El documento describe los conceptos básicos de modelado por elementos finitos, incluyendo la formulación de elementos estructurales como barras y vigas bidimensionales. Explica cómo construir las matrices de rigidez de estos elementos y ensamblarlas para resolver problemas de ingeniería como marcos y vigas.

1. Mecánica Computacional UNIVERSIDAD DE IBAGUÉ ESPECIALIZACIÓN EN MECANICA DE MATERIALES Prof.: MSc. I.M. Carlos H. Galeano U.

2. Qué es un Modelo ...?

3. Qué es un Modelo ...? Entonces un modelo, desde el punto de vista del quehacer técnico-científico, podría definirse como una representación parcial e imperfecta de una entidad física, fenómeno o proceso real ...

5. Tipos de modelos … Pero además existen otras “dimensiones” o tipos: Modelos Lineales, No lineales, Analíticos, Numéricos, Observacionales, … Dinámicos Determinísticos Estáticos Continuos Discretos Dinámicos Estocásticos Estáticos Continuos Discretos

16. Tipos de Elementos

17. Tipos de Elementos

18. Formulación del Elemento Truss (Link) Un primer tipo de elemento a estudiar, dada la simpleza en su formulación (empleando conceptos básicos de Mecánica de Materiales), es el elemento de tracción- compresión o elemento Truss (también llamado elemento Link en Ansys ). Se construirá una ecuación matricial que relacione los desplazamientos y las cargas aplicadas en el elemento. Aunque la forma de esta ecuación cambiará de elemento a elemento, este es un excelente y simple ejemplo de un elemento finito. Inicialmente se construirá una formulación empleando un sistema coordenado local, para luego emplear sistemas coordenados globales en el análisis de estructuras.

19. Simplificaciones impuestas Carga Estática Material Lineal Elástico Elementos Prismáticos Peso despreciable

20. Simplificaciones impuestas Elementos de dos fuerzas Ignora la deformación transversal Elementos de dos fuerzas Material Homogéneo

21. Simplificaciones impuestas Ignora el pandeo en los elementos Secciones transversales planas Material Isotrópico

22. Formulación de la matriz de rigidez De la Ecuación de Equilibrio (Conservación de la cantidad de movimiento lineal) Coordenadas Nodales A partir de los desplazamientos nodales: por definición ( Ecuación Constitutiva )

23. Relación cargas-desplazamientos nodales ¿ Como se aplica esta expresión matricial para la solución de un sistema mecánico formado por varios elementos de dos fuerzas conectados entre si ?

24. Aplicación para múltiples elementos Considerando un sistema formado por dos elementos y tres nodos como el siguiente … 1 2 1 2 2 3 2 3

25. Ensamble de la matriz de rigidez general Expandiendo las matrices [K] de cada elemento: = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

26. Aplicación de las condiciones de borde (Caso I) ? ? ? Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas … F 2

27. Aplicación de las condiciones de borde (Caso II) ? ? ? Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas … F 2

28. Análisis de estructuras bidimensionales Hasta el momento todos los elementos han estados orientados en una misma dirección, ¿ esta es una estructura funcional ?. ¿Qué sucede si se tienen elementos con distintas orientaciones ?

29. Adición de grados de libertad al elemento Truss con respecto al sistema local de coordenadas

30. Matriz de rotación Revisando un poco acerca de rotación de sistemas coordenados … Matriz de transformación ortogonal

31. Rotación de vectores de carga y desplazamiento Kaa Kab Kba Kbb

32. Rotación de la matriz de rigidez

33. Rotación de la matriz de rigidez Si se hace un cambio de base en la formulación construida ….

34. Solución de una estructura empleando elementos Truss

35. Ecuación de rigidez para el elemento 1 Obsérvese, por ejemplo, que para este elemento  = 0º, así: Calculando la matriz de rigidez de cada elemento

36. Para el elemento (2): Ecuación de rigidez para el elemento 2

37. Para el elemento (3): Ecuación de rigidez para el elemento 3

38. Expandiendo la matriz de cada elemento… (elemento 1) Expansión de la matriz de rigidez del elemento 1

39. Expandiendo la matriz de cada elemento… (elemento 2) Expansión de la matriz de rigidez del elemento 2

40. Expandiendo la matriz de cada elemento… (elemento 3) Expansión de la matriz de rigidez del elemento 3

41. notando que: (con e = 1, 2, 3) Ensamble de la matriz de rigidez general

42. Planteamiento del sistema lineal de ecuaciones ? ? ? ? ? ?

43. Reorganizando la matriz K, se tiene: Solución del sistema de ecuaciones

44. A partir de los desplazamientos pueden ser calculadas las elongaciones de los elementos, estas deformaciones permiten conocer las deformaciones, los esfuerzos y las cargas en cada elemento Post-procesamiento de datos

45. Post-procesamiento de datos

46. Formulación del elemento Beam Marcos son estructuras complejas formadas por elementos rígidamente conectados. Se diferencian de una armadura en que sus elementos no está sometidos necesariamente a carga axial y pueden soportar otros tipos de carga, como fuerzas transversales y momentos flectores, e incluso torsión si se trata de un marco espacial. Junta rígida

48. Formulación directa del elemento Beam 2D

49. Formulación directa del elemento Beam 2D

50. Formulación directa del elemento Beam 2D

51. Formulación directa del elemento Beam 2D

52. Formulación directa del elemento Beam 2D Y de forma análoga

53. Matriz de rigidez del elemento Beam 2D De modo que para el elemento BEAM 2D :

54. Solución de una viga empleando elementos Beam 2D ? ? ? ? ? ?

55. Planteamiento de la rigidez de cada elemento La matriz de rigidez de para cada uno de los elementos será: Elemento 1: Elemento 2: 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3

56. Ensamble de la matriz de rigidez Expandiendo adecuadamente cada una de estas matrices …. Elemento 1: Elemento 2:

57. Formulación directa del elemento Frame 2D

58. Formulación directa del elemento Frame 2D Reformulando el elemento TRUSS : Reformulando el elemento BEAM :

59. Formulación directa del elemento Frame 2D … ..¿qué hace falta en la formulación de este elemento para poder emplearlo en la solución de marcos bidimensionales?

60. Formulación directa del elemento Frame 2D X’ X 

61. Modelado en un software de FEM (Finite Element Method) Modelo Físico Modelo Discreto Preproceso Proceso Postproceso Modelo geométrico Modelo discreto (Tipo y forma de malla) Constantes reales Modelo de material Condiciones de borde … Planteamiento y solución del sistema lineal de ecuaciones. Calculo de deformaciones, esfuerzos, energías de deformación, etc.

62. Introducción al manejo de Ansys

63. Introducción al manejo de Ansys

64. Manejo de archivos en Ansys Sesión de trabajo *.db *.dbb *.log *.err *.emat *.rst *.redm *.rfrq *.rdsp *.full *.elem *…

65. Manejo de archivos en Ansys Superelement DOF solution from use pass Y Binary DSUB FLOTRAN "debug" file (contains solution information) - Text DBG Database file from VMESH failure in batch mode - Binary DBE Database file [ SAVE , /EXIT ] Y Binary DB Commands written by CFWRITE Y Text CMD Color map file - Text CMAP Text database file [ CDWRITE ] Y Text CDB Interpolated DOF data written as D Commands [ CBDOF ] - Text CBDO Thermal results file for best design (optimization) [ OPKEEP ] - Binary BRTH Structural results file for best design (optimization) [ OPKEEP ] - Binary BRST Magnetic results file for best design (optimization) [ OPKEEP ] - Binary BRMG FLOTRAN results file for best design (optimization) [ OPKEEP ] - Binary BRFL Interpolated body forces written as BF commands [ BFINT ] - Text BFIN Database for best design (optimization) [ OPKEEP ] - Binary BDB Contents Upward Type Identifier

66. Manejo de archivos en Ansys Contents Upward Type Identifier Mode combination commands from spectrum analysis [ MCOMB ] Y Text MCOM Optimization looping file - Text LOOP Command input history Y Text LOG Load case file (where nn = load case number) [ LCWRITE ] Y Binary L nn Database command log file [ LGWRITE ] Y Text LGW IGES file from ANSYS solid model data [ IGES ] Y Text IGES Neutral graphics file Y Text GRPH Assembled global stiffness and mass matrices - Binary FULL Fatigue data [ FTWRITE ] - Text FATG Element saved data Note- ESAV files created by nonlinear analyses may not be upwardly compatible. Y Binary ESAV Error and warning messages - Text ERR Element matrices Y Binary EMAT Element definitions [ EWRITE ] Y Text ELEM

67. Manejo de archivos en Ansys Reduced complex displacements - Binary RFRQ Results file from magnetic field analysis Y Binary RMG Reduced structure matrix - Binary REDM Reduced displacements - Binary RDSP FLOTRAN residual file [ FLDATA ,OUTP] - Text RDF PSD file (modal covariance matrices, etc.) - Binary PSD FLOTRAN printout file - Text PFL Parameter definitions [ PARSAV E ] Y Text PARM ANSYS output file - Text OUT Copy of ESAV file from last converged substep - Binary OSAV Optimization data - Text OPT ANSYS output for last optimization loop - Text OPO Node definitions [ NWRITE ] Y Text NODE Material property definitions [ MPWRITE ] Y Text MP Contents Upward Type Identifier

68. Manejo de archivos en Ansys FLOTRAN geometry data (ANSYS to FLOTRAN) - Text XGM FLOTRAN boundary condition data (ANSYS to FLOTRAN) - Text XBC Renamed DSUB File for input to substructure expansion pass Y Binary USUB Triangularized stiffness matrix - Binary TRI Superelement matrix file from generation pass Y Binary SUB Results file from structural and coupled-field analyses Y Binary RST Hyperelastic material constants [ MOONEY ] Y Text TB Status of an ANSYS batch run - Text STAT Superelement name and number from use pass - Text SORD Load step files (where nn = load step number) [ LSWRITE ] Y Text S nn Superelement load vector data from generation pass Y Binary SELD FLOTRAN run data - Text RUN Results file from thermal analysis Y Binary RTH FLOTRAN "wall" results file - Text RSW Contents Upward Type Identifier

69. Manejo de los menús de Ansys Menú Principal Menú de Visualización Menú Auxiliar

70. Menú Principal Preproceso Proceso Postproceso

71. Ejercicio 1. Modelado de una estructura tridimensional empleando elementos Link8 (Ansys) Latón 30 9 Latón 30 8 Latón 30 7 Latón 30 6 Aluminio 20 5 Aluminio 25 4 Aluminio 25 3 Aluminio 25 2 Aluminio 25 1 Material Diámetro [mm] Elemento 1 2 3 6 7 8 9 4 5

72. Ejercicio 2. Análisis de un marco tridimensional empleando elementos Truss (Link10) y Frame (Beam44)

73. Ejercicio 2. Estructura general del problema

74. Ejercicio 2. Geometría

75. Ejercicio 2. Constantes reales Concreto: E=25 Gpa Nu= 0.15 Acero Estrucutral: E=200 Gpa Nu=0.3 Viga Truss: Eeq=1.5 Gpa Nu=0.3 Tensor= E= 50 Gpa Nu=0.3

76. Ejercicio 2. Rigidez equivalente de la viga-truss

77. Ejercicio 2. Carga dinámica

78. Ejercicio 2. Resultados preliminares

79. Ejercicio 2. Incorporación de tensores