineal de las matrices de masa y
rigidez
C =AM+BK (2.34)
3
Veánse, e.g., las formulaciones del Método de los Elementos Finitos dadas en Bathe (1982)

siendo A y B dos constantes escalares. Generalmente la matriz de masa sólo incluye
grados de libertad de traslación y, en cualquier caso, se suele emplear una matriz de masa
diagonalizada obtenida a partir de la matriz de masa congruente.
2.4.2 Modos de vibración y frecuencias naturales
Obtención de modos y frecuencias naturales
Al igual que sucedía en los sistemas de un grado de libertad, las características dinámicas
intrínsecas de una estructura de n grados de libertad se obtienen considerando sus vibraciones
libres no amortiguadas. En este caso las ecuaciones del movimiento (2.29) se reducen a
MÄx + Kx = 0 (2.35)
Esta ecuación admite soluciones no triviales, i.e., compatibles con un movimiento sin fuerzas
exteriores aplicadas, de la forma
x(t) = Xei(!t+')
(2.36)
siendo X un vector formado por las amplitudes de los movimientos.
Sustituyendo (2.36) en (2.35) se obtiene
(K ¡ !2
M)X = 0 (2.37)
Las ecuaciones (2.37) corresponden a un problema de obtención de autovalores y autovectores.
Para que haya soluciones distintas de la trivial debe cumplirse que el determinante de la matriz
de coe…cientes sea nulo ¯
¯
¯K ¡ !2
M
¯
¯
¯ = 0 (2.38)
Como solución de este polinomio característico se obtienen n autovalores !2
i que corresponden
a las n frecuencias naturales o frecuencias propias !i con las que la estructura puede vibrar
libremente. A la frecuencia más baja del sistema se le denomina frecuencia fundamental, !1, y
tiene asociado un período fundamental
T1 =
2¼
!1
(2.39)
Cada autovalor !2
i lleva asociado un autovector Xi, denominado modo de vibración, que indica
la forma de la deformada que adquiere el sistema vibrando con la correspondiente frecuencia
natural !i. Dado que (2.35) es un sistema de ecuaciones homogéneas con determinante nulo, sólo
es posible determinar n¡1 componentes de Xi en función de una de ellas, i.e., puede determinarse
la forma con que vibra el sistema libremente pero no su amplitud. Resulta habitual normalizar
estos modos, e.g., asignando un valor unidad a su primera componente
Ái =
Xi
Xi1
=
8
>>>>>><
>>>>>>:
1
Ái2
Ái3
...
Áin
9
>>>>>>=
>>>>>>;
(2.40)

o aplicando cualquier otro criterio para obtener los modos normalizados Ái.
En general la estructura vibrará libremente o bien según uno de los modos y su frecuencia
propia asociada, o bien según una combinación lineal de dichos modos.
Propiedades de los modos de vibración
Se puede demostrar fácilmente que los modos de vibración de una estructura satisfacen las
siguientes condiciones de ortogonalidad respecto a las matrices de masa y rigidez
ÁT
i MÁi = Mi ; ÁT
i MÁj = 0 i 6= j (2.41)
ÁT
i KÁi = !2
i Mi = Ki ; ÁT
i KÁj = 0 i 6= j (2.42)
donde Mi y Ki son escalares. En caso de que la matriz de amortiguamiento sea de la forma
(2.34), los modos también serán ortogonales respecto a ella
ÁT
i CÁi = ÁT
i (AM + BK)Ái = AMi + BKi = Ci ; ÁT
i CÁj = 0 i 6= j (2.43)
Por tanto, ordenando todos los modos de vibración en una matriz modal ©
© = [Á1Á2::::::Án] (2.44)
las condiciones de ortogonalidad anteriores resultan en
©M© = M (2.45)
©C© = C (2.46)
©K© = K (2.47)
donde M , C y K son matrices diagonales cuyos términos vienen de…nidos por las relaciones
(2.41), (2.42) y (2.43).
En el caso poco habitual de que existan raíces dobles !2
i , se puede demostrar que hay in…nitos
autovectores asociados a este autovalor contenidos en un plano que es ortogonal al resto de modos
de vibración.
2.4.3 Superposición modal
Coordenadas generalizadas
En la sección anterior se ha visto como los n modos de vibración de un sistema de n grados de
libertad son independientes y ortogonales entre sí, por lo que forman una base completa. Por
tanto, cualquier movimiento del sistema puede expresarse como combinación lineal de dichos
modos
x(t) =
nX
i=1
Ái³i(t) = ©³ (2.48)

donde ³i(t) son funciones escalares del tiempo. Las coordenadas ³i se denominan coordenadas
generalizadas y describen la posición del sistema referido a un sistema de coordenadas cuyos
vectores directores son los modos de vibración.
Premultiplicando (2.48) por ÁT
i M se obtiene
ÁT
i Mx = ÁT
i M
0
@
nX
j=1
Áj³j(t)
1
A = ÁT
i MÁi³i (2.49)
dadas las condiciones de ortogonalidad (2.41). De esta forma, los valores de las coordenadas
generalizadas ³i se pueden obtener a partir de las coordenadas xi a partir de
³i =
ÁT
i Mx
ÁT
i MÁi
(2.50)
Método de superposición modal
El movimiento de una estructura de n grados de libertad sometida a vibraciones forzadas está
regido por las ecuaciones (2.29). Haciendo el cambio de coordenadas cartesianas x a coordenadas
generalizadas ³ se obtiene
M
0
@
nX
j=1
Áj
Ä³j
1
A + C
0
@
nX
j=1
Áj
_³j
1
A + K
0
@
nX
j=1
Áj³j
1
A = ¡MJa(t) (2.51)
ya que las formas modales no dependen del tiempo. Premultiplicando esta ecuación por ÁT
i y
teniendo en cuenta las condiciones de ortogonalidad (2.41-2.43) se obtiene
Mi
Ä³i + Ci
_³i + Ki³i = ¡ÁT
i MJa(t) (2.52)
i.e., el sistema de n ecuaciones diferenciales acopladas (2.29) se ha transformado en un conjunto
de n ecuaciones independientes, resolubles cada una de ellas por cualquiera de los métodos
aplicables a sistemas de un grado de libertad.
Dividiendo la ecuación (2.52) por ÁT
i MÁi = Mi se obtiene
Ä³i + 2»i!i
_³i + !2
i ³i = ¡
ÁT
i MJ
ÁT
i MÁi
a(t) = ¡¿ia(t) (2.53)
donde ¿i se denomina coe…ciente de participación del modo i
¿i =
ÁT
i MJ
ÁT
i MÁi
(2.54)
y re‡eja la relación entre la masa total asociada al modo i (ÁT
i MÁi) y la masa asociada al modo
i que moviliza el sismo (ÁT
i MJ)4. En la ecuación (2.53) se ha introducido la de…nición
Ci
Mi
=
Ci
Ccri
Ccri
Mi
= 2»i!i (2.55)
4
Por lo tanto el coe…ciente de participación modal ¿i cuanti…ca de alguna manera qué parte de la fuerza
excitadora total es la encargada de excitar, exclusivamente, el modo i.

donde Ccri = 2
q
KiMi es el amortiguamiento crítico del modo i. Para resolver la ecuación
(2.53) es habitual evaluar directamente un factor de amortiguamiento para cada modo »i en vez
de partir de la matriz de amortiguamiento C.
Una vez calculadas a partir de (2.53) las coordenadas generalizadas ³i(t), se obtiene la
evolución en el tiempo de los desplazamientos x(t) mediante la ecuación (2.48). Las fuerzas
según cada uno de los grados de libertad considerados en cada instante de tiempo, F(t), se
calculan de manera análoga al análisis estático, i.e.,
F(t) = Kx(t) (2.56)
donde K es la matriz de rigidez de la estructura.
La desventaja de este tipo de análisis es que proporciona un exceso de información innece-
saria, ya que a la hora de diseñar el proyectista está generalmente interesado en la respuesta
máxima del sistema (más concretamente en mantener dicha respuesta dentro de unos límites
pre…jados), y no en la evolución a lo largo del tiempo de los valores de esa respuesta. Por este
motivo, la acción sísmica de diseño suele de…nirse en la mayoría de las normativas sismorresis-
tentes en base a un espectro de respuesta y no en base a acelerogramas, empleándose el análisis
modal espectral como procedimiento de cálculo.
En general, los modos de vibración correspondientes a las frecuencias propias más bajas (i.e.,
a los períodos más altos) son los que contienen menor energía de deformación elástica, por lo
que son los que condicionan en mayor medida la respuesta del sistema. Por este motivo, para
obtener dicha respuesta bastará con considerar las aportaciones de los r primeros modos de
vibración
x(t) =
rX
i=1
Ái³i(t) ; r ¿ n (2.57)
Además, los modos asociados a las frecuencias más elevadas son los que incorporan un mayor
error numérico en su obtención, debido a aspectos tales como la propia discretización de la
estructura (se requiere una discretización más detallada para capturar adecuadamente las fre-
cuencias y los modos más altos de la estructura) o el procedimiento numérico empleado para su
determinación, por lo que su no inclusión en (2.57) no repercute en una pérdida de precisión en
la respuesta.
El criterio para decidir el número r de modos cuya aportación al resultado es signi…cativa
viene generalmente de…nido en las normativas sismorresistentes, y en el caso de la NCSE-94
se establece que deben considerarse ”aquellos para los que la suma de las masas efectivas sea
superior al 90% de la masa movilizada en el movimiento sísmico”. El concepto de masa modal
efectiva se presenta en el siguiente apartado.
2.4.4 Análisis Modal Espectral
Dada su sencillez de aplicación y los buenos resultados que proporciona, el método de cálculo
recomendado por la mayoría de las normas sísmicas es el análisis modal espectral. La respuesta
máxima del sistema se obtiene combinando las respuestas máximas calculadas para cada uno

de sus modos más signi…cativos, en base a una acción sísmica caracterizada por su espectro de
respuesta.
La idea es simple: dado que, en análisis lineal, cualquier sistema de n grados de libertad puede
expresarse como superposición de n sistemas de un grado de libertad –asociados a sus modos
de vibración–, y puesto que el espectro sísmico de respuesta permite determinar la respuesta
máxima de cada uno de estos sistemas de un grado de libertad a la acción sísmica, es posible
obtener la respuesta máxima de la estructura completa –con n grados de libertad– superponiendo
las aportaciones de los n sistemas de un grado de libertad en que se ha descompuesto el sistema
original.
Respuesta máxima modal a un espectro sísmico de respuesta
La acción sísmica se de…ne por medio de su espectro de respuesta en aceleraciones, Sa, i.e., por
la aceleración máxima de un oscilador de un grado de libertad cuyo movimiento está de…nido
por la ecuación (2.22). Comparando (2.22) con la ecuación del movimiento desacoplada para
el modo i de un sistema de n grados de libertad (2.53), se deduce que la aceleración máxima
asociada a la coordenada generalizada ³i viene dada por
¯
¯
¯Ä³i(t)
¯
¯
¯
max
= ¿iSa(!i; »i) = ¿i Saji (2.58)
El desplazamiento máximo asociado a ³i se determina a partir de (2.27)
j³i(t)jmax = ¿i
Saji
!2
i
(2.59)
A continuación se obtienen una serie de características modales máximas de especial interés:
Desplazamientos modales máximos: Para el modo de vibración i se obtienen los despla-
zamientos máximos como
xijmax =
8
>>>><
>>>>:
xi1
xi2
...
xin
9
>>>>=
>>>>;
max
= Ái j³i(t)jmax = Ái¿i
Saji
!2
i
= í
Saji
!2
i
(2.60)
donde í es un vector que contiene los denominados factores de distribución del modo i
í = ¿iÁi (2.61)
Fuerzas estáticas equivalentes: Una vez conocidos los desplazamientos modales máximos
pueden obtenerse las fuerzas sísmicas estáticas equivalentes, Fi, correspondientes al modo de
vibración i como
Fi = K xijmax = KÁi¿i
Saji
!2
i
= MÁi¿i Saji = Mí Saji (2.62)

En el caso de un edi…cio de cortante la ecuación (2.62) se reduce a
Fik = mkík Saji = ík
Saji
g
Pk = sikPk (2.63)
que proporciona la fuerza equivalente correspondiente a la planta k (i.e., al grado de libertad k)
y modo de vibración i. En (2.63) sik se denomina coe…ciente sísmico, g es la aceleración de la
gravedad y Pk es el peso correspondiente a la masa mk de la planta k.
mn
Fin
Fi1
Fi2
Fik
m1
m2
mk
Vik
Figura 2.11: Obtención del cortante modal Vik
A partir de las fuerzas equivalentes Fik se obtiene por equilibrio de fuerzas (…gura 2.11) el
cortante Vik de cada planta k en el modo i, i.e., como suma de las Fik existentes entre la última
planta y la planta k considerada
Vik =
nX
j=k
Fij (2.64)
Análogamente, el cortante modal en la base del edi…cio se obtiene como
Vi1 =
nX
j=1
Fij =
nX
j=1
mjíj Saji (2.65)
Masa modal efectiva: Para un edi…cio de cortante la masa modal efectiva del modo de
vibración i, M¤
i , se de…ne como aquella que veri…ca la relación
Vi1 = M¤
i Saji (2.66)

i.e., como aquella que asociada a un oscilador de un grado de libertad cuya frecuencia natural
coincide con la del modo i, produce el mismo cortante en la base de la estructura que el corres-
pondiente al cortante modal máximo del modo i. Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.65) y
(2.61)
M¤
i =
nX
j=1
mj´ij = ¿i
nX
j=1
mjÁij (2.67)
Para el caso de una estructura general se obtendría
M¤
i = ¿iÁT
i MJ (2.68)
i.e., el producto del coe…ciente de participación del modo i por la masa asociada al modo i que
moviliza el terremoto.
Se puede demostrar, como era esperable, que la suma de las masas efectivas de todos los
modos de vibración es igual a la masa total de la estructura movilizada en el sismo.
La importancia de este concepto radica en que permite establecer un criterio para determinar
el número de modos de vibración que se deben incluir en el análisis. Tal como se apuntó ante-
riormente, la NCSE-94 establece que ”pueden considerarse modos con contribución signi…cativa
aquellos para los que la suma de las masas efectivas de los r primeros modos considerados sea
superior al 90% de la masa movilizada en el movimiento sísmico”
rX
i=1
M¤
i =
rX
i=1
¿iÁT
i MJ =
rX
i=1
¿2
i ÁT
i MÁi ¸ 0:90JT
MJ (2.69)
En el caso de edi…cios de cortante esta condición puede expresarse en la forma
rX
i=1
Pn
k=1 (mkÁik)2
Pn
k=1 mkÁ2
ik
¸ 0:90
nX
k=1
mk (2.70)
Respuesta máxima total: Combinación de modos
Sea S la variable (desplazamientos, tensiones ...) cuyo valor máximo se quiere determinar, y
Si su valor máximo en el modo i. Dado que el máximo de cada modo no se produce para los
distintos grados de libertad en el mismo instante de tiempo y puesto que, además, dicho máximo
se ha obtenido en valor absoluto, S no se podrá calcular como suma directa de los máximos de
cada modo.
Se han propuesto distintos métodos para calcular S a partir de los valores modales Si. Quizás
la regla de combinación más extendida es la que propone la NCSE-94 en su articulado
S =
v
u
u
t
rX
i=1
S2
i (2.71)
que proporciona resultados razonablemente válidos siempre y cuando los períodos de los r modos
considerados di…eran entre sí más de un 10%, i.e., cuando no se produzca acoplamiento entre

ellos. En caso contrario, se proponen o bien
S =
rX
i=1
jSij (2.72)
que proporciona un valor excesivamente conservador, o bien
S =
v
u
u
t
rX
i=1
rX
j=1
SiSj¼ij (2.73)
donde ¼ij es un factor que depende de los valores de las frecuencias naturales y del amortigua-
miento de la estructura.
2.4.5 Integración directa de las ecuaciones del movimiento
Una alternativa al análisis modal es la integración directa, mediante un algoritmo paso a paso,
de las ecuaciones del movimiento (2.29)
² En primer lugar es necesario dividir el intervalo de tiempo a analizar en pequeños subin-
tervalos ¢t. Este proceso de…ne los instantes de tiempo t = ti en que se va a obtener la
respuesta (discreta) del sistema.
² En cada instante t = ti+1 se expresan aceleraciones (Äxi+1) y velocidades ( _xi+1) en función
de los valores de aceleraciones, velocidades y desplazamientos en instantes previos (ya
conocidos).
² Estas ecuaciones junto con las ecuaciones del movimiento (2.29) particularizadas para el
instante t = ti (métodos explícitos: diferencias centrales...) o t = ti+1 (métodos implícitos:
Newmark, Houbolt...) permiten obtener los desplazamientos en t = ti+1 (xi+1) y pasar al
instante de tiempo siguiente.
Hay toda una gama de métodos diferentes para llevar a cabo este proceso. Cada uno de ellos
propone una forma de aproximar aceleraciones y velocidades en un instante en función de las
variables en instantes anteriores, con el objetivo de mejorar la precisión y la estabilidad de los
resultados.
La gran ventaja de estos algoritmos frente a los métodos basados en el análisis modal es que
son válidos tanto para problemas lineales como no lineales. A cambio, su coste computacional
es mucho mayor y frente al análisis modal espectral presentan los mismos inconvenientes que
la obtención de la respuesta en el tiempo mediante análisis modal en lo referente al exceso de
información proporcionada y a la de…nición de la acción sísmica.

Capítulo 3
Conceptos Generales del
Comportamiento Sísmico de
Estructuras
3.1 Introducción
La …losofía del proyecto sismorresistente de estructuras de edi…cación que recogen las normativas
se basa en de…nir unos niveles de daño admisible en función de la intensidad de los terremotos
que la estructura puede sufrir durante su vida útil:
² Las construcciones deben resistir, en régimen elástico y por tanto sin ningún tipo de
daño estructural, los sismos de probabilidad apreciable de ocurrencia durante su vida útil,
entendiendo por estos los que tienen un período de retorno1 del mismo orden del período
de vida útil de la estructura.
² Ante sismos severos con probabilidad razonable de ocurrencia (a los que la NCSE-94 asigna
un período de retorno de quinientos años) se admite que la estructura va a entrar en el
rango anelástico. Se acepta por tanto que se produzcan deformaciones permanentes, y
consecuentemente daños, más o menos importantes pero que nunca lleguen a provocar el
colapso de la estructura. Realmente, a este nivel deberían considerarse dos estados límite
diferentes. Ante sismos relativamente severos el daño estructural debe mantenerse dentro
de unos límites que permitan la reparación de la estructura con un coste razonable. En
cambio, ante el sismo de mayor intensidad que pueda tener lugar el objetivo es evitar el
colapso, aunque los daños producidos en la estructura sean irreparables.
El objetivo de esta …losofía es diseñar construcciones razonablemente económicas pero segu-
ras, aun a costa de admitir que la acción de un terremoto severo sea muy superior a la acción
1
Se de…ne como período de retorno de un terremoto el intervalo de tiempo medio entre dos sucesos sísmicos
de características similares.

CAPÍTULO 3. COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS 29
de diseño obtenida de las normativas. Esta diferencia sólo resulta admisible si los elementos
estructurales y sus conexiones poseen una capacidad de deformación anelástica adecuada, que
garantice que la estructura es capaz de disipar ese exceso de energía deformándose plásticamente.
Estas ideas entroncan directamente con el concepto de ductilidad, que se discute en la segunda
sección de este capítulo.
Otros aspectos que afectan la respuesta sísmica de una estructura y que se tratan en las
siguientes secciones son el de los efectos de interacción suelo-estructura, la consideración de
torsiones globales de la estructura o la necesidad de incorporar en el análisis los efectos de
segundo orden. En todos los casos se hace una breve mención a cómo abordan estos aspectos
las vigentes normativas sismorresistentes.
3.2 Ductilidad
La energía que un terremoto aporta a la estructura se disipa por el efecto combinado del amor-
tiguamiento y, sobre todo, de las deformaciones anelásticas de sus elementos. Esta capacidad de
los elementos estructurales para disipar energía mediante deformaciones cíclicas en el dominio
anelástico, sin que se produzca su colapso, es lo que se denomina ductilidad de la estructura.
F
x
xmax
xmax
xe
xe
Fe
Fe
Figura 3.1: Comportamiento elastoplástico ideal de un sistema de un grado de libertad
Para centrar ideas se considera el comportamiento elastoplástico de un sistema de un grado
de libertad, tal como ilustra la …gura 3.1, en la que se representa la evolución de la fuerza apli-
cada, F, frente al desplazamiento producido, x. El área encerrada dentro del ciclo de histéresis
resultante mide la energía disipada en cada ciclo de carga/descarga. El criterio más extendido
para cuanti…car la ductilidad de este sistema consiste en de…nir un coe…ciente de comportamiento
por ductilidad
¹ =
xmax
xe
(3.1)

que relaciona el máximo desplazamiento plástico del modelo con el máximo desplazamiento
elástico y lineal. Cuanto mayor sea ¹, mayor será la capacidad de disipar energía del sistema en
régimen plástico y por tanto mayor será la diferencia admisible entre las fuerzas sísmicas reales
y las fuerzas consideradas para el diseño (…gura 3.2).
DIFERENCIA PERMITIDA POR DUCTILIDAD
F
PERÍODO
FUERZA REAL DURANTE UN SISMO SEVERO
FUERZA DE DISEÑO SEGÚN
NORMATIVAS SISMORRESISTENTES
Figura 3.2: Fuerzas sísmicas reales vs Fuerzas consideradas en el diseño
En el caso de una estructura con varios grados de libertad, un comportamiento dúctil adecua-
do deberá permitir la disipación de buena parte de la energía que el sismo aporta a la estructura
mediante mecanismos de histéresis estables y bien distribuidos por toda ella, que aseguren que
no se produce el colapso global de la estructura por el fallo de alguno de sus elementos.
La ductilidad global de la estructura depende de la ductilidad de sus materiales por un lado
y de la tipología estructural y los detalles constructivos (más concretamente de las soluciones
constructivas adoptadas en los nudos de conexión entre elementos) por otro:
² En general el acero proporciona mayor ductilidad que el hormigón y éste más que la obra
de fábrica.
² La ductilidad es mayor en las estructuras desplazables -como pórticos- que en las rígidas
-como las apantalladas-, pero siempre que en los nudos exista la capacidad su…ciente para
permitir importantes deformaciones.
² A nivel de sección, la capacidad de disipación de energía es mayor en las secciones ‡ectadas
que en las comprimidas, por lo que se debe potenciar que sean las ‡ectadas las que se agoten
antes.
En base a la ductilidad las normativas sismorresistentes permiten minorar las acciones de
cálculo (…gura 3.2), y es por ello que muchas de las prescripciones constructivas y recomenda-
ciones de diseño re‡ejadas en tales normativas están orientadas a garantizar precisamente que la
estructura tenga la ductilidad esperada. En cualquier caso, el proyectista debe ser consciente del
compromiso que adquiere en el diseño y detalle de los elementos estructurales para asegurar el

Figura 3.3: Espectro de respuesta en aceleraciones (componentes horizontales). Terremoto de
Grecia (7/09/99).
nivel de ductilidad previsto en el análisis. La limitación al valor de ¹ considerada en la NCSE-94
(¹ = 4 para estructuras de ductilidad muy alta) se impone para establecer un tope sobre dicha
minoración de las acciones de diseño y así garantizar que la edi…cación sea capaz de resistir sin
daño estructural los sismos de probabilidad apreciable de ocurrencia.
La …gura 3.3 ilustra claramente estos conceptos sobre un caso real: el reciente terremoto de
Grecia (7 de septiembre de 1999; intensidad 5.9 en la escala de Richter). En ella se representa
el espectro de aceleraciones propuesto por la normativa griega vigente, de 1993, y el espectro
realmente registrado durante dicho terremoto. En este caso particular se puede observar como
los edi…cios más afectados fueron los de períodos fundamentales por debajo de 0.4 segundos, i.e.,
edi…cios de entre dos y cuatro plantas de altura aproximadamente.
En el caso de adoptar valores elevados del coe…ciente de comportamiento por ductilidad, ¹,
la NCSE-94 establece en sus comentarios que deberá comprobarse que las deformaciones corres-
pondientes son admisibles para la estructura, elementos secundarios y juntas con edi…caciones
contiguas. En este sentido, uno de los aspectos de diseño que otras normativas sí controlan, caso
del EC-8, y que sin embargo la NCSE-94 sólo menciona en este comentario -sin …jar unos límites
máximos- es el importante papel que el corrimiento horizontal relativo entre plantas juega en el
control del daño no estructural (tabiquerías, instalaciones, etc.).
Finalmente, cuando los elementos resistentes a fuerzas horizontales sean de diferente ducti-
lidad, la NCSE-94 señala que deberá comprobarse la compatibilidad de sus deformaciones.

3.3 Interacción suelo-estructura
Las condiciones del terreno y los posibles fenómenos de interacción suelo-estructura son uno de
los factores que mayor in‡uencia pueden tener sobre la respuesta estructural.
En particular, cuando la estructura se asienta en un terreno rígido, los fenómenos de inte-
racción son despreciables. Las frecuencias propias de la estructura no se ven alteradas por su
interacción con el suelo. Igualmente, las características de las ondas sísmicas prácticamente no
se ven alteradas por la presencia de la estructura. En este caso el contenido en frecuencias altas
del terremoto suele ser signi…cativo, por lo que se ha observado, en términos generales, un mayor
nivel de daño en estructuras rígidas que en estructuras ‡exibles.
Cuando la estructura se asienta en un terreno blando, los fenómenos de interacción suelo
estructura cobran importancia, debiéndose incorporar en el análisis. Las frecuencias naturales
del sistema suelo-estructura disminuyen respecto a las de la estructura cimentada en suelo rígido.
De igual manera, las ondas sísmicas sufren modi…caciones apreciables debido a la presencia
de la estructura. Un suelo blando tiende a …ltrar el contenido en frecuencias del terremoto,
ampli…cando los períodos largos. En general se ha observado un mayor daño en estructuras
‡exibles cuando las condiciones son de suelo blando.
La NCSE-94 incorpora el efecto de las condiciones locales del terreno modi…cando el espectro
elástico de diseño en función de dichas condiciones, distinguiendo tres tipos de suelo en base a
la velocidad de propagación de las ondas transversales2 Vs:
² Terreno Tipo I: Vs > 750 m=s
² Terreno Tipo II: 400 m=s < Vs · 750 m=s
² Terreno Tipo II: Vs · 400 m=s
3.4 Efectos de torsión global de la estructura
Cuando no coinciden el centro de masas y el centro de torsión o de rigidez en una planta de una
edi…cación, aparece en dicha planta un momento torsor que debe ser absorbido por los soportes
de la planta. Este fenómeno suele ser debido a una falta de simetría de la edi…cación o a una
distribución no uniforme de las masas.
En cualquier caso, la NCSE-94 estipula un incremento de la excentricidad del centro de
torsión con respecto al de masa para cubrir los efectos de una torsión accidental, estableciendo
en su articulado que en las estructuras de edi…cación se deberá considerar una excentricidad
adicional de la acción sísmica en cada planta, no menor de 1/20 de la mayor dimensión de la
planta en el sentido perpendicular a la dirección del sismo, siempre que las cargas -supuestas de
distribución uniforme en el cálculo- pudieran ocupar sólo una parte de la super…cie (…gura 3.4).
2
Resultan destacables las diferencias entre esta clasi…cación y la que realiza el EC-8 en lo referente a las
velocidades de corte Vs consideradas

Figura 3.4: Excentricidad mínima para masas uniformemente repartidas.
En caso de modelar la estructura tridimensionalmente para su análisis dinámico, la inclusión
de los efectos de torsión resulta automática.
Sin embargo, en el caso más habitual de que el modelo de la estructura corresponda al de un
edi…cio de cortante en dos direcciones ortogonales, la torsión se incluye en el análisis de manera
desacoplada, superponiendo a los esfuerzos producidos por las fuerzas sísmicas equivalentes
(obtenidas considerando sólo un grado de libertad de traslación por planta) los esfuerzos que
aparecen en los soportes de la estructura a causa de la torsión. El valor del torsor en cada planta
viene dado por el momento que producen dichas fuerzas sísmicas equivalentes -aplicadas en el
centro de masa- respecto al centro de rigidez de la planta.
3.5 Efectos de segundo orden
Si los desplazamientos laterales provocados por la acción sísmica son elevados, se hace necesario
considerar los efectos de segundo orden. Así, al cobrar importancia el cambio de geometría de
la estructura debido a la aplicación de las cargas horizontales, se produce un momento adicional
en los soportes causado por los descentramientos de las cargas verticales.
La NCSE-94 permite despreciar dichos efectos cuando el desplome de la cabeza del edi…cio
no supere el dos por mil de la altura, o cuando en cada planta se veri…que
Pd < 0:10Fh (3.2)
siendo P el peso total por encima de la planta; d el desplazamiento relativo entre la base y la
cabeza de los soportes de la planta considerada, según un análisis lineal; F la acción horizontal
total por encima de la planta y h la altura entre plantas. Esta última condición equivale a
despreciar los efectos de segundo orden cuando el momento adicional inducido por la deformación
de la estructura (…gura 3.5) sea menor que el 10% del momento de primer orden provocado por
la acción horizontal.

P
MB
7,40cm
3,60 cm
V
A
PMA
V
B
h
d
Figura 3.5: Momentos de segundo orden
Sin embargo, en caso de que estas condiciones no se cumplan, la NCSE-94 no propone
ninguna alternativa para incluir los efectos de segundo orden.
En este sentido, el EC-8 también plantea una relación del tipo (3.2), aunque en su caso el
desplazamiento d relativo entre plantas debe estimarse en régimen no lineal (i.e., afectado por el
coe…ciente de ductilidad considerado en el análisis), lo cual parece más coherente con la realidad
del problema. Adicionalmente, en el caso en que
0:1 < µ =
Pd
Fh
< 0:2 (3.3)
el EC-8 permite la inclusión de los efectos de segundo orden incrementando las solicitaciones
sísmicas de la planta considerada mediante el factor
1
1 ¡ µ
(3.4)

Capítulo 4
De…nición de la Acción Sísmica y
Métodos de Cálculo en la NCSE-94
4.1 Introducción
En este capítulo se presentan los aspectos prácticos del cálculo sísmico de estructuras según la
vigente normativa sismorresistente NCSE-94. Se abordan por tanto la de…nición de la acción
sísmica y los métodos de análisis para determinar la respuesta estructural a dicha acción. Ambos
aspectos están íntimamente relacionados: mientras que en un análisis paso a paso en el dominio
del tiempo la excitación deberá de…nirse por un acelerograma, en un análisis modal espectral
la acción deberá caracterizarse mediante su espectro sísmico de respuesta, tal como se vio en el
segundo capítulo.
En cualquier caso las normativas deben ser capaces de proponer procedimientos de análisis lo
más claros y simples posibles y que, por supuesto, permitan evaluar de manera su…cientemente
aproximada la respuesta de la estructura. Este es el motivo por el cual el análisis modal espectral
goza de tan amplia aceptación en las normativas sismorresistentes: su aplicación resulta sencilla
y directa y proporciona los valores máximos de la respuesta.
De una forma rigurosa, la teoría de los espectros sísmicos de respuesta sólo permitiría la
de…nición de la acción sísmica en estructuras de comportamiento elástico y lineal. Sin embargo,
las normativas admiten incursiones de la estructura en el rango anelástico ante sismos severos. La
NCSE-94, al igual que gran parte de las normativas existentes en el mundo, extiende el concepto
de espectro sísmico de respuesta al análisis de sistemas no lineales. Aunque esta extensión no
está claramente fundamentada desde un punto de vista teórico, los resultados que proporciona
son su…cientemente razonables y de fácil obtención.
Para terminar el capítulo se presenta el procedimiento de cálculo simpli…cado recomendado
por la NCSE-94 para los casos más usuales de edi…cación y se comparan en un ejemplo los
resultados obtenidos por este método y por el método general de análisis.

CAPÍTULO 4. NCSE-94: ACCIÓN SÍSMICA Y MÉTODOS DE CÁLCULO 36
4.2 De…nición de la acción sísmica
4.2.1 Consideraciones generales
En la introducción se ha puesto de mani…esto la ”dependencia” entre el procedimiento de análisis
dinámico empleado y la de…nición de la acción sísmica. Si bien la NCSE-94 observa la posibilidad
de efectuar un estudio dinámico directo, establece como método usual de cálculo el análisis modal
de la estructura. Por este motivo de…ne la acción mediante su espectro sísmico de respuesta y,
aunque permita también su de…nición mediante acelerogramas reales o arti…ciales -que deberán
ser compatibles con los espectros dados en la normativa-, no proporcionan ningún procedimiento
de obtención de tales acelerogramas, dejando este tema pendiente del criterio del proyectista.
Partiendo de una información sísmica básica sobre el emplazamiento geográ…co de la edi…-
cación, las características locales del terreno de cimentación, la importancia estratégica de la
construcción (e.g., hospitales e infraestructuraas básicas se consideran construccionees de espe-
cial importancia) y la vida útil de la estructura, la NCSE-94 de…ne la acción sísmica mediante su
espectro elástico de respuesta en aceleraciones. Posteriormente, dicho espectro es corregido de
acuerdo a las características de amortiguamiento y ductilidad de la estructura, obteniéndose de
esta manera el espectro de diseño en base al que calcular los desplazamientos modales máximos
y, a partir de ellos, el resto de las variables (esfuerzos, tensiones...).
4.2.2 Información sísmica básica
La NCSE-94 proporciona un mapa de peligriosidad sísmica del territorio nacional que suministra,
para cada punto del territorio, la aceleración sísmica básica, ab, y el denominado coe…ciente de
contribución sísmica K. La aceleración de cálculo, ac, se obtiene en función de ab y de la vida
útil (o la importancia) de la construcción.
El espectro también depende de las característcas del terreno de cimentación. La in‡uencia
de este factor se introduce a través de un coe…ciente de suelo C.
De…nidos estos parámentros se está en condiciones de obtener el espectro elástico de respues-
ta.
4.2.3 Espectro elástico de respuesta
La NCSE-94 de…ne el espectro de respuesta de la aceleración absoluta de un sistema de un grado
de libertad con un factor de amortiguamiento respecto al crítico » = 0:05 como
S¤
a = ®(T)ac (4.1)

siendo ®(T) una función del período propio del sistema (considerado en segundos) de…nida por
®(T) =
8
>>>>><
>>>>>:
1 + [®(To) ¡ 1] T=To para T < To
®(To) para To · T · T1
®(To)T1=T para T > T1
(4.2)
donde
®(To) = (3C ¡ 3:8)(K ¡ 1:25) + 2:3 (4.3)
To = 0:125C + 0:2K ¡ 0:175 (4.4)
T1 =
0:215K(5C ¡ 1)
®(To)
(4.5)
En la …gura 4.1 se gra…ca ®(T) para los distintos tipos de terreno considerados en la norma y
un coe…ciente de contribución sísmica K = 1:0.
Figura 4.1: Espectro elástico de respuesta
Para obtener el espectro de diseño tan sólo resta ajustarlo a las características de la estructura
que se va a calcular, incorporando mediante un coe…ciente empírico Â -dado en la NCSE-94- el
efecto del amortiguamiento (si » 6= 0:05) y de la ductilidad de la estructura
Sa = Â(º; ¹)S¤
a = Â(º; ¹)®(T)ac (4.6)
donde Â es función del coe…ciente corrector por amortiguamiento
º =
µ
0:05
»
¶0:4
(4.7)
y del coe…ciente de comportamiento por ductilidad ¹.
4.3 Métodos de cálculo
La NCSE-94 establece como método habitual de cálculo el análisis modal espectral de la estruc-
tura. Adicionalmente, desarrolla un método simpli…cado de cálculo para los casos usuales en
edi…cación. También permite el estudio dinámico directo de la estructura.

4.3.1 Estudio dinámico directo
Sólo está justi…cado en casos especiales, como pueden ser centrales nucleares u otras edi…caciones
singulares o de especial importancia. Su aplicación presenta inconvenientes a nivel de de…nición
de la acción y a nivel del esfuerzo de cálculo implicado:
² La acción debe de…nirse en base a un acelerograma que la normativa no especi…ca y que
exige por tanto un análisis previo y un mayor conocimiento sobre la sismología de la zona.
² El proceso de obtención de la respuesta es mucho más costoso. Proporciona mucha más
información que el análisis espectral (respuesta para toda una serie de frecuencias o evo-
lución detallada a lo largo del tiempo), pero este exceso de información suele resultar
innecesario ya que generalmente basta con conocer la respuesta máxima de la estructura
para su correcto diseño.
En el caso del EC-8 se permite también la posibilidad de un análisis estocástico basado en
la teoría de vibraciones aleatorias, para lo cual la acción debe de…nirse mediante una densidad
espectral de potencia compatible con el espectro sísmico de respuesta proporcionado por la
normativa.
4.3.2 Análisis modal espectral
El modelo discreto de la estructura cuyo comportamiento dinámico se va a analizar ya fue
discutido en la sección 2.4.1. Básicamente se pueden considerar o bien un modelo con tres
grados de libertad por planta (dos traslaciones y una rotación), o bien -si el edi…cio es de
planta regular y con excentricidad de masas respecto al centro de torsión inferior al 10% de
la dimensión en planta- dos modelos planos ortogonales independientes con un solo grado de
libertad de traslación por planta (edi…cio de cortante).
El procedimiento a seguier coincide con los principios generales expuestos en el segundo
capítulo:
² Cálculo de los periodos propios (Ti) y modos de vibración (Ái) de la estructura. Se deberán
incluir en el análisis los r primeros modos con contribución signi…cativa en el resultado
(ecuaciones (2.69) o (2.70)) y como mínimo
– Tres modos en el caso de modelos planos de la estructura (…gura 4.2).
– Cuatro modos en el caso de modelos espaciales de la estructura, dos traslacionales y
otros dos rotacionales.
– Todos los modos de período superior a To (ecuación (4.4)).
² Determinación de la ordenadas espectrales ®(Ti) correspondientes a los periodos propios
de cada uno de los r modos (i = 1; 2 : : : r)

Figura 4.2: Modos de vibración para un edi…cio de cortante
² Obtención de los desplazamientos modales máximos equivalente (ecuación (2.60)) para
cada uno de los r modos.
uijmax = ´i
Saji
!2
i
(4.8)
donde el vector ´i contiene los factores de distribución del modo i (ecuación (2.61)), !i es
la frecuencia natural del modo i y Saji es el valor del espectro de diseño para el período
del modo i, i.e., el valor del espectro de aceleraciones incluyendo las correcciones por
amortiguamiento y ductilidad (ecuación (4.6))
Saji = Âi(º; ¹)®(Ti)ac (4.9)
siendo
Âi(º; ¹) =
º·i
¹
= ¯·i (4.10)
donde ·i es un coe…ciente que adopta los siguientes valores
·i =
8
>>>>><
>>>>>:
¹=º para Ti = 0
1 para Ti ¸ To
1
¯®(Ti) f1 + [¯®(To) ¡ 1] Ti=Tog para 0 < Ti < To
(4.11)
² Conocidos los deplazamientos modales en cada grado de libertad podemos calcular el resto
de las variables modales y así obtener los valores máximos de la respuesta de la estructura
para cada uno de los r modos.
² La respuesta total de la estructura se calcula ponderando las aportaciones de cada uno de
los modos de acuerdo a los procedimientos descritos en las ecuaciones (2.71-2.73).

De esta manera, y en el caso particular de los modelos habitualmente empleados para analizar
estructuras de edi…cación, se obtienen unas solicitaciones de planta (dos fuerzas y un torsor si el
modelo incluye tres grados de libertad por planta; una fuerza en el caso del edi…cio de cortante)
para cada modo i que se deberán repartir entre los elementos estructurales:
² En proporción a las componentes utilizadas para la determinación del centro de torsión en
el caso de haber considerado tres grados de libertad por planta, o
² Teniendo en cuenta la torsión accidental de planta provocada por la excentricidad de masas
mínima …jada en la NCSE-94 para el caso del edi…cio de cortante.
Dado que el anterior es un cálculo elástico y lineal que incorpora la realidad del comporta-
miento anelástico de la estructura a través de su coe…ciente de comportamiento por ductilidad, ¹,
los desplazamientos dinámicos máximos que realmente se producen según los grados de libertad
considerados en el modelo se deberán obtener como
umax = ¹ue (4.12)
siendo ue el desplazamiento lineal equivalente calculado en régimen elástico.
4.3.3 Método simpli…cado de cálculo para los casos más usuales de edi…cación
Este método sólo es aplicable a las construcciones que cumplan la totalidad de los siguientes
requisitos:
² El número de plantas es inferior a 20.
² La altura del edi…cio sobre rasante es inferior a 60 metros.
² Existe regularidad en planta, sin entrantes ni salientes importantes.
² Dispone de soportes continuos hasta cimentación, uniformemente distribuidos en planta y
sin cambios bruscos en su rigidez.
² Dispone de regularidad geométrica en planta y altura (…guras 4.3 y 4.4) y de regularidad
mecánica en la distribución de rigideces, resistencias y masas, de modo que los centros de
masas, rigidez y torsión de todas la plantas están situados, aproximadamente, en la misma
vertical.
² La excentricidad del centro de las masas que intervienen en el cálculo sísmico respecto
al de torsión es inferior al 10% de la dimensión en planta del edi…cio en cada una de las
direcciones principales.
Bajo estas circunstancias la estructura se puede analizar mediante un modelo de edi…cio de
cortante para dos direcciones ortogonales independientes.

Figura 4.3: Estructuras regulares en planta

Figura 4.4: Estructuras regulares en alzado

Períodos propios y modos de vibración
La NCSE-94 proporciona fórmulas empíricas que permiten obtener de manera simpli…cada estas
características dinámicas de la estructura, así como el número de modos a incluir en el análisis.
El período de cada modo i se obtiene como
Ti =
TF
(2i ¡ 1)
(4.13)
donde TF es el período fundamental de la estructura, que se estima a partir de expresiones
simpli…cadas que la NCSE-94 incluye. Así, e.g., para el caso de edi…cios de hormigón armado
sin la colaboración de pantallas rigidizadoras
TF = 0:09n (4.14)
siendo n el número de plantas sobre rasante.
Las componentes del modo de vibración Ái se obtienen como
Áik = sen
µ
(2i ¡ 1) ¼hk
2H
¶
(4.15)
donde hk es la altura sobre rasante de la planta k y H es la latura total de la edi…cación sobre
rasante.
En el caso del EC-8 sólo se considera el primer modo de vibración, i.e., el correspondiente al
período fundamental TF . La forma modal se estima como
Á1k =
hk
H
(4.16)
y la fórmula propuesta para el cálculo de TF en el caso de pórticos de hormigón armado di…ere
de la proporcionada por la NCSE-94, especialmente para edi…cios de poca altura
TF = 0:075H3=4
(4.17)
Fuerzas sísmicas
La fuerza sísmica estática equivalente, Fik, correspondiente a la planta k y modo de vibración i
se obtiene a partir de la ecuación (2.63) como
Fik = sikPk (4.18)
siendo el coe…ciente sísmico sik
sik = ´ik
Saji
g
(4.19)
donde el espectro de diseño viene dado en este caso por
Saji = ®1(Ti)¯ac (4.20)

donde
¯ =
º
¹
(4.21)
es el denominado coe…ciente de respuesta y ®1(Ti) se determina a partir de las ordenadas espec-
trales ®(Ti) como
®1(Ti) =
8
><
>:
®(To) si T < To
®(T) si T ¸ To
(4.22)
en el caso de los edi…cios de cortante, la expresión de los factores de distribución ´ik se simpli…ca
a (ecuaciones (2.61) y (2.64))
´ik = ¿iÁik = Áik
Pn
k=1 mkÁik
Pn
k=1 mkÁ2
ik
(4.23)
siendo mk la masa de la planta k.
Sistema de fuerzas estáticas equivalentes
Las fuerzas Fk con las que se va a proceder al cálculo de la estructura se determinan a partir de
las fuerzas modales Fik como sigue:
² Obtención de los cortantes Vik de cada planta k en el modo i
Vik =
nX
j=k
Fij (4.24)
² Obtención del cortante combinado Vk de la planta k ponderando las contribuciones de
cada modo (ecuaciones (2.71-2.73))
Vk =
v
u
u
t
rX
i=1
V 2
ik (4.25)
² Obtención de fk por diferencias entre cortantes de plantas
Fk = Vk ¡ Vk+1 (4.26)
Efectos de torsión por excentricidad accidental
El análisis de la estructura debe tener en cuenta la compatibilidad de deformaciones en planta de
todos los elementos estructurales, incorporando el efectos de una posible excentricidad accidental

Figura 4.5: Excentricidad en planta de la acción sísmica
de las masas. En edi…cios simétricos la NCSE-94 permite sustituir este análisis por la aplicación
a cada elemento estructural de un coe…ciente de mayoración adicional °n (…gura 4.5)
°nx = 1 + 0:6y=by para sismo en dirección y (4.27)
°ny = 1 + 0:6x=bx para sismo en dirección x (4.28)
siendo bx y by las dimensiones de la planta en direcciones x e y respectivamente y x e y las
distancias del elemento considerado a los ejes de simetría.
4.4 Ejemplos
A continuación se calcula el cortante en la base de una estructura sencilla de edi…cación em-
pleando tanto el procedimeinto general como el método simpli…cado propuestos en la NCSE-94.
La …gura 4.6 muestra un esquema del edi…cio considerado. Consta de cinco plantas y su
tipología estructural responde a un edi…cio con pórticos de hormigón armado sin la colaboración
de pantallas rigidizadoras y planta compartimentada. Se ubica en Sevilla, sobre un terreno de
tipo II según la clasi…cación de la NCSE-94. Se trata de una construcción de normal importancia.
La estructura es simétrica y totalmente regular, tanto en planta como en alzado, coincidiendo
los centros de masa y torsión. En consecuencia, el edi…cio puede analizarse a través de dos
modelos planos ortogonales independientes, cada uno de ellos con un sólo grado de libertad
–de traslación– por planta (…gura 4.6). La estructura cumple la totalidad de los requisitos
establecidos en la NCSE-94 para que el método simpli…cado sea de aplicación.

1,04cm1,04cm1,04cm
1,56 cm 1,65 cm 1,73 cm 1,73 cm
u1
u2
u4
m=134.4 t
k1
k5
k4
k2
m=134.4 t
m=134.4 t
m=134.4 t
m=134.4 t
k3
u3
u5
2cm2,16cm2,16cm2,16cm2,16cm
3 m
3 m
3 m
3 m
4 m
35x35 cm
35x35 cm
40x40 cm
40x40 cm
45x45 cm
5 m 5 m5 m 5 m
4 m
4 m
4 m
Figura 4.6: Edi…cio de 5 plantas y modelo dinámico empleado
Información sísmica básica
Puesto que la estructura se localiza en Sevilla capital, la aceleración sísmica básica y el coe…ciente
de contribución vienen dados por
ab = 0:07g = 0:69 m=s2
; K = 1:0 (4.29)
Al tratarse de una construcción de normal importancia, el coe…ciente de riesgo y, por consi-
guiente, la aceleración sísmica de cálculo se obtienen como
½ = 1 =) ac = ½ab = 0:69 m=s2
(4.30)
El coe…ciente de suelo para un terreno de tipo II es
C = 1:4 (4.31)

Espectro elástico de respuesta
Los parámetros para de…nir las ordenadas espectrales vienen dados por
®(To) = (3C ¡ 3:8)(K ¡ 1:25) + 2:3 = 2:28 (4.32)
To = 0:125C + 0:2K ¡ 0:175 = 0:24 s (4.33)
T1 =
0:215K(5C ¡ 1)
®(To)
= 0:68 s (4.34)
obteniéndose el espectro elástico ®(t) que se muestra en la …gura 4.7. En el caso del método
simpli…cado se de…nen unas ordenadas espectrales ®1(t), que coinciden con las anteriores salvo
en el tramo de períodos cortos (0 · T < To), según se muestra en la …gura 4.8.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
3,0
T0
=0.24 s T1
=0.68 s
1+[α(T0
)-1]T/T0
α(T0
)
α(T)=α(T0
)T1
/T
α(T)
T
Figura 4.7: Espectro elástico de respuesta
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
3,0
T1
=0.68 s
T
α(T)=α(T0
)T1
/T
α(T0
)
α(T)
Figura 4.8: Espectro elástico de respuesta. Método simpli…cado

Masas de cálculo
Se considera una única planta tipo (incluyendo la cubierta):
² carga permanente (incluyendo sobrecarga de tabiquería): G = 500 Kg=m2
² sobrecarga de utilización: Q = 200 Kg=m2
Resultando una masa de cálculo
mk = (20 m £ 12 m) £
h
500 Kg=m2
+ 0:3 £ 200 Kg=m2
i
= 134400 Kg (4.35)
4.4.1 Método simpli…cado
El período fundamental viene dado por
TF = 0:09 £ n = 0:45 s (4.36)
Puesto que TF · 0:75 s basta con considerar el primer modo de vibración
Á1k = sen
µ
¼
hk
2H
¶
=) Á1 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:383
0:634
0:831
0:957
1:000
9
>>>>>=
>>>>>;
(4.37)
siendo hk la altura sobre rasante de la planta k y H = 16 m.
Cálculo de las fuerzas sísmicas
Para el primer modo
F1k = s1kPk (4.38)
donde Pk es el peso correspondiente a la masa mk (Pk = 134400 Kp) y s1k es el coe…ciente
sísmico correspondiente a la planta k en el primer modo
s1k =
µ
ac
g
¶
®1(TF )¯´1k (4.39)
donde ®1(T) es la ordenada espectral considerada en el método simpli…cado (…gura 4.8)
®1(TF ) = 2:28 (4.40)

Suponiendo que la estructura es de ductilidad alta (¹ = 3) se tiene
¯ = 0:29 (4.41)
obteniéndose los factores de distribución como
´1k = Á1k
P5
j=1 mjÁ1j
P5
j=1 mjÁ2
1j
) ´1 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:462
0:765
1:002
1:154
1:206
9
>>>>>=
>>>>>;
(4.42)
y por tanto
s1 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:021
0:035
0:046
0:053
0:056
9
>>>>>=
>>>>>;
) F1 =
8
>>>>><
>>>>>:
2822
4704
6182
7123
7526
9
>>>>>=
>>>>>;
Kp (4.43)
Dado que basta con incluir el primer modo en el análisis, el sistema de fuerzas estáticas equiva-
lentes coincide con F1
F = F1 (4.44)
Cortante en la base
El cortante total en la base es directamente el del único modo considerado
V1 =
5X
j=1
F1j = 28357 Kp ¼ 28:4 t (4.45)
4.4.2 Procedimiento general
La rigidez equivalente al desplazamiento transversal de los pilares se obtiene para las distintas
entreplantas como
k1 = 20 £ kp1 = 20 £
12EIp1
L3
p1
= 2:56 £ 108
N=m (4.46)
k2 = k3 = 20 £ kp2 = 20 £
12EIp2
L3
p2
= 3:79 £ 108
N=m (4.47)
k4 = k5 = 20 £ kp4 = 20 £
12EIp4
L3
p4
= 2:22 £ 108
N=m (4.48)

proporcionando una matriz de rigidez
K =
0
B
B
B
B
B
@
k1 + k2 ¡k2 0 0 0
¡k2 k2 + k3 ¡k3 0 0
0 ¡k3 k3 + k4 ¡k4 0
0 0 ¡k4 k4 + k5 ¡k5
0 0 0 ¡k5 k5
1
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
@
6:35 ¡3:79 0 0 0
¡3:79 7:58 ¡3:79 0 0
0 ¡3:79 6:01 ¡2:22 0
0 0 ¡2:22 4:44 ¡2:22
0 0 0 ¡2:22 2:22
1
C
C
C
C
C
A
£ 108
(4.49)
La matriz de masa es diagonal y viene dada por
M =
0
B
B
B
B
B
@
134400 0 0 0 0
0 134400 0 0 0
0 0 134400 0 0
0 0 0 134400 0
0 0 0 0 134400
1
C
C
C
C
C
A
(4.50)
Las frecuencias naturales se obtienen a partir de la ecuación característica
¯
¯
¯K ¡ !2
M
¯
¯
¯ = 0 ) !2
1 = 180:1 ; !2
2 = 1253:8 ;
!2
3 = 3601:4 ; !2
4 = 5518:2 ; !2
5 = 9257:4 (4.51)
lo que proporciona los siguientes períodos propios de la estructura
T1 = 0:468 s ; T2 = 0:177 s ; T3 = 0:105 s ; T4 = 0:085 s ; T5 = 0:065 s (4.52)
Los modos de vibración se obtienen como los autovalores del sistema
Á1 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:199
0:321
0:422
0:549
0:616
9
>>>>>=
>>>>>;
; Á2 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:440
0:542
0:403
¡0:139
¡0:576
9
>>>>>=
>>>>>;
; Á3 =
8
>>>>><
>>>>>:
¡0:528
¡0:211
0:375
0:558
¡0:474
9
>>>>>=
>>>>>;
Á4 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:529
¡0:148
¡0:535
0:590
¡0:252
9
>>>>>=
>>>>>;
; Á5 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:457
¡0:733
0:482
¡0:143
0:031
9
>>>>>=
>>>>>;
(4.53)
Modos de vibración a considerar en el análisis
Dado que la estructura se está analizando mediante un modelo plano, se deberán considerar al
menos tres modos de vibración.

Adicionalmente, se deben considerar los r primeros modos con contribución signi…cativa, i.e.,
aquellos para los que la suma de las masas efectivas sea superior al 90% de la masa movilizada
en el movimiento sísmico rX
i=1
M¤
i ¸ 0:90
nX
i=1
mi = 604800 Kg (4.54)
donde las masas modales efectivas se calculan como
M¤
1 =
nX
i=1
mi´1i = 596602 Kg (4.55)
M¤
2 =
nX
i=1
mi´2i = 60346 Kg (4.56)
por lo que según este criterio bastarían dos modos (r = 2).
Por tanto, deben considerarse los tres primeros modos de vibración. Los factores de distri-
bución asociados a estos tres modos son
´1 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:419
0:676
0:889
1:157
1:298
9
>>>>>=
>>>>>;
; ´2 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:295
0:363
0:270
¡0:093
¡0:386
9
>>>>>=
>>>>>;
; ´3 =
8
>>>>><
>>>>>:
0:148
0:059
¡0:105
¡0:156
0:133
9
>>>>>=
>>>>>;
(4.57)
Desplazamientos modales máximos
Los desplazamientos modales máximos se obtienen como
uijmax = ´i
Saji
!2
i
(4.58)
donde
Saji = Âi(º; ¹)®(Ti)ac (4.59)
siendo
Âi(º; ¹) =
º·i
¹
= ¯·i (4.60)
Para una estructura de ductilidad alta y un amortiguamiento del 7% respecto al crítico
º =
µ
5
¶0:4
=
µ
5
7
¶0:4
= 0:874 ; ¹ = 3 ) ¯ = 0:29 (4.61)
Las ordenadas espectrales adoptan los valores
®(T1) = 2:28 ; ®(T2) = 1:94 ; ®(T3) = 1:56 (4.62)
Los valores de ·i se calculan a partir de (4.11), obteniéndose
·1 = 1 ; ·2 = 1:33 ; ·3 = 1:88 (4.63)

De esta manera, se obtienen los factores correctores Âi por ductilidad y amortiguamiento como
Â1 = 0:29 ; Â2 = 0:39 ; Â3 = 0:55 (4.64)
y los valores del espectro de aceleraciones como
Saj1 = 0:46 ; Saj2 = 0:52 ; Saj3 = 0:59 (4.65)
Por tanto, los desplazamientos modales máximos son
u1jmax = 2:55 £ 10¡3
£ ´1 (4.66)
u2jmax = 4:15 £ 10¡4
£ ´2 (4.67)
u3jmax = 1:64 £ 10¡4
£ ´3 (4.68)
Cortante en la base
El valor del cortante modal máximo en la base del edi…cio para cada uno de los tres primeros
modos se obtiene a partir de la ecuación de equilibrio del conjunto de pilares de planta baja
como
modo 1 :
V11 = k1 £ u11jmax =
³
2:56 £ 108
´
£
³
2:55 £ 10¡3
´
£ 0:419
= 273523 N (4.69)
modo 2 :
V21 = k1 £ u21jmax =
³
2:56 £ 108
´
£
³
4:15 £ 10¡4
´
£ 0:295
= 31341 N (4.70)
modo 3 :
V31 = k1 £ u31jmax =
³
2:56 £ 108
´
£
³
1:64 £ 10¡4
´
£ 0:148
= 6214 N (4.71)
El cortante en la base total se obtiene ponderando las aportaciones de cada uno de los tres
modos
V1 =
v
u
u
t
3X
i=1
V 2
i1 = 275383 N ¼ 27:5 t (4.72)
Puede observarse el buen grado de aproximación proporcionado por el método simpli…cado.

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